金融市场内生和外生波动之间的相互作用

因此，我们考虑引入更多与外部信息或订单流噪声相关的回流源的机会。换言之，我们确实怀疑基于代理人内生动力学的金融市场建模，因此将其与高频外部噪声的现象学描述相结合。人们普遍接受用标准模型[34]来描述金融市场中资产价格S（t）的动态，即几何布朗运动DST=St（utdt+σtdW），（17）其中ut代表缓慢变化的趋势，σt代表缓慢变化的波动率，W代表布朗运动（维纳过程）。方程式（17）中维纳过程的物理解释最近被认为是金融布朗粒子与真实金融市场中的有限订单流发生碰撞的运动【65】。这是我们将W解释为高频外来噪声源的又一个论点，该噪声源包含通过顺序流的信息流。我们很自然地假设σtre反映了我们在前一节中讨论过的agent系统内生状态的缓慢变化。式（17）中的长期趋势由缓慢变化的ut来描述，这可以被视为反映基本价格的缓慢变化或外生噪音的持续趋势。为了简化我们的任务，合理的做法是用收益建模来限制研究，而忽略价格的长期变动，这与u（t）量化的外部信息有太多关系-σt。因此，我们从公式（17）中确定了在非常短的时间段δ内的短期回报率rδ（t），其中σt可以假设为常数，rδ（t）=σtωt。（18）这里ω是一个具有零均值和单位方差的高斯噪声。请注意。（18） 与自回归条件异方差（ARCH）模型族中的收益定义一致。

波动率σt被假设为绝对内生对数价格的线性函数| p（t）|定义在等式（12）中σt=b（1+a | p（t）|），（19）这里，当我们以同样的方式对模型和经验序列进行归一化时，b=1，作为归一化参数观察；确定内生动力学对观测时间序列的影响。模型由等式定义。（18） 和（19），包括由σ描述的内生动态部分和由ωt描述的外生噪声部分。内生价格p（t）的替代，式（12），由式（q）计算。（14-16）对于NF和ξ，转化为等式。（18-19）完成了模型，包括内部和外部的波动。可以证明[66]，这种模型类似于非线性GARCH（1,1）模型的版本[67，68]。同时，提出的模型基于多重分形点过程[61，62]，应被视为霍克斯自激点过程模型的替代模型[69]。现象学和纯随机模型对市场动态没有足够的洞察力。基于代理的模型的优点是能够洞察真实生活和真实人类行为，这可以通过参数进行量化。这些模型可以修改，首先，引入外生和内生波动之间的关系，其次，调整其时间尺度。选择的时间窗口δ受到σthas变化不可忽视的要求的限制。然而，我们可以在更长的时间窗口内计算回报 通过总结连续短期回报Srδ（t）r（t）=/δXi=1rδ（t+iδ）。（20） 因此，返回r的结果系列（t） 已经纳入了金融市场的内生和外生影响。内生和外生波动的相互作用可能会受到实际市场中观察到的日内波动的影响。

为了解释每日模式，在参数b中引入了时间依赖性，即b（t）=bexp[-（{tmod1}- 0.5）/w]+0.5，（21），其中w表示日内波动的宽度。虽然该模型旨在再现绝对收益的长期依赖性和幂律行为，但从我们的角度来看，它非常适合研究绝对收益PDF、PSD和收益区间的经验数据中反映的内生和外生噪声的相互作用【21–23】。在[26]中，我们已经根据纽约证券交易所和外汇交易所的经验数据调整了给定模型的参数。这组参数取得了良好的一致性：δ=1/390交易日=3.69分钟。这相当于1纽约证券交易所交易分钟，εcf=1.1和εfc=3，εcc=3，H=1000调整了经验和模型时间序列的SDS，a=1和aτ=0.7是确定市场收益和交易活动对代理国人口的敏感性的经验参数，根据经验分析[55–58]选择α=2，h=0.3×10-8秒-1是主要的时间尺度参数，用于调整模型以适应实时尺度。（a） -1.0-0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0-7-6-5-4-3-2-10Log10（绝对返回）Log10（PDF）（b）-3-2-1 0 1 2-4-202Log10（f）Log10（PSD）图3。数值结果显示了一分钟模型的不同组成部分( = δ=1/390交易日）回报。（a） 绝对返回的固定PDF：仅nc/nf=（1- nf）/nfin时间步长δ（实线灰线）；对于| rδ（t）|，常数ξ≡ 1和b≡ 1（细灰线）；和常数b≡ 仅1（黑色虚线）；（b） 与（a）中相同变量的PSD。

