风险和信息下的效用最大化与无差异价值

函数U：（0+∞) → R∪ {-∞}, x 7→ 如果U（x）是严格递增的、严格凹的、连续可微的且满足以下条件，则称为效用函数：U′(+∞) := 林克斯→∞U′（x）=0和U′（0）：=limx0U′（x）=+∞.表示法：U的一阶导数的反函数用I表示：=（U′）-引理2.5。（参见[29，（5.15）]）对于任何x，y∈ （0+∞) 下列不等式成立：（3）U（I（y））≥ U（x）+y·I（y）- xy。另一方面，让我们考虑一下，投资者的交易受到风险度量的限制。一般来说，一个好的风险度量应该量化货币规模上的风险，检测极端损失事件的风险，鼓励投资组合选择的多样化，正如F¨ollmer&Schied[12]指出的那样。在本文中，我们指的是通过损失函数定义的特殊风险度量。定义2。6（损失函数）。A函数L：(-∞, 0）→ 如果R是严格递增、严格凸、连续可微且满足极限，则称为损失函数→0L′（x）>-∞ 和limx→-∞L′（x）=0。因此，我们可以定义一个基于效用的短缺风险度量，作为最小资本金额m∈ R必须加到位置X上，使得其预期损失函数保持在某个给定值ε以下。定义2。7（基于公用事业的短期风险）。（参见[12]，第8-9页）如果存在根据定义2.6定义的损失函数，则风险度量ρ称为基于效用的空降风险，因此ρ可以用ρ（X）=inf{m的形式表示∈ R:E[L(-十、- m） | F]≤ ε} 。基于效用的风险度量的一个典型示例是熵风险，定义为aseγ（X）：=γ（ln E[exp{-γX}| F]- lnε），其中γ>0表示投资者的风险厌恶。3、不同信息下优化问题的求解3.1。一般优化问题。让x∈ L（P，F）表示投资者的正初始资本和外源初始资本。

在特定小节中严格定义的可接受投资过程集用X（F，X）表示。效用函数U和损失函数L以及基准ε∈ 给出了L（P，F）。本文旨在解决基于效用的短缺风险约束下的投资组合优化问题。问题3.1。找到一个最优的投资过程X，在过滤F所模拟的信息状态下达到最大的预期效用：=（Ft）t∈[0，T]（4）u（x）：=ess supX∈A（F，x）E[U（x（T））| F]，风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值5，其中（F，x）：=十、∈ X（F，X）：E[L(-X（T））| F]≤ ε、 E类U-（X（T））F< +∞, P-a.s。是满足基于效用的短缺风险约束的可容许投资过程集。函数u（·）被称为该优化问题的“值函数”。为了排除琐碎的情况，我们在本文中假设∈X（F，X）E[U（X（T））| F]<+∞, 对于某些x>0；ess infX∈X（F，X）E[升(-X（T））| F]>-∞, 对于所有x>0。（5） 对于llε，可能不会有此优化问题的解决方案。一方面，约束可能太强，没有满足风险约束的投资流程。另一方面，限制也可能太弱，以至于风险约束没有约束力。

更准确地说，让我们定义εmin：=ess infX∈X（F，X）{E[L(-X（T））| F]}和（6）εmax：=ess supX∈X（F，X）{E[L(-X（T））| F]：E[U（X（T））| F]≥ E[U（X*（T））| F]对于任何X*∈ X（F，X）}。（7） 从现在开始，对于给定的初始资本x>0，效用和损失函数U，l和过滤F，我们假设这些值存在并且是有限的，我们选择ε，使得εmin≤ ε≤ εmax，P-a.s。根据Janke&Li[22]关于约束优化问题的结果，我们通过引入拉格朗日乘子λ来重新表述pr问题≥ 0.让我们定义这个新函数Uλ：（0+∞) →R∪ {-∞} by（8）~Uλ（X）：=U（X）- λL(-十） ，λ>0。根据U和L的定义，我们得出▄Uλ具有通常效用函数的sa me属性，定义2.4中定义：▄Uλ在（0+∞).此外，Uλ满足INDA条件，参见[22，命题2.11]。U的一阶导数的反函数Iλ存在，并由（9）~Iλ定义：=（~U′λ）-1.3.2。最初扩大的过滤。我们介绍了两种过滤方法，其中改变点在轧棉时已知：oeGW=（eGWt）t≥0，其中EGWT：=Ts>t（FWs∨ σ（τ））表示截至时间t的布朗运动w的知识加上时间t=0时已有的随机时间τ的知识，oeGS=（eGSt）t≥0，其中EGST：=Ts>t（FSs∨σ（τ））r表示对截至时间t的天空资产价格过程S的了解，加上对时间t=0时r和om时间τa l的了解。这些过滤是由投资者掌握内幕信息的金融市场重新推动的，例如：。

