基于神经网络方法的可控硅有效评估

所提出的方法基于这样一种想法，即对于在两种市场条件下训练的两个神经网络，它们的参数的最佳选择可能非常接近。总之，我们建议使用图2的扩展嵌套模拟方法，而不是图1的更标准嵌套模拟方法，通过方程（4）来近似SCR的值。如前所述，在本文中，我们的重点是降低用于计算VAs大型投资组合负债的MC模拟的计算成本。因此，为了关注计算负债的问题并使分析更易于处理，我们假设公司采取了被动方法（即不涉及对冲），公司的唯一资产是股东资金池，该资金池投资于amoney市场账户，因此产生无风险利息。我们了解到，这是一个非常简单且可能不现实的资产结构模型；然而，使用更复杂的资产结构只会使资产价值的计算更加耗时，并将我们的注意力从本文所关注的关键问题上转移，即如何提高负债价值计算的效率。此外，请注意，我们可以使用建议的框架来计算输入投资组合的投资组合负债价值，而不受资产价值评估的影响。

也就是说，更复杂的资产评估模型可以插入到我们提出的框架中，而无需改变我们的方案，以提高负债价值计算的效率。生成N（p）个采样路径p（i），1≤ 我≤ N（p）个采样/生成N（p）个采样路径p（i）s，1≤ 我≤ N（p）S计算机MVA（i），1≤ 我≤ N（p）s，每p（i）使用按市值计价方法计算的投入组合MVL（i），1≤ 我≤ N（p）s，每个p（i）svia的输入组合的神经网络方法计算AC（i）=MVA（i）- MVL（i），1≤ 我≤ N（p）s计算输入组合的MVaO采用按市价计价的方法计算输入组合的MVaO神经网络方法计算AC=MVA- MVL计算机（i） s=AC（i）- AC，1≤ 我≤ N（p）烧结尖晶石（i） ，1≤ 我≤ N（p），对于p（i），使用（i） s，1≤ 我≤ N（p）s，参数（i） ，1≤ 我≤ N（p），升序值选择bN×0.995+0.5c元素作为SCR的近似值图2：拟用嵌套模拟方法的示意图。每年根据需要调整资产。拟议的简单资产结构允许我们在定义 在（3）中，如下所示。 = 空调-AC1+r=（M- MVL）- （（M（1+r）- MVL）1+r）=-MVL+MVL1+r（5）因此，在我们的简化问题中，计算SCR简化为计算当前负债和一年内负债分布的问题。神经网络框架在本节中，我们简要回顾了我们提出的神经网络框架。有关这种方法的详细处理，尤其是我们选择网络和培训方法的原因，请参阅我们的论文（Hejazi和Jackson，2016）。4.1。神经网络我们提出的估计方案是NadarayaWatson核回归模型的扩展版本（Nadaraya，1964；Watson，1964）。

假设y（z），·····，y（zn）是已知位置z的观测值，····，zn，我们的模型估计y在位置z处的y（z），其中y（z）由^y（z）=nXi=1Ghi（z）未知- zi）×y（zi）Pnj=1Ghj（z- zj）（6）其中G是一个非线性可微分函数，下标hi表示每个y（zi）对估计值的影响范围。VariableHi是一个位置相关向量，用于确定每个逐点估计器在输入数据特征空间的每个方向上的影响范围。在本文的应用中，y（·）是风险的MC估计。变量zi，1≤ 我≤ n、 是rm中的n个向量，表示输入投资组合空间中n个具有代表性的VA合同样本集的属性。使用抽样方案选择具有代表性的VA合同，以有效填补输入组合定义的空间。代表性VA合同的投资组合规模应远小于神经网络方案的输入投资组合，以提高效率。正如我们在（Hejazi和Jackson，2016）和（Hejazi，2016）中详细讨论的那样，选择代表性合同会影响神经网络框架的性能，尤其是准确性。因此，使用适当的抽样方法很重要。我们将选择有效抽样方法的讨论推迟到未来的论文中。我们选择使用前馈神经网络（Bishop，2006；Fister et al.，2016）来实现我们的模型（6），该神经网络允许我们调整我们的模型，以找到使我们的估计误差最小化的HI值的最佳选择。如图3所示，我们的前馈神经网络是一组相互连接的处理单元，称为神经元，它们被组织成三层。第一层和最后一层分别称为输入层和输出层。

