粗糙Bergomi模型下的波动率指数期货

为了将模型校准为波动率指数期货，我们首先确定目标函数（3.8）LF（ν，H）：=NXi=1（VTi- Fi），我们将其最小化（ν，H）。此处（Fi）i=1，。。。，在时间网格T<…<TN，VTi=-1/2qRTi+Tiξ（t）dt exp-σi. 和￠σi=4νCHH+“（Ti+)1+2小时+- 1+2H++T1+2H+i1+2H+- 2T1+H+iH+1+H+F-H+，1+H+，2+H+，-Ti公司#,这是假设3.12中方差的闭合表达式。在许多优化算法中，目标函数的梯度是重要的信息来源。为了计算它，我们区分（3.8）中关于ν和H的目标函数，并应用链式规则：LF公司ν（ν，H）=-NXi=1（VTi- Fi）VTiσiν=-2νNXi=1（VTi- Fi）VTi￠σi，其中σiν=8νCHH+ZTi（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H类+ds=2￠σiν。另一方面LF公司H（ν，H）=-NXi=1（VTi- Fi）VTiσiH、 使用σiH=4νCH公司HH小时+- 8νCHH+ZTi（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H类+ds+8νCHH+ZTih（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H+i（Ti- s+)H+对数（Ti- s+) - （Ti- s） H+对数（Ti- s）ds=△σi（KH- 2） H++8νCHH+ZTi（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H类+（Ti- s+)H+对数（Ti- s+) - （Ti- s） H+对数（Ti- s）ds，关于粗略BERGOMI模型中的波动率指数期货15，其中CH公司H=2Γ（2- H+Γ（H+）Γ（1- 2小时-)n1+[2ψ（2- H+）- ψ（H+）- ψ（1）- 2小时-)] Hoand KH=H+Hn1+Hψ（2- H+）- H（ψ（H+）+ψ（1- 2小时-))o、 其中ψ是digamma函数。3.5.2。获得初始正向方差曲线。初始远期方差曲线在Bergomi模型[5]和粗糙Bergomi模型[3]中都起着至关重要的作用，因为它是一种市场输入。具体而言，它取决于方差掉期的当前期限结构。即使方差掉期没有在标准交易所市场进行交易，它们也会在场外（OTC）进行积极交易。这反过来意味着没有可观察的数据，我们必须建立方差掉期的估价方法。

卡兰德·马丹（CarrandMadan）[8]著名的静态复制公式在这里适用，因为基本过程是连续半鞅，允许我们对任何方差交换进行定价。尽管如此，所有可能的罢工都需要现金买入和卖出期权价格。由于该信息在实践中不可用，因此可以采用无模型估值公式或直接提出隐含波动率面的参数化。第一种方法涉及静态复制公式的离散化，这是芝加哥期权交易所计算VIX指数的方式。然而，要将这一计算扩展到大型到期债券（波动率指数是一个提前30天的指数），期权的流动性可能会发挥主要作用，这并不容易。另一方面，第二种方法允许使用可用数据校准模型，并允许对所有罢工和到期日的可用期权数据进行插值/外推。在这项工作中，我们遵循后一种方法，对隐含可用性曲面进行eSSVI参数化[18]，这是[16]中引入的SSVI参数化的一个补充：（3.9）σBS（t，k）t=w（t，k）：=θt1+ρ（θt）Д（θt）k+q（Д（θt）k+ρ（θt））+1- ρ（θt）,其中θ是观察到的ATM方差曲线，其中形状函数Д（·）的形式为Д（θ）=ηθ-λ（1+θ）λ-1、对于相关参数ρ（·），我们将其限制为以下函数形式：（3.10）ρ（θ）=（A）- C） e类-Bθ+C，对于（A，C）∈ (-1，1），B≥ 0，确保|ρ（·）|≤ 1、我们将通过σBS（·）t或w（·）模糊地指代总隐含方差，其中σBS（·）表示隐含波动率。Gatheral和Jacquier【16】发现（有效且几乎必要）参数ρ、Д（·）、η和λ存在阻止套利的条件。在eSSVI公式中，相关性有一个术语结构（3.10），必须小心避免套利。

