风险和信息下的效用最大化与无差异价值

如果我们只在filtrationeg中假设（NA1），优化问题甚至有一个解决方案，因为鞅表示定理在假设3.2（b）下成立，在较弱的无套利假设下成立（参见[15，proposition 5.8]）。因此，过程Z可能不是10 OLIVER JANKEa tru e鞅，我们无法将其定义为概率度量，过程B只是一个漂移的P-布朗运动。然而，我们得到了与定理3.6相似的结果：唯一最优交易策略^π∈ π（如o，x）和相应的财富过程x^π满意度x^π（t）=x+Zt^πuσudeBou=（eZo）-1t·EheZ·T^R例如，ti。让我们在本节结束时给出一个特殊效用函数和损失函数的示例。示例3.9。设U（k）=ln k，L（k）=-kbe已给出。然后定义2.4和2.6的所有性质都得到满足。然后我们得到了Uλ（k）=ln k-3λkandIλ（k）=1+√1+12λk2k。现在，问题3.1的最佳终端值由^R=1+q1+12λ给出*^yeZoT2^yeZoT，其中^y和λ*对于最优财富过程X^π，它认为X^π（t）=X+Zt^πudsu=X+Zt^πuσudeBou=E1+q1+12λ*^yeZoT2^yeZoTeGot.投资者的产出由U（例如o，x）=E[U（R）| eGo]=E给出ln公司1+q1+12λ*^yeZoT2^yeZoT例如：.此外，我们现在假设ui和σi，i=1，2，仅取决于时间和|θ≡ 0（即fW≡ W）。然后，最优财富过程由x^π（t）=2^yeZot给出1个+√2πZ∞-∞（e）-x+12λ*^yeZote-（十）-b/2）+a+b/4）dx,其中a：=-RTt公司||θs||ds，b：=-qRTt（| |θs | |）ds。此外，^y和λ*满足（1-5）中的方程式。相应的交易策略由^πt=uo（t）σ（t）给出·X^π（t）+6λ*^y√2πea+b/4Z∞-∞（e）-x+12λ*^yeZote-（十）-b/2）+a+b/4）e-（十）-b/2）dx.（17） 证明。由于变化点τ在时间零点已知，漂移和波动过程是时间的确定函数。

所以我们有：|uo（t）=1{t≤τ}u（t）+1{t>τ}u（t），σ（t）：=1{t≤τ}σ（t）+1{t>τ}σ（t）。定义函数∧：【0，T】→ R乘以∧o（t）=uo（t）σ（t），t∈ [0，T]。假设（3.2）（c）中给出的等价鞅测度的密度EZ可以用EZoT=exp表示(-ZT∧sdWs-ZT（λ·s）ds）=eZ·t·exp(-ZTt∧sdWs-ZTt（λos）ds）=eZot·exp（a+bη），其中a：=-RTt（λo（t）ds，b：=-qRTt（λo）（t）ds和η是一个标准的高斯随机变量，与got无关。过程X^π是一个与P相关的鞅，因此我们有eZotX^πt=E[eZotX^πt | eGot]<=> X^πt=E“eZoTeZotIλ*（^yeZoT）eGot#=EeZoTeZot1+q1+12λ*^yeZoT2^yeZoTeGot.在[17]之后，我们可以在风险和不完全约束条件下使用代表eZotE[g（eZot，η）| eGot]=ceZotψ（eZot）效用最大化和无差异值11，其中ψ（z）=E[g（z，η）]表示z∈ （0+∞), 其中g是可测函数，c∈ R是一个常数，用X^πt=2^yeZot的方式导出过程Xπ·1+Eq1+12λ*^yeZoTeGot.选择g（z，x）=（1+12λ*用它我们计算ψ（z）=E[g（z，η）]=√2πZ∞-∞（1+12λ*^yzea+bx）e-xdx公司=√2πZ∞-∞（e）-x+12λ*^yze-（十）-b/2）+a+b/4）dx。