中间层称为隐藏层。第一层中的神经元为网络提供特征向量（输入值）。输入层中的每个神经元代表集合{Fc，F）中的一个值-, F+}。如果xc=xci1如果xc6=xci（7），则fcf中的每个f的格式为f=n0，其中xci表示输入VA策略z的分类属性c的类别，xcire表示示例中代表性VA策略zi的分类属性c的类别。f中的每个f-形式为f=[t（xni）-t（xn）]+/Rt，f+中的每个f的形式为f=[t（xn）-t（xni）]+/Rt。在这两个公式中，xnis是包含输入VA策略z的数字属性的向量，xnis是包含代表性VA策略z的数字属性的向量。在样本中，t（·）是由专家用户确定的变换（线性/非线性），它假定长度Rtand[·]+=max（·，0）的区间值。Rt用于缩放，以便每个f∈ [0，1]。众所周知，以这种方式缩放变量有助于提高第4.2节所述用于训练神经网络的优化方法的收敛速度。本质上，我们对输入值的选择允许不同的带宽（第（6）中的hivalues）用于VA政策的不同属性，以及样本中代表性VA合同周围的不同方向。zFeatureszFeaturesznFeaturesHidden层图3：建议的神经网络图。每个圆圈代表一个神经元。每个矩形代表一组神经元，其中包含与代表性契约相对应的inputfeatures。因为我们对校准方程（6）的G函数感兴趣，所以输出层和隐藏层中的神经元数量等于样本中代表性合约的数量。

隐层神经元i的输入是与代表性VA策略i相关的输入层中f的值。换句话说，隐层神经元i的输入值使用特征f确定输入VA契约z与代表性VA契约zi的每属性差异∈ {Fc，F-, F+}。假设x，···，x是神经元j在隐层的输入，则构建输入变量的第一个线性组合dj=nXi=1wijxi+bj（8），其中参数wijare称为权重，参数bj称为偏差。数量aj被称为神经元j的激活。然后使用指数函数对激活进行转换，形成神经元j的输出。输出层神经元i的输出是隐藏层神经元i输出的归一化版本。因此，网络的输出，即oi，i∈ {1，···，n}，表示隐藏层中激活的softmax。这些输出可用于估计输入VA z的责任值，即^y（z）=Pni=1oi×y（zi），其中y（zi）是代表性VA保单zi的责任值。总之，我们提出的神经网络允许我们将方程（6）改写为^y（z）=nXi=1exp（wiTfi（z）+bi）×y（zi）Pnj=1exp（wjTfj（z）+bj）（9），其中向量表示输入层中与代表性VA策略zi相关的特征，向量wi包含与隐藏层的fiat神经元i中的每个特征相关的权重。4.2。网络训练方法为了校准（训练）网络并找到权重和偏差参数的最佳值，我们选择了一小组VA策略，称为训练组合，作为网络的训练数据。

校准过程的目标是找到一组权重和偏差参数，以最大限度地减少培训组合责任值估计中的均方误差（MSE）。换句话说，我们的目标函数isE（w，b）=2nnXk=1 | | y（zk，w，b）- y（zk）| |（10）我们使用迭代梯度下降方案（Boyd和Vandenberghe，2004）来训练网络。然而，为了加快训练过程，wedo使用Nestrov的加速梯度（NAG）方法进行了小批量训练（Murphy，2012）（Nesterov，1983）。在小批量训练中，在每次迭代中，我们随机选择少量的训练VA策略，并计算该批的以下误差函数的梯度。E（w（t），b（t））=2 | b（t）| Xk∈B（t）| | y（zk，w（t），B（t））- y（zk）| |（11），其中B（t）是所选VA策略的索引集，上标TT表示迭代次数。在NAG方法中，我们不使用梯度（11）来更新权重和偏差，而是使用一个速度向量，该向量的值在迭代过程中沿objectiveerror函数持续减少的方向增加。我们使用了（Sutskever et al.，2013）中描述的NAG方法的特定实现。在NAG的实施中，权重和偏差根据规则SVT+1=utvt进行更新- E（[w（t），b（t）]+utvt）[w（t+1），b（t+1）]=[w（t），b（t）]+vt+1（12），其中vt是速度矢量，ut∈ [0，1]被称为动量系数 是学习速度。动量系数是一个由ut=min（1）定义的自适应参数- 2.-1.-对数（btc+1），umax）（13），其中umax∈ [0，1]是用户定义的常量。由于VA产品的投资金额和担保结构，负债价值可能会变得很大。较大的责任值会导致较大的梯度值，从而在（12）的更新中产生较大的跳跃。

