强一致多元条件风险测度

通过ρFit的F-局部性和反单调性，可以得出∈ NknXi=1ρF（xni）Ani≥ ρF（X）≥ ρF（Y）≥knXi=1ρF（yni）Ani。作为f-1ρFoρF（xni）和F-1ρFo根据假设（3.6），ρF（yni）是实数，如上计算所示，F-1ρFo ρF（xni）≤ f-1ρFo ρF（yni）在Ani上，我们得到，如上所述-1ρFo ρF（xni）≤ f-1ρFo ρF（yni），i=1，千牛。Nowstrong一致性和（3.3）意味着-∧G（xni）=ρG（xni）=ρG（f-1ρFo ρF（xni））≥ ρG（f-1ρFo ρF（yni））=ρG（yni）=-∧G（yni），因此通过∧G∧G（Xn）=knXi=1∧G（xni）Ani的G-局部性≤knXi=1∧G（yni）Ani=∧G（Yn）。最后，我们用L-ebesgue性质得出结论：∧G（X）=limn→∞∧G（Xn）≤ 画→∞∧G（Yn）=∧G（Y）。备注3.13。从引理3.9可知，反函数f-1∧Gof∧吉西索通且∧G（X）=∧Gf-1∧G∧G（X））1d对于所有X∈ L∞d（F）。因此，可以如引理3.2所示，（3.8）相当于tof-1∧G∧G（X）= f-1∧F∧F（X）, 对于所有X∈ L∞d（F）。注意，我们无法编写上述两个CRMρ和ρFas的强一致性的递归形式，因为fρGis仅定义在L上∞（G） 而不是在L上∞（F） 与F∧G相反，在以下定理中，我们总结了我们从CRMs上的命题3.11和定理3.12得出的结论，这扩展了Hoffemann等人（2016）的结果，以获得强一致性：定理3.14。如果ρG:L∞d（F）→ L∞（G） 是一个连续实现ρG（·，·）且满足-1ρGo ρG（x）∈ R代表所有x∈ Rd，则以下三种说法是等价的（i）ρG（·，·）是风险-反酮；（ii）ρGis可分解，如（3.7）所示；（iii）具有某种聚集函数∧：L的ρGis stron-gly-con s i支架∞d（F）→L∞（F） ，即{ρG，-∧}是强一致的。证据定理3.12显示了（ii）和（iii）的等价性，（i）意味着（ii）遵循Pro位置3.11。

最后，定理3.12的证明表明（iii）意味着（i）。4条件定律不变性和强一致性在上一节中，如果没有另外说明，在本节中，G和H是F的两个子σ-代数，使得G H、 设ρG:L∞d（F）→L∞（G） 和ρH:L∞d（F）→ L∞（H） 是相应的CRM。定义4.1。当X，Y的G-条件分布uX（·| G）和uY（·| G）时，如果ρG（X）=ρG（Y），则CRMρGis条件定律不变∈ L∞d（F）相等，即如果P（X∈ A | G）=P（Y∈ A | G）适用于所有钻孔∈ B（Rd）。如果G={, Ohm} 是平凡的，ρGis的条件律不变性也参考了aslaw不变性。在定律不变的情况下，我们通常需要对基本概率空间进行更多的正则化(Ohm, F、 P）：定义4.2。我们这么说(Ohm, F、 P）无原子，如果(Ohm, F、 P）支持连续分布的随机om变量；条件无原子给定H F、 如果(Ohm, F、 P）支持一个连续分布的随机变量，该随机变量依赖于H。下一个引理表明，条件律不变性通过强一致性从ρG（前向）传递到ρhb。该证明基于F¨ollmer（2014）。引理4.3。如果{ρG，ρH}是强相合的且ρGis是条件律不变的，那么ρHis也是条件律不变的。证据设X，Y∈ L∞（F） 使得uX（·| H）=uY（·| H），并让A：={ρH（X）>ρH（Y）}∈ H、 然后，随机变量XA和YA具有与给定G相同的条件分布，与ρG中的ρHwe obta具有条件律不变性，并且与ρG中的ρHwe obta强一致f-1ρHρH（X）A+ρH（0d）ACd= ρG（XA）=ρG（YA）=ρGf-1ρHρH（Y）A+ρH（0d）ACd.另一方面，通过ρGand f的严格反单调性-1ρHρGf-1ρHρH（X）A+ρH（0d）ACd≥ ρGf-1ρHρH（Y）A+ρH（0d）ACd,当P（A）>0时，该不等式对正概率是严格的。