在此贡献中，所有其他模型参数都是相同的。[26]中显示，具有相同参数集的拟议金融市场模型再现了绝对回报的PDF和PSD，以及从具有回报定义时间的纽约和外汇市场分析的所有资产的波动性回报区间统计数据 从一分钟到一个月不等。在这里，我们展示了这些统计特性如何依赖于所提出模型的组成噪声。首先，长期宪章主义原教旨主义动力学由比率nc/nf=（1）描述-nf）/式（14）定义的nf。其次，保持ξ和b不变，我们通过分析| rδ（t）|和| r（t） |。第三，我们分析了当乐观-悲观动态ξ（t）也打开时的绝对回报序列。在图3中，我们展示了这三个时间序列的PDF（a）和PSD（b），当 = δ=交易日的1/390。我们可以观察到，这些一阶和二阶统计数据的幂律行为首先由图3中的灰色实线表示的NC/nfdynamics定义。当我们添加外部噪声（细灰线）时，它会稍微变换PDF，使其更平滑，并变换高频区域的PSD，使其成为白噪声。当我们添加ξ的高频波动（虚线黑线）时，它们不会在PDF中反映出来，这实际上与之前的情况一致，但会影响PSD，这表明从低频到高频的平稳过渡。在图4中，我们展示了与inFig相同的模型组件的行为。3，但根据每日收益定义， = 1天。

返回时间序列的提取在子图（a）和（b）中给出，其中调制信号（黑线）与返回会计外部噪声（灰线）进行比较：在子图（a）ξ中≡ 1和子图（b）中包括海图动态。图（c）中给出了返回的固定PDF，其中实心黑线表示nc/nf，细灰线添加了外部噪声，虚线还包括ξ函数。请注意，当时间尺度 超过这些波动的特征时间。我们在子图（d）中绘制了绝对收益的PSD，这表明幂律指数对高频和外生波动都有很强的依赖性。收益率的经验和模型PSD的相同比例, 见【26】，确认在金融市场建模中考虑高频内生和外生波动是至关重要的，因为这些波动有助于长期统计特性（低频率的PSDF）。（a） 0 200 400 600 800 1000-505101520t[Δ]返回（b）0 200 400 600 800 1000-10-5051015t[Δ]返回（c）-2-1 0 1 2-7-6-5-4-3-2-10Log10（绝对返回）Log10（PDF）（d）-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.51.01.52.02.53.0Log10（f）Log10（PSD）图4。数值结果显示了b≡ 1.

（a） nc/nf=（1）示例- nf）/nf时间序列（黑线）与返回r的比较（t） （灰线）保持ξ常数计算；（b） nc/nfξ（t）时间序列（黑线）与返回r的比较示例（t） （灰色线）用图表师的情绪ξ计算；（c） 绝对收益的固定PDF：justof nc/nf=（1- nf）/nf（实心黑线），共| r（t） |，常数ξ≡ 1（细线）和| r（t） |带常数b≡ 仅1（黑色虚线）；（d） 与（c）中相同变量的PSD，nc/NF上限，ξ下限。所有其他模型参数在此贡献中都是相同的。5、波动率回报区间的统计特性金融市场中高波动率回报区间的研究仍在继续[21–26，70]。让我们从所提出的模型和其中包含的各种噪声的角度讨论收益率区间的统计特性。等式的幂律性质。（2） （14）从我们的角度来看，包括指数为3/2的脉冲持续时间幂律PDF，是理解波动率收益区间统计数据的关键。如前一节所述，我们分析了所提出模型中包含的噪声分解，试图将其输入显示在ReturnInterval Tq的PDF中。回忆绝对返回间隔Tq的定义，如图5所示。为了揭示TqPDF的标度特性，我们通过其“平均值”对TqPDF序列进行归一化。我们研究了绝对收益的离散序列| r（t） |计算模型的四种不同成分：a）r（t） =nc/nf，等式（14）；b） r（t） 由等式定义。（20） 和（18），σt=1+a | nc/nf |；c） 与σt=1+a | nc/nfξt |相同，包括ξ函数；d） 与之前相同，包括公式（21）中定义的季节性bde和σt=b（1+a | nc/nfξt |）。图5：。返回间隔Tq的定义。