因此，为了避免数值不稳定，只有在训练阶段，我们才将（11）中的y（zi）值标准化，将每个y（·）值除以输入投资组合中的保证值范围。如果我们让网络训练足够长的时间，它将开始接近局部最优。根据我们对代表性合同和培训数据的选择，在一定次数的迭代后对网络进行进一步培训可能会导致过度拟合，或者可能不会导致权重和偏差值以及相关误差的显著变化。为了避免这些陷阱，我们使用从输入组合中随机选择的一组VA策略作为我们的验证组合（Murphy，2012），并使用两步验证过程停止培训。首先，我们观察训练数据的最大均方误差是否显著下降，或者验证组合的最小均方误差是否初始下降到局部最小值，然后验证组合的最小均方误差是否增加。一旦这些事件中的任何一个（称为停止事件）发生，我们将训练网络进行更多的迭代，直到网络对validationportfolio的负债估计的平均值在通过MC模拟验证投资组合的MC估计负债平均值的δ相对距离内，或达到最大训练迭代次数。网络估计负债Ln和MC估计负债LMCI之间的相对距离计算为Dist=LNN公司- LMCLMC（14） 如图4的图表所示，验证投资组合或培训投资组合的MSE的实际图表作为迭代数的函数可能不稳定。然而，数据中存在一个总体趋势。为了使趋势更清晰，我们使用一个简单的移动平均值，窗口为'W，对数据进行平滑处理，并对平滑后的数据进行多项式拟合。

我们使用一个长度为W的窗口，在这些值的多项式近似上检测停止事件。如果验证集的MSE在过去的W中增加，则会发生停止事件- 1达到最小值后记录的值。我们在每次迭代训练时评估验证集的MSE值，以避免减慢训练过程。一、 W和W是用户定义的参数，取决于应用程序。（Hejaziand Jackson，2016）对上述神经网络进行了更详细的讨论，其中我们还讨论了如何选择上述自由参数。5、数值实验在本节中，我们展示了第3节中提出的嵌套模拟方法中提出的神经网络框架在计算投资组合负债值方面的有效性。为此，假设第3节中所述的资产财务结构允许我们使用公式（5），我们估计了100000份VA合同的不对称投资组合的SCR。投资组合中的每个合同都从表1中定义的空间中均匀地分配属性值。GMWB附加条款的担保价值（死亡福利和提取福利）被选择为相等，但它们与账户价值不同。合同的账户价值遵循简单的对数正态分布模型（Hull，2006），arisk自由收益率u=3%，波动率σ=20%。我们承认，这种账户价值模型非常简单；我们在这里使用它是为了使我们的计算更容易处理。更复杂的模型会增加确定负债价值所需的MC模拟次数，这是退出阶段开始时的典型情况。图4：验证集的MSE和MSE中的趋势，作为运行训练算法的迭代次数的函数。

使用窗口大小为10的移动平均值，然后使用次数为6的多项式拟合，可以发现这种趋势。属性值担保类型{GMDB，GMDB+GMWB}性别{男性，女性}年龄{20，21，…，60}账户值[1e4，5e5]担保值[0.5e4，6e5]宽度提取率{0.04，0.05，0.06，0.07，0.08}成熟度{10，11，…，25}表1：GMDB和GMWB属性及其各自的值范围。并影响一年期负债价值的分布。更复杂的账户价值模型可能还需要使用更复杂的估值技术，其计算复杂性远远超过简单的MC模拟。然而，无论使用更复杂的模型来描述账户价值的动态所带来的变化如何，第3节和第4节所述的结合神经网络方法的拟议嵌套模拟框架可用于计算SCR。因此，为了专注于本文中的神经网络方法，我们选择使用一个简单的账户价值模型，以避免读者对更复杂的账户价值模型进行冗长的描述而分心。一年期负债值概率分布的变化改变了（i） ，1≤ 我≤ N（p），值。概率分布的变化（i） ，1≤ 我≤ N（p），值可以增加样本p（i）s的数量，1≤ 我≤ N（p）s、路径和影响应用于计算（i） ，1≤ 我≤ N（p），值。如前所述，在本文中，我们的重点不是插值方案的选择和/或此处应使用的采样路径的大小N（p）。我们将对这些问题进行更深入的研究，留给未来的工作。

即使我们直接计算（i） ，1≤ 我≤ N（p），原始N（p）路径的值p（i），1≤ 我≤ N（p）；然而，runningtimes将要大得多。我们可以增加MC模拟的数量或使用更复杂的技术来评估责任值。这两种方法都只略微增加了我们提出的神经网络方法计算责任值的运行时间，因此只略微增加了我们提出的第3节嵌套模拟方法的运行时间。然而，上述方法显著增加了nestedsimulation方法的运行时间（Bauer et al.，2012）。嵌套模拟法（Bauer et al.，2012）评估投入组合中每个VA的负债值；然而，我们提出的神经网络框架仅评估代表性投资组合、培训投资组合和验证投资组合中选定数量的VA合同样本的负债值，然后进行空间插值，以确定输入投资组合中VAs的负债值。增加计算每VA负债值的时间会线性增加嵌套模拟方法中的运行时间（Bauer et al.，2012）。在实践中，代表性投资组合、培训投资组合和验证投资组合的规模比投入投资组合的规模小得多。因此，增加计算每VA负债的时间只会影响神经网络的总运行时间，因为计算代表性投资组合、培训投资组合和验证投资组合的负债值会影响培训时间，而在我们的大多数实验中，这并不重要。