粗糙Bergomi模型下的波动率指数期货

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英文标题：
《On VIX Futures in the rough Bergomi model》
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作者：
Antoine Jacquier, Claude Martini, Aitor Muguruza
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The rough Bergomi model introduced by Bayer, Friz and Gatheral has been outperforming conventional Markovian stochastic volatility models by reproducing implied volatility smiles in a very realistic manner, in particular for short maturities. We investigate here the dynamics of the VIX and the forward variance curve generated by this model, and develop efficient pricing algorithms for VIX futures and options. We further analyse the validity of the rough Bergomi model to jointly describe the VIX and the SPX, and present a joint calibration algorithm based on the hybrid scheme by Bennedsen, Lunde and Pakkanen.
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中文摘要：
拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和Gatheral（Gatheral）引入的粗糙Bergomi模型以非常现实的方式再现隐含波动率微笑，特别是对于短期债券，其表现优于传统的马尔可夫随机波动率模型。在此，我们研究了波动率指数（VIX）的动态变化以及由此模型生成的远期方差曲线，并开发了有效的波动率指数期货和期权定价算法。我们进一步分析了粗糙Bergomi模型联合描述VIX和SPX的有效性，并提出了基于Bennedsen、Lunde和Pakkanen混合方案的联合标定算法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：指数期货 Berg Ber 波动率 Quantitative

关于波动率指数期货的粗略估计，BERGOMI MODELANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZAAbstract。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和Gatheral（Gatheral）[3]引入的粗糙Bergomi模型以非常现实的方式再现了隐含波动率微笑，特别是对于短期债券，其表现优于传统的马尔可夫随机波动率模型。我们在此研究波动率指数的动态和该模型生成的远期方差曲线，并开发有效的波动率指数期货和期权定价算法。我们进一步分析了粗糙Bergomi模型联合描述VIX和SPX的有效性，并提出了基于Bennedsen、Lunde和Pakkanen的混合方案的联合校准算法[4]。1、简介波动率虽然没有直接观察到，也没有进行交易，但它是金融市场上的一个基本对象，也是数十年来理论和实践研究的焦点，无论是对其进行估计，还是将其用于交易目的。前一个目标通常在历史度量（P）下实现，而后一个目标通过引入波动率衍生工具（VIX和相关系列）在价格度量Q下不断发展。大多数用于定价目的的模型（Heston【19】、SABR【17】、Bergomi【5】）都是在Q下构建的，并且具有马尔可夫性质（使得定价和校准更容易）。最近，Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【14】打破了这一惯例，引入分数布朗运动作为波动过程的驱动因素。这种方法（粗糙分数随机波动率，简称RFSV）打开了重温经典定价和校准难题的大门。

他们以及拜耳、弗里兹和Gatheral随后发表的论文（另见[1，12]）特别表明，这些模型能够捕捉到短期债券市场隐含波动微笑的极端陡峭程度，而连续马尔可夫波动模型无法描述这一点。蛋糕上的糖衣是（终于！！）在给定模型中，两个度量值P和Q之间的协调，显示出显著的估计和预测结果。股票市场中的一个关键问题是，不仅要确定（SPX）隐含波动率微笑，还要结合VIX（期货和理想期权）的校准来进行。Gathereal的[15]双均值回复过程是这个方向上领先的（马尔可夫）连续模型，而Carr和Madan[9]以及Kokholm和Stisen[20]已经大量提出了带跳跃的模型。拜耳、Frizand Gatheral[3]针对一个特定的粗略模型（粗略Bergomi）解决了这个问题，我们的目标是在此粗略模型下对VIX动态进行更深入的分析，并实施VIX期货和期权的定价方案。我们的主要贡献是前向方差曲线（ξT（·））T之间的精确联系≥0和粗糙Bergomi模型中的初始前向方差曲线ξ（·）。反过来，我们不仅可以提供模拟方法日期：2017年1月17日。2010数学学科分类。91G20、91G99、91G60、91B25。关键词和短语。隐含波动率、分数布朗运动、粗糙Bergomi、波动率指数期货、波动率指数微笑。作者要感谢克里斯蒂安·拜尔、吉姆·盖瑟拉尔、米科·帕克卡宁和马修·罗森鲍姆进行了有益的讨论。AJ感谢EPSRC第一笔赠款EP/M008436/1的财政支持。

