债务融资投资的库存增长周期

根据（4），这导致资本的以下动力学，˙KK=κ（u，πe）ν- δ（u）。（23）银行和家庭。我们假设总消费量由c=θ（ω，d）Y给出，（24）作为工资和债务比率ω和d的函数θ。这包括，例如，通常情况下，假设家庭和银行的名义消费量由收入和财富的常量部分给出，即pCh=cih【W+rmM】+cwhM，（25）pCb=cib【rD- rmM]+cwb（D- M） 。（26）在cih=cib=CIAN和cwh=cwb=cw的额外简化假设下，我们有PC=cw+cD，（27）和c=CIAN和c=cw+cir。或者，我们可以遵循[16]并假设D=MH和r=rMh，即银行净值为零，收取零中介成本（因此没有消费），在这种情况下（27）和c=CIAN和c=cwh+rcih都成立。在任何一种情况下，我们都可以看到（27）是（24）的一个例子，其中θ（ω，d）=cω+cd，（28）对于非负常数cd和c。然后，我们发现名义需求由PyD=pC+pIk=pθ（ω，d）Y+pκ（u，πe）νK给出，（29），从中我们可以得到辅助变量yd=yd（ω，d，ye，u）=YdY=θ（ω，d）+κ（u，πe）u。（30）价格和工资动态。对于价格动态，我们假设长期均衡价格由恒定加价m给出≥ 1倍单位人工成本c，而观察价格通过滞后调整（速度ηp>0）收敛于此。将调整速度ηq>0的第二个组件添加到该动态中，以考虑有关库存量计划外变化的短期考虑因素：˙pp=ηpmcp- 1.- ηqYe- YdY=ηp（mω- 1） +ηq（yd- ye）：=i（ω，yd，ye）。（31）对于常数0，我们假设工资率w遵循˙ww=Φ（λ）+γ˙pp，（32）≤ γ≤ 该假设指出，工人根据劳动力市场的当前状态讨价还价，但也考虑了观察到的通货膨胀率。

常数γ表示货币幻觉的程度，γ=1对应于工人在谈判中完全融入通货膨胀的情况。3、主要动力系统结合（20）和（21），我们看到输出由y=Ye+Ip给出=fd（ge（u，πe）+ηd）+1Ye公司- ηdV，（33），因此库存与产出比v由v=VY=[1+fd（ge（u，πe）+ηd）]ye给出- 1ηd.（34）微分（33）并使用（19）和（6），我们得到以下输出˙YY的动力学=fd（ge（u，πe）+ηd）+1yege（u，πe）+ηe（yd- ye）+ ηd（yd- 1） =：g（u，πe，yd，ye）（35）工资份额ω=w/（pa）的动力学如下（32）和（31）：˙ω=˙ww-˙aa-˙pp=Φ（λ）- α- （1）- γ） i（ω，yd，ye），（36），其中通货膨胀率在（31）中定义。对于就业率λ=Y/（aN），我们使用（35）和（10）获得˙λλ=˙YY-˙aa-˙NN=g（u，πe，yd，ye）- α- β。（37）对于债务比率d=d/（pY），使用（13）中的债务变化表达式，我们发现˙dd=˙dd-˙pp-˙YY#=“pIk+c˙V- （Yn）- W- rD）D#- i（ω，yd，ye）- g（u，πe，yd，ye）=“W+rD- pC）D#- i（ω，yd，ye）- g（u，πe，yd，ye）=“ω+rd- θ（ω，d））d#- i（ω，yd，ye）- g（u，πe，yd，ye）。（38）同样，对于预期销售比率ye=ye/Y，我们使用（19）获得˙yeye=˙yeye-˙YY=ge（u，πe）+ηEyde- 1.- g（u，πe，yd，ye）。（39）最后，对于容量利用率u=νY/K，使用（23）我们发现˙uu=˙YY-˙KK=g（u，πe，yd，ye）-κ（u，πe）ν+δ（u）。

