决策分析中的Choquet积分——公理化的教训

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英文标题：
《Choquet integral in decision analysis - lessons from the axiomatization》
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作者：
Mikhail Timonin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The Choquet integral is a powerful aggregation operator which lists many well-known models as its special cases. We look at these special cases and provide their axiomatic analysis. In cases where an axiomatization has been previously given in the literature, we connect the existing results with the framework that we have developed. Next we turn to the question of learning, which is especially important for the practical applications of the model. So far, learning of the Choquet integral has been mostly confined to the learning of the capacity. Such an approach requires making a powerful assumption that all dimensions (e.g. criteria) are evaluated on the same scale, which is rarely justified in practice. Too often categorical data is given arbitrary numerical labels (e.g. AHP), and numerical data is considered cardinally and ordinally commensurate, sometimes after a simple normalization. Such approaches clearly lack scientific rigour, and yet they are commonly seen in all kinds of applications. We discuss the pros and cons of making such an assumption and look at the consequences which axiomatization uniqueness results have for the learning problems. Finally, we review some of the applications of the Choquet integral in decision analysis. Apart from MCDA, which is the main area of interest for our results, we also discuss how the model can be interpreted in the social choice context. We look in detail at the state-dependent utility, and show how comonotonicity, central to the previous axiomatizations, actually implies state-independency in the Choquet integral model. We also discuss the conditions required to have a meaningful state-dependent utility representation and show the novelty of our results compared to the previous methods of building state-dependent models.
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中文摘要：
Choquet积分是一种强大的聚合算子，它列出了许多著名的模型作为其特例。我们研究这些特殊情况，并提供它们的公理分析。在文献中已经给出公理化的情况下，我们将现有结果与我们开发的框架联系起来。接下来，我们将讨论学习问题，这对于模型的实际应用尤其重要。迄今为止，Choquet积分的学习主要局限于能力的学习。这种方法需要做出一个强有力的假设，即所有维度（例如标准）都是在同一个尺度上进行评估的，这在实践中很少是合理的。分类数据常常被赋予任意的数字标签（如AHP），数字数据被认为是基本和顺序相称的，有时在简单的标准化之后。这种方法显然缺乏科学严谨性，但在各种应用中都很常见。我们讨论了做出这样一个假设的利弊，并考察了公理化唯一性结果对学习问题的影响。最后，我们回顾了Choquet积分在决策分析中的一些应用。除了MCDA（这是我们研究结果的主要兴趣领域）之外，我们还讨论了如何在社会选择背景下解释该模型。我们详细研究了依赖于状态的效用，并展示了在Choquet积分模型中，作为先前公理化核心的共单调性实际上是如何暗示状态独立的。我们还讨论了具有有意义的状态相关效用表示所需的条件，并显示了我们的结果与以前构建状态相关模型的方法相比的新颖性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Artificial Intelligence        人工智能
分类描述：Covers all areas of AI except Vision, Robotics, Machine Learning, Multiagent Systems, and Computation and Language (Natural Language Processing), which have separate subject areas. In particular, includes Expert Systems, Theorem Proving (although this may overlap with Logic in Computer Science), Knowledge Representation, Planning, and Uncertainty in AI. Roughly includes material in ACM Subject Classes I.2.0, I.2.1, I.2.3, I.2.4, I.2.8, and I.2.11.
涵盖了人工智能的所有领域，除了视觉、机器人、机器学习、多智能体系统以及计算和语言（自然语言处理），这些领域有独立的学科领域。特别地，包括专家系统，定理证明（尽管这可能与计算机科学中的逻辑重叠），知识表示，规划，和人工智能中的不确定性。大致包括ACM学科类I.2.0、I.2.1、I.2.3、I.2.4、I.2.8和I.2.11中的材料。
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PDF下载：
--> Choquet_integral_in_decision_analysis_-_lessons_from_the_axiomatization.pdf (253.1 KB)

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关键词：Choquet 决策分析 CHO Applications Presentation

