风险和信息下的效用最大化与无差异价值

[15，提案3.10]。因此，过程Zo可能不是真鞅，我们无法将Po定义为概率测度，而过程Bo只是一个漂移的P-布朗运动。然而，我们得到了与定理3.16相似的结果：唯一最优风险最小化交易策略^ζ=（^π，^ψ）∈ π（Go，x）和相应的财富过程x^ζ满足x^ζ（t）=x+Zt^πuσ（u，~Su）dBou+Zt^ψudNou=（Zo）-1tEhZoT^RoGoti，T∈ [0，T]。同样，让我们在本小节末尾给出一个与示例3.9中相同的效用和损失函数的示例。示例3.19。设U（k）=ln k，L（k）=-kbe已给出。现在，问题3.1的最佳终端值由^R=1+p1+12λ给出*^yZoT2^yZoT，其中^y和λ*对于最优财富过程X^ζ，它认为X^ζ（t）=X+Zt^πudsu+Zt^ψudNou=X+Zt^πuσudBou+Zt^ψudNou=E“1+p1+12λ*^yZoT2^yZoTGot#。此外，投资者的输出由U（Go，x）=E[U（R）]=E“ln1+p1+12λ给出*^yZoT2^yZoT！#。3.4。价格过程过滤。现在让我们考虑一下过滤FS：=（FSt）t∈[0，T]，其中我们称FStre表示截至时间T的风险资产pric e过程的知识，但随机时间不一定是FS停止时间。这种过滤是由中央市场推动的，投资者没有其他信息，例如市场参数何时会改变。首先，让我们陈述一下价格过程的代表性。这一过滤。引理3.20。（参见[15，引理4.2]）假设第2.1条和第3.10条（a）款规定了真实值。

存在anFS布朗运动\'W=（\'Wt）t∈[0，T]，以及平方可积的FS可预测过程‘u=（‘uT）T∈[0，T]，使得对于所有T∈ [0，T]，其中，u定义为uT：=p（1[0，τ]）Tu（T，S（T））+p（1（τ，T）））Tu（T，S（T））+p（1[0，τ]θ）Tσ（T，S（T））+p（1（τ，T]θ）Tσ（T，S（T）），其中pdenotes可预测投影，σ=（T）T∈（2）中给出了[0，T]。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值17正如注释3.8和3.18中所述，我们考虑了无套利的较弱条件：假设。它在过滤FS中持有（NA1）。这是等效侵权（(R)uu/σu）du<+∞, P-a.s.，参考【15，提案4.3】。让我们定义一个过程‘‘Z=（’Zt）t∈[0，T]由'Zt：=exp(-Zt？uuσud？Wu-Zt公司uuσudu），对于所有t∈ [0，T]。此外，定义一个漂移的FS布朗运动“B=（”Bt）t∈[0，T]乘以“Bt=”Wt+Zt“uuσudu，0≤ t型≤ T、 假设（NA1）定义良好。让我们区分以下三种情况：（a）相同的挥发性：σ（t，x）=σ（t，x）=：σ（t，x），对于所有（t，x）∈ [0，T]×R.（b）不同的波动率函数：σ（T，x）6=σ（T，x），对于任何（T，x）∈ [0，T]×R.（c）n开集上的挥发度差异：O：=（t，x）∈ [0，T]×R：σ（T，x）6=σ（T，x）,它既不是空集，也不是整个空间[0，T]×R。我们在接下来的小节中研究这些情况。3.4.1。相同的挥发性。

假设：σ（t，x）=σ（t，x）=：σ（t，x），对于所有（t，x）∈ [0，T]×R。在这种情况下，过滤FS中的~S的典型分解由以下公式给出（见mma 3.2 0）：~St=Ztuudu+Ztσ（u，~Su）d'Wu，对于所有T∈ [0，T]。连续过程σ（·，~S·）是FS自适应的，从不为零，因此它是FS可预测的。与定义3.5类似，我们分别用∏（FS，x）和x（FS，x）表示可接受交易策略和相应财富过程的集合，其中π∈ π（FS，x）我们有（27）xπ（t）=x+Ztπud？Su=x+Ztπu？uudu+Ztπuσ（u，Su）d？Wu，0≤ t型≤ T、 其中首字母大写x∈ 假设R大于零。假设（NA1）和Rt（πuσ（u，~Su））du<+∞, P-a.s.，方程式（27）定义得很好，因为Cauchy-Schwarz不等式表示RTπt'utdt<+∞, P-a.s.这一小节的主要结果是：定理3.21。假设假设2.1和3.10（a）以及（NA1）成立。此外，设E[(R)ZT·▄Iλ（y'ZT）]<+∞ 对于所有y∈ （0+∞). 然后，问题3.1的最优终端财富R由R=~Iλ给出*^y'ZT,where^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0表示（28）（Eh'ZT·'Iλ*（^y？ZT）i=x，EL(-(R)R）= ε。独特的最优交易策略‘∏∈ π（FS，x）和相应的财富过程x'π满足：x'π（t）=x+Zt'πuσ（u，Su）d'Bu='Z-1t·E\'ZT\'R | FSt.18 OLIVER Jankefroof。根据过程Z和B的定义，对于所有t∈ [0，T]，对于π∈ π（FS，x）财富过程xπ允许代表xπ（t）=x+ZtπudSu=x+Ztπuσ（u，~Su）d'Bu，对于所有t∈ [0，T]。因此，Xπ是FS适应的。现在，它认为每个进程M=（Mt）t∈[0，T]使过程“Z”M=（“Zt”Mt）T∈[0，T]是一个martingalew。r、 t。

