强一致多元条件风险测度

在命题5.9的情况下，如果aT，T=1，bH，T，T=0，则所有H T∩ t此处H∈ I和T，T∈ 一、 如果ρT，则皮重为所有T的标准常数∈ 一、 然后（ρH，T）（H，T）∈Esatis fiesρH，T（X）=-f-1小时EP【uT（X）| H】, 十、∈ L∞d（T）。（5.3）证明。如果所有H的aT，T=1和bH，T，T=0 T∩ T、 那么ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨EP【uT（X）| H】,因此，通过选择T=H，并且由于ρH，His no r对我们得到的常数进行了计算（5.3）。接下来，我们准备命题5.9的证明：引理5.11。让u：Rd→ R是确定性效用，即u是严格递增的连续的，设G和H是F的s次σ-代数，使得G H、 然后内普[u（L∞d（H））| G]=u（L∞d（G））。“证明。””: 显而易见。””: 确定CRMρG:L∞d（H）→ L∞（G） ；X 7→-EP[u（X）| G]。引理2.5表示EP[u（L∞d（H））| G]=-ρG（L∞d（H））=-fρG（L∞（G） ）=EP[u（L∞（G） 1d）| G] EP[u（L∞d（G））| G]=u（L∞d（G））。引理5.12。对于任意T∈ 我让uT：Rd→ R为确定性效用，定义XH：=uT（L∞d（H））所有H∈ E（T）。此外，让pH:XH→ L∞（H） 是这样的函数，即pHis H-local、严格的isotone和Full fills the Lebesgue属性。如果所有G、H∈ E（T）带G H和H原子l e ss表示所有F的Pg（EP[F | G]）=EP[pH（F）| G]∈ XH，（5.4）thenpH（F）=aF+βH，其中a∈ R+\\{0}和βH∈ L∞（H） 因此，EP[βH | G]=βG。注意，（5.4）由引理5.11很好地定义。证据首先，我们考虑G是平凡σ-代数的情况。我们写：=p{Ohm,}. 注意，由于p是一个确定性函数，p（EP[F]）是法律不变性的，因此（5.4）也是EP[pH（F）]。现在假设存在x，y∈ X：=X{Ohm,}pH值（x）- pH（y）6∈ R、 即存在一个c∈ R使得P（pH（x）≤ pH（y）+c）∈ （0，1）。

因为H是无原子空间，我们可以选择A，A，A∈ H，其中P（A）=P（A）：=q>0，使得A {pH（x）≤ pH（y）+c}，A {pH（x）>pH（y）+c}，A：=（A∪ A） C.此外，我们定义：=xA+yA+xA和F：=yA+xA+xA。显然是F，F~ qδy+（1-q） δx，即Fd=F。然而，由于pHis H-局部，我们有EP[pH（F）]+cq=EP[pH（x）A]+EP[（pH（y）+c）A]+EP[pH（x）A]<EP[（pH（y）+c）A]+EP[pH（x）A]+EP[pH（x）A]=EP[pH（F）]+cq，这与F 7的定律不变性相矛盾→ EP[pH（F）]。因此我们得到了pH（x）- pH（y）∈ R代表所有x，y∈ 十、选择arbitraryex∈ X和leta（X）：=pH（X）- pH（ex），x∈ 所以a:X→ R、 定义βH：=pH（ex）∈ L∞（H） ，则pH（x）=a（x）+eβH。函数a是连续的，否则将存在序列（xn）n∈NX带xn→ x个∈ X，但a（xn）6→ a（x）和Lebesgue性质意味着矛盾ph（x）=limn→∞pH（xn）=limn→∞a（xn）+eβH6=a（x）+eβH=pH（x）。让F∈ XH。由于H-可测简单随机向量在L中是稠密的∞d（H），通过xh的定义，存在一系列H-可测单变量（Fn）n∈N XH公司∩ S，Fn=Pkni=1xniAni→ F P-a.s.ThuspH（F）=limn→∞pH（Fn）=limn→∞knXi=1pH（xni）Ani=limn→∞knXi=1a（xni）Ani+eβH=limn→∞aknXi=1xniAni+eβH=limn→∞a（Fn）+eβH=a（F）+eβH。函数XH F 7级→ EP[F]在M上诱导偏好关系：={u：F∈ xH使F~ u}通过u<ν<==> EP【F】≥ EP【G】，F~ u，G~ ν。此外，函数x 7→ p-1（x+E[EβH]）严格增加，且（5.4）EP[F]=p-1（EP[pH（F）]）=p-1.EP【a（F）】+EeβH.因此，EP[a（F）]是<的另一个有效数值表示。众所周知，<的一个数值表示在正a ffinetransformation之前是唯一的（参见F¨ollmer and Schied（2011）定理2.21），即存在▄a，b∈ R、 a>0，使EP[a（F）]=(R)aEP[F]+b，用于所有F∈ XH。

特别是这意味着对于所有x∈ Xa（x）=EP[a（x）]=aEP[x]+b=~ax+b。通过设置b+eβH=：βH∈ L∞（H） 我们得到所有F∈ XHthatpH（F）=a（F）+eβH=～aF+b+eβH=～aF+βH。最后，我们通过（5.4）得出每G 所有F的H和F∈ XGpG（F）=pG（EP[F | G]）=EP[pH（F）| G]=aF+EP[βH | G]，这证明了（βG）G的鞅性质 H、 命题5.9的证明：Let（ρH，T）（H，T）∈Ebe是一个非常一致的家族，如（5.2）适用于所有人（H，T）∈ E、 即ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨EP【uT（X）| H】, 对于所有X∈ L∞d（T），我们定义了函数shh，T:uT（L∞d（H））→ L∞（H） ；F 7级→ fρH，To f-1uT（F）和PH，T，T:uT（L∞d（H））→ L∞（H） ；F 7级→ h类-1H，To hH，T（F）。通过强一致性，我们可以获得G H T∩ T、 X个∈ L∞d（T）和F：=EP[uT（X）| H]thatpG，T，T（EP[F | G]）=H-1G，ThG，TEP【EP【uT（X）| H】| G】= h类-1G，T（ρG，T（X））=h-1G，TρG，Tf-1ρH，TρH，T（X）d= EP公司h类-1H，ThH，TEP【uT（X）| H】G= EP[pH，T，T（F）| G]。（5.5）引理5.12（5.5）已满，当且仅当ifpH，T，T（F）=aT，TF+bH，T，T，T，对于所有F∈ uT（L∞d（H）），其中aT，T∈ R+\\{0}，bH，T，T∈ L∞（H） 和EP【bH，T，T | G】=所有G的bG，T，T∈ I带G H、 ThushH，T（F）=hH，T（aT，TF+bH，T，T），F∈ uT（L∞d（H）），这意味着ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨aT，TEP【uT（X）| H】+bH，T，T.参考Sacciaio，B.和I.Penner（2011年）。动态风险度量。在J.Di Nunno和B中。Oksendal（编辑），《金融高级数学方法》，第1章。，第11-44页。斯普林格。Acharya，V.、L.Pedersen、T.Philippon和M.Richardson（2010年）。衡量系统风险。SSRN 1573171提供。Adrian，T.和M.K.Brunnermeier（2011年）。科瓦尔。国家经济研究局技术报告。Brunnermeier，M.K.和P.Cheridito（2014年）。衡量和分配系统风险。SSRN 2372472提供。Chen，C.、G.Iyengar和C.C.Moallemi（2013年）。系统风险的公理化方法。管理科学59（6），1373–1388。Cheridito、P.、F.Delbaen和M。

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