用两尺度幂估计含噪从属布朗运动

因此，例如，1分钟INTEL数据的值为44表明σ至少是θκ的44倍，因此，我们可以假设u（Xδ）≈ σδ。可以进行类似的分析来证明u（Xδ）≈ 3σκδ。δ5秒10秒30秒1分钟5分钟10分钟30分钟NTEL 144 82.4 57 44 26.7 24.7 13CVX 3146.8 3023.8 8706.9 212.9 251.0 1231.5 175.3CSCO 587.5 255.8 94.1 77.5 67.1 52.3 37.6PFE 47.8 24.2 10.7 7.89 7.67 7.63 8.15表1：2u（X）δ|u（X）的计算|- 1根据2005年的高频数据（T=252天），针对不同的股票。3.1在没有噪音的情况下，简单的注入特性我们现在继续显示一些“注入”（n→ ∞ （3.2）-（3.4）中估计量的固定T）渐近性质。如上所述，在续集中，我们假设θ=0，忽略O（δn）=O（1/n）项。在这种情况下，很容易看出E^σn=E|σn=σ+On, 风险值^σn= 风险值σn=3σκT+On. （3.5）从上述公式中，我们得出一个（不足为奇的）事实，即在有限的时间范围内，当采样频率增加时，σ不是σ的均方一致估计量，但MSE的阶数为O（1/T），因为→ ∞.由于样本峰度的非线性，^κ与^κnis的偏差和方差分析更加复杂。然而，我们可以推断出它的完全渐近行为的一些有趣特征。首先，我们有Limp→∞^κn=limn→∞κn=TPt≤T型(Xt）TPt≤T型(Xt）=: ^κ（T），（3.6），其中Xt=Xt-Xt公司-是X在时间t的跳跃大小，其总和超过了t的随机可数时间集Xt6=0。限值（3.6）源自众所周知的公式APNI=1Xiδn- X（i）-1） δnkP公司-→Pt公司≤T型(Xt）k，作为n→ ∞, 对anyk有效≥ 2和纯跳跃L'evy过程X。此外，自0以来，相应矩的收敛性也成立≤ δn^u4，n/^u2，n≤ δnn=T<∞, 因此，limn→∞E^κn=limn→∞εκn=εκ（T）和limn→∞Var（^κn）=limn→∞Var（|κn）=Var^κ（T）.

（3.7）以下结果（其证明见附录）扩展了上述^κ（T）的期望和方差，并表明^κ（T）的均方误差为O（T-1） ，作为T→ ∞.命题3.2设X是一个具有L'evy测度ν的一般L'evy过程。设ci：=ci（X）是X的i累积量，κ：=c/3c，并假设r | X | iν（dx）<∞ 对于任何i≥ 2、那么，作为T→ ∞,E^κ（T）=κ+3c- 2cc3cT-1+O（T-2） ，（3.8）E^κ（T）- κ=抄送- 4cc+4cc9cT-1+O（T-2） 。（3.9）3.2微结构噪声下MME的特性在这一部分中，我们描述了微结构噪声分量对上述MME渐近特性的影响。对于volatilityestimators的情况，结果是经典的，它们的证明只是为了完整性。峰度参数κ的估计结果也不难得到，但不太清楚。我们采用第2节末尾介绍的设置，在此设置下，observedlog返回由nieX：=eXiδn-eX（i-1） δn=Xiδn- X（i）-1） δn+εiδn- ε（i-1） δn=: niX+￠εi，n.（3.10）此外，我们假设，对于每个n，（￠εi，n）i≥1对于任何正整数k，满足以下Milda假设≥ 1： nnXi=1（|εi，n）kP-→ mk（|ε），（n→ ∞), 对于某些mk（￠ε）∈ R、 （3.11）显然，之前的假设涵盖了微观结构白噪声情况，其中（εt）t≥0为i.i.d.，在这种情况下，mk（|ε）：=E（|ε1，n）k. 注意，并不要求|ε独立于过程X，而且，我们只需要X是纯跳跃半鞅。让我们首先描述（3.2）-（3.4）中引入的σ估计量的完全渐近行为，但基于噪声观测：△σn（eX）：=δnnnXi=1(nieX公司- neX），^σn（eX）：=T\\eX，eX=δnnnXi=1(nieX）。