过滤FSA的表示为（29）’Mt=’M+Ztπuσ（u，Su）d’Bu，0≤ t型≤ T、 对于某些π∈ π（FS，x），使用与引理3.7中相同的参数，其中我们使用鞅表示性质（参见[15，命题4.6]）：每个FS局部鞅'L=（'Lt）t∈[0，T]接受“Lt=”L+ZtudWu”形式的表示，对于所有T∈ [0，T]，式中|Μ=（|ΜT）T∈[0，T]是一个具有RT(R)Иtdt<+∞, P-a.s.接下来，我们证明了对于“R”，存在一个交易策略“π”∈ π（FS，x），使得x'π（t）='Z-1t·E\'ZT\'R | FSt.定义M（t）=Z-1tE\'ZT\'R | FSt, 0≤ t型≤ T因为对于0≤ s≤ 它保持：E“Zt”M（t）| FSs= E“Zt”Z-1t·E\'ZT\'R | FSt|FSs公司=\'Zs\'Z-1s·E\'ZT\'R | FSs=“Zs”M（s），“Z”M是一个鞅w.r.t。过滤FS。通过（29），我们得到：’M（t）=’M（0）+Zt’πuσud’Bu，0≤ t型≤ T、 带“M（0）=”ZE\'ZT\'R | FS= x、 因此，它认为x'π（t）=M（t）=中兴通讯\'ZT\'R | FSt≥ 0，因为“ZT”R为非负。所以，π确实在∏（FS，x）中。^y的存在∈ （0+∞) 和λ*≥ 0，使得方程（28）在附录A中成立。对于其余的证明，只需遵循定理3.6中的公式即可。在这种情况下，金融市场是完整的，在金融市场中，资产可以进行w.r.t.交易。其自身产生的融资是完整的，在这个意义上，所有有界FST可衡量的或有权益都可以通过可接受的交易策略完美复制–即使我们只主张（NA1）而不是（NFLVR），参见[15，推论4.7]。3.4.2。完全不同的波动性。假设：σ（t，x）6=σ（t，x），对于任何（t，x）∈ [0，T]×R。该条件意味着在停止时间τ之后的整个时间间隔（τ，T）上，S的波动性是不同的。在这种情况下，第3.3小节的所有结果对于过滤FS都是有效的，因为我们得到了以下结果。建议3.22。（参见[15，建议4.4]）假设假设假设2.1和3.10（a）成立。

然后，τisan FS停止时间与过滤FS和gse重合。3.4.3。S emi相同的挥发性。假设：O：=（t，x）∈ [0，T]×R：σ（T，x）6=σ（T，x）6. {, [0，T]×R}，σ（0，0）6=σ（0，0）。确定非递减序列（ρk）k∈Nof随机变量，迭代定义为：ρ=0，ρ2k-1=inf{ρ2k-2<t≤ T：（T，St）/∈ O}∨ T、 ρ2k=inf{ρ2k-1<t≤ T：（T，St）∈ O}∨ T、 引理3.23。（参见[15]）对于任何k∈ N、 随机变量ρkis是FS停止时间。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值19序列（ρk）k的成员∈可以这样选择，即在闭合区间i的并集上，两个波动率σ（t，St）和σ（t，St）相等：=∞[k=1[ρ2k-1，ρ2k]且在开放区间上不相等：=∞[k=1（ρ2k-2，ρ2k-1） ，因为O是一个开集。与定义3.13类似，我们分别用∏（FS，x）和x（FS，x）表示可接受的交易策略集和相应的财富过程集，其中ζ=（π，ψ）∈ π（FS，x）我们有0≤ t型≤ T（30）Xζ（T）=X+ZtπudSu+ZtψudNSu=X+Ztπu？uudu+Ztπuσud？Wu+ZtψudNSu，其中初始资本X∈ R的总和大于零，NSI的定义如引理3.12（ii）所示。假设（NA1）和Rt（πuσu）du<+∞, P-a.s.，（30）定义得很好，因为根据CauchySchwarz不等式，它认为RTπt|utdt<+∞, 此外，我们将考虑定义3.15中定义的风险最小化交易策略。本小节的主要结果如下：定理3.24。假设假设2.1和3.10（a）以及（NA1）成立。此外，设E[(R)ZT·▄Iλ（y'ZT）]<+∞ 对于所有y∈ （0+∞).