因此，A必须是P-空集，并且在定义A时交换X和Y表明ρH（X）=ρH（Y）。虽然在定理3.12中，我们必须要求强一致对{ρG，ρH}满足H=F，但在本节中，我们在某种意义上要求相反的极端，即G={, Ohm} 当H F、 假设1。对于本节的其余部分，我们假设G={, Ohm}. 对于隐式，我们将写出ρ：=ρG=ρ{,Ohm}.引理4.4。设{ρ，ρH}是强相合的，并假设ρ是定律不变的（因此ρHis的条件l是引理4.3的w-不变）。如果(Ohm, H、 P）是无原子概率空间，X∈ L∞d（F）是H的独立项，thenf-1ρHρH（X）= f-1ρρ（X）.引理4.4的证明改编自Kupper和Schachermayer（2009）。证据我们区分三种情况：o假设f-1ρHρH（X）≤ f-1ρρ（X）严格地说，更小，具有正可能性。然后通过强稠度f-1ρρ（X）= f-1ρρf-1ρHρH（X）d< f-1ρρf-1ρρ（X）d= f-1ρρ（X）,ρ的严格反单调性，这是一个矛盾类似地，它得出结论，f不可能-1ρHρH（X）≥ f-1ρρ（X）和P（f-1ρHρH（X）> f-1ρρ（X）) > 0.o存在A、B∈ H使得P（A）=P（B）>0和f-1ρHρH（X）> f-1ρρ（X）在A和f上-1ρHρH（X）< f-1ρρ（X）在B上，我们得到了a n的任意m=a1dwhere a∈ R t hatρ（XA+mAC）=ρf-1ρHρH（XA+mAC）d= ρf-1ρHρH（X）Ad+mAC< ρf-1ρρ（X）Ad+mAC（4.1）和类似的ρ（XB+mBC）>ρf-1ρρ（X）Bd+mBC. （4.2）然而，由于X与H无关，随机向量XA+mAC在P下的分布与XB+mBC相同。请注意，还有f-1ρρ（X）A+aAC和f-1ρρ（X）B+aBC在P下具有相同的分布。因此，由于ρ是定律不变的，（4.1）和（4.2）产生矛盾。现在，我们可以将F¨ollmer（2014）的表示结果扩展到多变量CRM。定理4.5。让(Ohm, H、 P）无原子，让(Ohm, F、 P）在给定H的条件下无原子。

假设ρi s定律不变。那么，{ρ，ρH}是强相合的i f，并且只有当ρ和ρ的形式ρ（X）=gf-1uEP【u（X）】对于所有X∈ L∞d（F）（4.3）和ρH（X）=gHf-1uEP【u（X）| H】对于所有X∈ L∞d（F）（4.4），其中u:Rd→ R严格递增且连续，f-1u：Im fu→ R是U的反向函数：R→ Rx 7→ u（x1d）和g:R→ R和gH:L∞（H）→ L∞（H） 一个完全相反的完整Lebesgue属性，0∈ Im g公司∩ Im gH和gHis H-本地。特别是，对于任何类型（4.3）（或（4.4））的CRM，我们有g=fρ（gH=fρH），其中fρ和fρ在定义2.2中定义。通用函数u:Rd→ （4.3）和（4.4）中出现的R可以看作是一个多效用，其中u严格增加意味着x，y∈ Rdwithx≥ y和x 6=y表示u（x）>u（y）。So f-1uEP【u（·）】和f-1uEP【u（·）| H】是（有条件的）确定性等价物——在单变量情况下（d=1），我们显然有f-1u=u-因此，如果ρ和/或ρHin定理4.5在常数上归一化（因此fρ≡ - id或fρH≡ - id），然后ρ和/或ρHequal（负）确定等价。但（4.3）和（4.4）也包括其他重要的风险度量类别。例如，如果fρ=-f或fρH=-fu，则ρH（X）=-EP[u（X）]是一个多元期望效用，而ρH（X）=-EP[u（X）| H]是一个多元条件期望效用。证据对于定理的最后一个断言，请注意，由于u是一个确定性函数，我们有α∈ L∞（H） thatfρH（α）=ρH（α1d）=gHf-1uEP[u（α1d）| H]= 生长激素f-1ufu（α）= gH（α）并分析得出fρ≡ g、 接下来，我们证明定理的第一个陈述的有效性：设ρHandρ如（4.4）和（4.3）所示。很容易验证ρ和ρ是（有条件的）法律不变的标准差分格式。