（3.12）为了将来的参考，让我们陈述一下应用Cauchy不等式得出的以下简单结果，条件（3.11）和Pni=1的事实|尼克斯| 2mP→聚苯乙烯≤T型|Xs | 2m。任意整数m的引理3.3≥ 1和k≥ 0，nnXi=1(niX）m（|εi，n）kP-→ 0，作为n→ ∞. （3.13）我们现在准备分析（3.12）中估计量的渐近行为。下面的结果给出了^σn（eX）和^σn（eX）的完全渐近行为。命题3.4估计量^σn（eX）和^σn（eX）都允许分解^σn（eX）=An+Bn，^σn（eX）=eAn+EBN，其中上述r.v.是这样的→∞An=跛行→∞eAn=TXs≤T型(Xs）、limPn→∞δnBn=m（|ε），limn→∞δneBn=m（|ε）- （m（|ε））。证据我们只给出了￠σn的证明：=￠σn（eX）。^σn（eX）的证明是相同的。首先请注意￠σn=nδnnXi=1(尼克斯- nX）+nδnnXi=1（|εi，n- εn）+nδnnXi=1(尼克斯- nX）（|εi，n- εn）=：eAn+eBn，1+eBn，2。术语收敛到T-1Ps≤T型(Xs），如n→ ∞, sincePni=1(尼克斯）→聚苯乙烯≤T型(Xs）和nX=OP（1/n）。显然，（3.11）意味着δneBn，1=n-1Pni=1（|εi，n）-εn收敛到m（|ε）- （m（|ε）），在概率中，当n→ ∞. 同样，使用引理3.3，δneBn，2=nPni=1(niX）（|εi，n）- 2.nX￠εngoes的概率为0。2下一步，让我们考虑（3.2）-（3.4）中引入的κ的估计量，但适用于噪声过程eX：△κn（eX）=δn^u4，n（eX）u2，n（eX）- 3.^κn（eX）：=T\\eX，eX\\eX，eX.下面的结果表明，对于大n，上述估计量的行为渐近为δnC，对于某些常数C，这取决于微观结构的遍历特性。命题3.5存在非零常数C和C，如n→ ∞,δn^κn（eX）P-→ C、 δnκn（eX）P-→欧共体。（3.14）证明。我们只给出了￠κn的证明：=￠κn（eX）。^κn（eX）的证明类似。

首先，观察^u2，n（eX）=nnXi=1(尼克斯- nX）+nnXi=1（|εi，n-(R)εn）+nnXi=1(尼克斯- nX）（|εi，n-(R)εn）。根据引理3.3，上述最后一个表达式上的第一项和第三项在概率上趋向于0，而第二项收敛于toeC：=m（|ε）- （m（|ε））乘以（3.11）。类似地，μu4，n（eX）=nX`=0`nXi=1(尼克斯- nX）4-`（|εi，n-(R)εn）`+nnXi=1（|εi，n-根据引理3.3，上述第一个和中的所有项在概率上趋向于0，而其中的第二项收敛于toeC：=m（|ε）-4m（￠ε）m（￠ε）+6m（￠ε）m（￠ε）-3m（|ε），根据我们的假设（3.11）。因此，（3.14）中的第二个限值为eC：=eC/3eC- 1.2标记3.6作为证明的结果，如果m（|ε）=0，则C=eC=m（|ε）3（m（|ε））。特别是，如果微观结构噪声（εt）t≥0in（2.5）为白噪声，则常数包括随机变量|ε：=ε的多余峰度E|ε/3（E|ε）- ε。4稳健矩估计方法在本节中，我们采用了Zhang et al.（2005）的所谓双尺度偏差校正技术，以开发σ和κ的估计量，这些估计量对微观结构噪声具有稳健性能。大致上，他们的方法包括三个主要成分：稀疏子采样、平均和偏差校正。让我们首先介绍一些必要的符号。设“Gn：={t，t，…，tn}为（2.3）中所述的可用采样时间的完整集合。对于子样本={ti，…，tim}和i≤ ··· ≤ I和a自然`∈ N、 我们将processeX在G上的第次实现变化定义为[eX，eX]G`=m-1Xj=0eX（tij+1）-eX（tij）`.接下来，我们将网格划分为K个互斥的正则子网格，如下所示：G（i）n：=G（i）n，K：={ti-1，ti-1+K，ti-1+2K，ti公司-1+niK}，i=1，K、 ni：=ni，K：=[（n- i+1）/K]。如Zhang等人。

