利用Hawkes过程检测强度爆发：应用于

在这种情况下，我们的模型读取λ（t）=u+Xti<tφ（t- ti）+φS（t- z） （7）现在z是模型的一个参数。一般来说，一旦霍克斯模型被指定，我们可以应用一系列方法，以便根据观测数据校准模型并估计其参数。这些方法包括最大似然估计（Rubin，1972；Ogata，1978；Ozaki，1979）和矩量法（Da Fonseca和Zaatour，2014）。还提供了一系列非参数工具（Bacry等人，2012年；Bacry和Muzy，2016年；Lewis和Mohler，2011年；Kirchner，2015年）。然而，这些主要局限于经典的霍克斯规范（1）。在参数估计中，最大似然估计被认为是霍克斯过程族的事实标准。给定强度（7）的函数形式和区间[0，T]内的观测值fti，可以最大化对数似然对数L（θ| Ft）=-ZTλ（s）ds+ZTlogλ（s）dNs（8），以获得参数θ的向量，其中包括IB的时间z和定义生育率f的核φs的参数。然而，我们事先不知道实现是否包含任何IBs。因此，我们需要确定已确定的布斯汀活性是否确实真实，或者是否可以单独归因于内源性机制。为此，我们将测试模型从简单的霍克斯过程（1）扩展到带有冲击的模型（7）是否改进了数据描述。一种自然的方法是比较模型（7）在最佳参数下评估的可能性与无IBs的霍克斯模型对应的最佳拟合。Ogata（1978）证明了在某些正则性假设下，简单、平稳、单变量点过程的最大似然估计是一致且渐近正态的，因为样本量趋于完整。

此外，他还建立了简单零假设的似然比检验具有标准χ分布。因此，正如Gresnigt和Franses（2015）所述，似然比（LR）测试和拉格朗日乘数（LM）测试等似然测试通常可用于区分不同的霍克斯规范。然而，我们的案例存在一些困难，使得此类测试不容易适用。我们的情况类似于在政权更迭问题中发现的情况，当变化点未知时。此外，在不存在IB的零假设下，一些参数没有确定。事实上，当α=0时，具有（6）中描述的IB项的模型简化为完整模型。因此，τ和z在空值下无法识别。人们还可以推测，归零不是唯一的，因为IB的影响对于z也是消除的≥ T或τ→ 0，或z<0且τ→ ∞. 如（Andrews，1993；Davies，1977，1987；Hansen，1996）所述，LR的标准渐近理论不适用于这些情况，必须采取其他方法。一系列文献通过所谓的“sup”类测试（参见Lange和Rahbek（2009）的调查）来处理这一问题，这些测试依赖于模拟零度下的LR分布来计算适当的p值。另一种方法（Wong和Li，2001）使用信息标准进行模型选择。使用最广泛的是Akaike信息标准C=2k- 2 log L（9），其中k表示估计参数的数量，Schwartz（或Bayesian）信息准则（BIC）BIC=k log N- 2 log L（10），如果样本量N>7（即log N>2），则惩罚更多额外参数。

在本文中，我们遵循第二种方法，并将记录BIC在我们的测试中表现良好（参见第4节）。我们可以将识别单个IB的过程总结如下：1。使用最大似然估计估计估计零模型（无任何IB项的Hawkes模型（1））；2、备选（扩展）模型（7）在z的约束下进行估计∈ [0，T]；3、评分BIC=BIC- BICis评估。如果BIC<0，则弹出空模型，我们接受扩展模型。否则，我们将保留无外源爆发的空模型。在这里，我们用BICMT表示模型的分数，用M IBs表示。对于IB（6）的指数记忆核，完整模型和备选模型之间的参数数量差异为3，因此BIC=3对数N- 2（对数L- 日志L）。有关可能性优化的更多详细信息，请参阅附录A。3.2。多个IB的识别：预先识别我们现在讨论将我们的程序扩展到窗口[0，T]中有多个IB的情况，即模型（2），其中必须确定模型的zjare参数和IB总数M。由于问题的数值复杂性、经常存在的噪声数据和维数灾难，对全模型（2）的直接估计会导致具有多个局部极值的多变量成本函数的优化。为了有效地估计参数zjin（7），将每个zjt的搜索空间限制在某个区间[zj，zj]是有用的 [0，T]。这样做可以显著提高收敛性并减少局部极小值的数量。此外，它允许我们一次关注一个IB，从而依次增加模型的大小。因此，我们在本节中解决的问题是如何通过预识别有效且可靠地减少z的搜索空间。

