粗糙Bergomi模型下的波动率指数期货

在本节中，我们研究了粗糙Bergomi模型中VIX的不同模拟方案。3.3.1。混合格式和前向Euler方法。为了模拟过程（VTt）t∈[T，T+]重要的是要从（2.3）中注意到，内核仅对VTT具有奇点，因此我们可以通过使用第2.1节中的混合方案模拟过程来克服这一点。然后，我们可以很容易地提取Z并模拟（VTt）t∈（T，T+]使用复杂度为O（n）的前向Euler格式。在这种情况下，由于（2.3）中的核不再具有t的奇异性，因此选择了前向Euler格式∈ （T，T+] 该方法比混合格式更快。一次（VTt）t∈[T，T+]数值积分程序可用于使用命题3.1中的表达式模拟VIX过程。必须指出的是，这种方法计算量大，内存消耗大，因为它需要使用复杂度为O（n log n）的混合格式来模拟Volterra过程，此外，每个VTT都需要使用前向Euler。仿真算法可以总结如下：算法3.4（粗略Bergomi模型中的VIX仿真）。固定网格T={ti}i=0，。。。，nTandκ≥ 1.（1）模拟Volterra过程（Vt）∈[0，T]使用附录A中的混合方案，得出随机变量VTT=VT的样本；（2） 提取驱动Volterra过程的布朗运动Z的路径。Zti=Zti-1+nH-（V（ti）- V（ti-1） ，对于i=1，κ、 Zti=Zti-1+字-1，对于i>κ；（3） fix a网格T={τj}j=0，。。。，非[T，T+] 并通过以下正向Euler格式确定的离散时间版本来近似连续时间过程vt：eVTτ：=vt和eVTτj：=nTXi=1Zti- Zti公司-1（τj- ti公司-（1）-H-, 对于j=1。

N（4） 通过数值积分计算VIX过程，例如使用复合梯形规则：VIXT≈N-1Xj=0QT，τj+QT，τj+1（τj- τj-（1）1/2，其中QT，τj：=ξ（τj）exp2vCHeVTτj经验值νCHH（τj- T）2H- τ2Hj.备注3.5。显然，步骤4可以被任何可用的数值积分例程所取代，但必须在步骤3.3.3.2中仔细选择分区。截断的Cholesky方法。或者，可以使用更昂贵但更精确的Cholesky分解来模拟VTon[T，T+] 因为其协方差结构已知于（2.5）。然而，撇开计算复杂性不谈，使用与算法3.4相同的网格T，数值实验表明，当使用的离散点超过nT=8时，协方差矩阵的行列式等于零。因此，尽管在理论上有效，但Cholesky方法在数值上不可行。这一事实意味着存在强线性依赖。事实上，对于任何ε>0的情况，严格不等式corr（VTt，VTt+ε）<corr（VTt，VTt+ε）适用于所有T<T<T，以及以下情况：8 ANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZAProposition 3.6。极限limε↓0corr（VTt，VTt+ε）=1适用于任何t∈ [T，T+].证据

这很容易从映射t 7的Lof中的连续性得出→ VTt:E[（VTt+ε- VTt）]=ZT[（t+ε- u） H类-- （t- u） H类-]杜邦=（T+ε）1+2H+- ε1+2H++T1+2H+1+2H+-2T1+H+εH+1+H+F-H+，1+H+，2+H+，-Tε.应用恒等式[2，第564页]F（a，b，c；z）=Γ（c）Γ（b- a） Γ（b）Γ（c）- （a）(-z）-自动对焦a、 a- c+1，a- b+1；z+Γ（c）Γ（a）- b） Γ（a）Γ（c）- （b）(-z） 高炉煤气b、 b类- c+1，b- a+1；z对于情况（a、b、c）=(-H+，1+H+，2+H+，并使用伽马函数的性质以及F（a，0，c，z）≡ 1、我们获得-H+，1+H+，2+H+，-Tε=1小时+1小时+2小时+TεH+F-H+，2+2H+，-2H+，-εT.最后，序列表示ofF【2，第15.1.1章】意味着f-H+，2+2H+，-2H+，-εT当ε趋于零时收敛到1，因此E[（VTt+ε- VTt）]趋于零。根据命题3.6，我们对前8个网格点t，…，的依赖结构进行了精确建模，t、 然后截断Cholesky分解并计算相关性ρi：=corr（VTt8+i，VTt8+i+1），对于i=0，n-9通过适当重新缩放和关联每对后续网格点来近似过程。与混合+前向Euler格式相比，由于Choleskymethod只截断了8个分量，计算复杂度大大降低。因此，VIX模拟算法的内容如下：算法3.7（VIX模拟（截断的Cholesky））。固定网格T={τj}j=0，。。。，非[T，T+],（i） 计算（VTτj）i=j，…，的协方差矩阵，。。。，8使用（2.5）；（ii）生成{VTτj}j=1，。。。，通过使用（2.5）进行相关和重缩放：VTτj=qV（VTτj）ρ（VTτj-1，VTτj）VTτj-1qV（VTτj-1） +第一季度- ρ（VTτj-1，VTτj）N（0，1）, 对于j=9，N（iii）如算法3.4（4）所示，通过数值积分计算VIX。3.3.3。数值实验。我们使用前面介绍的模拟算法计算波动率指数期货的价格。