（40）由于（30）中的ydis表示为（ω，d，πe，u）的函数，而（18）中的πeis表示为（ω，d，ye）的函数，因此我们可以看到，模型可以完全由满足以下常微分方程组的状态变量（ω，λ，d，ye，u）来表征：˙ω=ωΦ(λ) - α- （1）- γ） i（ω，yd，ye）˙λ=λg（u，πe，yd，ye）- α- β˙d=dr- g（u，πe，yd，ye）- i（ω，yd，ye）+ ω- θ（ω，d）˙ye=yege（u，πe）- g（u，πe，yd，ye）+ ηe（yd- ye）˙u=uhg（u，πe，yd，ye）-κ（u，πe）ν+δ（u）i（41），其中i（ω，yd，ye）由（31）给出，g（u，πe，yd，ye）由（35）给出。为了获得内部平衡点（ω，λ，d，ye，u），观察（41）中的第二个方程要求g（u，πe，yd，ye）=α+β，（42），当插入第四个方程时，会导致yd=yeandge（u，πe）=α+β（43）处于平衡状态。因此，在（35）中使用这个和（42）给出了syd=ye=1+（α+β）fd。（44）在（34）中插入（44）意味着v=fdye，因此库存的平衡水平为所需水平Vd=fdye。将yd=yeinto（31）替换为formi（ω，yd，ye）=i（ω）=ηp（mω）的平衡- 1） ，（45）也就是说，没有任何库存影响。使用（41）中的第三个等式，我们可以看到平衡满足条件下的债务比率=ω- θ（ω，d）α+β+i（ω）- r、 （46）转到（41）中的最后一个等式，我们得出平衡时的投资函数满足κ（πe，u）=ν[α+β+δ（u）]，（47），可插入（30）中，以得出平衡容量利用率，作为解tou=ν[α+β+δ（u）]（1+（α+β）fd）1- θ（ω，d）（1+（α+β）fd）。（48）然后我们可以通过求解（46）-（47）得到（ω，d）的值，π由（18）定义。最后，回到（41）中的方程式，我们通过求解Φ（λ）=α+（1）找到均衡就业率- γ） i（ω）。

（49）因此，我们看到内部平衡的存在和唯一性取决于函数κ和θ的性质，这需要在模型的具体实现中得到证实。综上所述，（41）的内部均衡的特征是产出的恒定增长率等于α+β，产能利用率恒定，预期销售额等于需求，库存水平等于预期销售额的恒定比例。然而，目前的模式非常复杂。除了三个行为功能外，它还需要至少十四个参数的规范。对其他可能平衡点的探索相当复杂，任何局部稳定性分析都将是一项繁琐而非直观的工作。为了建立对系统的直觉，我们遵循考虑低维子系统的策略，这些低维子系统在模型参数和行为函数的某些限制情况下出现。我们从一些与文献中已知模型相对应的特殊案例开始。3.1。Goodwin模型（41）最简单的特例由[8]中提出的模型组成。原始的古德温模型是按实数计算的，我们可以通过设置ηp=ηq=γ=0来轻松复制，这意味着通货膨胀率为零，设置p=1。它也没有提及库存，因此隐含地假设产出等于需求。我们可以通过假设fd=ηd=0，从上一节的一般模型中恢复这一点，这意味着没有期望的库存水平（Vd=0）或计划的库存投资（Ip=0），ηe→ ∞, 这意味着企业对需求有完美的预测，并始终将Ye=Yd=Y。此外，Goodwin采用恒定的资本产出比，我们可以通过设置u=1来恢复该比率。

最后，尽管[8]中没有明确提及，但我们对古德温模型采用了一个恒定的折旧率δ（u）=δ>0。古德温模型关于企业行为的唯一明确假设是投资与利润相等，在目前的情况下，这对应于κ（u，πe）=πe=1- ω- rd，因为ye=ye/Y=1 in（18）。该模型对银行也保持沉默，但它遵循上述（13）和投资规则（回顾˙V=0），即˙D=0，因此为简单起见，我们假设D=D=0。或者，我们可以采用任意恒定的债务水平D，观察到在经济增长中，D=D/Y→ 关于家庭，【8】中的假设是所有工资都被消费，即（25）中的cih=c=1。为了一致性，我们设置了c=r，即使当D=0时这并不相关。对于增长率，我们不能再通过简单的微分（33）来获得它，因为（19）在极限情况ηe中退化→ ∞. 相反，由于u=1，我们可以使用Y=Kν的事实来获得˙YY=˙KK=1- ων- δ。（50）通过这些参数选择，系统（41）简化为熟悉的形式（˙ω=ω[Φ（λ））- α] ˙λ=λh1-ων- α- β- δi，（51）例如在[9]中讨论过。（51）的解是围绕非双曲平衡点ω=1的闭合周期轨道- ν（α+β+γ），λ=Φ-1（α），（52），我们分别将其视为（47）和（49）的特例。3.2。Franke模型如第1节所述，我们提出的库存动态与[6]中形式化的Metzlerian模型密切相关。

