债务融资投资的库存增长周期

Weregard认为这是与（60）中的原始Keen模型最接近的模型，但其有效需求为formyd=cω+cd+κ（u，πe）u（70），并且由˙v=1给出的流动库存水平- cω- cd光盘-κ（u，πe）u！-κ（u，πe）ν- δ（u）！v、 （71）系统（69）也允许（ω，λ，d）=（0，0+∞). 然而，对于c>0（或任何其他包含正财富效应的消费函数），这种均衡意味着yd→ +∞ 因此v→ -∞, 这在经济上没有意义。因此，在下一节中，我们将研究该模型的一种版本，其中，通货膨胀将变为yd→ +∞ 根据价格动态（31），ηq>0。有趣的是，系统（69）也承认存在形式（ω，λ，d）=（0，0，0）的不良平衡，这在原始的Keen模型中是不可能的。然而，很容易看出，如果ge（u，1）>α+β，（72）这是一个在实践中可能满足的条件，那么这种平衡是不稳定的。4.2。货币版本使用（31）-（32），因为价格工资动态导致上一节模型的以下货币版本˙ω=ωΦ(λ) - α- （1）- γ） i（ω，d）˙λ=λhκ（u，πe）ν- δ（u）- α- βi˙d=dhr-κ（u，πe）ν+δ（u）- i（ω，d）i+（1- c） ω- cd（73），其中πe=1- ω- rd andi（ω，d）=ηp（mω- 1） +ηq（yd- 1） =ηp（mω- 1） +ηqcω+cd+κ（u，πe）u- 1.（74）如前所述，我们认为这是与（63）中的货币基恩模型最接近的模型，但（70）给出了非平凡的影响需求，而（71）给出了浮动库存水平。在下文中，为了方便起见，我们将δ（u）=δ>0和κ（u，πe）=κ（πe）。

设J（ω，λ，d）为（73）的雅可比矩阵，由下式得出J1,1（ω，d）ωΦ（λ）J1,3（ω，d）-λνκ（πe）κ（πe）ν- α- β- δ-rλνκ（πe）J3,1（ω，d）0 J3,3（ω，d）（75）J1,1（ω，d）=Φ（λ）-α- （1）-γ） i（ω，yd）- （1）- γ） ω“ηpm+ηqc-κ（πe）u#（76）J1,3（ω，d）=-（1）-γ） ωηqc- rκ（πe）u！（77）J3,1（ω，d）=d“κ（πe）ν- ηpm- ηqc-κ（πe）u！#+（1）- c） （78）J3,3（ω，d）=“r- c-κ（πe）ν+δ- i（ω，yd）#+d“κ（πe）ν- ηqc- rκ（πe）u！#。（79）在类似于【9、5、10】中所述的技术条件下，我们将确定模型（73）展示了三种有意义的平衡点类型，类似于【10】中所述的平衡点类型。第一个是良好的均衡，对应于债务有限、工资和就业为正的理想状况。第二种是adebt危机均衡，对应于一定水平的债务和消失的工资和就业。第三种是一种可以接受或不接受信贷爆炸的通货膨胀状态，这是随着价格动态的引入而出现的。与平凡平衡（ω，λ，d）=（0，0，0）相对应的第四种情况在理论上是可能的，但总是不稳定的，因此在当前上下文中不相关。以下结果依赖于Hartman Grobman定理的标准平衡分析，可以在一读时跳过。我们首先假设所有πe的κ（πe）>0∈ R和满意度πe→-∞κ（πp）=κ<ν（α+β+δ）<limπe→+∞κ（πe）。（80）我们进一步假设Φ（λ）>0（0，1），Φ（0）<α。（81）平凡的平衡。在平衡点（ω，λ，d）=（0，0，0）处，雅可比矩阵（75）变为J1,1（0，0）0 0κ（1）ν- α- β- δ01- c0 J3,3（0，0）因此，我们认为，如果（72）个点成立，这一点是不稳定的，这在实践中很可能是真实的，如第4.1节所述。稳定增长平衡。

