风险和信息下的效用最大化与无差异价值

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英文标题：
《Utility Maximization and Indifference Value under Risk and Information
  Constraints for a Market with a Change Point》
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作者：
Oliver Janke
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this article we consider an optimization problem of expected utility maximization of continuous-time trading in a financial market. This trading is constrained by a benchmark for a utility-based shortfall risk measure. The market consists of one asset whose price process is modeled by a Geometric Brownian motion where the market parameters change at a random time. The information flow is modeled by initially and progressively enlarged filtrations which represent the knowledge about the price process, the Brownian motion and the random time. We solve the maximization problem and give the optimal terminal wealth depending on these different filtrations for general utility functions by using martingale representation results for the corresponding filtration. Moreover, for a special utility function and risk measure we calculate the utility indifference value which measures the gain of further information for the investor.
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中文摘要：
本文研究金融市场中连续时间交易的期望效用最大化问题。这种交易受到基于公用事业的短缺风险度量基准的限制。市场由一项资产组成，其价格过程由几何布朗运动建模，其中市场参数在随机时间变化。信息流是通过初始和逐步扩大的过滤来建模的，这些过滤表示关于价格过程、布朗运动和随机时间的知识。对于一般效用函数，我们利用鞅表示结果来解决最大化问题，并根据这些不同的过滤给出最优终端财富。此外，对于一个特殊的效用函数和风险度量，我们计算了效用无差异值，它度量了投资者获得更多信息的收益。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Utility_Maximization_and_Indifference_Value_under_Risk_and_Information_Constrain.pdf (412.44 KB)

2022-5-26 21:04:58 上传

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关键词：效用最大化 最大化 maximization Indifference Mathematical

具有变化点的市场在风险和信息约束下的效用最大化和无差异价值Oliver JANKEAbstract。在本文中，我们考虑金融市场中连续时间交易的预期效用最大化的优化问题。该交易受到基准f或基于公用事业的空头风险度量的限制。市场由一项资产组成，其价格过程由几何布朗运动建模，其中市场参数在随机时间变化。信息流由最初和逐步扩大的过滤来表示，这些过滤代表了关于价格过程、布朗运动和随机时间的知识。我们通过使用相应过滤的鞅表示结果来解决最大化问题，并根据这些不同的过滤给出一般效用函数的最优终端财富。此外，对于一个特殊的效用函数和风险度量，我们计算效用差异值，该值衡量投资者获得更多信息的收益。1、导言处理效用最大化问题通常有两种方法：动态规划方法和Kramkov&Schachermayer[28]，besidesothers，在一般不完全半鞅模型中使用的对偶或鞅方法。我们在这里使用的鞅方法的主要思想是通过将其表示为so me等效测度下的一个鞅来获得最优终端财富，并找到相应的最优值过程。Bielecki和Rutkowski【6】、Callegaro等人【7】、Jeanblanc和Song【24】等人讨论了此类表示定理，另见其中的参考文献。Fontana等人的最新作品。

[15] 已建立的鞅表示导致了一类一般的连续资产价格模型，其中漂移、波动率以及驱动B-rownian运动在随机时间发生变化，而不一定是s-Toping时间。受该模型的启发，本文考虑了在连续时间Black-Scholes市场中，由一个布朗运动驱动的只有一个风险资产的不完全信息下，在短期风险约束下的效用最大化问题。因此，与其他作者相比，我们处理的是漂移以及波动过程在随机时间变化的情况，并使用几种过滤来模拟投资者的信息缺口：他们表示到目前为止的价格过程或基本布朗运动的知识，以及随机变化点发生时间的知识。因此，本文还对最初扩大的过滤进行了建模。[15] 建立了这些滤波器的鞅表示结果，我们将使用这些结果来解决优化问题。我们使用价格过程的典型Lipschitz条件，并考虑正半轴上定义的一般效用函数，该函数满足INDA条件，以及凸损失函数建模的基于效用的风险度量。假设存在布朗运动和最小等价局部鞅测度w.r.t。给定的过滤首先表示必须服从的最优或有权益。

根据基础过滤，市场是完整的，即任何意外目标都可以通过自我融资交易策略进行对冲，或者不完整的，即相应的交易策略不再是自我融资，而是意味着自我融资和风险最小化。此外，我们还比较了投资者获得额外信息的收益：我们计算了较小和较大过滤之间的效用差异值，即投资者愿意为额外信息支付的较大价格，以便在两种信息流下其最终产出相同。对于初始放大过滤，该值被[3]考虑为幂、对数和指数效用函数。投资组合优化是现代金融数学的一个中心领域。从默顿（Merton）[33]解决了终端财富对幂、对数和指数效用函数的效用最大化问题开始，许多作者在不同数学模型中考虑了类似的问题：2016年10月27日。2010年数学学科分类。初级91G10、94A17；辅助60G40、60G44、91B25、91B70。关键词和短语。效用最大化、风险约束、不完全信息、随机时间、变化点、鞅方法、过滤放大、信息价值。作者感谢乌尔里希·霍斯特（UlrichHorst）、李庆华（QinghuaLi）和安娜·玛丽亚·哈姆（AnnaMariaH-amm）提出的有益意见和建议。2 OLIVER JANKE金融市场。Artzner等人[4]创立了一个新的研究分支，从数学上定义了风险度量，然后由F¨ollmer&Schied等[12]进一步发展。有了这一金融产品的新指标，风险约束下的投资组合优化问题成为一个活跃的研究课题。

