强一致多元条件风险测度

然后fρ和f-1ρgarestrilly是一个titone，G-局部，完全填充Lebesgue属性。证据对于fρG，紧接着是ρG的定义和相应性质。关于f的性质-1ρG，我们从证明严格反序开始。Letβ，β∈ Im fρGsuch thatβ≥ β和P（β>β）>0。假设P（A）>0，其中A：=f-1ρG（β）>f-1ρG（β）∈ G、 那么βA+fρG（0）AC=fρGf-1ρG（β）A+fρG（0）AC=fρGf-1ρG（β）A≤ fρGf-1ρG（β）A= βA+fρG（0）AC，并且由于fρGis严格反作用，该不等式在正概率集上是严格的。这当然与β相矛盾≥ β。因此f-1ρG（β）≤ f-1ρG（β）。此外，asP（β>β）=PfρGf-1ρG（β）> fρGf-1ρG（β）> 0我们必须有f-1ρG（β）6=f-1ρG（β），正概率，即Pf-1ρG（β）<f-1ρG（β）> 0。现在我们显示f-1ρGis G-局部。Letβ，β∈ Im fρ气井和A∈ G bearbitrary。进一步设αi=f-1ρG（βi），i=1，2，即fρG（αi）=βi。那么我们得到fρG（αA+αAC）=fρG（α）A+fρG（α）AC=βA+βAC。因此f-1ρG（βA+βAC）=αA+αAC。最后，对于Lebesgue性质，让β，β∈ Im fρGand let（βn）n∈N 带β的Im fρGbea序列≤ βn≤ 所有n的β∈ N和βN→ βP-a.s.考虑有界序列βun：=supk≥nβ和βdn：=infk≥nβk，n∈ 几乎肯定单调收敛到β的N，即βun↓ βP-a.s.a和βdn↑ βP-a.s.自β起≤ βun≤ 所有n的β∈ N通过f的反张力-1ρGyields f-1ρG（β）≤ f-1ρG（βun）≤f-1ρG（β），我们观察到f-1ρG（βun）n∈Nis一致有界inL∞（G） 。注意，通过同样的论证f-1ρG（βdn）n∈Nandf-1ρG（βn）n∈L中的Nare一致有界∞（G） 。接下来我们将展示βun∈ 所有n的Im fρgf∈ N、 修复N∈ N和set recursivelyAnn-1： ={βun=β}和Ank：={βun=βk}\\k-1[i=n-1Ani，k≥ n、 然后，根据归纳法，Ank∈ G、 k级≥ n- 1、自sup{β，βk:k≥ n} =最大{β，βk:k≥ n} ，我们有Sk公司≥n-1银行Cis a P-nullset。

它遵循fρGthatfρGf的fro-mG局域性和Lebesgue性质-1ρG（β）Ann-1+Xk≥nf公司-1ρG（βk）Ank！=βAnn-1+fρGlimm→∞mXk=nf-1ρG（βk）Ank！Sk公司≥nAnk=βAnn-1+limm→∞mXk=nβkAnk+fρG（0）Sk≥mAnk！=βAnn-1+Xk≥nβkAnk=βun，表示βun∈ Im fρG。通过类似的论证，我们得到了βdn∈ Im fρG.回想一下βun↓ βP-a.s.通过f的反张力-1ρg表示序列f-1ρG（βun）n∈Nis异酮，因此α=limn→∞f-L中存在1ρG（βun）∞（G） 。根据fρg的反张性和Lebesgue性质，β=limn→∞βun=limn→∞fρGf-1ρG（βun）= fρG（α），因此α=f-1ρG（β）。类似地，我们得到fρG（^α）=β，对于^α=limn→∞f-1ρG（βdn），因此^α=α=f-1ρG（β）。因此，通过f的反单调性-1ρGf-1ρG（β）=limn→∞f-1ρG（βun）≤ lim信息→∞f-1ρG（βn）≤ lim支持→∞f-1ρG（βn）≤ 画→∞f-1ρG（βdn）=f-1ρG（β），so limn→∞f-1ρG（βn）=f-1ρG（β），即f-1ρGhas勒贝格性质。稍后需要进行的一个重要观察是f的域-1ρGis等于ρG的imag e，即f-对于所有X，1ρG（ρG（X））定义良好∈ L∞d（F）。引理2.5。对于CRMρG:L∞d（F）→ L∞（G） 它认为ρG（L∞d（F））=FρG（L∞（G） ）。证据显然，ρG（L∞d（F）） fρG（L∞（G） ）。对于反向包含，让X∈ L∞d（F）。我们的目的是证明存在α*∈ L∞（G） 使得ρG（X）=fρG（α*). （2.1）定义：=α∈ L∞（G） ：fρG（α）≥ ρG（X）.像-kXkd，∞d≤ 十、≤ kXkd，∞我们有那个-kXkd，∞∈ P，所以P 6=.此外，P从上方以kXkd为界，∞因为如果A：={α>kXkd，∞} 对于α∈ L∞（G） 具有正概率，然后通过G-局部性和严格反tonicyfρG（α）A=fρG（αA）A≤ fρG（kXkd，∞A） A=fρG（kXkd，∞)A.≤ ρG（X）a其中第一个不等式对正概率严格，因此α6∈ P从光泽度来看，P也是向上的。因此，fo rα*:= 这里是一致有界序列（αn）n∈N P使得α*= 画→∞αnP-a.s。；参见F¨ollmer and Schied（2011）定理A.33。