在[9]之后，我们将有限债务和正工资及就业率的均衡称为（73）的良好均衡。我们可以从（73）中的第二个方程中看出，这是以κ（1）为特征的- ω- rd）=ν（α+β+δ），（82），可在π=1时唯一求解- ω- Rd由于条件（80）。这对应于一种稳定状态，即增长率等于经济的自然增长率α+β。因此，dis是以下二次方程的根：Ad+Ad+a=0（83），其中i=ηprm，a=ηp（1- m（1- π） （）- ηqν（α+β+δ）+（ηq- 1） （cr- c） ，A=（1- π） （1）- c（ηq+1））。假如 := A.- 4AA≥ 0，比亚迪±给出的（83）至少有一个实解=-A±√2ηprm。（84）很难从这个表达式中获得信息，应该用数字研究上述值。我们将施加d<（1- π） /r，以确保ω>0。给定ω，我们得到λ=Φ-1.α+（1- γ） i（ω，d）, （85），根据（81），如果i（ω，d）>0，则始终存在。在点（ω，λ，d）处，雅可比矩阵（75）变为J1,1（ω，d）ωΦ（λ）0-λνκ（π）0-rλνκ（π）J3,1（ω，d）0 J3,3（ω，d）. （86）计算矩阵（86）的特征多项式P[X]并应用Routh-Hurwitz准则，为三次多项式的所有根都提供了一个必要且有效的条件，从而确保该平衡点的局部稳定性。它们归结为以下两个非常不直观的条件，需要用数值进行检查：J3,3（ω，d）<min-J1,1（ω，d）；-λκ（π）ωΦ（λ）νJ1,1（ω，d）；rJ3,1（ω，d）（87）rJ3,1（ω，d）- J3,3（ω，d）J1,1（ω，d）+J3,3（ω，d）+νJ3,3（ω，d）J1,1（ω，d）λκ（πe）ωΦ（λ）>-1.

（88）在平衡状态下，我们发现需求方程yd=cω+cd+ν（α+β+δ）u（89），当yd>1时，这种平衡没有经济意义，因为在这种情况下（67）会导致库存在有限时间内消失，并且模型不再有意义。因此，这将限制恒定的容量利用率≥ν（α+β+δ）1- cω- cd，（90），在这种情况下，相对库存水平v=v/Y收敛到平衡值v=1- cω- cd光盘- ν（α+β+δ）/uα+β，（91），其中[11]的Keen模型对应于yd=1和v=0的结构不稳定特例。债务危机。如【9】所述，原始Keen模型【11】的一个关键特征是，它允许（ω，λ，d）=（0，0+∞), 也就是说，对应于债务比率的无限增长，同时工资份额和就业率降至零。[9]中的分析使用变量q=1/d的变化进行，并观察到（ω，λ，q）=（0，0，0）成为变换系统的平衡点。在本例中，我们看到变量的这种变化将（73）中的第三个方程变成了˙q=q“κ（u，πe）ν- δ（u）+i（ω，1/q）-r#- q“（1- c） ω-cq#。使用价格动力学（31），需求由（30）给出，消费形式为θ（ω，d）=cω+cd，我们发现上述表达式中的术语qi（ω，1/q）变成了ωi（ω，1/q）=q“ηp（mω- 1） +ηqcω+κ（u，πe）u- 1！#+ηqc，由此我们推断q=0不会导致转换系统中的˙q=0。观察到，当γ，1时，源自（73）中第一个方程的术语ωi（ω，1/q）也会出现类似的问题。

更一般地，我们得出结论，系统（73）不表现出以d为特征的平衡→ +∞ 假设消费函数的财富效应在d中至少呈线性增长。另一方面，系统（73）承认存在不同类型的债务危机，对应于无经济活动和固定债务比率，即（ω，λ，d）=（0，0，d）形式的均衡，其中数据满足κ（1- rd）ν- δ=r- c- i（0，d）（92），其中i（0，d）=-ηp+ηqcd+κ（1- rd）u- 1.. （93）点（0，0，d）处的雅可比矩阵（75）变为Φ（0）- α- （1）- γ） i（0，d）0 00 r- c- i（0，d）- α- β0J3,1（0，d）0 J3,3（0，d）.（0，0，d）的局部稳定性条件，然后读取Φ（0）- α- （1）- γ） i（0，d）<0，r- c- i（0，d）<α+β，J3,3（0，d）<0。（94）由于（93）无法精确求解，因此必须对所有三个条件进行数值检查。也就是说，不能先验地排除债务危机均衡（0，0，d）的局部稳定性。波动平衡。另一种不受欢迎的均衡类型，类似于[10]中发现的新均衡，出现在长期动态的货币版本中，对应于一种非常特殊的情况，即由于低就业率导致的实际工资下降，由经济中的通货膨胀来补偿。与第3.4节类似，这些平衡的形式为（ω，0，d），其中ω和非线性方程的dare解i（ω，d）=Φ（0）- α1- γ（95）（c）- 1） ω=dr- c-κ（1- ω- rd）ν+δ- i（ω，d）（96）式中，i（ω，d）=ηp（mω- 1） +ηq（cω+cd- 1） +ηqκ（1- ω- rd）u.（97）观察到（81）意味着i（ω，d）<0，确认这种平衡对应于一种通货膨胀经济。雅可比矩阵（75）在这一点上，J（ω，0，d）变成J1,1（ω，d）ωΦ（0）0κ（1- ω- rd）ν- α- β- δ0J3,1（ω，d）0 J3,3（ω，d）.

