伦敦银行同业拆借利率联谊会：对虚假银行间相关性的研究

该测试基于对数量的估计其中，T是时间序列的长度，是协方差矩阵平方和的估计量是残差平方的估计量。试验结果见表3C。我们可以拒绝所有时间序列的残差都是白噪声的零假设，但在这个测试中，我们不可能确定政权更迭的日期或数据聚类的存在。伦敦银行同业拆借利率联谊会：利用威纳维尔函数法研究虚假银行间相关性-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-184页表3A信贷利差与国家短期利率的相关性。我们给出了第二个方程（3）的回归结果，该方程从国家短期利率预测单个债务人（银行）的每日CDS利差。αcredit和βcredit的值是根据从2012年1月1日至2012年7月17日的国家短期利率（美国为3个月期国库券，法国银行为3个月期国库券，德国央行为3个月期国库券）对选定银行的CDS利差进行回归得出的。回归给出了以百分比表示的短期利率函数为基础点的CDS利率（bp）预测。Bankαcredit，bpβcredit，bp/%BOFA506.93-29.47Citibank392.68-5.03JPMorgan295.09-4.43Credit Agricole543.17-66.68Deutsche Bank339.31-5.23SocietéGenerale539.21-11.81表3B所选银行的方程式（3）回归。表显示了以给定银行信贷质量为控制变量的OLS回归。

具体系数的方差在附录中给出。银行αβθR2BOFA0.0124（0.0035）1.0243（0.0054）-0.0098（0.0006）0.992Citibank-1.2625（0.0610）-0.2496（0.0248）0.4778（0.0157）0.801JPMorgan-0.9987（0.0519）-0.217（0.0247）0.5350（0.0177）0.793Credit Agricole-0.4285（0.0459）0.9499（0.0263）0.0985（0.0985 0.0108）0.970德意志银行股份有限公司11.8723（1.3497）-7.485（0.3875）-3.5003（0.3979）0.7070（0.0323）0.8671（0.0065）1.4356（0.0748）0.9840.964伦敦银行同业拆借利率联谊会：通过威纳维尔函数法对虚假银行间相关性的研究-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-184页表3C。根据Bagchi、Characiejusand Dette（2017）对协方差矩阵进行白噪声测试。对五家银行的自协方差矩阵进行了统计检验式中，T=313，是协方差矩阵的平方和估计量，并且是残差平方的估计量。只有农业信贷银行的协方差矩阵与5%的白噪声没有差异。配对ξPr（x>ξ）Citi-JPM2.491.8%Citi-Credit Agricole2.054.9%Citi-Deutsche2.611.3%JPM-Credit Agricole1.975.7%JPM-Deutsche2.422.1%Credit Agricole-Deutsche1.956.0%7-Wigner-Ville函数分析我们检验回归残差（2）和（3）的统计方法的本质是计算协方差函数的别名映射/数组（图5）的相关性方程（3）回归面板的残差之间。混叠方法借鉴了图像识别方法（Mallat，1999）。伦敦银行同业拆借利率联谊会：通过威纳维尔函数法对虚假银行间相关性的研究-彼得·勒纳《金融与经济前沿》第15卷第1153-184A页）B）图5 A）锯齿模拟随机游动的自相关图几乎是遍历的。

橙色点表示正值，蓝色点表示负值。数据点会受到高斯模糊的影响。B） 方程（3）回归的典型混叠残差的自相关图，具有与图5A中相同的高斯模糊。极端事件的集群是显而易见的。伦敦银行同业拆借利率联谊会：利用威纳维尔函数法研究虚假银行间相关性-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-184页图。6 Wigner矩阵低相关性银行对的自相关图密度图（JP Morgan Paribas）。这里的簇密度与图5B中的簇密度之间的差异显而易见。对矩阵阵列进行混叠，以排除数据中的随机噪声，从而在整个阵列的36个标准偏差水平上评估有意义的相关性，即大致在=2.03单个元素/事件的标准偏差。显然，将正态分布的典型平方根规则应用于未知统计数组是错误的，但它是作为一个指南提供的。之所以选择36σ=2.03σnw的阈值，是因为对于较高的阈值，事件太少，无法生成可靠的统计数据，而对于较低的阈值，随机事件超过它的概率太高。如此定义的双尾事件的天真概率为P（x>2.03）=5.1%。伦敦银行同业拆借利率联谊会（the Fellowship of LIBOR:a Study of Spirous Interbank Correlations by the Method of Wigner-Ville Function-Peter Lerner–Frontiers in Finance and Economics–Vol 15 N°1153-184，Snyder and Youle使用）为可比事件数（150-250）设定了类似的5%阈值。然而，没有任何依据可以假设这些事件的正态分布。得到的WVF是专门准备的协方差矩阵的傅里叶变换（见等式（1））。