他知道利率变动的时间。因为它支持EGSEGW当然是EGW=eGS，这两种过滤的结果非常相似。为了解决问题3.1中定义的优化问题，我们需要以下假设。假设3.2。（a） 存在aeGW可预测过程|θ=（|θt）t∈[0，T]和aeGW布朗运动fw=（fWt）T∈[0，T]这样，对于所有T，wt=fWt+Zt|θudu∈ [0，T]。此外，让我们确定GW的可预测过程|uW：=（|uWt）t∈[0，T]乘以|uWt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）~θt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）~θt.（10） （b）EveryeGW局部鞅elw=（eLWt）t∈[0，T]承认代表性ELWT：=eLW+ZteДWudfW（τ）u，0≤ t型≤ T、 对于某些可预测的过程，eДW=（eДWt）T∈[0，T]满足RT（eДWt）dt<+∞, P-a.s.6 OLIVER JANKE（c）其持有（NFLVR）的公司和流程ZW=（eZWt）t∈[0，T]由Ezwt定义：=E（R|uWσdfW）是真鞅。此外，还有一个唯一的等效概率测度ww~ P使得DEPWDP=eZWT，这相当于市场完整性。为了更好地理解这些假设，让我们给出一些进一步的解释。备注3.3。（a） 如果密度假设成立，则陈述（a）和（b）成立，即FWt随机时间条件定律τ允许密度w.r.t符合τ的无条件定律，对于所有t∈ [0，T]，参见[21]。这等价于概率测度的存在~ P使GWTandeGWare依赖于。这意味着存在唯一的鞅保持概率测度，参见[3，第2章]。虽然如果τ是过滤fw的停止时间w.r.t，则密度假设无效，但可以使用[38，第12章]和[23，假设3]的结果来满足st at ement（a）。（b） 如果（NFLVR）成立，则根据【15，第5.2款】，它认为Rt（|θu）<+∞, P-a.s.，相当于侵权（|uWu/σu）du<+∞, P-a.s。

此外，它适用于processeZW=（eZWt）t∈[0，T]thateZWS∈ Mloc（eGW）或等效的eZW∈ Mloc（eGW）。如果|uW/σ是一致有界的，则nezwis实际上是一个t r ue鞅，参见[29，p.250]。（c） 如果没有声明（c），我们就无法指望这种过滤有一个完整的市场。由于σ代数并不平凡，因此无法找到唯一的度量值~ P带S∈ Mloc（eP、eGW），因为在光纤GW上选择eP没有条件。在假设2.1和3.2（a）下，过程▄S=（▄St）t∈[0，T]具有以下表示形式。过滤egw：（11）~St=ZtuWudu+ZtσudfWu，对于所有T∈ [0，T]。现在让我们考虑价格过程表示以及鞅表示w.r.t.filtrationegs。引理3.4。（参见[15，引理5.5，命题5.8]）假设假设假设2.1和3.2（a）、（c）成立。（i） 进程▄S=（▄St）t∈[0，T]具有以下表示形式。过滤egs：（12）~St=ZtuSudu+ZtσudfWSu，对于所有T∈ [0，T]，其中EGS可预测过程|uS：=（|uSt）T∈[0，T]定义为|uSt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）p▄θt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）pθt,（13） 其中p|θ表示g|θ的可预测投影，过程fws=（fWSt）t∈[0，T]是aeGWBrownian运动，与τ无关，σ定义如（2）所示。注意，μS=pμW.（ii）EveryeGS局部鞅=（eLSt）t∈[0，T]的格式为ELST：=eLS+Zte^1SudfWSu，0≤ t型≤ T、 对于某些EGS，可预测的过程eДS=（eДSt）T∈[0，T]满足RT（eSt）dt<+∞, P-a.s.根据假设3.2（c），（NFLVR）也适用于较小的过滤器EGS，因此EGS采用了流程eZSt=（eZSt）t∈[0，T]由Ezst=E（R|uSσdfWS）定义，这是一个真正的鞅，我们可以定义~ P作为可能性度量，使得depsdp=eZST。从现在开始，如果我们陈述两次过滤的结果，我们只需写o∈ {W，S}，所以例如：例如：foreGWandeGSoreGoTforegwandegst，t∈ 分别为[0，T]。