收益区间TQ高于某个阈值q的价格变化波动率之间的区间，以收益的标准偏差单位来衡量。此处，绝对收益时间序列中显示了阈值q=2和q=4的两个值。在图6中，我们绘制了4个比例TQPDF的子图，用于模型返回的4个提及成分和 = δ=390个交易日的1/390。在每个子图中，阈值q={1.5、2、2.5、3、5、10、15}的7个值的PDF由相应的希腊字母{α、β、γ、δ、θ、π、τ}给出。正如我们所料，在（a）的情况下，收益序列是由一维随机过程驱动的，根据第一次击中时间理论[33–36]，该过程导致所有阈值q的收益间隔PDF的3/2幂律。请注意，时间步长 = 这些返回序列的δ=1/390与1/h相比非常小，因此信号的离散性并不重要。在子图（b）中，信号包括外源性噪声，这是导致返回间隔PDF中出现一些指数型截断的原因。对于低阈值q，这种影响更大，而对于高值q，这种影响实际上会消失。当我们添加高频内生函数ξ，（c）子图时，TQ的PDF不会发生显著变化，因为δ<<hH。即使根据子图（d）中的动态季节性（等式（21）），PDFsof Tq也不会经历显著变化。

因此，我们得出结论，外部噪声与内生动力学的相互作用是导致TqPDF的幂律行为失效的关键因素。ααααααααααααααααααααααααααααααααααααβββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（a）-1 0 1 2 3 4-6-4-20Log10ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπππππππππππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（b）-2-1 0 1 2-6-4-202Log10ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααβββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδΔΔΔΔΔΔΔΔθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπππααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（d）-2-1 0 1 2-6-4-202Log10（T<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>。波动率回报区间的缩放PDF Tqfor = δ=1/390交易日，标准化收益阈值q={1.5、2、2.5、3、5、10、15}，其中数值直方图的点用希腊字母{α、β、γ、δ、θ、π、τ}表示q的相应值。当TqValue通过序列平均值进行标准化时，分布在对数-对数标度中绘制。（a） 仅nc/nf的PDF=（1- nf）/nf用时间步长计算; （b） r的PDF（t） 由等式定义。

（20） 和（18），σt=1+a | nc/nf |；（c） 与之前的PDF相同，σt=1+a | nc/nfξt |包括ξ函数；d） 与之前的PDF相同，包括公式（21）中定义的季节性bde和σt=b（1+a | nc/nfξt |）。所有其他模型参数在此贡献中都是相同的。根据3/2幂律，直线引导眼睛。在图7中，我们绘制了模型返回的相同4个成分的4个子图 = 390δ=交易日。阈值和PDF的相应符号的值与前面的图中相同。在这种情况下，连续随机过程的日常步骤nc/NF导致返回序列的离散性，甚至在最简单的情况下，（a）在没有外部噪声的情况下，TQPDF与3/2幂律的偏差出现在所有阈值q的高TQ值区域和最高阈值的低TQ值区域。

尽管如此，对于中等保留值，仍存在Tqpower定律3/2行为的某些区域。ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（a）-2-1 0 1 2 3-6-4-20Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）αααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθττττττττττττ（b）-2-1 0 1 2-6-4-20Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）ααααααααααβββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδΔΔΔΔΔθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδΔΔΔΔΔΔθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>>PDF）图7。