WVF模量的典型图如图7所示。一个明显的直觉是，如果银行提交的libor准确且独立，那么银行提交的剩余金额不得有任何可区分的模式，但在共谋和/或伪造提交的情况下，应显示出一种约束模式。图7是我们“联谊”样本中典型金融时间序列残差的WVF绝对值的曲线图。我们确定了可能表明操纵行为的政权变化的山脊。这些映射不仅表示银行报价残差对的时间变化，还表示频率变化。作者不知道这一点，无论是异常高还是异常低的相关性都表明银行操纵了市场。表4中汇总了相关性。Snyder和Youle（2012），第13页。伦敦银行同业拆借利率联谊会：利用维格纳-维尔函数法研究虚假银行间相关性-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-184号表4部分银行间回归残差维格纳-维尔矩阵阵列的相关性。“City”是花旗银行，“JPM”=摩根大通，“CA”=农业信贷银行，“DB”=德意志银行，“BNP”=巴黎国家银行。Paribas数据以灰色显示，表明其残差不受银行信贷质量的控制。CityJPMCADBBNPCity0.9810.1420.515-0.036JPM0.1660.3600.051CA0.4350.497DB0.415我们观察到，花旗银行和摩根大通的残差几乎完美相关，法国银行之间的相关性相对于其他银行来说是中等到较低的，而德意志银行在美国和法国银行之间具有中等相关性。

到目前为止，计量经济学还没有建立定量标准来区分“高”或“低”相关性，这仍然是旁观者的看法。但我们必须提到，对于我们的二维映射，维格纳函数的高关联度相当于在相空间中聚类（见下文）。除非迄今为止隐藏的参数本身表现出聚集性，否则这个结论表明有意识的操纵。作者对同一算法进行了测试：（1）一组正态分布的随机数，对应于提交的速率的随机游走假设，以及（2）白噪声作为列维飞行的差异分布（Paul和Baschnagel，2006）。样本事件（313×313）的随机游动通常表现出020%范围内的相关性。这些测试的典型混叠协方差矩阵如图所示。5A。“可疑”银行的随机分布和theWigner函数之间最显著的区别是，随机数的地图没有显示出天数和闭合频率仓位之间的任何聚类。如果没有操纵，人们会认为提交的报价的残差应该像一组随机数一样随机，但可以避免。作者目前正在为此类聚类的每日和频率宽长度/持续时间建立量化标准。伦敦银行同业拆借利率联谊会：通过威纳维尔函数方法对虚假银行间相关性的研究-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-1848号-结论我们使用向量维格纳维尔函数中的模式分析来测试所选“伦敦银行同业拆借利率联谊会”银行的去趋势伦敦银行同业拆借利率报价之间的相关性（花旗银行，J.P。

摩根（Morgan）、德意志银行（Deutsche Bank）和法国农业信贷银行（CreditAgricole）在时域和频域。WVF研究被提出作为识别金融时间序列中模式的新方法。提交报价时间序列受债务人信贷质量和国家利率的控制（方程式3）。对残差的协方差矩阵进行过滤，以便在计数中仅包括超过元素2.03标准差的尾部事件。我们的统计中包含事件的天真概率为5%，这将在一个包含313×313个元素的稀疏矩阵中提供约50000个可分析事件。我们的分析建立了花旗银行和摩根大通提交报价的尾部事件几乎100%的相关性。我们认为，这种相关性可能是其中一家银行或两家银行操纵LIBOR报价submission过程的一个指标。通过脊线检测算法检测到异常事件的聚类，并表明这些异常发生在2011年7月底、2011年10月中旬和2012年2月中旬（图7和图8）。有趣的是，通过二维地图上的检测算法识别的脊线相对于选择用于识别的一对银行而言相对稳健。因此，我们的Wigner-Ville函数方法不仅可以预测报价偏差的随机性，而且可以通过与标准白噪声测试（表3C）的差异，初步确定所谓欺诈发生的时间。