注意，thatfWW：=fW。此外，byeEo我们表示期望w.r.t.ePo。现在，让我们定义本小节的投资组合流程。我们假设它是自我融资的，即不会有像信贷或消费这样的外源性现金流。投资组合流程表示风险资产中持有的金额。关于σ-代数的定义，请参见第3.3小节。关于确切的定义和属性，请读者参考（参见[35，第358页]）。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异价值7定义3.5。A过程π=（πt）t∈[0，T]∈ L（如o，S）满足RT（πuσu）du<+∞, P-a.s.被称为交易策略，相应的投资过程由（14）Xπ（t）=X+ZtπudSu=X+Ztπuuoudu+ZtπuσudfWou表示，0≤ t型≤ T、 其中首字母大写x∈ 假设L（P，例如o）大于零。如果相应的财富过程Xπ（t）对所有t都是非负的，则称π为可容许的∈ [0，T]，P-a.s.可接受的交易策略集和相应的投资过程集分别用∏（如o，x）和x（如o，x）表示。评论根据（NFLVR）的假设，方程式（14）得到了很好的定义，因为通过Cauchy-Schwarz不等式，方程式（14）成立：ZTπttdt=ZTπtσttσtdt≤ZT（πtσt）dt·ZT公司uotσtdt！<+∞, P-a.s.确定流程Bo=（eBot）t∈[0，T]byeBoT=fWoT+Ztuouσudu，0≤ t型≤ T、 这是一个在深度下的布朗运动。因此，对于所有t∈ [0，T]，对于π∈ π（如o，x）财富过程xπ允许代表xπ（t）=x+ZtπuσudeBou，对于所有t∈ [0，T]。结果如下：定理3.6。假设假设2.1和3.2成立。此外，设E[eZoT·Iλ（yeZoT）| eGo]<+∞ 对于断言o-可测量y∈ （0+∞), P-a.s。

然后，问题3.1的最优终端财富^R由^R=~Iλ给出*^yeZoT,式中，theeGo-可测随机变量^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0表示（15）EheZoT·￠Iλ*（yeZoT）例如，i=x，P-a.s.，EhL(-Iλ*（yeZoT））（例如，i=ε，P-a.s。。唯一最优交易策略^π∈ π（如o，x）和相应的投资过程x^π满意度x^π（t）=x+Zt^πuσudeBou=eEoh^ReGoti，0≤ t型≤ T、 为了证明这个定理，我们首先给出了一个鞅表示定理。引理3.7。假设假设2.1和3.2成立。每个局部鞅fMo=（fMot）t∈[0，T]在EPow.r.T.下，过滤EGo的形式为（16）fMoT=fMo+ZtπuσudeBou，0≤ t型≤ T、 对于某些可预测过程π=（πT）T∈[0，T]满足RT（πuσu）du<+∞, P-a.s.证明。首先，让我们展示过程zofMo=（eZotfMot）t∈[0，T]是局部P鞅。由于m是一个单侧o-鞅，因此存在一个递增的停止时间序列（Tn）n∈不合格Tn→ +∞.现在它适用于任何0≤ s≤ t型≤ T和n∈ N根据Bayes公式：EheZot∧TnfMot∧Tn | eGosi=eZos∧TneEohfMot∧Tn | eGosi=eZos∧TnfMos∧Tn.根据Martingale表示性质（假设3.2（b）和引理3.4（b）），过程o：=eZofMo具有以下形式：t=eLo+ZteДoudfWou，0≤ t型≤ T、 8 OLIVER JANKEfor Somego-可预测的过程eДo=（eДoT）T∈[0，T]满足RT（eхoT）dt<+∞, P-a.s。