决策分析中的Choquet积分——公理化的经验教训。Mikhail Timo n inJune 2021年8月28日摘要【Timonin，2016年】我们开发了一种大众多准则决策模型的一般公理化处理——Choquet积分。本文将我们的结果推广到Choquet积分的特殊情况，分析Choquet积分模型学习的一些方面，并讨论我们的结果在决策理论中的应用。1简介【Timonin，2016年】我们对流行的多准则决策模型——Choquet积分——进行了一般公理化研究。本文将我们的结果推广到Choquet积分的特殊情况，分析Choquet积分模型学习的一些方面，并讨论我们的结果在决策理论中的应用。Choquet积分是一种强大的聚合算子，它列举了许多著名的模型作为其特例。在本文中，我们将研究这些特殊情况，并提供它们的公理分析。在文献中已经给出假设的情况下，我们将现有结果与我们开发的框架联系起来。接下来，我们将讨论学习问题，这对于模型的实际应用尤为重要。到目前为止，Choquet积分的学习主要与容量的学习有关。这种方法需要做出一个强有力的假设，即所有维度（如标准）都在相同的尺度上进行评估，这在实践中是正确的。分类数据常常被赋予任意的数字标签（如AHP），数字数据被认为是基本和顺序相称的，有时在简单的标准化之后。这种方法显然缺乏科学严谨性，但在各种应用中都很常见。

我们讨论了做出这样一个假设的利弊，并考察了我们的唯一结果对学习问题的影响。最后，我们回顾了介绍中讨论的一些应用程序。作为我们研究结果的主要关注领域，我们还讨论了如何在社会选择背景下解释该模型。我们详细研究了依赖于状态的效用，并展示了在Choquet积分模型中，作为先前公理化核心的共单调性实际上是如何暗示状态独立的。我们还讨论了具有有意义的状态依赖效用表示所需的条件，并显示了我们的结果与以前构建状态依赖模型的方法相比的新颖性。2扩展ns2.1序数模型Choquet积分的不稳定序数特例有：o最小/最大o阶统计量（k-最小元素）OSkoL位多项式pAB。此外，最小值/最大值是OSk（k=1，k=n）的特例，而OSk是格点多项式模型的特例，从以下定义可以看出。定义1。<如果存在值函数φi：Xi，则可用MIN表示→ 所有x，y∈ X我们有X<y<==>^我∈Nφi（xi）≥^我∈Nφi（yi），（1），其中vm表示最小值。定义2。<如果存在值函数φi：Xi，则可以用MAX表示→ 所有x，y∈ X我们有X<y<==>_我∈Nφi（xi）≥_我∈Nφi（yi），（2），其中w表示最大值。定义3。<可以用顺序统计量OSk表示，如果e x i st值f函数sφi：Xi→ 对于所有x，y∈ X我们有X<y<==> φ（k）（x（k））≥ φ（k）（y（k）），（3），其中φ（k）（z（k））表示f或（φ（z）的第k个最小元素，φn（zn））。顺序统计数据可以用CNF和DNF格式编写（例如Ovchinnikov，1996）：OSk=^KN | K |=K\\u i∈Kφi（xi）=\\u KN | K |=N-k+1^i∈Kφi（xi）。

（4） 显然，MIN和MAX是k=1和k=n的oskw的特殊情况。合取范式和析取范式。定义4。<如果存在值函数sφi：Xi，则可以用一个平面多项式pAB表示→ 对于所有x，y∈ X我们有X<y<==> pAB（φ（x），φn（xn））≥ pAB（φ（y），φn（yn）），（5），其中pAB（φ（z），φn（zn））是包含（φ（z），…，元素的表达式，φn（zn））和符号∨ 和∧.我们也可以在DNF和CNF中编写任意Lat tice多项式：pAB（φ（z），φn（zn））=^KA\\U i∈Kφi（xi）=\\u MB^i∈Mφi（xi），（6），其中A 2和B 2n是N的子集的集合。显然，阶统计量，因此MIN和MAX是阶多项式的特例。以下结果表明，所有修正模型都是Choquet积分的特例。定理1（Murofushi和Sugeno，1993）。关于容量ν的Choquet积分是格点多项式函数，当且仅当ν是0–1容量（即仅取0或1）。此外，r上的任何晶格多项式函数都是关于0–1容量的Choquet积分。2.2序数模型的先前特征上一节中所述模型的一些已知特征是由Bouyssou等人【2002年】得出的，另见Sounderpandian【1991年】和Segal and Sobel【2002年】。定理2（Bouyssou等人，2002年）。<如果<是弱序且以下等效条件成立，则可以由MAX重新表示：1。就我而言∈ N、 xi，易∈ Xi，a-i、 b类-我∈ 十、-土地w∈ 十、 我们有[夏-i<w]=> [是啊-i<w或xib-i<w]（7）2。对于所有x，y∈ 十、 我∈ N： [十九-i<x]或[yix-i<x]（8）3。就我而言∈ N、 易∈ Xi，z-我∈ 十、-i、 x个∈ 十： [是的-我 x]=> [是的-我 x] 。（9） 定理3（Bouyssou等人，2002年）。<如果<是弱序且以下等效条件成立，则可以用MIN表示：1。