过去的金融危机使人们对投资组合策略带来的风险更加警惕。许多作者广泛研究了一种特殊的风险度量，即短缺风险，例如Leibowitz和Henriksson【31】、Rockafellar和Uryasev【36】、Acerbi和Tasche【1】、Bertsimas等人【5】和Goldberg等人【18】，仅举其中一些作者的例子。Janke&Li[22]和其他作者最近在General l semimar tingale框架中解决了shortfallrisk约束下的效用最大化问题。他们表明，在效用函数和损失函数的温和假设下，拉格朗日函数是一个通常的效用函数，其渐近弹性小于1。然后，可以通过Kramkov和Schachermayer引入的对偶方法求解效用为Lagrange函数的无约束最大化问题[28]。近年来，在不完全信息的附加主题下考虑了投资组合优化。与以前的工作不同，这意味着投资组合经理不能完全访问金融市场的所有信息，例如，他只观察股票价格，但不确切知道漂移和波动性参数，这似乎是一种更现实的方法。从数学上讲，这是由代表代理人信息流的价格过程等产生的不同过滤建模的。他所选择的财富过程必须适应给定的过滤，该过滤通常小于基本布朗运动产生的过滤。Lakner【29】解决了Black-Scholes金融市场中消费以及终端财富次部分信息的效用最大化问题。在这里，投资者不知道潜在的布朗运动和漂移过程，他们的交易决策必须适应价格过程的自然过滤。

后来在【30】中，他用高斯过程对漂移进行建模，并推导出了这种情况下的最优交易策略。其他作者也考虑了类似的模型：Hahn等人[20]考虑了Hobson-Roge的波动性模型。因此，投资者只有在了解股票价格的情况下才能最大化其预期效用。通过Malliavin演算，他们导出了最优交易策略的显式公式，并将其结果应用于市场数据。Frey等人【16】以及Nagai和Rungga-ldie r【34】解决了对数和电力公用事业的效用最大化问题，并基于非标准化和标准化滤波器值确定了该部分可观测问题的完整观测问题。通过动态规划方法，他们得到了一个非线性偏微分方程，并导出了一个唯一的vis-costity解，该解通常可以通过蒙特卡罗模拟计算。按照sa me方法，Capponi等人[8]使用了由一张股票、一张可违约债券和一个银行账户组成的投资组合。将部分观测问题化为完全观测的ris k-敏感控制问题。将该问题分解为两个子问题，得到了两个耦合的最优值函数DHJB方程。Mania和Santacro c e【32】以及Covello和Santacroce【9】提出了一个幂函数和指数效用函数的优化问题，其中投资者只有关于价格过程的信息。将相关值过程表示为可观测过程，然后将其描述为唯一半鞅倒向随机微分解。阿蒙丁格（Amendinger）[2]和阿蒙丁格（Amendinger）等人[3]考虑了效用最大化问题，但投资者在时间零点已经有了额外的信息，这是由最初扩大的过滤建模的。

他们使用鞅表示定理来解决优化问题。Gabih【17】和Rudloff等人【37】考虑了不完全信息风险约束下的相关效用最大化问题。两者都使用了基于效用的短缺风险a s风险度量，并对应于[29，30]，假设了一个未知的布朗运动和漂移过程，该过程由有限状态马尔可夫链建模。他们用Malliavin演算解决了这个问题并得出了最优交易策略。与关于这一主题的现有工作相比，我们考虑了风险约束和不同信息台下的效用最大化问题，据我们所知，文献中尚未涉及这些问题。因此，我们填补了之前关于效用最大化的工作之间的差距——在没有（如[29]）或最初扩大过滤（如[3]）的不完整信息下，以及在有风险约束（如[22]）的情况下，-在风险约束和未知漂移参数（如[37]）和效用差异定价的情况下，对于初始扩大的具有共同效用函数的过滤（如[3]），风险和不完全约束条件下的效用最大化和无差异值3和鞅表示结果，其中只有价格过程已知，且市场参数变化为随机时间（例如[15]）。本文的其余部分如下：在第2节中，我们介绍了金融市场、考虑过的过滤，并给出了无套利的最重要定义、效用函数以及r isk度量。