现在，设置X^π（t）=2^yeZot（1+ψ（eZot））=F（eZot，t），其中F（z，t）：=2^yz1个+√2πZ∞-∞（e）-x+12λ*^yze-（十）-b/2）+a+b/4）dx,根据it^o公式，dx^π（t）=Ft（eZot，t）dt+Fz（eZot，t）deZot+Fzz（eZot，t）deZotdeZot=Ft（eZot，t）+Fzz（eZot，t）（eZot）∧（t）dt公司- Fz（eZot，t）eZot∧（t）dWt，（18）其中Fz，Fzzand fts表示F（z，t）相对于z和t的偏导数。比较dWtin（14）和（18）前面的系数，我们得到t^πtσ（t）=-Fz（eZot，t）eZot∧（t）<==> ^πt=-（σ（t））-1∧o（t）eZotFz（eZot，t）。让我们共同计算F（z，t）w.r.t.z的一阶导数：Fz（z，t）=-zF（z，t）+6λ*^y√2πea+b/4Z∞-∞（e）-x+12λ*^yze-（十）-b/2）+a+b/4）e-（十）-b/2）dx.这样我们就得到了（17）中的表达式。3.3。逐步扩大的过滤。

我们引入了两种过滤，即变化点τ为停止时间w.r.t。这些过滤：oGW：=（GWt）t∈[0，T]，其中我们GWt：=Ts>T（FWs∨σ（s∧τ） ）表示直到时间t的布朗运动W的知识加上随机时间τ的知识，如果它发生在时间t之前，oGS：=（GSt）t∈[0，T]，其中GSt：=Ts>T（FSs∨σ（s∧τ） ）表示对时间t之前的价格过程支持的知识加上对随机时间τ的知识（如果它发生在时间t之前）。这些是包含过滤FW和FS的最小过滤，这样tτ分别是GW和GS停止时间。他们的动机是金融市场，投资者拥有内幕信息，例如，他知道如果股价达到某个基准，市场参数就会改变。因为它认为GS GW，这两种过滤的结果非常相似。在这种情况下，两个初始σ-代数都是平凡的。我们从GW开始，确保FW布朗运动仍然是GW半鞅。假设3.10。（a） 存在一个GW可预测过程θ=（θt）t∈[0，T]和GW布朗运动W*= （W）*t） t型∈[0，T]这样：Wt=W*t+Ztθudu，对于所有t∈ [0，T]。此外，我们定义了GW可预测过程uW：=（uWt）t∈[0，T]乘以uWt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）θt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）θt,（19） （b）鞅表示性质成立：设AWbe过程（1{τ）的GW可预测补偿器≤t} ）t∈[0，T]且设NW·：=1{τ≤·}-AW·be对应的补偿鞅w.r.t.过滤GW。

然后每个GW局部鞅LW=（LWt）t∈[0，T]接受表示（20）LWt：=LW+ZtИWudW*u+ZtψWudNWu，0≤ t型≤ T、 12 OLIVER Janke对于某些GW可预测过程，μW=（μWt）T∈[0，T]满足RT（ДWt）dt<+∞, P-a.s.，ψW=（ψWt）t∈[0，T]满足RT |ψWt | | dAWt |<+∞, P-a.s.（c）在过滤GWA中持有（NFLVR），流程ZW=（ZWt）t∈[0，T]，由ZWt定义：=E(-RuW/σdW*+RИWdNW）t对于某些GW可预测过程，γW=（γWt）t∈[0，T]满足νW西北>-1和RT |ДWt | | dAWt |<+∞, P-a.s.是一个真正的P-鞅w.r.t.GW。此外，确定PW~ P作为概率度量，使得dpwdp=ZWT。让我们对这些假设做一个简短的解释。备注3.11。（a） 如果FW布朗运动W和随机时间τ是独立的，则该假设的（a）部分基本满足。