就我而言∈ N、 xi，易∈ Xi，a-i、 b类-我∈ 十、-土地w∈ 十、 我们有-i]=> [w<yia-iOR w<xib-i] （10）2。对于所有x，y∈ 十、 我∈ N： [x<xiy-i] 或[x<yix-i] （11）3。就我而言∈ N、 易∈ Xi，z-我∈ 十、-i、 x个∈ 十： [X yix公司-i]=> [x 伊兹-i] 。（12） 定理4（Bouyssou等人，2002年2月）。<可以用OSn表示-1如果<是弱序，并且以下等效条件成立：1。就我而言，j∈ N（i 6=j），xi，yi∈ Xi、xj、yj∈ Xj，a-我∈ 十、-i、 b类-j∈ 十、-j、 c类-ij公司∈ 十、-ijand w∈ 十、 我们有[夏-i<w和xjb-j<w]=> [是啊-i<w或yjb-j<w或xijc-ij<w]（13）2。对于所有x，y∈ 十、 i，j∈ N（i 6=j）：[xiy-i<x和xjy-j<x]或[yijx-ij<x]（14）3。对于所有x，y∈ 十、 所有i，j∈ N（i 6=j）和所有z-ij公司∈ 十、-ij：【yix】-我 x和yjxj x]=> 【yijz】-ij公司 x] 。（15） 2.3有序模型的统一表征：pAB和子会话最小值和最大值是OSk的特例，而OSk又是格多项式模型pAB的特例，因此需要为所有这些模型建立统一表征。在本节中，我们提供了实现此结果的一些步骤。定理5.<可以用一个格多项式来表示，pABif<是一个弱阶，满足A2，对于任何w，x∈ X存在K∈ 上午∈ B带K∩ M 6=, 这样对于任何-K∈ 十、-坎德b-M∈ 十、-Mwe有：（w<x=> w<a-KxK，K∈ A、 x<w=> b-MxM<宽，米∈ B、 （16）请注意，由于集合A和B是有限的，因此公理也可以重新编写，类似于前一节中的条件，即使用“或”统计。然而，我们觉得这种形式更加紧凑。上述公理的部分情况包括OSkand最小/最大引理1。<可以用OSkif表示<是弱序，满足A2，对于任何w，x∈ X存在K:K N、 | K |=K和M：M N、 | M |=N- k+1带k∩ M 6=, 这样对于y a-K∈ 十、-坎德b-M∈ 十、-Mwe有（w<x=> w<a-KxK，x<w=> b-MxM<w.（17）引理2。

<可以用MIN表示，如果<是弱序，对于任何w，x∈ Xexists i公司∈ N，这样对于任何a-我∈ 十、-我有（w<x=> w<a-ixi，x<w=> x<w.（18）引理3。<如果<为弱序，则可以用MAX表示，对于任何w，x∈ Xexists i公司∈ N，对于任何b-我∈ 十、-我有（w<x=> w<x，x<w=> b-最后两个引理中的第二个条件是平凡的，给出它只是为了强调公理与上述公理的相似性。此外，请注意，最小/最大特征中的第一个条件与第2.2节中给出的条件相同。虽然最后两个引理中的条件对于MINand MAX的表征是有效的，但一般来说，（16）的变化不足以刻画pABandOSk。其中一个原因是，在最小/最大情况下，公理意味着我们的A2（在Bouyssou等人【2009】中称为AC1的定理），换句话说，它们意味着在各个维度上存在弱序。这似乎不是我们所拥有的PAB和OSK条件的情况。因此，我们必须在前两个结果中添加A2。2.4我们的框架中序数模型的特征【Timonin，2016】我们给出了当每个子集Xsih仅为一个基本变量时，情况下Choquet积分的构造细节。我们现在提供有关此结果的更多详细信息。引理4。设定理的条件？？保持并让每个XSa上只有一个基本变量。那么，ν是0–1的容量。证据紧接着就是施工（见第？？？节）。每x一次∈ X wehave C（ν，X）=fi（xi），其中i是XSi上的变量本质 x、 根据Choquet积分的定义和ν的单调性，可以得出νo只取0和1的值。引理5。

