风险和信息下的效用最大化与无差异价值

然后存在F-可测随机变量^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0使得对于最优解^R=~Iλ*（^yZT），它认为EhZT·R | Fi=x，P a.s.，EhL(-^R）| Fi=ε，P-a.s。我们首先表明存在a^y∈ （0+∞) 使每个λ都能满足预算约束E[ZT·Iλ（^yZT））| F]=x，P-a.s≥ 0.对于固定λ≥ 0让我们定义函数Hω：（0+∞) → （0+∞] byHω（y）：=EhZT·￠Iλ（yZT））| Fi（ω）。然后我们得到以下结果。引理A.3。（参见[2，引理5.2]），如果它认为Hω对于P是有限的-几乎所有ω∈ Ohm, 然后存在一个可测的随机变量^y∈ （0+∞) 使得Hω（^y）=x，这表示P-a.eω∈ Ohm 唯一定义。接下来，我们证明了Second Lagrange乘子的存在性。这是通过几个步骤完成的。引理A.4。在与引理A.2相同的假设下，设^y（λ）为满足预算约束的值。然后，函数^y（λ）/λ为P-A.s.对于F-可测λ，减小∈ （0+∞) 特别是limitlimλ→∞^y（λ）λ∈ [0+∞)存在，P-a.s.证明。设0<λ<u，定义α：=u/λ>1。引理A.1（vi）中有thatx*（u，^y（u）ZT）=x*αλ，αλ^y（u）uZT≤ x个*λ、 λ^y（u）uZT.由此我们得到thatx=E[ZTx*（u，^y（u）ZT）| F]≤ EZTx公司*λ、 λ^y（u）uZT| F, P-a.s.现在，让我们假设^y（λ）/λ在λ中没有减少，即^y（u）/u>^y（λ）/λ，P-a.s.通过引理a.1（iv）让我们考虑y≥ λ^y（u）u>λ，使得x=E[ZTx*（λ，yZT）| F]，P-a.s.但通过Le mma a.3，溶液^y（λ）是唯一确定的，因此我们得到y=λy（u）u=λ，P-a.s。；矛盾。因此，^y（λ）/λ正在减小。定义R（λ）=Iλ（^y（λ）ZT）风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值23非负F-可测随机变量λ。通过给定λ的^y（λ）的唯一性，可以很好地定义该表达式。引理A.5。

在与引理A.2相同的假设下，let（λn）n∈Nbe一个非负F可测随机变量序列，收敛到F可测λ≥ 0，P-a.s.则存在一个子序列（λnj）j∈确保^R（λnj）收敛到^R（λ），P-a.s.证明。考虑相应的正序^y（λn）n∈N、 然后，它认为它是P-a.s有界的，因为从另一个角度来看，会有一个子集N Ohm P（N）>0且子序列（nk）k∈n确保子序列（^y（λnk（ω）））k∈Nis随limk增加→∞^y（λnk（ω））=+∞ 对于所有ω∈ N、 Fo rλ*（ω） ：=最大∈NλN（ω）i根据引理A.1（iv）&（v）证明^R（λnk（ω））≤ x个*（λ*（ω） ，k的^y（λnk（ω））ZT）0→ ∞,这意味着，通过单调的c收敛theo-rem，x（ω）≤ 0表示所有ω∈ N矛盾。此外，序列^y（λn）n∈N将P-a.s.远离零，否则将有一个子集N′ OhmP（N′）>0且子序列e（nl）l∈n确保（^y（λnl（ω）））l∈Nis随liml降低→∞对于所有ω，^y（λnl（ω））=0∈ N′。Fo rλ*（ω） ：=明尼苏达州∈NλN（ω）由于引理A.1（iv）&（v），它认为^R（λnl（ω））≥ x个*（λ*（ω） ，^y（λnl（ω））ZT）+∞ 对于l→ ∞,这将通过单调c收敛theo-rem暗示x（ω）=+∞ 对于所有ω∈ N′；因此，对于P-a.e.ω∈ Ohm 序列（λn（ω））n∈n收敛，存在子序列（nj）j∈与非y（ω）∈ （0+∞) 这样limj→∞^y（λnj（ω））=y（ω）。有了这个，我们就有了limj→∞^R（λnj（ω））=x*（λ（ω），y（ω）ZT）。对于y*（ω） ：=最大值∈N^y（λnj（ω））和y*（ω） ：=minj∈N^y（λnj（ω））我们有界x*（λ*（ω） ，^y*（ω） ZT）≤^R（λnj（ω））≤ x个*（λ*（ω） ，^y*（ω） ZT），并通过x=limj的支配收敛定理→∞EhZT·R（λnj）| Fi=E【ZT·x】*（λ，yZT）| F]，P-a.s.，完成证明。然后我们用下面的引理A.6来总结证明。让引理A.2中的相同假设成立。对于P-a.e.ω∈ Ohm 函数kω：[0+∞) → R、 λ7→ 弹流润滑油(-^R（λ））| Fi（ω）是连续的。