因此，α*∈L∞（G） andfρG（α*) = 画→∞fρG（αn）≥ ρG（X），即α*∈ PLetB：={fρG（α*) > ρG（X）}，并注意到Lebesgue性质为b=[n∈N{fρG（α*+ 1/n）>ρG（X）}P-a.s。因此，如果P（B）>0，则对于某些Bn，P（Bn）>0的结果如下：={fρG（α*+ 1/n）>ρG（X）}。请注意，Bn∈ G和α*BCn+（α*+ 1/n）十亿∈ Pby fρG的G-局域性。但这与α的定义相矛盾*. 因此，P（B）=0。有时，从以下意义上规范CRM是有用的：定义2.6。我们称之为CRMρG:L∞d（F）→ L∞（G） 常数ρG（α）=-α代表所有α∈ L∞（G） 。确实让ρG:L∞d（F）→ L∞（G） 成为客户关系管理者并定义ρG：=-f-1ρGo ρG。然后ρGis是一个CRM（引理2.4和引理2.5），在上述常数的归一化意义上进行归一化。我们将ρG称为ρG.3强一致性的标准化CRM。在本节中，我们研究了CRM的一致性。我们考虑了文献中最常用的单变量风险度量的一致性条件，即强一致性，并将其推广到多变量情况。我们参考了Detlefsen和Scandolo（2005年）、Cheridito等人（2006年）、Cheridito和Kupper（2011年）、Kupper和Schachermayer（2009年）以及Penner（2007年），了解关于单变量风险度量强一致性的更多信息。Kromer et al.（2014）还研究了多重风险度量的一种一致性，然而，正如我们将在下面的备注4.11中指出的那样，他们对一致性的定义与我们的方法不同。对于这一部分的剩余部分，我们假设G和H是f的两个子σ-代数，使得G H、 设ρG:L∞d（F）→ L∞（G） 和ρH:L∞d（F）→ L∞（H） 对应的CRM。定义3.1（强一致性）。如果ρH（X），则称对{ρG，ρH}为强相合≤ ρH（Y）=> ρG（X）≤ ρG（Y）（X，Y∈ L∞d（F））。

（3.1）高度一致性表明，如果几乎可以肯定的是，在信息较多的所有州，一种风险优先于另一种风险，那么这种偏好已经包含较少的信息。我们的第一个结果表明，强一致性可以通过递归关系式等效定义。引理3.2。等价物为：（i）{ρG，ρH}强相合；（ii）对于所有X∈ L∞d（F）它认为ρG（X）=ρGf-1ρHρH（X）d,其中f-1定义2.2中定义了ρHwas。证据（一）=>（ii）：作为f或a ll X∈ L∞d（F）ρH（X）=ρHf-1ρH（ρH（X））1d,从强相合性来看，ρG（X）=ρGf-1ρH（ρH（X））1d.（二）=>（i） ：设X，Y∈ L∞d（F）为ρH（X）≤ ρH（Y）。然后通过反张力-1ρHandρGit fo允许ρG（X）=ρGf-1ρHρH（X）d≤ ρGf-1ρHρH（Y）d= ρG（Y）。备注3.3。设ηGandηHbe为两个单变量CRM，其中ηHis nor化为常数，即ηH（α）=-α代表所有α∈ L∞（H） 。那么fηH（α）=f-1ηH（α）=-α和强稠度等价于t oηG（F）=ηG- ηH（F）, F∈ L∞（F） 。备注3.4。如果{ρG，ρH}是强一致的，则定义2.6中定义的一对归一化标准参考值{ρG，ρH}也是强一致的，反之亦然。因为f′ρG=f′ρH=- i标准化CRM的强一致性相当于‘ρG（F）=‘ρG- (R)ρH（F）1d, F∈ L∞（F） ，类似于备注3.3。在下面的引理中，我们将证明{ρG，ρH}的强一致性唯一地决定了归一化的CRM'ρH引理3.5。如果{ρG，ρH}是非常一致的，那么ρgunique确定标准化CRM'ρH=-f-1ρHo ρH.证明。假设有两个关于ρG强一致的标准差ρHandρh，即ρGf-1ρHρH（X）d= ρG（X）=ρGf-1ρHρH（X）d, 十、∈ L∞d（F）。我们将显示f-1ρH（ρH（X））=f-1ρH（ρH（X））。假设存在anX∈ L∞d（F）这样的that A：=nf-1ρH（ρH（X））>f-1ρH（ρH（X））o∈ H具有正可能性。