设定理的条件？？保持并让每个XSa上只有一个基本变量。o<可由pAB重新呈现；o如果每个XSiis上的基本变量是R-最小值，那么<可以用MIN表示；o如果e very XSiis上的基本变量是R-最大值，那么<可以用MAX；o表示如果每个XSI上的基本变量都是R-k-最小值，那么<可以用OS表示- k、 证明。第一个陈述来自定理1。其他后续构造和表示（？）的唯一性性质在序数情况下（见定理？？）。如果S序是不完全的，那么只有一个R序可以存在，这与A3、A7和每个XSa上只有一个变量是必要的条件不矛盾。这源于容量的唯一性和值函数的唯一性属性。2.5基数模型在基数函数的情况下，Choquet积分的特殊情况与容量的凸性有关。我们给出了凸容量的一个特征（凹情况很容易通过反向引用获得）。注意，在二维情况下，关于凸capa citiescoincides的Choquet积分类与Gilboa–Schmeidler-maximin模型类一致。在n维的一般情况下，每个关于凸容量的Choquet积分都是Gilboa–Schmeidler模型–该积分是关于容量核心概率分布的整数的最小值【Gilboa和Schmeidler，1994年】–但不是其他方式。据我们所知，这是第一个仅使用<的原语表征电容凸性的结果，适用于顺序或混合以及纯cardina LCase，即适用于标准序列不可用的情况。定理6。

设条件A1-A9和结构方程hold。那么，所有i，j都有a10-凸性∈ N和所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj，andall z-ij公司∈ 十、-ijwe haveaipjz-ij公司~ biqjz公司-ijairjz公司-ij公司~ bisjz公司-ijcipjz公司-ij公司~ diqjz公司-ijdi<icirj<jsj=> cirjz公司-ij<disjz-ij，（20）在aipjz提供j R i-ij，biqjz-ij、airjz-ij，~ bisjz公司-ij、cipjz-ij，diqjz-ijand i R j atcirjz-ijand disjz-ij，当且仅当ν是凸容量。证据由于条件A1–A9和结构假设成立，因此存在<的Choquetintegral表示。我们可以用它来证明定理的陈述。如果对于所有i，j，电容是凸的∈ N、 A N、 i 6=j我们有【Chateauneuf和Jaffray，1989】：Xi，j∈BAm（B）≥ 0。（21）首先，让cirjz-ij公司 disjz公司-ij。我们可以用Choquet积分的M¨obius形式写出上述条件。N的所有子集可分为四组：oA：A i、 A 6 joA：A j、 A 6 ioA：A i、 A joA:A 6 i、 A 6 j、 因此，公理中每个点的值函数可以写如下。例如，对于aipjz-ij（注意，我们合并了A:A i、 A 6 j和A:A i、 A jgroups凭借aipjz的j R i-ij）：XAim（A）水貂∈A.-ij[fi（ai），fk（zk）]+XAjA6型im（A）水貂∈A.-ij[fi（pj），fk（zk）]+XAi、 jm（A）水貂∈A.-ij【fk（zk）】。（22）写下这四个条件，在一些琐碎的代数变换之后，我们以可读性的名义省略了这些变换（前两个条件求和，加上后两个条件的和并简化），我们得到（23）XAi、 jm（A）水貂∈A.-ij【fi（di），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fi（ci），fk（zk）】+XA公司i、 jm（A）水貂∈A.-ij【fj（rj），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fj（sj），fk（zk）】< 我们将证明上述表达式的两个求和都是非负的。考虑人XAi、 jm（A）水貂∈A.-ij【fi（di），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fi（ci），fk（zk）】.