具体来说，在[18]之后，限制（3.11）|θθ（ρ（θ））+ρ（θ）γ|≤ γ、 式中γ：=θ（θД（θ））/Д（θ），是排除日历价差套利的必要条件。为了防止黄油溢出，正如SSVI参数化一样，有必要检查不等式θtД（θt）（1+|ρ（θt）|）≤ 4对所有到期日t均有效。在这种参数化中，方差掉期可以以封闭形式计算，如Martini[21]所证明的，基于Gathereal[13]和Fukasawa[12]的早期工作：命题3.15。eSSVI模型中方差掉期的公平执行（总方差）为σ（t）t：=-2E日志StS公司=bt+2at（ct+θt）2at，其中χt：=[1- ρ（θt）]θtД（θt），andat=1+θtД（θt）ρ（θt）-χt, bt=θtД（θt）[χt- ρ（θt）]，ct=θtД（θt）χt.16安托万·贾基尔、克劳德·马丁尼和艾托·穆古鲁扎尔关于方差掉期和前向方差曲线之间的关系，我们得到ξ（t）=ddttσ（t）= σ（t）+tddtσ（t）。备注3.16。为了内插/外推eSSVI，还需要对所有t进行内插/外推θt。然而，θt仅在一组离散的到期日上观察到，因此，使用三次样条曲线对所有其他到期日进行内插/外推。3.5.3。标定算法和数值结果。我们于2015年12月4日首次在PX隐含波动率面上校准eSSVI参数化（3.9）。图9显示了数据集中可用的最短、中等和最长到期日的fit。对于短期到期债券，eSSVI无法完全捕捉波动率微笑，但随着到期日的增加，波动率显著提高。

对于VIX期货，校准0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04Log-moneyness0.100.150.200.250.300.350.400.45 2015-12-11AskBideSSVI0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 Log-moneyness0.00.10.20.30.50.6 2016-02-29AskBideSSVI1.0.5 0.0 0.5 0.5Log-moneyness0.100.150.200.250.300.350.400.45到期时的隐含VolS&P 500数据2017年12月15日ASKBidessvifigure 9。2015年4月12日使用交易SPX期权的eSSVI校准结果。算法内容如下：算法3.17（粗略Bergomi模型中的VIX期货校准算法）。（i） 根据可用的SPX选项数据校准eSSVI；（ii）计算方差掉期期限结构（σ（t））t≥0使用命题3.15；（iii）通过ξ（t）提取初始正向方差曲线ξ（·）≈ σ（t）+σ（t+ε）-σ（t-ε） 2εt（ε=1E- 8） ；（iv）将（3.8）中的目标函数最小化（超过ν，H）。图10-12表明，该模型非常符合观察到的不同日期的波动率指数期货期限结构。此外，我们注意到，就粗糙BERGOMI模型17的凸/凹性而言，模型和观测数据在质量上是相等的。在粗略的Bergomi模型中，该信息是通过ξ从期权价格中获得的，这表明VIX期货和SPX期权之间的市场对应关系。然而，我们还观察到，在所有三种情况下，短期到期的误差都较大，这与短期到期的eSSVI校准极限相似，如第3.5.2.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8节所述，成熟度0.1650.1700.1750.1800.1850.1900.1950.2000.2050.210VIX期货价格VIX期货期限结构对数正态近似观测VIX期货期限结构0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8成熟度0.0000020.00040.00060.00080.00100.00120.00140.00160.0018绝对差异e差异绝对差异图10。

2015年4月12日VIX期货校准。最佳参数：（H，ν）=（0.09237，1.004）。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8饱和度0.2000.2050.2100.215波动率期货价格波动率期货期限结构对数正态近似观察到的波动率期货期限结构0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7饱和度0.00000.00020.00040.00060.00080.00100.0012绝对差异绝对差异图11。2016年2月22日VIX期货校准。最佳参数：（H，ν）=（0.10093，1.00282）。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7饱和度0.1940.1960.1980.2000.2020.2040.2060.2080.210VIX期货价格VIX期货期限结构对数正态近似观察到的VIX期货期限结构0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7饱和度0.0000020.00040.00060.00080.00100.00120.00140.0016绝对差异绝对差异图12。2016年4月1日VIX期货校准。最佳参数：（H，ν）=（0.0509，1.2937）。备注3.18。读者应回忆起初始前向方差曲线（ξ（t））t的重要性≥0在VIX期货过程中，自（Vt）t≥0取决于ξ到时间t的整个路径。因此，即使ξ仅适用于短期债券（如eSSVI），这也会影响VIX流程的整个期限结构（有关详细信息，请读者参阅第3节）。因此，改进的ξ估计不仅可以提高短期债券模型的准确性，而且可以提高整个期限结构的准确性。18安托万·贾奎尔、克劳德·马丁尼和艾托尔·穆古鲁扎雷马克3.19。我们的校准涉及两个不同的数据集，即SPX期权和VIX期货：Vanillaquotes从CBOE延迟期权报价页面中提取，VIX期货从CBOE VIX期货历史数据页面中提取。