（2005），改进（3.4）中引入的估计器的关键思想包括平均不同稀疏子网格G（i）n上的相关实现变化，而不是仅使用完整集Gn上的一个实现变化。因此，例如，对于估计σ，我们应考虑估计量σn：=σn，K：=KKXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n，（4.1），其中Ti，K：=Ti-1+niK- ti公司-1=Kδnni。估值器（4.1）由稀疏子网格上（3.12）中形式为^σ（eX）的平均估值器构造。上述估计量对应于Zhang等人（2005）提出的所谓“第二最佳估计量”。这种估计可以通过两种方式进行改进。首先，通过修正估计器的偏差，其次，通过以“最优”的方式选择子网格的数量K。我们将在接下来的两小节中分析这两种方法。此时，我们可以方便地回忆起，我们假设θ=0的从属布朗运动模型（2.1）。为简单起见，我们还假设b=0，这不会对后面的内容产生太大影响，因为我们正在考虑高频类型的估计器，因此，在这种情况下，漂移的贡献可以忽略不计。关于微观结构噪声，我们假设噪声过程{εt}t≥0出现在公式（2.5）中的是一个中心平稳过程，具有任意阶的有限矩，与X无关。此外，我们假设，对于任何`∈ N、 limδ，δ→0Eε`δ- Eε`δδ- δ=0；（4.2）式中，下文|εδ表示与|εt具有相同分布的随机变量，δ：=εt+δ-εt，它不依赖于t。注意（4.2）意味着存在一个常数m`（|ε）∈ Rsuch thatlimδ→0Eε`δ= m`（￠ε）。（4.3）最简单的情况是白噪声，当变量{εt}t≥0是独立的相同分布。

在这种情况下，{εiδ，δ}i≥1遵循平稳移动平均（MA）过程，E（|εiδ，δ）=0，E|εiδ，δ= 2E（ε）。4.1偏差校正估计器为了推导偏差校正，我们首先采用白噪声情况，其中{εt}t≥0是i.i.d.在这种情况下，εδ的分布不取决于δ。具有此分布的随机变量表示为|ε。我们首先为估计器（4.1）设计偏差校正技术。很明显，根据（3.1）和噪声ε和过程x的独立性，我们得到：Eσn，K= σ+EεKKXi=1niTi，K=σ+EεKδn.（4.4）关系式（4.4）表明，当观测δn：=T/n之间的时间跨度趋于0时，估计量的偏差会偏离到一致性。为了纠正这个问题，首先请注意（4.4）也意味着δn^σn，1= σδn+Eεn→∞-→ Eε. （4.5）因此，一个自然的“偏差修正”估计器将是^Иσn：=^Иσn，K：=^σn，K-Kδn^u2，n（|ε），（4.6）式中，n（|ε）：=δn^σn，1。然而，从K=1的（4.4）中，我们得到：E^Иσn= σ+EεnKT公司-Kσ+EεnT公司=K- 1Kσ，这意味着^Иσ不是真正无偏的。然而，上述关系产生了σ：^′σn，K：=KK的以下无偏估计量- 1^Иσn，K=K- 1KXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n-（K）- 1） T[eX，eX](R)Gn。（4.7）估计量（4.7）对应于Zhang等人（2005）的小样本调整“第一最佳估计量”。命题4.1在中心平稳噪声过程{εt}t下≥0独立于X，E^′σn，K= σ+EИεKδn- Eεδnδn（K- 1） 。特别是，^′σn，Kis是条件（4.2）（分别为白色微观结构噪声设置）下σ的渐近无偏（分别为无偏）估计量。我们现在为κ设计（近似）偏差校正估计量。为了分离估计κ和σ的问题，在这一部分中，我们假设σ是已知的。在实践中，我们必须用一个“准确”的估计来代替σ，如估计量（4.7）。