然后，我们有Fmo=eLo（eZo）-1，其中（eZo）的动力学-1根据It^o规则isd（eZo）-1t=-（eZo）-1td-Zt￠uouσudfWou-Zt公司uouσu杜+（eZo）-1吨uotσtdt=￠uotσt（eZo）-1tdfWot+uotσt（eZo）-1tdt。使用It^o的乘积规则，动态OFM由以下公式给出：dfMot=deLo（eZo）-1.t=eLotd（eZo）-1t+（eZo）-1tdeLot+dheLo（eZo）-1it=eZotfMot·uotσt（eZo）-1tdfWot+uotσt（eZo）-1tdt！+（eZo）-1teИotdfWot+（eZo）-1teИotuotσtdt=eZotfMotuotσt（eZo）-1tdfWot+eZotfMot·uotσt（eZo）-1tdt+（eZo）-1teИotdfWot+（eZo）-1teхotuotσtdt=fMotuotσt+（eZo）-1te^1otdfWot+～uotσtdt=fMotuotσt+（eZo）-1te^1otdeBot.Set▄φot：=fMot▄uotσt+（eZo）-1teхot，thenfMo的形式为fMot=fMo+Zt|φoudeBou，0≤ t型≤ T、 式中▄φo=（▄φ·T）T∈[0，T]是aeGo-可预测的过程满意度RT（|φ·T）dt<+∞, P-a.s.，遵循fr omRemark 3.3（b）和Fzoand Fm的路径连续性，参见【26】。对于某些可预测的过程π，设置▄φo=πσ，因此声明如下。根据这个结果，我们现在可以给出主要结果的证明。定理3.6的证明。^y的存在∈ （0+∞) 和λ*≥ 0使得方程（15）在附录A中得到证明。接下来，我们证明存在一个交易策略^π∈ π（如o，x），对于相应的财富过程x^π，它保持：x^π（t）=eEoh^R例如，ti。定义Mo（t）=eEoh^R |例如oti，0≤ t型≤ T因为对于0≤ s≤ 它保持：eEohMo（t）eGosi=eEoheEoh^ReGotieGosi=eEoh^R例如osi=Mo（s），Mo是aePo-鞅w.r.t。过滤例如o。通过引理3.7，我们得到了Mo（t）=Mo（0）+Zt^πuσudeBou，0≤ t型≤ T、 Mo（0）=eEo[R | eGo]=x表示某些o-可预测过程^π满足（^πuσu）du<+∞, 因此，它认为X^π（t）=Mo（t）=eEo[R | eGot]≥ 0，因为^R是非负的。因此，^π确实在∏中（例如o，x）。现在，让我们展示一下-（X^π（T））|例如o]<+∞. 通过不等式（3），我们有-（X^π（T））≤ U-（K）- ^yeZotk对于某些K>0，使U-（K） <+∞.