我们对不同的期货报价进行了汇总，因为它们是在每个期货的基础上进行报价的，并通过比较期货曲线的左端离差与根据期权价格计算的理论VIX来检查两个数据集之间的一致性。4、从VIX期货到SPX期权在最后一章中，我们评估通过VIX期货校准算法获得的赫斯特参数H是否与SPX期权一致。为此，我们通过筛选参数H并让算法校准ν和ρ，将粗糙Bergomi模型校准为SPXoption数据。fix H的一个主要原因是，第2.1节中引入的混合方案显著地将其复杂性降低到了O（n），因为Volterra的O（n log n）复杂性只计算一次，然后重新使用。因此，当进行多次估价时，通过选择H，定价方案的速度要快得多，校准算法也是如此。4.1。粗略Bergomi模型中的定价。我们提出了一种定价方案，其中Volterra过程使用混合方案模拟，而标准Euler方案生成股票过程的路径：算法4.1（粗糙Bergomi模型的模拟）。考虑网格T：={ti}i=0，。。。，nT和fixκ≥ 1.（i）使用混合格式在网格T上模拟Volterra过程V；（ii）将方差过程模拟为Vt=ξ（t）E（2νCHVt），对于t∈ T和where（[V]T）T≥0在（2.7）中给出；（iii）提取布朗运动Z驱动V:Zti=Zti的路径-1+nH-（V（ti）- V（ti-1） ，对于i=1，κ、 Zti=Zti-1+字-1，对于i>κ；计算{Z⊥}nT公司-1i=0，其中Z⊥我= N（0，1/nT）是一个独立的标准高斯样本；（iv）通过Wti关联两个布朗运动- Wti公司-1=ρZi-1+p1- ρZ⊥我-1.（v） 使用正向Euler方案模拟Sti=exp（Xti）：Xti+1=Xti-Vti（ti+1- ti）+pVtiWti+1- Wti公司, 对于i=0。

，nT- 1.（vi）通过对每条路径的所有终值进行平均来计算期望值。4.2。通过VIX期货校准SPX期权。我们首先按照校准算法3.17获得H和ξ，然后我们的目标是在（ν，ρ）上最小化目标函数（4.1）LC（ν，ρ）：=LXj=1NXi=1（CTi，j- Cobsi，j），其中CTi，jis是由粗略的Bergomi模型给出的买入价格，使用第4.1节引入的方案计算，到期日和行权K（j）。另一方面，（Cobsi，j）i，jis在时间网格T<…<t和走向网格K（1）<…<K（L）。为了优化校准算法，我们首先计算Volterra过程V，然后在每个校准步骤的正向Euler模拟中使用该过程：CBOE延迟选项报价：http://www.cboe.com/delayedquote/quotetable.aspxCBOEVIX期货历史数据：http://cfe.cboe.com/data/historicaldata.aspxON粗略BERGOMI模型中的VIX期货19算法4.2（通过VIX期货的SPX期权校准算法）。（i） 使用VIX期货校准H和ξ；（ii）计算Volterra过程的M条路径{V（u）}Mu=1，并提取布朗运动{Z（u）}Mu=1驱动每一过程。另外，计算独立的布朗运动{Z⊥（u） }Mu=1；（iii）评估每个校准步骤中的买入价：V（u）t=ξ（t）E2νCHV（u）t, u=1，M、 W（u）=ρZ（u）+p1- ρZ⊥（u） ，u=1，M、 S（u）t+= S（u）t+S（u）tqv（u）tW（u）t+- W（u）t, u=1，M（iv）计算每个可用到期日{T，…，TN}和行权集{K（1），…，K（L）}的买入价格：CTi，j=MMXu=1（S（u）Ti- K（j））+，对于i=1，N和j=1，L（v） 最小化（4.1）中目标函数LC（ν，ρ）的（ν，ρ）。备注4.3。上述算法中的第（v）项可能会改变ν的最佳值，该值最初在VIX期货的第（i）项中校准。