数值实现已在协作平台Zanadu（www.Zanadu.io）上进行。2安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、克劳德·马蒂尼（CLAUDE MARTINI）和艾托尔·穆古鲁扎（AITOR Muguruza）对波动率指数（VIX）进行了拟合，但也对波动率指数期货的对数正态近似进行了重新定义，精确匹配了前两个时刻。最后，我们开发了一种有效的VIX期货校准算法，并在此基础上构建了一种与SPX的联合校准方法。与[3]中的Cholesky方法相反，我们采用了Bennedsen、Lunde和Pakkanen[4]提出的混合方案，其复杂性为O（n log n）。假设Hurstparameter H在VIX和SPX中的普适性允许我们以复杂度O（n）递归计算价格。此外，我们还调查了VIX和SPX在市场上的联合一致性。因此，本文的组织结构如下：我们首先介绍了粗略的Bergomi模型及其主要属性（第2节），然后介绍其对波动率指数期货的定价能力（第3节），最后开发了第4.2节中的联合校准算法。粗糙波动率和粗糙Bergomi模型Comte和Renault【7】首次提出了一种随机波动率模型，其中瞬时波动率由分数布朗运动驱动，赫斯特指数限制在1/2以上。最近Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【14】提出了一种新方法，Hurst指数小于1/2，在物理度量P下对观察到的波动率数据产生了非常好的拟合。这些模型形成了所谓的粗糙分数随机波动率（RFSV）家族，被理解为标准布朗运动驱动的经典波动率模型的自然扩展。我们的工作集中在定价测度Q上，通过本文我们假设Gatherel、Jaisson和Rosenbaum[14]在P下提出的模型是合理的模型。

最后，也是最重要的一点，我们遵循拜耳、弗里兹和Gathereal[3]最近的论文，以便将RFSV模型扩展到测度Q下的定价方案。更准确地说，拜耳、弗里兹和Gathereal[3]为对数股价过程X提出了以下模型：=对数：（2.1）dXt=-Vtdt+pVtdWt，X=0Vt=ξ（t）E（2νCHVt），V>0，其中ν，ξ（·）>0，E（·）是Dol'eans Dade[10]随机指数，CH：=q2H（2-H+Γ（H+）Γ（2-2H），其中，为了便于注释（在本文中），我们使用符号H±：=H±。所有过程都定义在给定的过滤概率空间上(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）支持两个标准布朗运动W和Z（见下文）。初始前向方差曲线是在初始时观察到的，因此我们假设它是F-可测的，而不丧失一般性。过程V，定义为（2.2）Vt：=Zt（t- u） H类-dZu是一个中心高斯过程，协方差结构（VtVs）=s2HZts- uH-（1）- u） H类-du，对于任何s，t∈ [0，1]。我们还将介绍，对于任何0≤ T≤ t符号（2.3）Vt，t：=ZtT（t- u） H类-dZuand VTt：=ZT（t- u） H类-dZu。特别注意VTT=VT。两个标准布朗运动W和Z与相关参数ρ相关∈ (-1，1）。这里，ξT（T）表示在T时观察到的远期方差，其到期日等于粗略BERGOMI模型3中VIX期货的到期日，如果σT（T）表示在T时观察到的方差掉期的公平执行，且在T时到期，则σT（T）=T- TZtTξT（u）du，或等效ξT（T）=滴滴涕（t- T）σT（T）. 对于任何固定的t>0，过程（ξs（t））s≤t、 是鞅，即[ξs（t）| Fu]=ξu（t），对于所有u≤ s≤ t。

此外，VTtis是方差（2.4）V（VTt）=t2H的中心高斯过程- （t- T）2小时，对于T≥ T、 协方差结构（2.5）EVTtVTs=ZT[（t- u） （s）- u） ]小时-du=（s- t） H类-H类+tH+F-ts- t型- （t- T）H+FT- ts- t型,对于任何t<s，我们引入函数F:R-→ R as（2.6）F（u）：=F(-H-, H+，1+H+，u），和fis是超几何函数【2，第15章】。最后，V的二次变化由（2.7）[V]t=t2H2H给出，对于t≥ 0.2.1。混合仿真方案。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖特尔（Gatheral）[3]提出了一种Cholesky方法来模拟罗格·贝戈米模型。虽然精确，但该方法速度非常慢，需要考虑其他方法进行校准。最近，Bennedsen、Lunde和Pakkanen[4]提出了一种新的布朗半平稳（BSS）过程的模拟方案。与Cholesky相反，该方法是一种近似方法。然而，在[4]中，作者表明，在粗糙Bergomimodel的情况下，该方法产生了显著的结果。此外，他们的方法导致了Volterra过程V和股票价格S的自然模拟，并产生了O阶（n log n）的计算复杂性。定义2.1。设W是给定过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。截断布朗半平稳（BSS）过程定义为B（t）=Rtg（t-s） σ（s）dWs，对于t≥ 0，其中σ为（Ft）t≥0-可预测，具有局部有界轨迹和有限秒矩，g：（0，∞) → [0，∞) isBorel可测且平方可积。如果进一步（i）存在α，我们将其称为BSS（α，W）过程∈-,\\ {0}使得对于所有x，g（x）=xαLg（x）∈ （0，1），其中Lg∈ C（（0，1）→ [0，∞)),在原点处缓慢变化，并以零为界。