此外，由于f-1是严格递增的，GH是严格的antitone和H-local，我们对每个X，Y∈ L∞d（F）和ρH（X）≥ ρH（Y）thatEP[u（X）| H]≤ EP[u（Y）| H]。但这意味着EP[u（X）]≤ EP【u（Y）】，因此ρ（X）≥ ρ（Y），即{ρ，ρH}是强一致的。现在，我们在定理的第一个陈述中证明了必要性：我们在下面假设ρ和ρHare在常数上标准化，并遵循F¨ollmer（2014）定理3.4的方法。这个想法是引入一个优先顺序 关于多变量分布u，νon（Rd，B（Rd）），有界支撑由u给出 ν<==> ρ（X）>ρ（Y），带X~ u和Y~ ν。这里B（Rd）表示rdx上的Borelσ代数~ u表示X的分布∈ L∞P下的d（F）为u。众所周知，如果这个优先顺序完全满足一组条件，那么就存在一个冯·诺依曼-摩根斯坦表示，即u ν<==>Zu（x）u（dx）<Zu（x）ν（dx），（4.5），其中u:Rd→ R是一个连续函数。保证（4.5）的充分条件是 是连续的，完全符合独立公理；参见F¨ollmerand Schied（2011）Coro llary 2.28。我们参考F¨ollmer和Schied（2011）对优先顺序和上述属性的定义和全面讨论。假设我们已经证明了（4.5）。注意，ρ的严格反张性意味着δx δy任何时候x，y∈ RDX满足≥ yand x 6=y。

因此，u（x）=Ru（s）δx（ds）>Ru（s）δy（ds）=u（y），我们得出结论，u必然如所声称的那样严格增加。现在我们证明（4.5）：连续性的证明 完全符合F¨ollmer（2014）定理3.4中的相应证明，因此我们在此省略它。关键特性是独立性公理，该公理指出，对于任意三个分布u，ν，θ，u ν和所有λ∈ （0，1），我们有λu+（1- λ） θ λν+（1- λ） θ。自(Ohm, F、 P）无条件无原子给定H，我们可以找到X，Y，Z∈ L∞d（F）独立于H，因此X~ u，Y~ ν和Z~ θ。此外，由于(Ohm, H、 P）无原子，我们可以找到A∈ H，P（A）=λ。很容易看出XA+ZAC~ λu+（1-λ） θ和YA+ZAC~ λν+（1-λ） θ。此外，由于u ν、 我们有ρ（X）≥ ρ（Y）。由于{ρ，ρH}是强相合的，并且ρ是定律不变的，我们从引理4.3知道ρHis条件定律不变。这确保了我们可以将引理4.4应用于独立于H的Random向量X和Y。因此，通过H-ρ的局部性，手动重新校准标记3.4ρ（XA+ZAC）=ρ(-ρH（XA+ZAC）1d）=ρ(-ρH（X）Ad- ρH（Z）ACd）=ρ(-ρ（X）Ad- ρH（Z）AC 1d）≥ ρ(-ρ（Y）Ad- ρH（Z）AC 1d）=ρ（YA+ZAC），相当于λu+（1- λ） θ λν+（1- λ） θ。因此，存在具有连续且严格递增效用函数u:Rd的avon Neumann-Morgenstern代表（4.5）→ R、 在下一步中，我们定义fu:R→ Rx 7→ u（x1d）。那么fu是严格递增且连续的，因此f-1存在。设u是（Rd，B（Rd））上有界支撑a和X的一个径向分布~ u。