（24）差异fi（di），fk（zk）]- 水貂∈A.-ij[fi（ci），fk（zk）总是非负的，当a={i，j}时，s di<icioma ximalo不随a的增大而增大。注意，通过凸性，m（{i，j}）≥ 因此，m（{i，j}）水貂∈【fi（di）、fk（zk）】- 水貂∈【fi（ci）、fk（zk）】= m（{i，j}）（fi（di）- fi（ci））≥ 0。（25）接下来，找到最大fk（zk），k∈ 注意，在上面的表达式中，我们只有一个元素mink∈A.-ij【fi（di），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fi（ci），fk（zk）】，其中kis不是冗余的（因为它是最大的）。We getm（{i，j}）（fi（di）- fi（ci））+m（{i，j，k}）（min[fi（di），fk（zk）]- 最小值[fi（ci），fk（zk）]）≥ [m（{i，j}）+m（{i，j，k}）]（min[fi（di），fk（zk）]- 最小值[fi（ci），fk（zk）]）≥ 0。（26）第一个不等式是因为m（{i，j}）≥ 第二个是因为m（{i，j}）+m（{i，j，k}）≥0，根据凸性标准。现在选择第二大fk（zk），k∈ N\\i，j，k。使用相同的参数，我们得到m（{i，j}）（fi（di）- fi（ci））+m（{i，j，k}）（min[fi（di），fk（zk）]- min[fi（ci），fk（zk）]）+m（{i，j，k}）（min[fi（di），fk（zk）]- min[fi（ci），fk（zk）]）+m（{i，j，k，k}）（min[fi（di），fk（zk）]-最小值[fi（ci），fk（zk）]）≥ [m（{i，j}）+m（{i，j，k}）+m（{i，j，k}）+m（{i，j，k，k}）]（min[fi（di），fk（zk）]- 最小值[fi（ci），fk（zk）]）≥ 继续这样，我们可以添加越来越多的元素，并最终得出结论XAi、 jm（A）水貂∈A.-ij【fi（di），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fi（ci），fk（zk）】≥ 0。（28）类似地，XAi、 jm（A）水貂∈A.-ij【fj（rj），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fj（sj），fk（zk）】≥ 因此，我们已经证明，如果容量是凸的，则公理必然成立。为了展示相反的结果，假设公理在X上成立。写下公理的条件并像以前一样简化，我们得到X上的每个地方都应该有（30）XAi、 jm（A）水貂∈A.-ij[fi（di），fk（zk）]+水貂∈A.-ij【fj（rj），fk（zk）】≥XA公司i、 jm（A）水貂∈A.-ij【fi（ci），fk（zk）】- 水貂∈A.-ij【fj（sj），fk（zk）】.假设i，j相互作用。

如果情况并非如此，则凸性标准对于ri，j来说是微不足道的，因为上述表达式中的所有m（A）都是0（见引理？？）。假设所有变量都在同一交互组中。如果情况并非如此，则与i、j不在同一交互组中的包含变量n的m（A）再次为0，并且可以丢弃。有了这个假设，我们现在可以选取点，这样fi（·）和fj（·）是最小的值函数。因此，上述表达式减少到[fi（di）+fj（rj）]XAi、 jm（A）≥ 【fi（ci）+fj（sj）】XAi、 jm（A）。（31）自【fi（di）+fj（rj）】≥ [fi（ci）+fj（sj）]，我们得出以下结论：∈A.牛米（A）≥ 0。现在拾取点，以便只有fk（zk）小于fi（·）和fj（·）。我们得到（32）[fi（di）+fj（rj）]XAi、 jA6型km（A）+2fk（zk）XAi、 j，km（A）≥ 【fi（ci）+fj（sj）】XAi、 jA6型km（A）+2fk（zk）XAi、 j，km（A）或[fi（di）+fj（rj）]XAi、 jA6型公里（A）≥ 【fi（ci）+fj（sj）】XAi、 jA6型公里（A）。（33）由此我们得出结论，pi，j∈A.N公里（A）≥ 继续这样，我们可以检查凸性条件和所有对i，j的所有必要和。因此，我们已经证明，如果公理成立，容量是凸的。3学习Ch oquet INTEGL ALLER学习模型意味着从数据中推导模型参数。这一步骤在任何实际应用中都是至关重要的，而且通常不会朝着两个目标中的至少一个目标执行：通过解释模型参数来分析数据，或者预测——换句话说，在某个数据集上“训练”模型，以便将其与其他数据一起使用。众所周知，模型的拟合质量取决于模型的复杂性和可用数据。仅仅使用几个数据点学习一个非常复杂的模型并不能获得令人满意的结果，就像使用一个非常简单的模型可能会隐藏一个大型复杂数据集的一些重要属性一样。学习过程的一个重要方面是其计算能力。