在这种情况下，我们有θ≡ 如果τ满足密度假设，参见[11，命题5.9]，或者如果τ是通过正则构造获得的，参见[6]，则也（但并非微不足道）满足。在这种情况下，FW布朗运动W仍然是布朗运动W.r.t。过滤gw，因此θ≡ 此外，如果τ是一个诚实的时间，也可以满足，参见【25，第五章】。（b） 第二种假设成立的条件见【24】。（c） 假设的（c）部分是满足的，如果它认为e[ZWT]=1。此外，我们还有RT（uWu/σu）du<+∞, P-a.s.，参见[15，提案3.3]。现在，让我们重复一下（参见[15，提案3.1]）在假设2.1和3.10（a）下，存在唯一连续的GW半鞅▄S=（▄St）t∈[0，T]这是上SDE（1）的解决方案(Ohm, A、 GW，P）。~S具有以下表示形式：过滤GW：（21）~St=Ztuudu+ZtσudW*u、 对于所有t∈ [0，T]。现在让我们考虑价格过程和局部鞅w.r.t.的表示。引理3.12。（参见。

[15，引理3.6，命题3.10]）假设假设2.1和3.10成立。（i） 进程▄S=（▄St）t∈[0，T]具有以下表示形式w.r.T.过滤GS：（22）~St=ZtuSudu+ZtσudWSu，对于所有T∈ [0，T]，其中GS可预测过程uS：=（uSt）T∈[0，T]定义为uSt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）pθt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）pθt,（23）其中pθ表示θ的GS可预测投影，过程WS=（WSt）t∈[0，T]是GS布朗运动，σ=（σT）T∈（2）中给出了[0，T]。我们得到uS=puW.（ii）设ASbe为过程的GS可预测补偿器（1{τ≤t} ）t∈[0，T]并设NSbe为相应的补偿鞅w.r.T。过滤GS。每个GS局部鞅LS=（LSt）t∈[0，T]的形式为lst：=LS+ZtИSudWSu+ZtψSudNSu，0≤ t型≤ T、 对于某些GS可预测流程，ДS=（ДSt）T∈[0，T]满足RT（ДSt）dt<+∞, P-a.s.，ψs=（ψSt）t∈[0，T]满足RT |ψSt | | dASt |<+∞, P-a.s.By Assumption 3.10（c），（NFLVR）也适用于较小的过滤GS，因此GS适应了流程zs=（ZSt）t∈[0，T]由ZSt=E（RuSσdWS+RνSdNS）T定义，对于某些GS可预测过程νS=（νSt）T∈[0，T]满足νSNS>-1和RT |νSt | | dASt |<+∞, P-a.s.是一个真正的鞅，我们可以定义PS~ P作为概率度量，使得dpsdp=ZST。从现在开始，如果我们陈述两次过滤的结果，我们只需写o∈ {W，S}，所以例如go对于GWand GSor got对于GWtand GSt，t∈ 分别为[0，T]。注意，WW：=W*.此外，E表示期望值w.r.t.P。现在让我们定义本小节的投资组合流程。目前，它将不再是自我融资，我们将在定义后直接对此进行解释。定义NWt：=NWt- 西北地区-对于所有t∈ [0，T]。如果每t存在一个Ft可测的随机变量σtsuch，τ=σton{τ<t}，cf，则称为诚实随机时间τ。