通过取期望值和E[eZoT | eGo]=1，断言如下，X^π确实在A（eGo，X）中。对于X^π的最优性，让我们考虑另一个π∈ π（如o，x）。它认为eeo[Xπ（T）| eGo]≤ x、 自o∈ qe和Xπ是非负的。我们考虑无约束优化问题maxx∈X（例如o，X）EhUλ*（X（T））例如，i，风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值9，其中Uλ*是（8）中定义的综合效用和损失函数，通过应用不等式（3），我们得到：~Uλ*（^R）=Uλ*I（^yeZoT）=Uλ*X^π（T）≥Uλ*（Xπ（T））+^yesoT·R- ^yeZoT·Xπ（T）。考虑到双方的条件期望，结果如下：EhUλ*（X^π（T））eGoi≥ EhUλ*（Xπ（T））+^yesoT·R- ^yeZoT·Xπ（T）eGoi=EhUλ*（Xπ（T））例如：i+yEheZ·T·ReGoi- EheZoT·Xπ（T）| eGoi= EhUλ*（Xπ（T））例如：i+yeEoh^R例如：i{z}=x-eEohXπ（T）例如：i{z}≤ x个≥ EhUλ*（Xπ（T））例如：i.由于X^π满足风险约束以及E[U-（X^π）| eGo]它位于A（eGo，X）中，因此是问题3.1的最优解。最后，我们将展示^π的唯一性。这将分为几个步骤：首先，让我们证明最优投资过程X^π是唯一的：为此，让我们假设存在eπ，π∈ π（例如o，x），使得xπ，xπ对于Pr问题3.1是最优的。然后我们定义π，使得Xπ=（Xπ+Xπ）。通过损失函数L和函数U的凸性-我们有Xπ∈ X（例如o，X）。但另一方面，由于U的凹度，它成立，即EhU（Xπ（T））；eGoi=EhU（1/2（Xπ（T）+Xπ（T）））；eGoi≥EhU（Xπ（T））+U（Xπ（T）））| eGoi=EhU（Xπ（T））| eGoi，其中，由于Xπ和Xπ的光学性，我们在第二行中相等。因此，我们必须得到Xπ（T）=Xπ（T），P-a.s。接下来，我们证明了最优投资过程必须满足（15）。让我们从eo[X^π（T）| eGo]=X，P-a.s.开始。

首先假设存在一个子集∑ Ohm 满足P（∑）>0，使得对于所有ω，eeo[X^π（T）| eGo]（ω）=0∈ ∑。显然我们有X^π（T）≡ 0开∑，自^π起∈ π（Go（τ），x）。让我们考虑一下贸易策略▄π≡ 它认为X∏（t）=X，t∈ [0，T]。特别是我们有X|π（T）>X|π（T），P-a.s.，以及U的凹性和L与U的凸性-它认为X|π∈ X（如o，X）andEhU（Xπ（T））| eGoi>EhU（X^π（T））| eGoi，P-a.s.，这与X^π的最优性相矛盾。现在，假设还有另一个子集∑* Ohm 带P（∑）*) > 0，使得对于所有ω，eeo[X^π（T）| eGo]（ω）=aω<X（ω）∈ ∑*. 选择交易策略π*这样Xπ*（ω） =x（ω）aωx^π（ω）。它认为eeo[Xπ*（T）| eGo（ω）=x（ω）和xπ*（ω） >X^π（ω）。通过U，L和U的单调性-我们有Xπ*∈ X（例如o，X）和E[U（Xπ*（T）| eGo]>E[U（X^π（T））| eGo]，P-a.s。；与X^π最优性的矛盾。最后，条件(-X^π（T））| eGo]=ε，P-a.s.，然后假设ε∈ [εmin，εmax]，定义见（6）和（7）。这意味着风险约束必须具有约束力。总之，它认为最优投资过程X^π是唯一的，并且必须满足（15）。接下来，让我们证明最优交易策略^π是唯一的：假设存在π，π∈ 满足xπi（t）=eEo[R | eGot]，i=1，2的∏（eGo，x）。我们定义过程Ni=（Nit）t∈[0，T]，i=1，2，by:Nit=ZtπiuσudeBou，0≤ t型≤ T、 N，NareePo-鞅w.r.T.过滤，所以差异N- Nis也是aePo-鞅。ByXπ（T）=^R=Xπ（T），因此NT-NT=0，根据其鞅性质：N-N≡ 所以，对于它的二次变化，它成立：hN- NiT公司=Z·πuσudeB·u-Z·πuσudeB·uT=ZTπu- πuσudu=0。因此，它必须保持：π≡ π≡ ^π。备注3.8。