此外，它认为limλ→0kω（λ）=εmax（ω），limλ→∞kω（λ）=εmin（ω），对于P-a.e.ω∈ Ohm, 式中，εmax和εmin分别在（7）和（6）中定义。证据我们首先证明函数k是P-a.s.c连续的：Let（λn）n∈Nbe正可测随机变量序列收敛到F可测λ，P-a.s.现在，选择一个子序列（nj）j∈确保limj→∞^R（λnj）=^R（λ），P-a.s.类似于我们对λ的引理a.5的证明*（ω） ：=minj∈Nλnj（ω）和y*（ω） ：=最大值∈N^y（λnj（ω）），引理A.1（iv）&（v）that0≤ L(-^R（λnj（ω）））≤ L(-x个*（λ*（ω） ，y*（ω） ZT））适用于所有j∈ N和P-a.e.ω∈ Ohm这样它就遵循了支配收敛定理thatlimj→∞kω（λnj）=limj→∞弹流润滑油(-^R（λnj））| Fi（ω）=弹流润滑(-^R（λ））| Fi（ω）=kω（λ）。现在，让（λn）n∈Nbe一个正F-可测随机变量序列，收敛到0，P-a.s.，然后它变为：limn→∞kω（λn）=kω（0）=弹流润滑(-^R（0））| Fi（ω），其中^R（0）=I（^y（0）ZT）=I（^y（0）ZT）。这正是没有风险约束的效用最大化问题的结果（参见[3，命题4.5]），也就是说，没有其他的或有条件条件使终端财富的预期效用最大化。因此，我们有→∞kω（λn）=弹流润滑(-^R（0））| Fi（ω）=εmax（ω），对于P-a.e.ω∈ Ohm.24 OLIVER Janke对于另一种说法，考虑F-可测随机变量c*:= limλ→∞^y（λ）/λ。显然，c*≥ 现在，假设c*（ω） ω=0∈ N Ohm 满足P（N）>0。Letω∈ N

然后我们发现ε（ω）>0对应的u（ω）>0使得对于任何λ（ω）≥ u（ω）我们通过引理A.1（iv）得到了^R（λ（ω））≥ x个*（λ（ω），λ（ω）ε（ω）ZT）。通过这个引理和引理A.1（viii），可以得出x（ω）=EhZT^R（λ）| Fi（ω）≥ E[ZTx*（λ，λεTT）| F]（ω）λ→∞-E[ZTH（εZT）| F]（ω），其中右侧等于+∞ 对于ε（ω）→ 损失函数L的性质为0；矛盾。因此，c*> 0，P-a.s.此外，如果λ>n表示n∈ N、 P-a.s.，根据引理a.1（vi）和（viii），它认为-H^y（n）n·ZT≤ x个*λ、 λ··^y（n）n·ZT, P-a.s.Next，引理a.1（iv）&（vi）和^y（n）n·λ≥ ^y（λ）≥ c*λ、 P-a.s.，它认为X*λ、 λ··^y（n）n·ZT≤^R（λ）≤ x个*（λ，c*λ·ZT）≤ x个*（1，c*· ZT），P-a.s。通过应用控制c收敛theo-rem和引理a.1（viii），我们得到了thatx=EhZT^R（λ）| Fiλ→∞-→ E类[-H（c*ZT）| F]，P-a.s.我们注意到，因此λ→∞^R（λ）=-H（c*ZT）、P-a.s.和c*是P-a.E.ω的方程x=E[ZTH（cZT）]的解∈ Ohm. 此外，通过引理A.1（viii），我们得到了thatlimλ→∞kω（λ）=limλ→∞弹流润滑油(-^R（λ））| Fi（ω）=E[L（H（c*· ZT））| F]（ω）对于P-a.e.ω∈ Ohm 这等于εminsince- H（c*· ZT）解决方案(-十） | F]-→ ess输入与预期效用最大化相同的参数。参考文献【1】Acerbi，C.&Tasche，D。（2002年），《预期短缺：风险价值的自然一致替代品》，载于：Banca Monte dei Paschi di Siena SpA的经济说明，31（2），第379-388页。[2] Amendinger，J.（2000），《最初扩大过滤的鞅表示定理》，载于：随机过程及其应用，89，第101-116页。[3] Amendinger，J.、Becherer，D.&Schweizer，M.（2003），《投资组合优化中初始信息的货币价值》，载于《金融与随机》，7（1），第29-46页。[4] Artzner，P.、Delbaen F.、Eber，J.-M.&Heath，D.（1999年），《连贯的风险度量》，载于《数学金融》，第9期，第203-228页。[5] Bertsimas，D.，Laprete，G.J。

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