（98）反转ω和λ的阶数，从而提供一个下三角矩阵，从中我们可以立即获得三个特征值。假设ω>0，则（ω，0，d）的局部稳定性条件为ηpm+ηqc-κ（1- ω- rd）u> 0，κ（1- ω- rd）ν- δ<α+β，J3,3（ω，d）<0，（99），所有这些都必须进行数值检查。换句话说，也不能先验地排除非平稳平衡（ω，0，d）的局部稳定性。5、短期动态5.1。供需t^atonnementIn与第4节相比，我们现在考虑当只考虑短期影响时会发生什么。为此，假设α+β=0，因此长期均衡对应于零增长的经济。在这种情况下，计划库存中的预期销售和投资应仅由短期需求量驱动，因此我们将（u，πe）=0。（100）将其插入（31）、（34）和（35）中，我们可以看到经济体的库存比率和瞬时增长率=[1+fdηd]ye- 1ηd，g（ye，yd）=ηe（1+fdηd）（yd- ye）+ηd（yd- 1） 。（101）类似地，由于资本的长期均衡水平是恒定的，因此只有为了替换折旧后的资本才需要投资，因此我们可以设置κ（u，πe）=νδ（u）。（102）然后系统（41）变为˙ω=ω[Φ（λ）- （1）- γ） i（ω，yd，ye）]˙λ=λg（ye，yd）˙d=d[r- g（ye，yd）- i（ω，yd，ye）]+ω- θ（ω，d）˙ye=-yeg（ye，yd）+ηe（yd- ye）˙u=ug（ye，yd）（103）为了进一步进行分析，我们现在考虑[12]中首次报告的短商业周期类型，这是由于企业对库存变化的反应，但信息滞后。

因此，我们特别关注与参数ηe、ηd、ηqand setηp=0和Φ（·）相关的调整项产生的影响≡ 0，从而忽略了劳动力成本推动（31）和工资谈判方程（32）中的就业影响。这导致i（ω，yd，ye）=i（yd，ye）=ηq（yd- ye）。（104）进一步假设δ>0时δ（u）=δu，θ（ω，d）=cω+cd=cω（即c=0）（105），我们发现yd=cω+νδ，因此yd的增长率与ω的增长率相同。然后，我们得到（103）解耦为形式为（˙yd=-（1）- γ） ydηq（yd- ye）˙ye=ηe（yd- ye）- yeg（ye，yd）（106）和（ω，λ，d）的辅助系统，可在确定（yd，ye）后求解。这是一种资本水平不变的情况，投资只与运营成本和折旧挂钩。生产力和人口规模假定为常数。企业通过使用松弛参数ηe复制需求来调整其预期。库存旨在成为预期需求的一小部分，松弛参数ηd。价格仅通过参数ηq移动以适应库存。工资对通货膨胀作出反应，尽管参数γ和总实际购买力受i（yd，ye）的影响。因此，我们正处于一个严格的短期供需补偿机制中。5.2。阶段计划分析很容易看出{yd≥ 0}是（106）不变的，这导致{ye≥ 0}也是不变的。然而，这两个变量或上面的辅助函数g（ye，yd）都没有界限。

因此，在解释模型动力学时应特别小心，因为它允许λ>1、u>1或v<0，而无任何直接反馈。我们将系统（106）改写为以下形式（˙yd=-（1）- γ） ydηq（yd- ye）˙ye=yeη（ye）- y-e）- yd（ηd+η）（ye- y+e）（107），其中η=ηe（1+fdηd）andy-e=ηe- ηdη<y+e=ηeηd+η<1。图1：向量场方向象限的判别区域（106）[黑线，黑色箭头]。对于γ=0.3[橙色虚线]和γ=γ=0.625[绿线]，给出初始点（yd，ye）=（1.5，1.7）的样品相轨迹。γ=0.3的有限时间爆破吸引盆地的数值近似值[红色虚线]。参数（ηe、ηd、ηq、fd）=（2.5、0.75、0.25、0.05）。上述不等式适用于任何正参数配置。等轴线˙yd=0由线yd=0和ye=yd给出，很容易得出{0上的˙yd<0≤ 在{ye>yd}上，ye<yd}和˙yd>0。另一方面，等轴线˙ye=0由以下两个yd函数给出：n±（yd）=（ηd+η）yd+ηy-e2η±2ηp（yd），带（yd）=（ηd+η）yd+ηy-e- 4ηy+e（ηd+η）yd.多项式（yd）本身有两个实根y-d<y+dgivenbyy±d=ηη+ηd2y+e- y-e±2py+e（y+e- y-e）.很容易看出y-d> 0，自（0）=（ηy-e） >0，且y+d<1，因为（1） =（ηdfdηe）>0。此外，在区间（y-d、 y+d） （0，1）我们有（yd）<0，因此曲线n±（yd）未定义且˙ye>0。或者，在[0，y]上-d）∪ （y+d+∞), 我们有一个˙ye<0表示ye∈ （n）-（yd），n+（yd））和˙ye>0表示ye∈ （0，n-（yd））∪ （n+（yd）+∞).请注意，ye=y-对于所有yd，eor ye=y+eimply˙ye>0。这实际上提供了极限情况n+（0）=y-eandlimyd公司→+∞n-（yd）=y+e。此外，我们可以证明n-yd（0）=η+ηdη+2ηd（ηd+η- ηe）（ηd+η）（ηe- ηd）！如果ηe>ηd，则大于1。在这种情况下，我们发现{ye<0，yd≤ y-d}∩ {yd=ye}=.