然后，通过ρHandρH的H-局部性，我们得到ρG（XA）=ρGf-1ρHρH（XA）d= ρGf-1ρHρH（X）广告≤ ρGf-1ρHρH（X）广告= ρGf-1ρHρH（XA）d= ρG（XA）。（3.2）其中不等式（3.2）严格以正概率作为ρGis严格antitone，因此我们有一个矛盾。还原ρHandρhin的角色A的定义证明了引理。在Hoffemann等人（2016）中，我们研究了在何种条件下（多变量）条件风险度量可以如（1.4）所示分解，即分解为条件聚集函数和单变量条件风险度量。我们将证明{ρG，ρF}的强一致性已经足以保证ρ和ρF的组成（1.4）。为此，我们需要澄清条件聚集函数的含义：定义3.6。我们称函数∧：L∞d（F）→ L∞（F） 如果条件聚集函数满足以下特性：严格等渗性：X≥ Y和P（X>Y）>0表示∧（X）≥ ∧（Y）和P∧（X）>∧（Y）> 0。F-局部性：∧（XA+YAC）=∧（X）A+所有A的∧（Y）AC∈ FLebesgue性质：对于任何一致有界序列（Xn）n∈Nin L公司∞d（F）使Xn→ X P-a.s.，我们有∧（X）=limn→∞∧（Xn）P-a.s.此外，对于H F、 如果在∧（l）中加上∧，我们称∧为H条件聚集函数∞d（J）） L∞（J）对于所有H J F、 备注3.7。H-条件聚合函数的名称是指∧（x）∈ L∞（H） 对于所有x∈ 因此，每个条件聚合函数至少是一个F条件聚合函数。对于条件风险度量，我们定义为：定义3.8。对于条件聚集函数∧：L∞d（F）→ L∞（F） letf∧：L∞（F）→ L∞（F） ；F 7级→ ∧（F 1d）和F-1∧：Im f∧→ L∞（F） ；G 7→ F∧（F）=G引理3.9。

Let∧：L∞d（F）→ L∞（F） 是条件聚合函数。然后f∧和f-1∧是严格的等通、F-局部和完全的Lebesgue性质。此外，∧（L∞d（F））=F∧（L∞（F） ）和∧（X）=∧f-1∧（λ（X））1d对于所有X∈L∞d（F）。f的充分性-1∧如下备注2.3所示。此外，引理3.9的pro类似于引理2.4和引理2.5的证明，因此在此省略。为了说明强一致性CRM的分解结果，我们首先回顾Ho ffemann等人（2016）的ma-In结果，该结果适用于提案3.11中本论文的框架，我们需要以下定义。定义3.10。我们说一个函数ρG:L∞d（F）→ L∞（G） 如果对于所有X，则为连续实现ρG（·，·）∈ L∞d（F）存在一个等价类ρG（X）的代表ρG（X，·），使得eρG:Rd×Ohm → R（x，ω）7→ ρG（x，ω）在其第一个参数P-a.s.命题3.11中是连续的。设ρG:L∞d（F）→ L∞（G） 作为一个CRM，假设存在一个满足风险反张力的连续实现ρG（·，·），即ρG（X（ω），ω）≥ eρG（Y（ω），ω）P-a.s.，表示ρG（X）≥ ρG（Y）。然后存在一个G条件聚集函数∧G:l∞d（F）→ L∞（F） 一元CRMηG:Im∧G→ L∞（G） 使得ρG（X）=ηG（λG（X）），对于所有X∈ L∞d（F）和ηG（λG（X））=-∧G（X）表示所有X∈ L∞d（G）。（3.3）这种分解是唯一的。证据自ρGis antitone起，Rd x 7→ ρG（x）是反酮。Ho ffemann等人（2016年）定理2中已经证明了这一点。10该性质与ρGHA是一个连续实现这一事实相结合，它完全有可能对函数∧G:L的存在和唯一性产生反单调性问题∞d（F）→ L∞（F） 这是一个等通函数，F-局部函数，完全满足勒贝格性质和函数ηG:Im∧G→ L∞（G） 这是一个反音，ρG=ηGo ∧GandηG∧G（x）= -∧G（x）表示所有x∈ Rd.（3.4）注意，在Ho ffemann等人的定理2.10的证明中。

