强一致多元条件风险测度

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Strongly Consistent Multivariate Conditional Risk Measures》
---
作者：
Hannes Hoffmann, Thilo Meyer-Brandis, Gregor Svindland
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We consider families of strongly consistent multivariate conditional risk measures. We show that under strong consistency these families admit a decomposition into a conditional aggregation function and a univariate conditional risk measure as introduced Hoffmann et al. (2016). Further, in analogy to the univariate case in F\\\"ollmer (2014), we prove that under law-invariance strong consistency implies that multivariate conditional risk measures are necessarily multivariate conditional certainty equivalents.
---
中文摘要：
我们考虑强一致的多元条件风险测度族。我们表明，在强一致性条件下，这些族允许分解为条件聚集函数和一元条件风险度量，如Hoffmann et al.（2016）所述。此外，与F“ollmer（2014）中的单变量情况类似，我们证明了在法律不变性下，强一致性意味着多元条件风险度量必然是多元条件确定性等价物。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Strongly_Consistent_Multivariate_Conditional_Risk_Measures.pdf (310.55 KB)

2022-5-25 17:03:45 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Multivariate Mathematical Quantitative conditional multivariat

强一致的多元条件风险度量Hannes Ho ffmann*Thilo Meyer Brandis公司*格雷戈·斯文德兰*2018年7月18日摘要我们考虑具有强一致性多元条件风险度量的族。我们表明，在强一致性条件下，这些家族将adecomposition纳入条件聚集函数和一个单变量条件风险度量，如Ho Off mann等人（2016）所述。此外，与F¨ollmer（2014）中的单变量情况类似，我们证明了底层不变性的强一致性意味着多元条件风险度量必然是多元条件确定性等价物。关键词：多元风险度量、系统风险度量、强一致性、系统风险、法律不变性、条件确定性等价物。MSC 2010分类：91B30、91G991简介近年来多元风险度量研究ρ：L∞d（F）→ R、 （1.1）在给定的未来时间范围T内，将风险水平ρ（X）关联到随机风险因素的d维向量X=（X，…，Xd）的重要性日益增加。这里，我∞d（F）表示概率空间上d维有界随机向量的空间(Ohm, F、 P），即为了技术上的简单性，我们将分析限制在边界风险因子X上。*德国慕尼黑大学数学系，Theresienstr asse 39，80333慕尼黑。电子邮件：hannes。ho OFF公司mann@math.lmu.de，梅耶-brandis@math.lmu.de还有gregor。svindland@math.lmu.de.A确定性风险度量静态观点（1.1）的自然延伸是考虑允许在不同信息下进行风险度量的条件风险度量。条件多元风险度量是一个映射ρG:L∞d（F）→ L∞（G） ，（1.2）与d维风险因子关联的G-可测有界随机变量，其中G F是一个次σ代数。我们将ρG（X）解释为给定信息G的X风险。

在目前的文献中，条件风险度量主要是在单变量动态风险度量的框架内进行研究的，其中一个调整风险度量以响应随时间推移而显示的信息流。有关单变量dynamicrisk测度的详细概述，请读者参阅Acciaio和Penner（2011）或Tutsch（2007）。研究条件多变量风险度量的一个可能动机是将单变量风险度量扩展到多变量动态风险度量，并研究随着时间的推移出现新信息时系统风险会发生什么的问题。然而，在多变量风险度量的背景下，除了动态条件外，还出现了第二个有趣且重要的条件维度：以空间信息为条件的风险度量，以识别系统相关结构。在这种情况下，G代表子系统状态的示例信息，人们感兴趣的是以下类型的问题：如果系统处于困境，系统的总体风险会受到怎样的影响？或者，考虑到整个系统都处于困境，单个机构的风险会受到怎样的影响？在F¨ollmer（2014）和F¨ollmer及Kl¨uppelberg（2014）中，作者在单变量条件风险度量的背景下分析了这种空间条件，即所谓的空间风险度量。这些问题很重要的另一个应用领域是系统风险度量，它度量金融网络的风险。尤其是Adrian和Brunnermeier（2011）的系统性风险衡量指标CoVaR o或Acharya et a l的系统性预期短缺。