稍后，我们将介绍完整的程序。我们采用Almgren（2012）最初提出的方法，将高频数据中的价格跳跃检测到点处理设置。在他的工作之后，我们定义了指数平均函数uL（t；κ）和uR（t；κ）asuL（t；κ）=κZt-∞e-（t-s） κdNs=κXtj<te-（t-tj）κ（11）uR（t；κ）=κZ+∞te公司-（s）-t） κdNs=κXtj>te-（tj-t） κ，（12），其中κ是该方法的参数。函数uL（t；κ）和uR（t；κ）提供了过程速率的局部估计。第一种方法只考虑过去，而第二种方法只考虑未来。在t时，活性（IB）的强烈突然跳变将显著增加uR（t；κ），而不会对uL（t；κ）产生影响，因此我们认为这种差异（t；κ）=uR（t；κ）- uL（t；κ）（13），以确定跳跃的次数。图1提供了一个示例，其中函数（t，κ）表示κ的不同值。κ的选择将在第4.3节中讨论。的高值 对应过程强度的突然变化，从而提供一种确定可能IB位置的方法。作为IB times'ZJJ的候选者，我们选择（t；κ）在事件时间集{ti}上。此外，我们根据 最大值。我们从全局最大值z=arg maxt开始∈{ti}（t；κ），（14）定义了窗口W=[(R)z-w、 大小为w的“z+w”，在“z”周围，将使用最大似然估计量搜索z的最佳值。我们进一步排除所有接近“zthan w”的事件，并寻找下一个局部极值：“z=arg maxt”∈{ti：| ti-\'\'z |>w}（t；κ），（15）定义了另一个窗口W=[(R)z-w、 \'z+w]。

为了选择函数的不同最大值，排除很重要: 如图1所示，函数 israther持续存在，如果不采取此预防措施，则最有可能选择仅次于全局最大值的次优最大值。根据需要重复该过程多次，以找到候选时间'zk=arg maxt∈{ti：| ti-\'z |>宽，| ti-\'z |>w|ti公司-\'\'zk-1 |>w}（t；κ）（16）和相应的窗口Wk=[(R)zk-w、 实时分析中，不可能计算uR（t；κ）。然而，在这里，我们对历史数据的事后分析感兴趣，所以这种限制不会带来任何问题。为此，评估（t；κ）仅在事件时间。事实上，递归关系κuL（ti）=e-ti公司-ti公司-1κ（1+κuL（ti-1） ）κuR（ti）=e-ti+1-tiκ（1+κuR（ti+1））保持。图1：具有两个IBs（顶面板）和相应函数的霍克斯过程模拟（t；κ）用于κ的不同选择（底部面板）。3.3。识别多个IB：估计windows WJ的排名已经确定，我们应用迭代程序来确定模型（2）的最佳参数以及IB的总数。首先，我们估计M=0的模型，这是一个标准的霍克斯模型。然后，我们用M=1和z估计模型∈ W、 此时，我们使用BIC（或其他模型选择标准）来决定是接受还是拒绝放大模型。如果不接受IB，则过程停止，并选择M=0的空模型。否则，将模型扩展到M=2的情况，并添加额外的IB项。在窗口W内估计zis的最佳值，同时保持z值固定，并重新优化所有其他参数。

信息标准再次用于比较M=2模型和M=1模型的惩罚可能性：然后新的扩展版本要么被接受，要么被拒绝。当Mk+1IB的添加不能显著提高模型Mk的可能性时，迭代过程停止。我们可以将完整的过程总结如下：1。给定一个实现{t，t，…，tN}，我们选择κ和w.2的值。我们确定候选IB位置W、W……的排名。我们在数据（M=0）4上估计了一个标准的霍克斯模型。我们每次向模型中添加一个IBo如果BICM=k+1<BICM=k，则将候选IB zk+1添加到模型中，并检查下一个IB，nsize 0.3 0.5 0.7 0.91000 0.7 0.5 1.3 1.02000 0.4 0.4 0.7 0.65000 0.0 0 0.3 0.2 0.210000 0.1 0.0.3 0.2表1：当模拟模型没有IBs时，使用贝叶斯信息标准的误报百分比。所有数值均以百分比（%）表示否则，如果BICM=k+1>BICM=k，程序停止，我们认为M=k是IBs的最终数量。我们注意到，该程序依赖于预识别程序提供的排名。也可以考虑较少依赖预识别程序的停车标准。例如，在退出环路之前，可以考虑额外的IB，而不是在第一次故障时停止。关于优化程序的详细信息，我们再次参考附录A。数值模拟和模型验证为了验证我们的程序，我们进行了广泛的数值模拟。首先，我们检查了我们的程序产生的假阳性率。然后我们测试了它的统计能力。最后，我们研究了在窗口中存在两个IB的情况下，歧视是如何工作的。