然后ρkXkd，∞d≤ ρ（X）≤ ρ- kXkd，∞d和hencefu(-kXkd，∞) =Zu（x）δ-kXkd，∞d（dx）≤Zu（x）u（dx）≤Zu（x）δkXkd，∞d（dx）=fu（kXkd，∞).中间值定理现在意味着常数c（u）的存在∈ Rsuch thatfu公司c（u）=Zu（x）u（dx）<==> c（u）=f-1uZu（x）u（dx）.最后，由于δc（u）1d≈ u，我们有ρ（X）=ρc（u）1d= -c（u）=-f-1uZu（x）u（dx）= -f-1uEP【u（X）】.因此，我们证明了（4.3）（用g≡ - id）。定义ψH（X）：=-f-1uEP【u（X）| H】, 十、∈ L∞d（F），那么我们在证明的第一部分中看到，ψHis是一个与ρ非常一致的CRM。此外，ψHis在常数上归一化。因此，引理3.5得出ρH=ψH。如果ρ和/或ρ没有标准化的常变量，则考虑标准化的CRM-f-1ρo ρ和-f-1ρHo 定义2.6后引入ρ，结果如下ρ=fρo- (-f-1ρo ρ）ρH=fρHo- (-f-1ρHo ρH）, i、 例如，g=fρ，gH=fρH。回忆定理3。12其中，我们证明，如果多元CRMρhis以前瞻性的方式与聚合ρFunder fullinformation F（和ρFful fills（3.6））强一致，则多元CRM可以如（3.7）所示进行分解。下面的定理4.6表明，通过要求ρHin的强一致性（向后看）与ρ给定的平凡信息，我们还可以在定律不变性下获得这样的adecomposition（3.7{, Ohm}.当陈述定理4.6时，我们需要fρHto L的一个推广∞（F） ：假设进程R a 7→ fρH（a）允许连续实现。由于ρHis严格是一个整体和H-局部的事实，我们可以找到ρH（·，·）的一个可能的微分，使得efρH:R×Ohm → R：x 7→ 对于所有ω，fρH（x，ω）在第一个参数中是连续且严格递减的∈ Ohm. 请注意，存在一个定义完整的反转EEF-对于所有ω，fρH（·，ω）的1ρH（·，ω）∈ Ohm.

现在定义函数fρH:L∞（F）→ L∞（F） ；F 7级→efρH（F（ω），ω）（4.6）和'F-1ρH:Im'fρH→ L∞（F） ；F 7级→ef公司-1ρH（F（ω），ω），其中我们使用标准的滥用符号识别随机变量FρH（F（ω），ω）oref-1ρH（F（ω），ω）及其在L中生成的等价类∞（F） 。通过构造“fρhw”，我们得到了“fρH（L∞（J）） L∞（J）对于所有σ-代数J，使得σ（fρH（a，·），a∈ R） J F、 c.F.Ho Off mann等人（2016）引理3.1。通过定义，fρHis也是f-局部的，并且由于R的连续性，具有勒贝格性质 a 7→efρH（a，ω）。此外，H-局部性和连续性也意味着，对于所有X，fρH（X）=fρH（X∈ H（simplerandom变量近似），因此'fρHis确实是fρHto L的扩展∞（F） 。定理4.6。在与定理4.5相同的条件下，让{ρ，ρH}最好地一致。那么ρ可以分解为ρ=ηo ∧，其中∧：L∞d（F）→ L∞（F） ；X 7→ -fρf-1u（u（X））是一个{ , Ohm}-条件聚集函数，η：Im∧→ RF 7级→ -U-1（EP[U（F）]）是由（确定性）效用U:Imρ给出的la-w-不变单变量确定性等价物→ Ra 7→ 傅f-1ρ(-（a）这是严格地递增和连续的。