（2010）可被视为条件多变量风险度量的示例。在处理条件风险度量系列时，经常强制要求条件风险度量在信息流动方面以某种方式保持一致。特别是，在一元动态风险度量中，通常研究所谓的强一致性；c、 f.D etlefsen和Scandolo（2005）；Cheridito等人（2006年）；Cheriditoand Kupper（20-11）；Kupper和Schachermayer（200 9）；Penner（2007）。具有相应σ-代数的两个单变量条件风险测度ρGandρhw H F称为强一致if，对于所有X，Y∈ L∞（F） ρH（X）≤ ρH（Y）==> ρG（X）≤ ρG（Y），（1.3）即强一致性表明，如果给定信息h，Y的风险高于X，那么该风险偏好在信息较少的情况下也成立。本文旨在研究多变量条件风险测度的强一致性概念。请注意，（1.3）中强一致性的动机和解释在扩展到多重情况时仍然非常有意义。与单变量情况类似，我们因此定义了两个多变量条件风险度量ρ和ρHwithG的强一致性 H F a s in（1.3）对于L中的任何d维风险向量X和Y∞d（F）。作为第一个主要结果，我们证明了强一致多变量条件风险度量的任何家族的成员都必须满足以下条件：ρG（X）=ηG（λG（X）），（1.4），其中ηG:L∞（F）→ L∞（G） 是一个单变量条件风险度量，且∧G:L∞d（F）→ L∞（F） 是一个（有条件的）聚合函数。

这一多元条件风险度量子类对应于这样一种观点，即我们先对风险因素X进行分类，然后再评估聚合值的风险。事实上，多变量条件风险度量的许多突出例子都属于类型（1.4），例如Cont等人（2013）的传染指数或系统风险文献中Brunnermeier和Cheridito（2014）的SystRisk。Chen et al.（2013）是第一个在有限状态空间上公理化描述这种直观的多变量风险度量类型的人，Kromer et al.（2016）将其扩展到了一般Lp空间，而Hoffemann et al.（2016）研究了条件框架。我们还注意到，在Kro mer et a l.（2014）中，作者研究了风险度量随时间的一致性，如（1.4）所示。然而，他们对一致性的定义与我们的定义（1.3）不同，因为他们同时要求基础单变量风险度量和（1.4）中的聚合函数的一致性。我们在这里要求的多元条件风险度量的强一致族在单变量情况下自动满足的一个要求是，它包含一个终端风险度量ρF:L∞d（F）→ L∞（F） 信息不足F。这种终端风险度量只不过是风险X组成部分的状态聚合规则∈ L∞d（F）。在单变量情况下，如果X∈ L∞（F） ，当然不需要聚合。实际上，让终端风险度量对应于身份映射，即。

ρF=- 我们有一个单变量风险度量ρgw和G F与ρfbymonoticity非常一致，因此，这种与家族其他风险度量非常一致的终端风险度量的存在没有进一步的限制。然而，在真正多变量的情况下，在完全信息下，也有一条规则可以对维度上的风险进行聚合，这是非常简单的，并且该模型中的风险度量应该与该终端聚合规则一致。如前所述，如果是这种情况，我们会证明家族成员必然是f型（1.4）。事实上，我们表明，通过强一致性，风险度量继承了Ho ffemann等人（2016）提出的终端风险度量的一种称为风险反张力的属性。该属性是本质公理，允许类型（1.4）的分解；见定理3.12。沿着这一结果的路径，我们描述了塔特性的强一致性。众所周知，如Tutsch（2007），对于以常数（ηg（a）=-a所有a∈ L∞（G） ，强一致性（1.3）等价于以下塔的性质：ρG（X）=ρG- ρH（X）对于所有X∈ L∞（F） 。（1.5）在分析强稠度时，执行公式（1.5）通常比（1.3）更有用。然而，公式（1.5）不能以正确的方式扩展到多变量情况。首先，注意（1.5）在多变量情况下没有得到很好的定义，因为ρH（X）不是一个d维随机向量，而是一个随机数。其次，同样在单变量情况下，等效性（1.3）<=> （1.5）仅适用于归一化常数的风险度量，在货币单变量情况下，通过要求此类风险度量满足现金可加性（ηG（X+a）=ηG（X），暗示达到归一化-a） 。