然而，回溯测试表明，（i）中的校准实际上并不受此影响。4.3。后果我们于2015年12月4日对模型进行了校准，之前通过HVIX获得的拟合H=0.09237，并在图13中绘制了拟合图。对于短期到期，该模型并不完全一致，这可能是因为ξ无法完全捕捉这些到期的微笑，但随着到期，该模型会大大改善。有趣的是，我们观察到通过VIX校准获得的参数ν与通过SPX获得的参数ν之间存在20%的差异。这表明，与波动率指数相比，SPX市场的波动率高出20%，揭示了潜在的数据不一致性（套利？）。然而，我们强调准确的ξ曲线对于改善SPX的fit和提供有效的联合校准的重要性。0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04对数货币性0.050.100.150.200.250.300.350.400.45 2015-12-11AskBidrBergomi0.4 0.3 0.2 0.1 0.0对数货币性0.00.10.20.30.50.6 2015-12-31AskBidrBergomi0.6 0.5 0.4 0.3 0.1 0.0.0 0.1 0.2Log-Moneyness 0.00.10.20.30.40.50.6到期时的隐含VolS&P 500数据2016-01-29AskBidrBergomi0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.2Log-moneyness 0.00.10.20.30.40.50.6到期时的隐含VolS&P 500数据2016-02-26AskBidrBergomi1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.2Log-moneyness 0.10.20.30.50.6到期时的隐含VolS&P 500数据2016-03-31AskBidrBergomi1.0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2Log-Moneyness 0.00.10.20.30.40.50.6 2016-06-30AskBidrBergomiFigure 13到期时的隐含VolS&P 500数据。2015年4月12日校准SPX smiles。

校准参数：（ν，ρ）=（1.19，-0.999）。20安托万·贾基尔（ANTOINE JACQUIER）、克劳德·马蒂尼（CLAUDE MARTINI）和艾特·穆古鲁扎（AITOR Muguruzaconclusion）结论遵循拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖瑟拉尔（Gatheral）[3]设定的路径，我们在此开发了一种相对快速的算法，用于在粗糙的伯戈米模型中校准波动率期货和波动率微笑，与SPX微笑一致。该模型的优点在于只需要很少的参数，使得（重新）校准具有鲁棒性和稳定性。从交易者的角度来看，我们强调了波动率指数和标准普尔指数之间的一些潜在市场差异，并对其进行了详细分析，以供未来研究。附录A.混合方案简要回顾了【4】中开发的混合方案。按照定义2.1中的表示法，我们考虑一个（截断的）布朗半平稳过程B（α，W），并引入截断参数κ∈ N、 在等距网格T上：={ti=i/N}i=0，。。。，nT，带nT：=bnT c，用于n≥ 2，在定义2.1下，BSS过程B的混合模式近似为Bn（ti）=eBn（i）+bBn（i），其中eBn（i）=i∧κXk=1Lg千牛σ我- 千牛Wi公司-k、 kandbBn（i）=iXk=κ+1gb*千牛σ我- 千牛Wi公司-k、 定义2.1中引入了lg，其中（A.1）Wi：=Zti+1tidWs，Wi，k：=Zti+1ti（ti+k- s） αdWs，b*k级=kα+1- （k）- 1） α+1α+11/α，对于k≥ κ+1。对于任意i，k，随机变量Wi和Wi，kare以高斯为中心，具有以下协方差结构：EWi，kWi=kα+1- （k）- 1） α+1nα+1α+1和EWi，kWj= 0，对于k 6=j，EWi、kWi、j=Z1/n千牛- uαjn公司- uαdu，对于k 6=j，VWi，k=k2α+1- （k）- 1） 2α+1 N2α+12α+1，VWi公司=n、 参考文献[1]E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007【2】M.Abramowitz和I.A.Stegun。数学函数手册。华盛顿特区，1965年。[3] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral。粗略波动下的定价。

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