接下来，在主要章节3中，我们首先制定一般约束优化问题，并推导出无约束辅助问题（第3.1小节），然后针对不同的过滤解决该问题，首先针对最初扩大的过滤（第3.2小节），然后针对逐步扩大的过滤（第3.3小节），最后针对价格过程过滤（第3.4小节）。然后，我们计算一个特殊效用和lo-ss函数的效用差异值，以测量投资者额外信息的增益（第3.5小节）。我们在第4.2节中总结了本文。modelLet(Ohm, A、 P）是一个给定的概率空间，让T∈ （0+∞) 成为固定的时间范围。让我们假设本文中介绍的所有随机变量和随机过程都是度量值。r、 t.σ-代数br作为A和A B（[0，T]）。Le t A=（A（t））t∈[0，T]进行过滤(Ohm, A、 P）假设为正确连续且P-c完整，稍后指定。让我们介绍一下市场中的随机变化点，即在0和T之间的随机时间，市场参数将发生变化。它由随机时间τ表示：Ohm → R+，这是一个A-可测量的随机变量，不一定是A-停止时间，参见[15]及其模型。此外，设W=（Wt）t∈[0，T]是上的一维布朗运动(Ohm, A、 P）。现在让我们考虑一个有一个债券（无风险）和一个股票（有风险）的金融市场。由于简单，只设置了两种股票。我们假设利率r=0，股票的（贴现）价格过程遵循几何布朗运动，由s=SE（~s）给出，其中E（~s）=exp（~s-h~S，~Si/2）de注意到了随机指数。

进程▄S=（▄St）t∈[0，T]由以下公式得出：（1）（dSt={t≤τ}u（t，~S（t））+1{t>τ}u（t，~S（t））dt公司+{t≤τ}σ（t，~S（t））+1{t>τ}σ（t，~S（t））dWt，~S=0。让我们首先陈述一些关于漂移和挥发过程的Lipschitz条件的技术假设。假设2.1。对于i=1，2，函数ui：[0，T]×R→ R*σi:[0，T]×R→ （0+∞) areBorel可测函数和满足：（a）存在一个常数K>0，使得：|ui（t，x）- ui（t，y）|≤ K | x- y |，|σi（t，x）- σi（t，y）|≤ K | x- y |，对于所有t∈ [0，T]，对于所有x，y∈ R、 i=1，2。（b） 函数（t，x）7→ σi（t，x）在（t，x）中联合连续∈ [0，T]×R，对于i=1，2。A=（At）t∈[0，T]描述了(Ohm, A、 其中，过程S是半鞅。此外，让我们定义一下本文：σt：=1{t≤τ}σ（t，~St）+1{t>τ}σ（t，~St），0≤ t型≤ T、 （2）定义2.2。满足（i）Q的概率测度Q~ P，即P（A）=0当且仅当Q（A）=0（P<< Q<< P）对于任何可测集A，（ii）价格过程S是Qis下的局部鞅，称为等价局部鞅测度。所有等价的局部鞅测度集用Qe表示。为了处理金融市场的不完整信息，我们可以在本文中考虑不同的过滤。它们代表了布朗运动W或价格过程S到预定时间的知识以及随机时间τ的知识。在几个小节中对其进行了严格定义。让我们用FW=（FWt）t表示∈[0，T]和FS=（FSt）T∈[0，T]由Wand S分别生成的过滤，即FWt：=σ（W（S）：S≤ t） 重新呈现布朗运动的知识，fst：=σ（S（S）：S≤ t） 表示时间t之前的价格过程知识。

此外，对于一般问题，我们使用过滤F=（Ft）t∈[0，T]这是所考虑的过滤集合中的一个元素。此外，设L（S，F）表示所有S-可积F-可预测过程的集合。所有F-local4 OLIVER JANKEmartingales家族由Mloc（F）表示。金融市场中的交易通常与无套利假设有关，这一假设直观地说明了投资者在没有风险的情况下无法确保盈利。无障碍地产有不同的定义。在本文中，我们将重点讨论其中的两个。定义2.3（无套利）。（参见[27，10]）（a）如果P（ζ>0）>0，并且如果对于任何x∈ （0+∞) 存在元素hx∈ L（S，F）使x+RhxdS≥ 0、P-a.s.和x+RThxtdSt≥ ζ、 P-a.s.如果不存在这样一个随机变量，我们说第一类无套利（NA1）条件适用于F.（b）a序列（hn）n∈N L（S，F）满足RHnds是P-a.S.有界的，从下面开始，对于所有n∈ N、 如果t存在ε>0且非负序列（δN）N增加，则可以得到F中风险为零的免费午餐∈NTNTDST>-1+δn，P-a.s.和P（RThntdSt>ε）≥ ε、 福尔n∈ N、 如果不存在这样的后果，我们说与瓦尼斯·辛格里斯克（Vanis hingRisk）共进午餐不免费（NFLVR）的条件适用于F。现在，让我们考虑一下，投资者通过一个外生的时间和状态独立的效用函数来评估他的偏好。直观地说，效用函数U比较了不同现金金额给投资者带来的满意度。严格来说，效用函数U定义如下。定义2.4（效用函数）。