然后，问题3.1的最优终端财富^R由^R=~Iλ给出*^y'ZT,where^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0是指（31）Eh'ZT·'Iλ*（^y？ZT）i=x，EhL(-^R）i=ε。唯一最优风险最小化交易策略^ζ=（^π，^ψ）∈ π（FS，x）和相应的富裕过程x^ζ满足：x^ζ（t）=x+Zt^πuσud'Bu+∞Xk=1Zρ2k-1.∨tρ2k-2.∨t^ψudNSu=\'Z-1tEh'ZT^R'FSti。为了证明该定理，让我们首先陈述鞅表示定理，它是当波动率完全相同时，GS和FSF的相应鞅表示定理的推论。引理3.25。在与定理3.24相同的假设下，它认为每个过程^L=（^Lt）t∈[0，T]以使过程Z^L=（\'Zt^Lt）T∈[0，T]是一个鞅w.r.T。过滤FSI的形式为（32）Lt=L+Ztπuσud'Bu+∞Xk=1Zρ2k-1.∨tρ2k-2.∨tψudNSu，0≤ t型≤ T、 其中π=（πT）T∈[0，T]和ψ=（ψT）T∈[0，T]是满足rt（πuσu）du的FS可预测随机过程<+∞, P-a.s.，和RT |^ψt | | dASt | dt<+∞, P-a.s.证明。由于鞅r的表示性质也可以在局部集上定义，因此任何FS局部鞅在集上都具有引理3.17中给出的表示（ρ2k-2，ρ2k-1） ，k∈ N、 和（29）中给出的集合上的表示式[ρ2k-1，ρ2k-1] ，k∈ N我们现在给出这一小节主要结果的证明。定理3.24的证明。^y的存在∈ （0+∞) 和λ*≥ 0使得方程式（31）保留在附录A中。20 OLIVER JANKELet us表明存在交易策略^ζ=（^π，^ψ）∈ π（FS，x），对于相应的财富过程x^ζ，它保持：x^ζ（t）=Z-1tEh'ZT^R'FSti。定义M（t）=Z-1tEh'ZT^R'FSti，0≤ t型≤ T通过与定理3.21的证明相同的论证，它认为'ZM是一个P鞅w.r.t。过滤FS。

通过引理3.25，我们得到存在^ζ=（^π，^ψ）∈ π（FS，x），使得M（t）=M（0）+Ztπuσud'Bu+∞Xk=1Zρ2k-1.∨tρ2k-2.∨t^ψudNSu，0≤ t型≤ T、 当M（0）=E[\'ZT^R]=x时，它认为x^ζ（T）=M（T）=Z-1tEh'ZT^R'FSti。^ζ的最优性和唯一性以及定理3.16证明中的类似参数。同样，让我们在本小节末尾给出一个与示例3.9中相同的效用和损失函数的示例。示例3.26。设U（k）=ln k，L（k）=-kbe已给出。现在，问题3.1的最佳终端值由^R=1+p1+12λ给出*^y'ZT2^y'ZT，其中^y和λ*对于最优财富过程X^ζ，它认为X^ζ（t）=X+Ztπuσud'Bu+∞Xk=1Zρ2k-1ρ2k-2^ψudNSu=E“1+p1+12λ*^y'ZT2^y'ZTFSt#。此外，投资者的输出由U（FS，x）=E[U（^R）]=E“ln1+p1+12λ给出*^y？ZT2^y？ZT！#。3.5。效用差异值。现在让我们来评估额外信息的货币优势有多大。为此，让我们定义例如[3]中提到的效用差异值。定义3.27（效用差异值）。设F=（Ft）t∈[0，T]和G=（Gt）T∈[0，T]两个考虑过的过滤，使得F G、 附加信息G的效用差异值定义为方程（33）u（F，x）=u（G，x）的解c=c（x- c） 。效用差异值描述了投资者愿意为额外信息支付的最大价值，因此他不区分使用哪些信息从terminalwealth优化其效用。如果u（G，·）和u（F，·）是三次递增、连续和有限的，并且存在y>0，使得u（F，x）>u（G，y），则存在一个解。此外，由于∏（F，x） π（G，x），表示u（F，x）≤ u（G，x）表示所有x，因此c是非负的。