[35，定义8.10]。请注意，对于报表（ii），在过滤GS中声明（NA1）而不是（NFLVR）就足够了。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异价值13定义3.13。考虑Go-可预测过程π=（πt）t∈[0，T]满足RT（πuσu）du<+∞, P-a.s.，ψ=（ψt）t∈[0，T]满足rt |ψT | dAoT |<+∞, P-a.s.我们将这对ζ=（π，ψ）交易策略称为交易策略，并通过（24）Xζ（t）=X+ZtπudSu+ZtψudNou=X+Ztπuuoudu+ZtπuσudWou+ZtψudNou，0来定义相应的财富过程≤ t型≤ T、 其中首字母大写x∈ 假设R大于零。如果对应的过程Xζ（t）对于所有t都是非负的，则称ζ为可容许的∈ [0，T]，P-a.s.初始资本为x的所有可接受交易策略集由∏（Go，x）表示，相应的财富过程集由x（Go，x）表示。备注3.14。（a） 根据（NFLVR）的假设，方程式（24）得到了很好的定义，因为根据Cauchy-Schwarz不等式，它认为RTπtuotdt<+∞, P-a.s.（b）过程ηt=RtψudNou，t∈ [0，t]可解释为不可交易资产（参见[32]）或代理人的额外捐赠。因此，在这种情况下，我们考虑不需要自我融资的策略，每个应对冲的或有权益都会带来内部风险。条件rt |ψt | dAot |<+∞, P-a.s.确保交易策略是平均自我融资，即[ηT | GoT]=ηT，T∈ [0，T]，即η是一个鞅w.r.T.Go，也可参见[13]。如果我们定义一个二维股票价格过程，市场就会变得完整*由S*= （S，No），即我们将工艺No添加到市场中，参见【13】。确定流程Bo=（Bot）t∈[0，T]byBoT=BoT+Ztuouσudu，0≤ t型≤ T、 这是P·w·r·T下的布朗运动。

因此，对于所有t∈ 财富过程Xζ允许代表Xζ（T）=X+ZtπuσudBou+ZtψudNou，对于所有T∈ [0，T]。由于hZo，Noi=0，ZoNo是P-鞅，因此No是Po-鞅。为了获得投资组合的独特解决方案，让我们首先定义风险最小化策略，例如由【14】引入的策略。定义3.15（风险最小化策略）。交易策略ζ*= （π*, ψ*) 被称为风险最小化IFF，对于任何其他交易策略ζ=（π，ψ），它认为Ztψ*udNou#≤ E“ZtψudNou#,i、 e.ζ*最小化随机变量ηT的方差：=RTψudNou。我们给出了该子项的主要结果：定理3.16。假设假设2.1和3.10成立。此外，设E[ZoT·Iλ（yZoT）]<+∞ 对于ally∈ （0+∞). 然后，问题3.1的最优终端财富^R由^R=~Iλ给出*（^yZoT），其中^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0表示（25）EhZoT·￠Iλ*（^yZoT）i=x，EhL(-^R）i=ε。唯一最优风险最小化交易策略^ζ=（^π，^ψ）∈ π（Go，x）和相应的富裕过程x^ζ满足x^ζ（t）=x+Zt^πuσudBou+Zt^ψudNou=Eoh^RGoti。14 OLIVER Jankot为了证明该定理，我们首先陈述了Po（1）下的鞅表示定理。引理3.17。在定理3.16的假设下，每个局部鞅Mo=（Mot）t∈[0，T]在Pow.r.T.下，过滤率Go的形式为（26）MoT=Mo+ZtπuσudBou+Zt′ψoudNou，0≤ t型≤ T、 对于某些Go-可预测随机过程π=（πT）T∈[0，T]和\'ψo=（\'ψo）T∈[0，T]满足rt（πuσu）du<+∞, P-a.s.，和RT |ψot | dAot | dt<+∞, P-a.s.证明。首先，让我们展示过程ZoMo=（ZotMot）t∈[0，T]是一个P-局部鞅。