Franke模型也是以实数形式表述的，因此我们保留了上一节中的ηp=ηq=γ=0和p=1的选择，并通过将所有变量除以K而不是Y来对其进行规范化，从而得到目的变量suf：=Y/K=u/ν，zF：=Ye/K=yeuF，vF=：V/K=vuF。至关重要的是，[6]中的模型隐含地假设了一个恒定的工资份额ω（例如，见第246页脚注9），因此（41）中的第一个方程只是˙ω=0。然后，（41）中的第二个方程与系统的其他部分解耦，并沿着解决方案路径简单地提供就业率，特别是导致均衡时的恒定就业率。与Goodwin模型一样，Franke模型也对银行保持沉默，隐含地假设企业可以通过留存利润和家庭储蓄筹集必要的投资资金，这是通过在（41）中设置˙d=0产生的。另一方面，企业的行为与本文采用的行为几乎相同，我们的方程（19）、（20）和（21）分别与[6]中的方程（7）、（2）和（3）直接对应，前提是我们将（u，πe）=α+β（53）作为预期销售额的长期增长率。对于投资函数，我们通过为递增函数h（·）设置κ（u，πe）=νh（uF），（54），恢复了[6]中的假设。关于有效需求，而不是分别对消费和投资进行建模，[6]中的假设是，超过产出的需求直接根据利用率给出，我们可以在模型中通过设置yd=e（uF）+1，（55）来重现递减函数e（·）。通过这些选择，验证（41）中的第四个和第五个方程式与VF和zFin的方程式（9）-（10）等效，平衡值为VF=fduF1+（α+β）fd=v uF，zF=uF1+（α+β）fd=yeuF。

（56）如【6】所示，如果库存调整速度η非常小，则该平衡点是局部渐近稳定的。然而，对于ηdabove某个阈值，只有当预期销售额ηeis的调整速度非常小时，才能保证局部稳定性。[6]中的主要创新在于采用可变调整速度ηd=ηd（zF），并研究其对平衡稳定性的影响。然后证明，即使在不稳定的情况下，即当ηd（zF）和ηeare都足够大，以至于平衡点是局部排斥的，只要ηd（zF）在远离平衡点的地方下降足够快，就可以实现全局稳定性。如【6】所述，平衡“局部排斥，但在状态空间的外部区域具有吸引力”，从而产生周期轨道。3.3。原始Keen模型【11】中提出的模型基于Goodwin模型关于价格下注动态（ηp=ηq=γ=0和p=1）、预期库存水平（fd=ηd=Vd=Ip=0）、预期销售额（ηe）的相同假设→ ∞ andYe=Yd=Y）、充分利用的固定资本产出比（u=1）和固定折旧率（δ（u）=δ）。该模型的创新之处在于，投资现在由κ（u，πe）=κ（πe）=κ（1）给出- ω- rd），（57），其中我们在（18）中使用了ye=ye/Y=1的事实。此外，等式Yd=Y意味着c=Yd- Ik=（1- κ（πe））Y，（58）即θ（ω，d）=1- κ（1- ω- rd）英寸（24）。换句话说，在没有价格或数量调整的情况下，总消费在模型中起着调节变量的作用。因为（19）在极限情况ηe中退化→ ∞, 我们再次使用Y=Kν而不是（33）来获得经济增长率为˙YY=˙KK=κ（πe）ν- δ。