对于多变量风险度量，既没有现金可加性概念的规范扩展，也不清楚这样的属性是否是可取的。因此，在第一步中，我们推导出了强一致性递归公式（1.5）的推广，该公式不一定适用于现金加性多元风险度量。事实上，在一些典型的规律性假设下，我们的研究结果之一是两个多元条件风险度量ρ和ρhw，其中GH 对于所有X，F是强一致的当且仅当∈ L∞d（F）ρG（X）=ρGf-1ρH（ρH（X））1d, （1.6）其中1d是所有条目均等于1的d维向量，f-1ρHis函数fρ与ρHgiven by fρH:L相关的（定义良好的）逆∞（H）→ L∞（H） ；α7→ ρH（α1d）。（1.7）map fρhd描述了系统的风险，其中每个组件都配备了相同数量的（H常数）现金α。注意，如果ρ是一个在常数上归一化的单变量风险度量，那么fρH=- id减去identitymap，（1.6）减为（1.5）。在这个意义上，对于多元风险度量ρH，适用于我们目的的常数归一化属性的推广是要求fρH=- id.此外，我们注意到，通过将ρH（X）：=-f-1ρHo ρH（X）。（1.8）那么ρHis是一个多变量条件风险度量，fρH=- id.在研究了一般多元条件风险测度族的强相合性之后，我们进一步给出了强相合多元条件风险测度的一个特征，它也是条件律不变的。与之前相比，我们不要求在完整信息下的风险度量保持一致，但要求在重要信息下的初始风险度量保持一致{, Ohm}.

这些研究是由F¨ollmer（20 14）获得的单变量风险度量结果引发的，其中表明，单变量、强一致性、条件、现金加性、凸性风险度量的唯一家族是条件熵风险度量家族，即条件风险度量是F r mρH（X）=的条件确定性等价物-u-1（EP[u（X）| H]），X∈ L∞（F） ，具有确定性效用函数u（x）=a+beβxor u（x）=a+bx，其中a∈ Rand b，β>0是常数。我们还注意到，Kupper和Schachermayer（2009）通过一个替代性证明，在动态风险度量的情况下显示了这种特征。在多元情况下，我们将看到，多元条件律不变条件风险度量的每个强一致族都包含ρH（X）=fρH类型的r isk度量f-1uEP【u（X）| H】, 十、∈ L∞d（F），（1.9），其中u:Rd→ R是多元效用函数，fu（x）：=u（x1d），x∈ R、 换句话说，它们可以分解为函数fρHin（1.7），应用于多元条件确定性等价物f-1uEP【u（X）| H】. 对于单变量条件确定性等价物及其动态行为的研究，我们请感兴趣的读者参考Fritt elli和Maggis（2011）。此外，我们将从（1.9）中导出分解（1.4），即根据u和fu。论文的结构在第2节中，我们介绍了我们的假设和多元条件风险度量。此外，我们给出了（1.7）中定义的函数fρ的定义和一些辅助结果。在第3节和第4节中，我们证明了上述两个强一致条件风险度量的主要结果，其中第4节研究了法律不变情况。