由于Mo是局部Po-鞅，因此存在一个递增的停止时间序列（Tn）n∈不合格Tn→ +∞.现在它适用于任何0≤ s≤ t型≤ T和n∈ N根据Bayes公式：EZot∧TnMot∧Tn | Gos= Zos∧TnEo米o吨∧Tn | Gos= Zos∧TnMos∧Tn.根据Go-鞅表示性质（如（20）所示），过程Lo：=ZoMo的形式为Lot=Lo+ZtДoudWou+ZtψoudNou，0≤ t型≤ T、 对于某些GS可预测流程，Дo=（ДoT）T∈[0，T]满足RT（ДoT）dt<+∞, P-a.s.，和ψo=（ψo）t∈[0，T]满足RT |ψoT | dAoT |<+∞, 那么，我们有Mo=Lo（Zo）-1，其中（Zo）的动力学-1byIt^o规则isd（Zo）-1t=-（Zo）-1td-ZtuouσudWou-Zt公司uouσudu+ZtИoudNou+（Zo）-1吨uotσtdt=uotσt（Zo）-1tdWot+uotσt（Zo）-1tdt+Дot（Zo）-1tdNot。使用It^o的乘积规则，Mo的动力学由以下公式给出：dMot=dLo（Zo）-1.t=Lotd（Zo）-1t+（Zo）-1tdLot+dhLo（Zo）-1it=ZotMotouotσt（Zo）-1tdWot+uotσt（Zo）-1tdt+Дot（Zo）-1tdNot！+（Zo）-1t·（ДotdWot+ψtdNot）+（Z·）-1tИotuotσtdt+（Zo）-1tψotuotσtd hWo，Noit{z}=0=MotuotσtdWot+Motuotσtdt+MotДotdNot+（Zo）-1tхotdWot+（Zo）-1tψotdNot+（Zo）-1tИotuotσtdt=Motuotσt+（Zo）-1tхot·dWot+uotσtdt+MotИot+（Zo）-1tψotdNot=Motuotσt+（Zo）-1tхotdBot+MotИot+（Zo）-1tψotdNot.Set(R)Дot：=Motuotσt+（Zo）-1tИot和|ψot：=MotДot+（Zo）-1tψot，则Mo的形式为Mot=Mo+Zt‘？udBou+Zt‘？ψoudNou，0≤ t型≤ T、 式中，(R)Дo=（(R)Дo）T∈[0，T]和\'ψo=（\'ψo）T∈[0，T]是Go-可预测过程满足RT（(R)ДoT）dt<+∞, P-a.s.，和RT |(R)ψot | | dAo|<+∞, P-a.s.，根据备注3.11（b）以及Z和M的路径连续性，参见【26】。设置π：=(R)Дo/σ，然后保持rt（πuσu）du<+∞, P-a.s。现在让我们给出主要结果的证明。提奥·雷姆3.16的证据。^y的存在∈ （0，+∞) 和λ*≥ 0，以便方程式（25）在附录A中得到验证。

我们证明存在一个交易策略^ζ=（^π，^ψ）∈ π（Go，x），对于Corres-ponding财富过程x^ζ，它保持：x^ζ（t）=Eoh^R | Goti。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值15定义M（t）=Eoh^R | Goti，0≤ t型≤ T因为对于0≤ s≤ 我们有Eo[M（t）| Gos]=EohEoh^R | Goti | Gosi=Eoh^R | Gosi=M（s），M是一个Po-鞅w.R.t。过滤Go。通过引理3.17，我们得到：M（t）=M（0）+Zt^πuσudBou+Zt^ψudNou，0≤ t型≤ T、 对于某些Go-可预测过程^π=（^πT）T∈[0，T]和^ψ=（^ψT）T∈[0，T]满足RT（πTσT）dt<+∞, P-a.s.，和RT |^ψt | | dAot |<+∞, P-a.s.