另一方面，对于大的yd值，我们有n+（yd）=ηd+ηyd+o（| yd |）表示yd→ +∞, （108）使{˙ye>0，yd>y+d}∩ {yd=ye}=. 图1.5.3中给出了系统在每个区域的方向象限的黑色粗线和箭头总结了这一点。平衡点（107）可能存在三个平衡。第一个平衡（yd，ye）=（1，1）对应于（α+β）=0的一般模型中的内部平衡（44）。在这种均衡状态下，预期销售额等于产出，等于需求：t^atonnement是成功的。此外，均衡通货膨胀率和增长率均为零，λ和u为常数，库存在生产和销售之间提供了一个恒定的buffer v=fd。（107）的雅可比矩阵为“-（1）- γ） ηq（2yd- ye）（1- γ） ηqydηe- ye（η+ηd）ηd- ηe+2ηye- （η+ηd）yd#。在第一个平衡点，它简化为“-（1）- γ） ηq（1- γ） ηqηe- （η+ηd）η- ηe#得出特征方程：X+Xh（1- γ） ηq- ηefdηdi+（1- γ） ηqηd=0。所有参数均为正，且γ<1，当且仅当（Routh-Hurwitzcriterion）γ<γ：=1时，两个根的实部为负- ηeηdfd/ηq.（109）因此，如果（109）成立，则该平衡具有局部吸引力。当γ=γ时，特征方程的根是纯虚的，系统会经历Andronov-Hopf分岔。分岔值`（γ）处的第一个李雅普诺夫指数为正，因此分岔是次临界的：极限环是不稳定的（这已通过模拟证实）。当γ≥ γ、 一般来说，平衡点是局部排斥的。第二个均衡由（yd，ye）=（0，0）给出，意味着市场崩溃，所有变量都变为零。

此时，雅可比矩阵isJ（0，0）=“0 0ηeηd- ηe#，我们看到，当ηd>ηean时，这个平衡是不稳定的，即使ηd<ηe，也不能渐近稳定，因为雅可比矩阵的核是一维的。如果系统不收敛于（1，1）或（0，0），则存在（106）的奇异吸引态，其特征是向(+∞, +∞). 通过将系统写在（h，x）=（1/yd，yd/ye）的形式下，我们得到了动力学˙h=（1- γ） ηq1.-x个˙x=（1）- γ） ηq+η-1h+（η+ηd+（1- γ） ηq）xh- （η）- ηd）x- ηex.（110）我们对h和x向0的有限时间爆破感兴趣，因为根据（108），n+（yd）在yd中呈超线性增加。我们可以将（110）表示为二阶非线性微分方程：¨h=（1- γ） ηqηdh- 1.- （ηe- ηd）˙h+˙hhη- ηd- （1）- γ） ηq+˙hh1-η（1- γ） ηq！。（111）和limh，x定义的局部行为→0˙小时=-∞. 在这种情况下，按˙h/h进行因式分解可以使该点周围的（111）近似为˙h~h类↓0˙hh1-η（1- γ） ηq！。这是一个广义的Emdem-Fowler方程【15】，其解的形式为h（t）=aη（1- γ） ηqt+a！（1）-γ） ηqη，对于任何参数a，a>0，在有限时间内达到零。这种情况转化为一种奇怪的行为：当预期和需求非常高时，库存必须减少以应对预期的销售，而价格被压低以控制计划外库存。然而，这刺激了总需求，进而提高了预期。Y的增长率下降，情况变得更糟。5.4。价格调整和信息滞后：另一种观点在本案例中，假设（31）在企业价格调整速度方面起着重要作用，假设它们考虑了直接的计划外库存投资。