为了得到一些明确的结果，我们必须假设组合效用和损失函数有一个共同的类型，即它是幂函数或对数函数。因此，让我们考虑U（k）=-k+1和L（k）=-k、 然后满足定义2.4和2.6的所有特性。假设εmin≤ ε≤ 对应过滤的εmax。定理3.28。设F，G∈ {eGW，eGS，GW，GS，FS}这样F G和ZF，zg对应的密度。此外，假设2.1以及相应小节中的所有假设都成立。然后效用差值由（34）c（x）给出=1.-EqZGT | GEqZFT | F· x、 风险和不完全约束下的效用最大化和无差异价值证明。我们有▄Uλ（k）=-k+1-3λkandIλ（k）=q1+3λk。设H∈ {F，G}并让ZHbe在几个小节中定义相应的密度过程。然后，最优终端财富由^R=s1+3λ给出*^yZHT，它认为^y=E[qZHT（1+3λ*)]x个.此外，值过程u允许表示（35）u（H，x）=1-x个·EqZHT | H.我们只需替换（35）中的F和G，并计算相应的c。我们发现，效用差异价格仅取决于密度过程ZF和ZG。根据（34）的正条件，它认为E[qZFT | F]≥ E【qZGT | G】其中，两种条件预期的差异越大，G中包含的信息就越多。请注意，如果F或G最初是扩大过滤，那么公用事业差异价格是一个随机变量。结论在本文中，我们考虑了一个在风险约束下的期望效用最大化问题，该问题具有关于潜在布朗运动和随机变化点的不完全信息。这是通过不同的过滤建模的，其中随机时间是停止时间或确定性时间。

代理人的偏好由一般效用函数衡量，风险由基于效用的短缺风险衡量。对于五种不同的过滤，我们使用鞅方法给出了温和假设下的最优解。此外，我们还计算了一种特殊效用的效用差异值和损失函数，该函数用于衡量投资者获得额外信息的收益。与其他作者相比，我们只考虑了由一个布朗运动驱动的一只股票。未来研究可以将其扩展到多维模型，即使有多个变化点。此外，与考虑最优终端财富的最大化问题不同，可以在模型中添加消费过程，类似于[29]中的设置。需要进一步研究的一个有趣的问题是，在这种假设下，可以给出最优交易策略的显式公式。此外，预期效用和预期损失均采用w.r.t.相同过滤模型。当最大化代理和风险监管机构拥有由不同过滤建模的不同信息时，可以寻求最佳解决方案。这个问题还涉及过滤技术，是正在进行的研究的一部分。附录A.拉格朗日乘数的存在在本节中，我们证明了两个拉格朗日乘数y和λ的存在，从而满足预算约束和风险约束。证明对本文考虑的所有过滤都有效，我们将编写∈ {eGW、eGS、GW、GS、FS}以及相应的Ft∈ {eGWt，eGSt，GWt，GSt，FSt}，t∈ [0，T]，并考虑相应的基因ral密度过程Z∈ {eZW，eZS，ZW，ZS，\'Z}。我们将[1 9，引理6.1]的论点推广到非平凡σ-fieldsegwandegs。

因此，对于这些过滤，乘数不再是真实值，而是可测量的随机变量。假设U和L分别是定义2.4和定义2.6中定义的效用函数和损失函数。Le tus表示L的一阶导数与H的倒数：=（L′）-1、我们定义λ，y（x）：=U（x）- λL(-x）- yx，x∈ （0+∞).那么它成立了：引理A.1。（参见[19，引理A.1]）（i） gλ，yis在（0+∞).（ii）gλ，yis的最大值由x给出*（λ，y），这是方程U′（x）+λL′的唯一解(-x） =y.22 OLIVER JANKE（iii）函数x*: [0，∞) ×（0，∞) → （0，∞) 是连续的。（四）x*（λ，y）在λ固定时在y中减小，在λ固定时在λ中增大。（v） 我们有limy→∞x个*（λ，y）=0和limy→0x个*（λ，y）=+∞ 对于固定λ。（vi）对于α≥ 1它认为x*（αλ，αy）≤ x个*（λ，y）。（vii）损失函数L的导数的逆函数H在[0，L′（0）上连续且严格递增-)]. 如果e∈ （0，L′（0-)) u：=U′（H（e）），那么我们得到了所有λ≥ 0，thatx*（0，u）=x*（λ，u+λe）。（viii）让c:R+→ R+be随limx减小→∞c（x）=c>0。那么它认为limλ→∞x个*（λ，~c（λ）·λ）=-H（c）。此外，x*（λ，cλ）收敛到-H（c）从上面单调地。（ix）它认为supx>0{-λL(-x）- yx}=-λLHyλ+ yH公司λλ.现在，我们证明了预算和风险约束的拉格朗日乘数存在，并且这两个约束都被等式所满足。引理A.2。让假设（5）成立，让值（6）和（7）存在。此外，设E[ZT·Iλ（yZT））| F]<+∞, P-a.s。