此外，存在一个常数C>0，使得| Lg（x）|≤ C（1+x-1） 对于所有x∈ （0，1）；（ii）函数g在（0，∞).在此假设下，【4】中提出并在附录A中回顾的混合方案提供了一种模拟BSS过程的有效方法。它特别适用于粗糙的Bergomi模型：命题2.2。（2.2）中的Volterra过程V是截断的BSS（H-, Z） 过程。证据从（2.2），g（x）≡ xH公司-和σ（·）≡ 1如定义2.1所述，因此V是BSS流程。自H起-∈ (-, 0），然后是Lg≡ 1和V满意度定义2.1（i）；定义2.1（i）基本成立，推论也成立。一个可测函数L：（0，1）→ [0，∞) 如果任何t>0，limx↓0L（tx）/L（x）=1.4安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、克劳德·马丁尼（CLAUDE MARTINI）和艾托·穆古鲁扎（AITOR Muguruza）推论表明，我们可以将混合方案应用于V。特别是，对于κ=1，方案的矩阵形式表示为（回忆一下，nT：=bnT c）五、n五、n...五、nTn公司=Z0,10····0Z1,1Z。。。。。。Z2,1Z。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ZnT-1,1ZnT-2···ZZnb公司*H-nb公司*H-...nb公司*nT公司-1.H-,其中系数{b*i} 定义见（A.1）。这种矩阵乘法是O（n）阶的强力乘法，但是使用离散卷积，我们可以使用FFT将其减少到O（n log n），如【4】所示。3、Rough Bergomi和VIXBayer、Friz和Gathereal[3]brie fly讨论了Rough Bergomi模型与观测到的VIX期权数据缺乏一致性，导致VIX的期限结构不正确。在本节中，我们将详细研究VIX的动力学，并提出对数正态近似。此外，我们还研究了该模型在波动率指数期货和期权方面的可行性，并将其与[3]中的近似值进行了比较。3.1。粗略Bergomi模型中的VIX期货。

从现在起，我们确定一个给定的到期日≥ 0，并通过连续时间监测公式确定时间T时的VIX：=EZT公司+TdhXs、XSID英尺！，哪里 等于30天。然后，（3.1）VT：=E（VIXT | F）=E给出了到期日为T的VIX未来VT的风险中性公式sZT公司+TE（dhXs，Xsi | FT）dsF= EsZT公司+TξT（s）dsF.注意，当T>0时，ξT（s）是一个不可测量的市场输入，因此很难仅解释已知的F。我们应重复使用以下为任何T定义的随机变量≥ T，乘以（3.2）ηT（T）：=exp2νCHVTt.提案3.1。VIX动态由VIXT给出=(ZT公司+Tξ（T）ηT（T）expνCHH（t- T）2H- t2H型dt）1/2。证据利用Fubini定理和（2.1）中的瞬时方差表示，我们可以编写文本=ZT公司+TE（Vs | FT）ds=ZT公司+ξ（t）E（2νCHVt）| FTidt=ZT公司+TE公司ξ（t）ηt（t）exp2νCHVt，T-νCHt2HH英尺dt、Vt、Tde定义在（2.3）中。自ηT（T）∈ FTandξ（t）∈ F、 此表达式简化为Vixt=ZT公司+Tξ（T）ηT（T）E经验值2νCHVt，T-νCHt2HH英尺dt。关于粗略BERGOMI模型5中的波动率指数期货，命题如下：自Vt以来，以高斯为中心，独立于FT，方差见（2.4），andEe2νCHVt，T英尺= Ee2νCHVt，T= 经验值νCHH（t- T）2H. 模拟的主要挑战是ηT（T）。然而，由于后者独立于ξ（·），VIX模拟方案的稳健性不会受到初始方差曲线ξ定性特性的影响。提案3.2。粗糙Bergomi模型的前向方差曲线ξTin允许表示ξT（T）=ξ（T）ηT（T）expνCHH（t- T）2H- t2H型, 对于任何t≥ T、 证明。