让我们首先考虑Statistickkkxi=1Ti，KheX，eXiG（i）n的平均值，这是（4.1）的模拟值。为此，我们使用E（Xδ+ε）=3σκδ+6σE（～ε）δ+E（～ε）+3σδ这一事实，这是（3.1）的一个简单结果，以及噪声∧ε和X的独立性。在这种情况下，我们有ekkxi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n！=3σκ+6σEε+KδnEε+ 3σKδn，（4.8）这确定了估计量^κn，K：=3σKKXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n- Kδn，（4.9）作为无微结构噪声情况下κ的无偏估计量。然而，与σ的估计一样，当δn→ 0，因为（4.8）中的第三项。为了纠正这个问题，我们需要对E（|ε）进行估计，这可以从以下极限值中推断出来→∞EδnT【eX，eX】’Gn= Eε, （4.10），这是（4.8）的简单结果，K=1。与（4.5）一起，这两项建议了以下估计：^Иκn：=^κn，K-σ^u2，n（|ε）-3σKδn^u4，n（|ε），（4.11），其中^u2，n（|ε）：=δnT【eX，eX】’Gn，^u4，n（|ε）：=δnT【eX，eX】’Gn。（4.12）然而，与估值器^Иσnabove一样，上述估值器仅对大n和K渐近无偏。以下结果提供了基于两个尺度上过程的已实现变化的κ无偏估值器。该证明遵循（4.4）和（4.8）的规定，省略。命题4.2设^′κn：=3σ（K- 1） KXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n-3σ（K- 1） T【eX，eX】’Gn（4.13）-nσ【eX，eX】’Gn- （K）- 1） δn。然后，在与X无关的白色微结构噪声下，^′κ是κ的无偏估计量。此外，对于一般的中心平稳噪声过程，我们有^′κn= κ+σKK- 1.EИεKδn- Eεδn+3σEИεKδn- Eεδnδn（K- 1） ，这表明在条件（4.2）下^′κnis渐近无偏。4.2 KIn的最佳选择这部分，给定一个特定的函数b（K，n，T），Ou（b（K，n，T））意味着存在一个常数c，与K，n和T无关，因此| Ou（b（K，n，T））|≤ cb（K，n，T），表示所有K，n和T。

我们还假设了白噪声情况，其中微观结构噪声{εt}t≥0以i.i.d.r.v.为中心。使用前一节中描述的双尺度程序时的一个重要问题是选择子类的数量K。处理此问题的自然方法包括最小化所有K上相关估计量的方差。此程序将产生最佳K*子类的数量。让我们首先说明（4.1）中估计量σn，Kgiven的这种方法。下一个结果（其证明见附录A.2）给出了^σn的方差，K定理4.3估计量（4.1）是这样的：σn，K=4σK3n+4nEεKT+4σ3n+3σκT+2σ3Kn+8σE（ε）KT（4.14）+Ou千牛+ Ou公司千吨n+ Ou公司千吨级.备注4.4根据（4.14），对于固定的任意K和高频/长周期采样设置（Tn→ ∞ δn=Tn/n→ 0），T和δ之间的有效渐近关系为^σn，kt的均方一致性是δnTn→ ∞. 如果根据n和T选择K，正如我们接下来要做的那样，可行值K：=Kn，T必须为Kn，T/n→ 0和n/（Kn，TT）→ 0作为T→ ∞ δn=T/n→ 现在，我们准备提出一个近似“最优”K*. 为此，让我们首先从（4.4）中得出估计值的偏差为偏差σn，K= 2EεnT K.（4.15）加在一起（4.14）-（4.15）意味着MSEσn，K=4σK3n+4σ3n+3σκT+2σ3Kn+8σE（ε）KT+4nEεKT+4n（Eε）TK（4.16）+Ou千牛+ Ou公司千吨n+ Ou公司千吨级.我们的目标是当n较大时，最小化相对于K的均方误差。注意，K中增加的唯一项为4σK/3n，而在K中减少的项中，第4N（Eε）/TKI项占主导地位（当n较大时）。因此，只考虑导致“近似”的这两个术语是合理的：MSE^σK≈4σK3n+4nTK（Eε）=：MSE^σK. （4.17）上述表达式中的右侧在值K处达到其最小值*= n6（Eε）Tσ.