（2016）通过设置∧G（X）（ω）=-eρG（X（ω），ω），这意味着∧gis必然是F-局部的，尽管本文中没有直接提到这一点。事实上，在Ho Off mann等人（2016年）中，我们根本没有要求或提及位置。有待证明的是∧Gis是G-条件聚集函数，ηGisa是Im∧G上的单变量CRM，（3.3）成立。首先，我们证明了Flocality和（3.4）意味着（3.3）。为此，用S表示F-可测简单随机向量集，即X∈ S如果X的形式为X=Pki=1xiAi，其中k∈ N、 xi∈ Rdand Ai∈ F、 i=1。。。，k、 重新不相交集，使得P（Ai）>0且P（Ski=1Ai）=1。现在让X∈ L∞d（G）。拾取一致有界序列（Xn）n∈N个=Pkni=1xniAnin∈N 因此Ani∈ G对于所有i=1，千牛，牛∈ N、 和Xn→ X P-a.s.然后通过（3.4），F-局部性和∧GandρGwe的Lebesgue性质推断-∧G（X）=- 画→∞∧G（Xn）=limn→∞knXi=1-∧G（xni）Ani=limn→∞knXi=1ρG（xni）Ani=limn→∞ρG（Xn）=ρG（X），这证明了（3.3）。接下来，我们证明∧Gis是G-条件聚集函数。但需要验证的缺失属性是严格的反单调性和∧Gis G-条件。后者摘自Ho Off mann et al.（2016）L emma 3.1。对于严格反张性，设X，Y∈ L∞d（F）带X≥ 这样P（X>Y）>0。然后根据∧Gwe的等渗性得到∧G（X）≥ ∧G（Y）。假设∧G（X）=∧G（Y）P-a.s.，那么ρG（X）=ηG（λG（X））=ηG（λG（Y））=ρG（Y），这与ρG的严格反张性相矛盾。因此∧Gful填充了aG条件聚集函数的所有性质。对于f或ηG，注意引理3.9对于所有f∈ Im∧Gwe有ηG（F）=ηG∧Gf-1∧G（F）1d= ρGf-1∧G（F）1d, （3.5）其中f-1∧定义3.8中定义的GWA。自ρGand f起-1∧Gare严格单调，G-局部，完全满足勒贝格性质，ηG也是如此，即ηGis是唯一的CRMon Im∧G。定理3.12。

设ρG:L∞d（F）→ L∞（G） 和ρF:L∞d（F）→ L∞（F） 请注意{ρG，ρF}是强一致的。此外，假设f-1ρFo ρF（x）∈ R代表所有x∈ Rd.（3.6）如果ρGhas连续实现ρG（·，·），则存在一个G-条件聚集函数∧G:L∞d（F）→ L∞（F） 一元CRMηG:Im∧G→L∞（G） ρG（X）=ηG∧G（X）对于所有X∈ L∞d（F）（3.7）和ηG∧G（X）= -∧G（X）表示所有X∈ L∞d（G）。设∧F：=-ρFandηF：=- 使ρF=ηFo 对于F-条件聚集函数∧F和单变量CRMηF，则∧F（X）≤ ∧F（Y）==> ∧G（X）≤ ∧G（Y）（X，Y∈ L∞d（F）），（3.8），即∧和∧非常一致。相反，假设CRMρG:L∞d（F）→ L∞（G） 满足（3.7），则{ρG，ρF}在ρF=-∧Gis a CRM。我们注意到，在定理3.12中，我们需要对{ρG，ρF}的一致性，其中ρFis是给定完整信息F的CRM。请注意，ρFis（除符号外）只是定义3中定义的条件聚集函数。因此ρGis要求在全信息条件下与某些聚集函数保持一致。这也解释了∧F。对于d=1，这种一致性是由单调性自动决定的（聚合只是恒等函数），显然，断言是微不足道的。对于更高维度，定理3.12指出，如果存在与ρG一致的聚集函数，则ρGis自动为（3.7）型。显然，如果我们已经知道（3.7）保持不变，那么ρGis与ρF=-∧G。