虽然WVF分析与所有图像识别一样只是定性的，但对作弊数据戳的启发式识别可以显著简化研究者的工作（Zitzewitz，2012）。伦敦银行同业拆借利率联谊会：利用威纳维尔函数法研究虚假银行间相关性-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-184页图。8 Wigner函数图（见图7）中由aridge检测算法识别的脊线（以红色突出显示）。根据他们的说法，我们可以确定样本中发生在70、125和210个工作日左右的时间序列中的制度变化并确定日期。相对于Wigner矩阵的低相关性和高相关性的银行对，位置脊相对稳健。德意志银行、法国农业信贷银行、法国兴业银行和巴黎银行（最后两家银行用于部分校准）的情况要复杂得多。从表4可以看出，我们可以假设，威纳维尔数组的相关性为50%，这只表明住所效应与所选银行的国内利率或信贷质量无关。然后，我们的分析没有建立法国银行（法国农业信贷银行（CreditAgricole）和巴黎银行（Paribas））之间增强的相关性。如果有人假设德意志银行50%的伦敦银行同业拆借利率报价与美国有关，50%与欧洲大陆的事件有关，那么德意志银行可以符合这种识别模式。

另一种解释是，其交易员有50%的时间会放弃与其住所的联系，转而抄袭美国的cat银行。2011年，《华尔街日报》报道称，美国银行、花旗集团和瑞银集团因操纵伦敦银行同业拆借利率联谊会而受到调查：一项通过威纳维尔函数法对虚假银行间相关性的研究-彼得·勒纳《金融和经济前沿》第15卷第1153-184号引文-前两篇是我们样本的一部分（华尔街日报，2011）。目前，美国商品期货交易委员会（CFTC）（2亿美元）、美国司法部（1.6亿美元）已经对巴克莱银行（Barklays Bank）发布了操纵伦敦银行同业拆借利率报价的判决和英国金融服务管理局——5950万英镑（美国司法部，2012年，Eisl，Jankowitsch和Subramanyan，2014年）。2015年，德意志银行因前所未有的25亿美元罚款。到目前为止，美国当局没有追究任何美国银行的责任（路透社，2015年）。本文没有深入探讨美国监管机构、司法部和法院的政治。伦敦银行同业拆借利率联谊会：利用维格纳-维尔函数方法研究虚假银行间相关性-彼得-勒纳-金融和经济前沿-第15卷N°1153-184附录A。维格纳函数的动态方程维格纳-维尔函数的动态演化方程很复杂，这可能减缓了计量经济学界对其的接受。然而，没有可比的小波动力学方程，这并不影响它们的广泛接受。

对于Wigner-Ville函数的常规定义，Wick倾斜（τ→动力学方程（A.1）如下： （A.1）    （A.2）方程（A.2）不仅是一个积分微分方程，而且作为Liouville方程的一种形式，具有困难的计算性质。方程（3）的Ville函数没有类似的方程。附录B.数学金融Wigner函数的修改定义Wigner函数方法的主要缺点之一是Wigner函数动力学的显式闭式方程对于除最简单随机过程外的所有过程都很复杂（附录A和Hillery，O\'Connell，Scully和Wigner 1984）。然而，我们可以推导出一个近似的动力学方程，这在许多情况下都是令人满意的。在这里，我们对Wigner函数进行了一点修改，该函数适用于mathematicalfinance中存在的问题的表述。公式上的差异主要是因为WVF的设计考虑了薛定谔方程和费曼测度，而数学金融学则处理扩散型方程和维纳测度。

也就是说，如果我们有一个随机过程的生成器L（例如Borodin和Salminen，2005），我们可以用以下形式写出一个正向演化方程：伦敦银行同业拆借利率联谊会：通过威纳维尔函数方法研究假银行间相关性-彼得·勒纳（Peter Lerner），《金融和经济前沿》（Frontiers in Finance and Economics），第15卷，第1153-184页                  （B.1）式中，q，如前所述，是状态变量的向量，后序演化方程的形式如下：                 （B.2）然后，我们将Wigner函数定义为以下双线性组合的拉普拉斯变换：                  （B.3）方程（B.3）中的积分在状态变量空间上进行。如果运算符L为扩散：                   （B.4）（我们假设状态空间为一维，并表示为x是唯一的状态变量；欧几里德向量状态空间的推广是向前延伸的），在Wigner函数对其参数缓慢依赖的限制下，可以获得Wigner函数的近似动态演化方程。在这种近似下，truedynamic方程的被积函数（见Hillery、O\'Connell、Scully和Wigner，1984）可以用其泰勒级数代替，我们将其截断为二阶导数。该方程式的形式如下： （B.5）在方程式（B.5）及以下，点表示时间导数，双撇号表示x导数。