（59）通过这些参数选择，系统（41）减少到˙ω=ω[Φ（λ）- α] ˙λ=λhκ（πe）ν- α- β- δi˙d=dhr-κ（πe）ν- δi+ω- 1+κ（πe）（60），其中πe=1- ω- 很容易看出（46），（47）和（49）减少tod=ω- 1+ν（α+β+δ）α+β- r、 κ（πe）=ν（α+β+δ），Φ（λ）=α，（61），从中我们获得了在[9]中发现的内部平衡点（ω，λ，d），这表明是局部稳定的，前提是投资函数κ（·）在平衡时有效增加，但不会超过净利润的太多。除内部平衡外，[9]确定系统（60）允许以（ω，λ，d）=（0，0+∞), 它是局部渐近稳定的providedlimπe→-∞κ（πe）<ν（r+δ）（62）典型参数可能满足的条件。3.4。货币基恩模型如【10】所示，将（31）-（32）中的价格工资动态纳入原始基恩模型相对简单。采用上一节的所有参数选择和函数形式（包括ηq=0），除了任意常数ηpandγ外，我们发现（41）简化为三维系统˙ω=ωΦ(λ) - α- （1）- γ） i（ω）˙λ=λhκ（πe）ν- α- β- δi˙d=dhr-κ（πe）ν- δ- i（ω）i+ω- 1+κ（πe）（63），其中πe=1-ω-rd和i（ω）=ηp（mω-1） 。求解该系统的（46）、（47）和（49）给出了一个类似于原始Keen模型的内部平衡（ω，λ，d）。除此之外，[10]表明系统（63）也加入了平衡（ω，λ，d）=（0，0+∞), 以及（ω，0，d）或（ω，0+∞) 式中ω=m+Φ（0）- αmηp（1- γ） （64）是满足i（ω）<0（偏差）的工资份额，以及作为非线性方程解获得的不确定负债率。

文献[10]详细分析了所有三种均衡的稳定性，得出的总体结论是“货币强调经济渐近状态的稳定性，无论是可取的还是不可取的。”4、长期动态如第2.2节所述，模型中预期销售和库存的核心动态包括长期预期和以方程式（19）-（21）为特征的短期波动之间的相互作用。因此，研究单独考虑这些影响时产生的子模型的特性具有指导意义。我们从企业忽略短期波动的情况开始，即当ηe=ηd=0时。此外，我们假设库存中没有计划变化，即fd=0，因此Y=年，供应和需求之间的任何差异都会被计划外库存变化˙V=Y吸收- Yd.注意，在这种情况下，经济增长率由g（u，πe，Yd，ye）=ge（u，πe），（65）给出，因为需求Yd对预期销售ye或计划库存Ip没有反馈渠道，因此需求对产出Y没有影响，因此产出Y完全由经济的预期长期增长率决定。因此，（41）中的第四个等式等于零，这与Ye=Ye/Y=1的事实一致，并且系统减少到˙ω=ωΦ(λ) - α- （1）- γ） i（ω，yd）˙λ=λge（u，πe）- α- β˙d=dr- ge（u，πe）- i（ω，yd）+ ω- θ（ω，d）˙u=uhge（u，πe）-κ（u，πe）ν+δ（u）i，（66），其中πe=1- ω- rd和i（ω，yd）=ηp（mω- 1） +ηq（yd- 1） 。还要注意的是，库存与产出比不能再由（34）来确定（因为ηd=0），而应该从辅助方程˙v=（1）中找到- yd）- ge（u，π）v.（67）（66）的内部平衡由（46）-（49）得出，ηe=ηd=fd=0。

特别是，由于yd=1，该平衡意味着v→ 根据（67），v=0，这与（44）一致，v=FDY，fd=0。这类似于原始Keen模型的良好均衡，对应于固定债务比率、非零工资份额和就业率。观察到，在特殊情况下，ge（u，πe）=α+β，即与[6]中提出的模型相对应的预期销售额的长期增长率不变，我们发现（66）中的就业率是恒定的，正如在产出增长率与人口和生产率增长率之和相同的模型中所预期的那样。但这立即意味着，（46）-（49）中的内部平衡只能在初始条件λ=Φ时实现-1（α+（1- γ） ω），任何较小的初始就业率都会导致ω→ 0和任何更大的一个导致ω→ ∞. 因此，我们不进一步追查这一特殊情况。或者，特殊情况下（u，πe）=κ（u，πe）ν- δ（u）（68）在概念上更接近于文献[11]中的原始基恩模型，因为预期销售额（以及因此产生的产出）与资本增长率相同。在这种情况下，当（66）中的第四个方程消失，模型简化为（ω，λ，d）的三维系统时，容量利用率由一个常数u给出，我们现在在其实际版本和货币版本中考虑该系统。4.1。实际版本首先考虑模型的实际值，也就是说，工资价格参数设置为ηp=ηq=γ=0和p=1，与原始Goodwin和Keen模型一样。然后我们得到了系统（66），其中ge（u，πe）由（68）给出，减少到˙ω=ω[Φ（λ）- α] ˙λ=λhκ（u，πe）ν- δ（u）- α- βi˙d=dhr-κ（u，πe）ν+δ（u）i+（1- c） ω- cd，（69），其中πe=1- ω- 我们采用了θ（ω，d）=cω+cd形式的消耗函数。