由于即使在标准Hawkesprocess（1）的情况下，参数估计的偏差和方差也取决于参数本身的值，因此我们在不同样本大小上测试了参数的几种组合，以便对检测程序的效率有一个更广泛的认识。4.1。无外源冲击为了研究假阳性检测率，我们对具有内生核（5）且无IB的Hawkes过程（1）进行了蒙特卡罗模拟。参数为p=2.0，τ=0.1，n={0.3，0.5，0.7，0.9}。我们为每个参数集模拟了1000个实现。由于统计检验的威力很大程度上取决于样本量，因此在我们的模拟中，我们保持预期样本量E[N]=uT/（1-n） 通过拟合模拟视界T=3600并改变基线强度u来确定常数。我们使用大约1000、2000、5000和10000个事件的样本量进行测试。在每次模拟中，我们应用我们的程序并检查extendedmodel（7）是否优于标准Hawkes模型。总的来说，我们发现AIC的表现比BIC差得多，尤其是在n值较高的情况下。表1总结了BIC产生的误报率（以百分比表示）。从表中可以看出，即使是中等样本量（1000个事件）和基础过程（n~ 0.9）假阳性率约为1%，通常该方法的特异性接近100%。

图2进一步说明了这一点，图2显示了观察得分的分布BIC。-5 0 5 10 15 20 25 30 35BIC0.000.020.040.060.080.100.120.14密度样品尺寸=1000n=0.9n=0.5n=0.3n=0.7-5 0 5 10 15 20 25 30 35BIC0.000.020.040.060.080.100.120.140.16密度样品尺寸=10000n=0.9n=0.5n=0.3n=0.7图2：差异分布在不存在IB项的空模型和在不存在IB项的模拟中估计出单个IB的完整模型之间的BIC。对于小于零的差异，将拒绝使用空模型。4.2。具有近似已知位置的单个IB我们现在考虑当存在一个IB时的数值模拟。这里我们给出了参数p=2.0，τ=0.1，n={0.3，0.5，0.7，0.9}的模拟结果。simulationwindow为[0，T]，其中T=3600。在z=T/2时模拟IB，并考虑IB参数（f，τ）的35种不同组合（详情见下文）。如前所述，我们改变u的值，以保持预期的样本大小u+f（1- ez公司-Tτ）1- nT（17）近似恒定。我们进行了两组模拟，平均样本量分别为5000和10000。由于本实验的主要关注点是我们的程序和BIC选择标准的选择所导致的假阴性率，因此我们忽略了预识别程序，我们将在下一节讨论完整的程序。因此，我们将z的搜索空间限制在一个大小为100的窗口，该窗口围绕IB的真实位置：[T- 50，T+50]。我们在附录B中报告了测试结果。表B.14给出了5000个样本量的分支比n不同值的正确检测IBs的百分比。我们的结果表明，有一个区域对应于较低的肥力F值和较高的IB弛豫时间τ值（即。

α=f/τ的小值），其中添加IB项对改善相似性没有显著贡献，因此拒绝使用扩展模型。霍克斯过程通过自激机制自然产生事件簇。集群的平均大小由1给出-n（参见Moller和Rasmussen（2005））及其方差isn（1-n） 。因此，如果外源性IB产生的事件级联与内源性IB产生的事件级联大小相似，那么我们的程序不会将其识别为IB。这实际上是一个需要的特征，因为我们想要识别与内源性动力学不兼容的IB。此外，这也表明，对于分枝比n的高值，更难区分内源性突发事件和外源性突发事件。4.3。预识别预识别算法的效率取决于“平滑参数”κ的选择。当κ很小时，局部强度的近似值会有噪声，并且会导致检测到许多局部极大值。另一方面，κ的大值导致对大多数强度波动进行平均，只留下较大的IB，但可能缺少中等规模的IB。为了测试选择κ的影响，我们用不同的参数组合（α，τ）模拟模型（7），然后用我们的预识别算法计算不同的κ值。结果报告在附录B中，图B.10显示了检测到的IB位置相对于事件之间平均距离的均方根误差δ=T/N，作为比率κ/τ的函数。正如所料，对于较小的α值，当检测外源IB困难时，z的估计误差可能非常大。

然而，我们观察到，对于相对较高的α值，误差下降到与事件间隔δ相当的值，当κ与τ的数量级相同时，性能最佳。当κ远大于τ时，α值较高时，性能也会恶化。这表明，如果已知IB的典型弛豫时间，那么最好的选择是选择相同顺序的κ。另一种但更复杂的方法是，本着的精神，对κ的多个值进行多尺度分析（Almgren，2012）。然而，考虑到（i）我们的方法是参数化的，预识别遵循最大似然估计；（ii）由于霍克斯过程（2）的随机性，局部强度的峰值不一定与开始时间z一致，并且可以根据核φ（t）延迟，我们认为多尺度方法过于复杂。4.4。单IB检测和完整程序我们现在在存在一个IB的情况下测试我们的完整程序。我们遵循第4.2节中的相同程序。然而，现在我们没有对Z施加搜索间隔，而是应用预识别方法。我们将κ设置为100，并将（14）–（16）中的搜索窗口大小设置为w=300，即在进行最大似然估计时，我们对zjin窗口Wj=[(R)z执行约束搜索- 150，’z+150]。我们认为，当检测到的IB之一在其发生时间60个时间单位的公差范围内时，我们的程序可以正确识别实际IB。这也包括实际IB不是第一个被检测到的情况。表2报告了n、f=ατ和τ的不同组合的正确分类IBs（真阳性）的百分比。