与完整信息下的聚合保持一致是一个非常自然的要求，因为即使在完整信息下，因此没有风险，通常损失仍需要以某种方式聚合，因此信息较少的任何CRM都应遵守此聚合。另请注意，条件（3.6）是标准化常数的略微加强，后者通过标准化f的定义自动满足-1ρFo ρF；见上文。定理3.12的以下pro基于两个观察结果：ρf命题3.11中定义的必然风险对酮。内部的强一致性意味着ρFis的风险反单调性（向后）传递给ρG，因此命题3.11适用。定理3.12的证明：如果我们已经知道（3.7）成立，那么通过ηGit的反单调性，可以得出{ρG，-∧G}是强一致的，并且-∧G:L∞d（F）→ L∞（F） 也是一个CRM。从而证明了定理3.12的最后一个断言。为了展示定理3.12的第一部分，我们回顾，为了应用命题3.11，唯一有待展示的属性是ρG的风险反单调性：为此，我们首先考虑简单随机向量x，Y∈ S，其中S在命题3.11的证明中定义。请注意，假设X=Pni=1xiAi，则不会失去一般性∈ S和Y=Pni=1yiAi∈ S、 即分区（Ai）i=1，。。。，nof公司Ohm 对于X和Y是相同的。假设eρG（X（ω），ω）≥ eρG（Y（ω），ω）P-a.s.因此eρG（xi，ω）≥ eρG（yi，ω）表示所有ω∈ Ai\\N，i=1。。。，n、 其中n是P-空集。我们声称这意味着-1ρGρG（xi）≤ f-1ρGρG（yi）对于所有i=1。。。，n、 （3.9）为了验证这一点，我们首先注意到，由于ρ和ρ表现出强烈的一致性，并且通过（3.6）我们得到了所有x∈ Rdthatf公司-1ρGρG（x）= f-1ρGρGf-1ρFρF（x）d= f-1ρFρF（x）∈ R

（3.10）这里我们还使用了归一化-f-1ρGo ρGis在常数上归一化。换句话说，f-1ρGρG（xi）和f-1ρGρG（yi）是实数。接下来我们定义：={ω∈ Ohm | eρG（xi，ω）≥ eρG（yi，ω）}∈ G.然后（Ai\\N） 对于所有i=1，…，Biand-henceP（Bi）>0。。。，n、 利用f的反单调性和G-局部性-1ρGwe obta inf-1ρGρG（xi）Bi=f-1ρGρG（xi）BiBi公司≤ f-1ρGρG（yi）BiBi=f-1ρGρG（yi）Bi。作为f-1ρGρG（yi）确实是实数，（3.9）如下。现在通过{ρG，ρF}的强相合性，ρFand F的F-局部性-1ρF和by（3.10）以及ρG（X）=ρG中ρGwe obta的熵f-1ρFρF（X）d= ρGnXi=1f-1ρFρF（xi）援助！=ρGnXi=1f-1ρGρG（xi）帮助≥ ρGnXi=1f-1ρGρG（yi）援助！=ρG（Y），它证明了简单随机向量X，Y的风险反单调性∈ S、 对于generalX，Y∈ L∞d（F）和eρG（X（ω），ω）≥ P-a.e.ω的eρG（Y（ω），ω）∈ Ohm 我们可以找到有界序列（Xn）n∈N、 （Yn）N∈N 因此，对于n，XnX andYnY P-a.S→ ∞. 然后通过反张力ρG（Xn（ω），ω）≥ eρG（X（ω），ω）≥ eρG（Y（ω），ω）≥ 对于P-a.s，eρG（Yn（ω），ω）。因此，ρG（Xn）≥ ρG（Yn）和ρGyieldρG（X）=limn的Lebegue性质→∞ρG（Xn）≥ 画→∞ρG（Yn）=ρG（Y）。因此，ρGis风险对抗，我们应用命题3.11。因此，存在一个G条件聚集函数∧G:L∞d（F）→ L∞（F） 一元CRMηG:Im∧G→ L∞（G） ρG=ηGo ∧GandηG∧G（X）= -∧G（X）表示所有X∈ L∞d（G）。设X，Y∈ L∞d（F）这样的that∧F（X）=-ρF（X）≤ -ρF（Y）=∧F（Y）和let（Xn）n∈N S和（Yn）n∈N S是一致有界序列，例如n的XnX和YnY P-a.S→ ∞ . 同样，假设给定n的x和yn∈ N在同一部分上定义，即Xn=Pkni=1xnianian和Yn=Pkni=1xnianian。