在整个第5节中，我们将这些结果扩展到多阶段条件风险度量的族。2本文的定义和基本结果(Ohm, F、 P）是概率空间。对于d∈ N我们用byL表示∞d（F）：={X=（X，…，Xd）：Xi∈ L∞(Ohm, F、 P）i} F-可测，P-几乎肯定（a.s.）有界随机向量的等价类空间。配备标准kXkd时为aBanach space，∞:= 最大值=1，。。。，dkXik公司∞其中kf k∞:= esssup | F |是F的上确界范数∈ L∞(Ohm, F、 P）。我们将在Rdand L上使用通常的组件方式或派生∞d（F），即x=（x，…，xd）≥ 对于x，y，y=（y，…，yd）∈ Rdif且仅当xi≥ Yi对于所有i=1，d、 和similarlyX≥ Y当且仅当Xi≥ YiP-a.s.所有i=1。。。，d、 此外，1D和0D分别注意其条目均等于1或均等于0的d维向量。定义2.1。让G F、 条件风险度量（CRM）是ρG:L的函数∞d（F）→ L∞（G） ，具有以下性质：i）存在零风险头寸，即0∈ ImρG.ii）严格反张力：X≥ Y和P（X>Y）>0表示ρG（X）≤ ρG（Y）和PρG（X）<ρG（Y）> 0.iii）G-位置：对于所有A∈ G我们有ρG（XA+YAC）=ρG（X）A+ρG（Y）AC.iv）勒贝格性质：If（Xn）n∈N L∞d（F）是k·kd，∞-有界序列使得Xn→ X P-a.s.，则ρG（X）=limn→∞ρG（Xn）P-a。s、 我们注意到，定义2.1中的特性是条件风险度量文献中的标准。请注意，文献中有时也认为严格的反例性具有很强的敏感性。为了强调维度，我们通常将术语单变量条件风险度量用于定义2.1中定义的条件风险度量，d=1，我们通常用ηG表示。对于d>1，风险度量ρGof定义2.1称为多变量条件风险度量。单变量CRM的标准假设是现金可加性，即。

ηG（X+α）=ηG（X）- α代表所有α∈ L∞（G） ，这尤其意味着我们假设了风险度量ηGon（G）-常数α的某种行为∈ L∞（G） 这对一致性的研究很有帮助。由于我们不需要该属性-鉴于多元模拟很难确定，要求可能也不合理-我们将不得不以以下方式提取CRM onconstants的行为。定义2.2。对于每个CRMρGwe，引入函数ρG:L∞（G）→ L∞（G） ；α7→ ρG（α1d）和相应的逆函数f-1ρG：Im fρG→ L∞（G） ；β7→ α使得fρG（α）=β。备注2.3。ρg的严格反单调性不等于反函数f-1ρGin定义2.2定义良好。确实让β∈ Im fρGandα，α∈L∞（G） 使得fρG（α）=β=fρG（α）。假设P（A）>0，其中：={α>α}∈ G、 然后通过严格的反张性和G-局域性，我们得到βA+ρG（0d）AC=ρG（αd）A+ρG（0d）AC=ρG（αdA）≤ ρG（αdA）=ρG（αd）A+ρG（0d）AC=βA+ρG（0d）AC，该不等式对正概率严格，这是一个矛盾。因此，P（α>α）=0。对于{α<α}的相同论点产生α=αP-a.s。接下来，我们将证明ρg的性质转移到fρ和f-1ρG.自f域起-1ρg可能只是L的子集∞（G） ，我们需要调整f的Lebesgue属性的定义-1ρg按以下方式计算：If（βn）n∈N Im fρGis由某个β、β上下界的序列∈ Im fρG，即β≤ βn≤ 所有n的β∈ N、 这样βN→ βP-a.s.，然后f-1ρG（βn）→ f-1ρG（β）P-a.s.请注意，如果doma中的∞（G） 。fρGor f的“严格反单调性”和“局部性”性质-1ρGare定义类似于定义2.1（ii）和（iii）。引理2.4。设fρ和f-1定义2.2中的ρGbe。