，当M（0）=Eo[R]=x时，它保持：x^ζ（t）=M（t）=Eo[R | Got]≥ 0，因为^R是非负的。因此，^ζ确实在∏（Go，x）中。对于最优性，让我们考虑另一个ζ∈ π（Go，x）。通过不等式（3），它保持：~Uλ*（^R）=Uλ*（￠Iλ）*（^yZoT））=μλ*（X^ζ（T））≥Uλ*（Xζ（T））+^yZoT·R- ^yZoT·Xζ（T）。从Eo[Xζ（T）]≤ x、 它如下所示：EhUλ*（X^ζ（T））i≥ EhUλ*（Xζ（T））+^yZoT·R- ^yZoT·Xζ（T）i=EhUλ*（Xζ（T））i+^yEhZ·T·^Ri- EZoT·Xζ（T）= EhUλ*（Xζ（T））i+^yEoh^Ri- EoXζ（T）≥ EhUλ*（Xζ（T））i。因此，^ζ是问题3.1的最优解。对于^ζ的唯一性，让我们看看最优投资过程X^ζ是如何唯一的：对于这一点，让我们假设存在ζ，ζ∈ π（Go，x），使得xζ，xζ对于问题3.1是最优的。然后我们定义ζ，使得Xζ=（Xζ+Xζ）。通过损失函数L和函数U的凸性-我们有that xζ∈ X（Go，X）。但另一方面，由于U的凹度，它成立，即EhU（Xζ（T））i=EhU（1/2（Xζ（T）+Xζ（T）））i≥EhU（Xζ（T））+U（Xζ（T）））i=EhU（Xζ（T））i，其中，由于Xζ和Xζ的最优性，我们在第二条直线上相等。因此，我们必须得到Xζ（T）=Xζ（T），P-a.s。接下来，我们证明了最优投资过程必须满足（25）。

首先，让我们从Eo[X^ζ（T）]=X开始。假设Eo[X^ζ（T）]=0。显然我们有X^ζ（T）≡ 0，s公司e^ζ∈ π（Go，x）。让我们考虑一下传输策略|ζ=（|π，|ψ）≡ （0，0）。它认为X|ζ（t）=X，t∈ [0，T]。特别是我们得到了Xζ（T）>X^ζ（T），P-a.s.，以及U的凹性和L和U的凸性-它要求Xζ∈ X（Go，X）andEhU（Xζ（T））i>EhU（X^ζ（T））i，这与X^ζ的最优性相矛盾。现在，假设Eo[X^π（T）]=a<X。选择交易策略ζ*使Xζ*=xaX^ζ。它认为eo[Xζ*（T）]=x和xζ*> X^ζ。通过U，L和U的单调性-我们有Xζ*∈ X（Go，X）和[U（Xζ*（T））]>E[U（X^ζ（T））]；与X^ζ最优性的矛盾。最后，条件E[L(-X^ζ（T））]=ε后接ε的假设∈ （6）和（7）中定义了[εmin，εmax]，这意味着风险约束具有约束力。总之，它认为最优投资过程ssX^ζ是唯一的，并且必须满足（25）。接下来，让我们证明最优风险最小化交易策略^ζ是唯一的：假设存在ζ=（π，ψ），ζ=（π，ψ）∈ 满足xζi（t）=Eo[R | Got]，i=1，2的∏（Go，x）。我们证明π≡ π。它保持：x+ZTψudNou=^R-ZTπuσudBou=x+ZT（πu- πu）σudBou+ZTψudNou.16 OLIVER Jankeince No和Bo是正交的，因此ZTψudNou！= EZT（πu- πu）σudBou！+ EZTψudNou！= E“ZT（πu- πu）σudu#+EZTψudNou！,当且仅当π≡ π。最后，我们通过优化值过程Xζ，Xζ的唯一性得出Xζ（t）=Eo[R | Got]=Xζ（t），t∈ [0，T]，并得出ztψudNou=Xζ（T）-ZtπuσudBou- x=xζ（t）-ZtπuσudBou- x=ZTψudNou，所以我们还有ψ≡ ψ。备注3.18。如果我们只在过滤中假设me（NA1），那么优化问题甚至有一个解决方案。因为假设3.10（b）下的GWholds的鞅表示定理和较弱的无套利假设下的GSit st illholds的鞅表示定理（参见。