（4.18）有趣的是，上述值与最佳K值一致*Zhanget al.（2005）中提出（见其中等式（8））。将（4.18）插入（4.16）中，因为δ=T/n→ 0，它紧随其后^σK*= 2.EεσT-+ 3κσT-1+o（T-1） 。（4.19）尤其是，上述表达式表明，在存在微观结构噪声分量的情况下，收敛速度从O（T-1） 至仅O（T-此外，当σ、Eε和κ较大时，收敛性最差。以下结果给出了无偏估计量方差的估计值（4.7）。其证明见附录A.2。命题4.5估值器（4.7）是这样的：^′σn，K=4σK3n+4n（Eε+（Eε））TK+Oun+ Ou公司nKT公司+ Ou公司T K公司. （4.20）与之前一样，之前的结果建议确定K，以最小化（4.20）中的前两个领先项。这样的最小值由K给出*= n6（Eε+（Eε））Tσ, （4.21）与模拟最优K相似（但不完全相同）*Zhang et al.（2005）中提出（见其中等式（58）&（63））。堵K后*在（4.20）中，得到的估计值达到了均方误差：均方误差^′σK*= 2.Eε+（Eε）σn-T-+ o（T-1） 。（4.22）有趣的是，因为T/n→ 0，估计量^′σK*达到o（T）级-1） ，即使在没有微观结构噪声的情况下，估计器^σK也无法实现，第3节中介绍的标准估计器也无法实现（见（3.5））。现在，我们继续研究K的估计量（4.9）的K的最优选择问题。与σn，K一样，我们首先需要分析估计量的方差。Zhang等人（2005）提出的K的最佳值在分子中缺少Eε一词。定理4.6估计量（4.9）是这样的：var（^κn，K）=TKn+OuTKn. （4.23）我们现在准备提出一种方法来选择K的值，该值使估计量^κn，K的均方误差近似最小。

让我们首先从（4.8）中回忆一下，估计器的偏差^κn，KisBias（^κn，K）=E（^κn，K）- κ=EεnT Kσ+2E（|ε）σ。（4.24）加在一起，（4.23）-（4.24）意味着MSE（^κn，K）=TKn+n（E|ε）TKσ+h.o.t.，（4.25），其中h.o.t.表示“高阶项”。然后，选择K是合理的，以便使MSE的主导项最小化。达到上述最小值atK*= n5（E|ε）96Tσ. （4.26）在（4.25）中插入（4.26），如下所示^κK*= （4） 5-Eεσ-T-+ oT-,其收敛到0的速度比O的速度慢T-2/3由估计量^σK获得*.最后，我们考虑命题4.2中引入的κ的无偏估计。如上所述，h.o.t.指的是高阶术语。定理4.7估计量（4.13）是这样的^′κn，K=TKn+2n9σTKe（ε）+h.o.t.，（4.27），其中e（ε）=Var（（ε- ε） ）。（4.27）右侧的两项在K时达到其最小值*= n5e（ε）（27）（16）Tσ. （4.28）堵K后*在（4.27）中，我们得到了thatMSE^′κK*= 2.--e（ε）σ-n-T-+ oT-1.,同样，自T/n→ 0，表示MSE^′κK*= o（T-1） 。应将上述结果与（3.9）进行比较，后者本质上表示估算值^′κK*比通过使n→ ∞ 在估计器中^κ与κn（见（3.6））。这里值得指出的是，可以利用（i）n【eX，eX】’GnP之间的关系设计出e（ε）的一致估计量-→ E（ε- ε） ，（ii）国民生产总值-→ E（ε- ε） 。（4.29）备注4.8很自然，我们会想，对于这里考虑的估计量，某些类型的中心极限定理是否可行。尽管我们考虑的是一个L'evy模型，其增量是独立的，但估计量不能用一个行独立的三角形数组来表示。