我们设置了与[3]和[4]中相同的参数：（3.5）ξ=0.235，H=0.07，ν=1.9CH√2小时≈ 1.2287，κ=2。我们对混合格式+前向Euler（HS+FE）方法进行了10次模拟，而对截断的Cholesky方法进行了10次模拟。图2表明，这两种方法在质量上是一致的，并且收敛到类似的输出。特别是，截断的Cholesky方法似乎会随着饱和度的增加而受到较大振荡的影响，即使是10次模拟。尽管如此，图2表明，两种方案的蒙特卡罗方差在T中均增加，如图3所示，其中误差也随着成熟度的增加而增加。另一方面，图4显示，HS+FE方法比截断Cholesky方法慢，这与前一节讨论的计算复杂性一致。特别是，当使用并行计算时，Cholesky方法的计算时间几乎是恒定的。图4粗略BERGOMI模型9中的alsoON VIX期货表明，需要进行大型模拟才能获得准确的价格。根据这一分析，这两种方法都试图以适当的方式近似所需的输出。即使截断Cholesky方法为每个成熟度提供了相当快的输出，也不考虑进行校准，因为它的计算时间在成熟度的数量上呈线性增长，使得算法速度太慢，无法进行合理的校准。相反，我们将使用截断的Cholesky方法作为即将进行的近似的基准。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0倍0.1850.1900.1950.2000.2050.2100.2150.2200.2250.230VIX期货价格VIX期货模拟方法混合收益+远期EulerTruncated Cholesky图2。

VIX期货使用HS+FE和截断的Cholesky0.0 0.5 1.0 1.5 2.0倍0.000300.000350.000400.000450.000500.000550.000600.000650.000700.00075标准偏差蒙特卡罗标准偏差作为到期日Hybrid+远期EulerTruncated Cholesky的函数图3。蒙特卡罗标准差，10次模拟。2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0 5.5 6.0模拟0.0000.0050.0100.0150.0200.025标准偏差蒙特卡罗标准偏差（10对数标度）混合+正向EulerTruncated Cholesky 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.5 6.0模拟05010150200250seconds计算时间混合+正向EulerTruncated Cholesky图4。使用高效并行计算的两种方法的蒙特卡罗标准偏差和固定到期日（T=2年）的计算时间。10安托万·贾奎尔、克劳德·马丁尼和艾托·穆古鲁扎3.4。VIX过程和对数正态近似。我们现在研究定价VIX期货和期权的近似方法。我们定义了FT可测量的随机变量VIXT=RT+TξT（T）dt。在[3]中，拜耳、弗里兹和Gatheral假设(VIXT）遵循高斯分布，并直接计算其一阶和二阶矩，因此充分描述了VIXT。然而，由于对数正态随机变量的总和（通常）不是对数正态，ξTis log normal并不意味着振动。在不同的背景下（几何布朗运动和亚式期权），Dufresne[11]证明，在某些条件下，对数正态变量的积分渐近收敛到对数正态。这种近似已被广泛应用于许多应用领域【11】，杜弗涅的结果激发了拜耳弗里兹-Gatheral的假设。我们在这里提供了该分布的平均值和方差的精确公式，并将其与拜耳-弗里兹-Gatheral的公式进行了数值比较。提案3.8。