此处u:Rd→ R是定理4.5中的多变量函数。如果函数R a 7→ fρH（a）具有连续实现，则ρH可分解为ρH=ηHo ∧H，ηH（λH（X））=-∧H（X），对于所有X∈ L∞d（H），其中∧H:L∞d（F）→ L∞（F） ；X 7→ -\'fρH（f-1u（u（X）））是σ（fρH（a，·）：a∈ R） 条件聚集函数（fρH（a，·）表示严格递增路径中的连续实现）；oηH:Im∧H→ L∞（H） ；F 7级→ -U-1H（EP[UH（F）| H）]是一个单变量条件确定性等价物；o随机效用UH:Im∧H→ L∞（F） ；F 7级→ 傅\'\'f-1ρH(-F）isstrictly isotone，F-local，ful fill s Lebesgue property and U-1H（Im UH∩L∞（H） （） L∞（H） （4.6）中给出了fρHis。而且，它是这样的o ∧H=u=uo ∧（4.7）是确定性的，与所选信息H或{Ohm, }.最后我们不得不-1∧Ho ∧H=f-1uo u=f-1∧o 如（3.8）所述，∧，即∧，H}是强一致的。证据根据定理4.5，我们得到ρH（X）=fρHf-1u（EP[u（X）| H]）=\'fρHf-1uEP公司傅\'\'f-1ρH\'fρHf-1u（u（X））H,其中u和fu在定理4.5中给出。因此，回顾UH、ηH和∧H的定义，我们得到ρH=ηHo∧H。可以很容易地看出Uh和U-1H，因此也是∧H，是F-局部的，严格的等距，完全符合勒贝格性质。As'fρH（L∞（J）） L∞（J）对于所有σ-代数J，使得σ（fρH（a，ω）：a∈ R）J F、 这同样适用于∧H=-\'fρHo f-1uo 我们得出结论∧His aσ（fρH（a，ω）：a∈ R） -条件聚合函数。

此外，forX∈ L∞d（H）ηH（∧H（X））=(R)fρHf-1u（u（X））= -U-1小时u（X）= -∧H（X）。ρ的结果类似于上述证明，无需连续实现，并使用fρ从R到L的正则扩展∞d（F），即“Fρ（F）（ω）=Fρ（F（ω）），对于所有ω∈ Ohm 和F∈ L∞（F） 。我们注意到（4.7）是确保ρ和ρ长期一致和（有条件）定律不变的关键事实。在定理4.6中，我们已经看到，在平凡信息下与定律不变CRM强一致的每个CRM基本上都可以分解为条件聚集函数和一元条件确定等价。在本节的其余部分中，我们将研究CRM的附加属性对这种分解的影响。例如，我们想确定一元条件确定性等价物由确定性（而非随机）效用函数生成的条件；见推论4.7。此外，我们还研究了如果定理4.6中的单变量e标准差η和ηh要求强一致，会发生什么情况；见推论4.9。推论4.7。在定理4.6的情况下，如果ρ在常数上归一化，则∧（X）=f-1u（u（X）），X∈ L∞d（F），η（F）=ρ（F 1d）=-f-1u（EP[fu（F）]），F∈ L∞（F） 。如果ρHis归一化的o n常数，则类似地∧H（X）=f-1u（u（X）），X∈ L∞d（F），ηH（F）=ρH（F 1d）=-f-1u（EP【fu（F）| H】），F∈ L∞（F） 。尤其是由确定性单变量效用函数fu给出的单变量条件确定性等价于ntηHis，因此ηHis具有条件法律不变性。如果ρ和ρHare均在常数上归一化，则∧=∧H。备注4.8。假设定理4.6中的ρ和ρh在常数a上归一化，并且对于所有F，G∈ L∞（F） ，m，λ∈ 带λ的R∈ （0，1）ρ（F 1d+m1d）=ρ（F 1d）- m（4.8）以及ρλF 1d+（1- λ） G1d公司≤ λρ（F 1d）+（1- λ） ρ（G1d）。