由于E（Vt | FT）=ξT（T）乘以（3.1），该命题源自命题3.1，等式E（Vt | FT）=ξ（T）ηT（T）expνCHH（t- T）2H- t2H型.拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖瑟拉尔（Gatheral）[3]没有推导出ξT的这种表示，他们的波动导数定价方法依赖于一种近似值，这种近似值避免了本节中的计算。命题3.2有助于更好地理解ξT过程，并有助于创新VIX衍生品定价方法。3.2。波动率指数期货的上限和下限。定理3.3。波动率指数期货的以下界限：（3.3）ZT公司+Tpξ（t）expνCH4H（t- T）2H- t2H型dt公司≤ VT公司≤(ZT公司+Tξ（s）ds）1/2。证据条件Jensen不等式givesVT=E（VIXT | F）=EsZT公司+TξT（s）dsF≤武特ZT公司+TξT（s）dsF此外，由于ξ是F-适应的，Fubini定理和ξTyield的鞅性质的上界VT=E（VIXT | F）≤q-1RT+Tξ（s）ds。为了获得一个下界，我们使用Proposition 3.2中的表示、Cauchy-Schwarz不等式和Fubini定理，使得vt=E（VIXT | F）=EsZT公司+Tξ（T）ηT（T）expνCHH[（t- T）2H- t2H]dt公司F≥ E“ZT公司+Tpξ（t）ηt（t）expνCH2H（t- T）2H- t2H型dt公司F级#=ZT公司+Tpξ（t）EpηT（T）经验值νCH2H（t- T）2H- t2H型dt公司=ZT公司+Tpξ（t）expνCH4Ht2H型- （t- T）2H经验值νCH2H（t- T）2H- t2H型dt公司=ZT公司+Tpξ（t）expνCH4H（t- T）2H- t2H型dt，因为ηT（T）1/2是对数正态的（命题3.1），所以E（pηT（T））=expνCH4Ht2H型- （t- T）2H. 6 ANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZAWe进行了一次数值实验，以检查命题3.3）中获得的边界的紧密性。

对于该分析，我们考虑了初始正向方差曲线的三种定性情景：（3.4）情景1：ξ（t）=0.234；情景2：ξ（t）=0.234（1+t）；情景3：ξ（t）=0.234√1+t。图1表明，对于非常不同的形状，命题3.3）中给出的下界出人意料地紧0.0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.180.190.200.210.220.230.24VIX期货价格VIX期货场景1蒙特卡洛下限0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00100.00150.0020绝对差异绝对差异0.0 0 0 0 0.5 1.0 1.52.0成熟度0.20.30.40.50.60.70.8VIX期货价格VIX期货情景2蒙特卡洛下限上限0.0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00050.00100.00150.00200.0025绝对差异绝对差异0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.220.240.260.280.300.32VIX期货价格VIX期货情景3蒙特卡洛下限0.0 0 0 0.5 1.0 1.52.0饱和度0.00000.00020.00040.00060.00080.00100.0012绝对差绝对差图1。在所有三种情况下，边界与蒙特卡罗（截断Cholesky）的对比。ξ的。这可以用以下论点来解释：考虑命题3.1中波动率指数期货价格的简化和确定性版本，用φ（T）：=s表示ZT公司+Tf（t）dt=rf（t）+f（T）+f（T）+O(),对于某些严格正（确定性）函数f∈ C（R）。我们进一步引入ψ（T）：=ZT公司+Tpf（t）dt=pf（t）+f（T）pf（T）+O(),这是Cauchy-Schwarz（或Jensen）不等式对应的下界，因此φ（T）- ψ（T）=f（T）-f（T）16f（T）+ O().关于粗略BERGOMI模型7中的VIX期货，因此，我们观察到, 正如波动率指数期货的情况一样，下限与原始值非常接近，原始值解释了（至少在确定性情况下）图1.3.3中观察到的行为。VIX过程的数值实现。