以下情况适用：σ：=V（对数(VIXT））=-2日志E(VIXT）+对数E(VIXT）,u：=E（对数(VIXT））=日志E(VIXT）-σ。此外，E(VIXT）=RT+Tξ（T）dt和（3.6）E(VIXT）=Z[T，T+]ξ（u）ξ（t）expνCHH（u）- T）2H+（T- T）2H- u2H- t2H型eΘu，tdudt。式中，如果u=t，则Θu等于零，否则等于Θu∨t、 u型∧t、 式中，Θu，t：=2νCHu2H- （u）- T）2H+t2H- （t- T）2H2H+2（u- t） H类-H类+tH+F-tu公司- t型- （t- T）H+FT- tu公司- t型.备注3.9。由于命题中的所有积分都是在紧区间上计算的，只要ξ在[T，T+]. 假设确实如此，则在实践中并不具有限制性，因为ξ表示初始远期方差曲线；特别注意ξ的连续性是有效的。备注3.10。之所以这样定义Θu，是出于数字目的。事实上，当u<t，Θu时，没有很好的定义，因为F（x）只有在x时才有意义≤ 1（关于超热学函数收敛半径的详细信息，请参见【2】【第556页】），尽管积分表示（3.6）仍有明确定义。然而，大多数数值包通过级数展开实现超几何函数。Θu，ttoΘu的trick让我们绕过这个问题。命题3.8的证明。这个期望直接来自于塔的性质和富比尼定理。对于第二个时刻，我们使用分解(VIXT）= EZT公司+坦桑尼亚先令+TξT（u）ξT（T）dtdu=ZT公司+坦桑尼亚先令+TE（ξT（u）ξT（T））dtdu，在最后一步中，我们使用ξT（s）是FT可测量的，以便应用Fubini。

利用命题3.2中得到的表达式，我们得到（3.7）E（ξT（u）ξT（T））=ξ（u）ξ（T）expνCHH（u）- T）2H- u2H+（t- T）2H- t2H型Eeθu，t,其中，随机变量θu，t：=2νCHZT（u）- s） H类-+ （t- s） H类-粗糙BERGOMI模型11中的dZsON VIX期货为高斯型，具有零期望和方差V（θu，t）=4νCHu2H- （u）- T）2H+t2H- （t- T）2H2H+2ZT（u- s） H类-（t- s） H类-ds！=4νCHu2H- （u）- T）2H+t2H- （t- T）2H2H+2（u- t） H类-H类+tH+F-tu公司- t型- （t- T）H+FT- tu公司- t型.那么，E（ξT（u）ξT（T））=ξ（u）ξ（T）expνCHH（u）- T）2H+（T- T）2H- u2H- t2H型经验值V（θu，t）,第二个力矩来自即时计算(VIXT）=ZT公司+坦桑尼亚先令+TE[ξT（u）ξT（T）]dudt=ZT+坦桑尼亚先令+Tξ（u）ξ（T）expνCHH（u）- T）2H+（T- T）2H- u2H- t2H型eV（θu，t）dudt，定义后Θu，t：=经验V（θu，t）. 为了提供波动率指数期货和期权的封闭式表达式，我们实施以下假设：假设3.11。振动日志正常。事实上，这与拜耳、弗里兹和Gatheral的假设几乎相同[3]；然而，他们并没有像命题3.8那样精确地计算方差，而是考虑了对数正态近似假设3.12（拜耳-弗里兹-Gatheral）。日志(VIXT）是高斯分布，平均值为u，方差为σ，由σ=4νCH给出H+ZT（T- s+)H类+- （T- s） H类+ds和￠u=logZT+Tξ（T）dt-σ。引理3.13。VIX的未来是值得的=-1/2秒ZT+Tξ（T）dt exp-σ, 根据假设3.11，-1/2秒ZT+Tξ（T）dt exp-σ, 根据假设3.12。证据根据假设，自1/2VIXT= 经验值u+σN（0,1）, VIX期货价格直接读取（VIXT | F）=-1/2E1/2VIXT= -1/2经验u+σ,第二种情况类似。与模拟方案相反，对数正态近似确实取决于初始正向方差曲线ξ（·）的定性性质。因此，应分析不同的曲线，以检查该方法的稳健性。

现在，我们利用假设3.11中的近似值，获得VIX上欧式期权的闭式Black-Scholestype公式。12安托万·贾奎尔、克劳德·马丁尼和艾托尔·穆古鲁扎莱玛3.14。为了0≤ t型≤ T，设VT（T）：=E（VIXT | Ft）表示VIX未来到期时间T的价格。然后，在假设3.11下，以T到期的VIX期货的欧洲看涨期权是值得的CVT：=E[（VT（T））- K） +| F]=-1/2秒ZT+Tξ（T）dt exp-σΦ（d）- KΦ（d），其中ek：=[对数（K)-logRT公司+Tξ（T）dt+σ/2]/σ，d：=-eK+σ和d：=-eK，σ如命题3.8证明中所示。在假设3.11下，引理直接来自以下琐碎的计算：E（VT（T）- K） +=Z∞eKh公司-1/2经验u+σz- Ki+φ（z）dz=√经验值u+σZ∞eKφz-σdz公司-KΦ（d）。3.4.1。对数正态近似的数值试验。我们使用（3.5）中的参数对波动率指数期货进行定价，从而对近似值进行数值分析。我们考虑（3.4）中介绍的10个模拟和三个定性场景，用于前向方差曲线。图5表明，近似值的精度为0.0 0.5 1.0 1.5 2.0饱和度0.1850.1900.1950.2000.2050.2100.2150.2200.2250.230PriceVIX期货情景1对数正态近似截断Cholesky0.0 0.5 1.0 1.5 2.0饱和度0.00000.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.0009差分0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0饱和度0.200.250.300.350.400.450.500.550.60PriceVIX期货情景2对数正态近似截断Cholesky0.0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00050.00100.00150.00200.0025差异绝对差异0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.2250.2300.2350.2400.2450.2500.255价格期货情景3对数正态近似截断Cholesky0.0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00020.00040.00060.00080.00100.00120.0014差异b绝对差异图5。对数正态近似与。

所有三种情况下的蒙特卡罗（截断Cholesky）。与订单10不同-3或更少。这种差异的振荡性质也是一个好的迹象，因为它可能是由蒙特卡罗误差引起的，并且没有表现出任何单调性。此外，粗略BERGOMI模型13中的methodON VIX期货对不同类型的曲线ξ（·）具有鲁棒性。此外，对数正态近似似乎收敛于真平均值，避免了截断Cholesky方法的振荡。因此，我们可以得出这样的结论：对数法线近似产生了良好的输出，具有所需的平滑特性。另一方面，我们还分析了欧洲VIX看涨期权，重复前面的参数，并考虑了情景1中的FL at forwardvariance曲线。图6显示，对数正态近似对于即时支付0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.120.130.140.150.160.170.18买入价格VIX看涨期权ATM对数正态近似蒙特卡罗（Cholesky）0.0 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.00000.00050.00150.00200.0025差分图6。对数正态近似与蒙特卡罗（截断的Cholesky）的比较，有10个模拟选项。然而，这种差异随着到期日的增加而增加，因此在使用这种近似值来计算长期期权价格时必须小心。然而，实际上，在股票市场上，流动期限只有两年。3.4.2。数值试验。我们用参数sin（3.5）将拜耳-弗里兹-Gatheral的近似值与我们的近似值进行了比较。图7和图8表明两者相似。特别是，我们观察到，随着饱和度的增加，方差会发生偏差。然而，出于实际目的，这两种近似值在四年期限内一致，时间足够长，足以涵盖可用的期货数据。

ξ（t）的许多函数形式也进行了测试，给出了与图7和图8所示结果相似的结果。我们得出的结论是，拜耳、弗里兹和Gatheralis的近似值足够精确，可用于实际目的，并可显著降低计算成本，因为∑的计算涉及单积分，而我们的近似值需要二重积分（σ）。特别是，为了生成图7，我们的近似值比拜耳、弗里兹和Gathereal的0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.170.180.190.200.210.220.23VIX期货价格对数标准慢40倍。拜耳、弗里兹和Gathereal的近似值0.0 0 0.5 1.0 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.000150.000200.000250.000300.000350.00040绝对差异图回复7。波动率指数期货价格遵循假设3.11和假设3.12.3.5。rBergormi中的VIX期货校准。鉴于在前几节中获得的有希望的结果，我们创建了一个基于Bayer、Friz和Gathereal的对数正态近似的校准算法[3]。即使我们的近似似乎更精确，计算成本也要大得多，差异14 ANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZA0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.00.51.01.52.02.5方差演化我们的方法Bay，Friz&Gatheral0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0饱和度0.0060.0080.0100.0120.0140.016绝对差绝对差图8。比较假设3.11（σ）和假设3.12（σ）后的方差。这两种方法之间的差距非常小。此外，Bayer、Friz和Gatheral的方法允许以半显式形式计算目标函数的梯度，这在优化和校准方面非常有用。3.5.1。目标函数。