用两尺度幂估计含噪从属布朗运动

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英文标题：
《Estimation of a noisy subordinated Brownian Motion via two-scales power
  variations》
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作者：
Jose E. Figueroa-Lopez and K. Lee
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  High frequency based estimation methods for a semiparametric pure-jump subordinated Brownian motion exposed to a small additive microstructure noise are developed building on the two-scales realized variations approach originally developed by Zhang et. al. (2005) for the estimation of the integrated variance of a continuous Ito process. The proposed estimators are shown to be robust against the noise and, surprisingly, to attain better rates of convergence than their precursors, method of moment estimators, even in the absence of microstructure noise. Our main results give approximate optimal values for the number K of regular sparse subsamples to be used, which is an important tune-up parameter of the method. Finally, a data-driven plug-in procedure is devised to implement the proposed estimators with the optimal K-value. The developed estimators exhibit superior performance as illustrated by Monte Carlo simulations and a real high-frequency data application.
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中文摘要：
基于Zhang et al.（2005）最初开发的用于估计连续Ito过程积分方差的双尺度实现变分方法，开发了暴露于小加性微结构噪声的半参数纯跳跃从属布朗运动的高频估计方法。结果表明，所提出的估计器对噪声具有鲁棒性，令人惊讶的是，即使在没有微结构噪声的情况下，其收敛速度也优于其前体矩估计法。我们的主要结果给出了要使用的正则稀疏子样本数K的近似最优值，这是该方法的一个重要调整参数。最后，设计了一个数据驱动的插件程序来实现所提出的具有最佳K值的估计器。蒙特卡罗模拟和真实的高频数据应用表明，所开发的估计器具有优异的性能。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Estimation_of_a_noisy_subordinated_Brownian_Motion_via_two-scales_power_variations.pdf (1010.9 KB)

2022-5-31 03:30:01 上传

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关键词：布朗运动 Quantitative Econophysics Multivariate Applications

用两尺度幂变估计噪声从属布朗运动jos\'e.Figueroa-L\'opez*圣路易斯华盛顿大学数学系，普渡大学统计系，2月7日，2017AbstractHigh frequency基于半参数纯跳跃从属布朗运动的估计方法暴露在小的加性微结构噪声中，该方法基于Zhang et al.（2005）最初开发的两个尺度实现变化方法，用于估计连续It^o过程的综合方差。所提出的估计器对噪声具有鲁棒性，令人惊讶的是，即使在没有微结构噪声的情况下，其收敛速度也优于其前体矩估计法。我们的主要结果给出了要使用的正则稀疏子样本数K的近似最优值，这是该方法的一个重要调整参数。最后，设计了一个数据驱动插件程序来实现具有最优k值的估计量。蒙特卡罗模拟和真实的高频数据应用表明，所开发的估计器具有优异的性能。关键词：几何L'evy模型；峰度和波动率估计；功率变化估计器；微观结构噪声；稳健估计方法。*第一作者的研究部分得到了美国国家科学基金会（NSF）资助的DMS-1149692和DMS-1613016.1的支持。本文介绍了半参数从属布朗运动（SBM）的估计方法，其采样观测值受到了Zhang等人（2005）框架下的小加和效应的污染。

除了“波动性”参数σ（控制过程在固定时间间隔内增量的方差）外，SBM还被赋予了一个额外的参数，以下用κ表示，该参数考虑了增量分布的尾部重量。因此，κ决定了产生极端增量观测的过程的周期性。这一指标在许多应用中都具有重要的相关性，例如在保险和风险管理中模拟极端事件以及在金融中优化资产配置。这里考虑的模型是纯跳跃L'evy模型，σ不是连续It^o过程的波动率。然而，鉴于σ与过程增量的方差成正比，很自然地将σ作为模型的波动性参数。与回归模型一样，加性噪声（通常称为微观结构噪声）可被视为一种建模伪影，以解释观测过程与SBM模型之间的任何偏差。然而，在某些情况下，噪音可能与某些特定的物理机制有关，例如在竞价/aks反弹效应通过tick交易的情况下（参见Roll（1984））。在低频时，微结构噪声通常可以忽略不计（与SBM的增量相比），但在高频时，噪声很小，并且严重倾斜任何未考虑到它的估计值。然后，目标是开发对潜在微观结构噪声具有鲁棒性的推理方法。在过去的十年中，微观结构噪声下统计估计方法的文献不断增长。有关该主题的最新深度调查，请参见Ait-Sahalia&Jacod（2014），以及Ait-Sahalia et al.（2005）、Zhang et al.（2005）、Hansen&Lunde（2006）、Bandi&Russell（2008）、Mykland&Zhang（2012）在该地区的一些开创性作品。

这些工作大多集中在半鞅模型积分方差的估计上。然而，将所提出的一些方法转换为受加性噪声污染的半参数模型的估计方法的问题，正如本工作中的情况一样，在文献中受到的关注较少，尤其是在涉及峰度类型参数的估计时。Seneta（2004）、Ramezani&Zeng（2007）、Behr&P¨otter（2009）和Figueroa-L'opez et al.（2011）等少数作品分析了一些经典参数方法在估计一些流行的参数L'evy模型中的性能，但它们都没有引入微观结构噪声。为了推动我们的估计过程，我们首先考虑在没有微观结构噪声的情况下，σ和κ的动量估计器（MME）方法。在导言的整个过程中，这些估计量分别用σn、Tandκn、T表示，其中n和T分别表示观测数和采样范围。MME及其相关估计器由于其简单、计算效率高以及已知的对观测值之间潜在相关性的鲁棒性，在高频数据分析中被广泛使用。为了为我们提出的估计量的收敛性建立渐近基准，我们描述了当δn=T/n，观测之间的时间跨度缩小到0（完全渐近）且T→ ∞ （长运行渐近）。我们确定订单O（T-1） ，作为估计量在无噪声情况下的收敛速度。因此，一个理想的目标是开发能够在存在微结构噪声的情况下至少达到这种收敛速度的估计器。

在存在噪声的情况下，对估计器进行无症状分析，可以表明^σn，T→ ∞和^κn，T→ 0，作为n→ ∞, 这两项都是高频财务观察的典型经验特性（见下文第5.4节）。此外，还表明δn^σn，Tandδ-1n^κn，t分别收敛到微结构噪声的二阶矩和多余峰度。为了开发对微观结构噪声分量具有鲁棒性的估计器，我们借鉴了Zhang等人（2005）的开创性方法，该方法基于在两个尺度或频率上组合二次变化。更具体地说，这种方法有三个主要步骤。首先，将高频采样观测分为K组，每组以较低频率（稀疏子采样）进行观测。其次，对每组应用相关估计量（例如，已实现的二次变化），并对由此产生的K点估计进行平均。最后，偏差校正步骤是必要的，通常在可能的最高频率下使用估计器。上段所述方法中的一个基本问题是如何调整子组的数量K，这会严重影响估计器的性能。我们提出了一种在白微结构噪声设置下寻找近似最佳K值的方法。对于σ的估计，发现最优K取形式K*σ： =n6（Eε+（Eε））Tσ, （1.1）式中，ε表示与一次BM观测相关的附加微观结构噪声。有趣的是，最优值（1.1）是一致的，但与Zhang et al.（2005）在连续It^o半鞅背景下提出的不同。

还发现所得估计量的均方误差（MSE）（如上所述使用K）达到了收敛速度Cσ（Eε+（Eε））n-T-（达到常数Cσ），自T/n→ 0，显示了一个令人惊讶的事实，即估计量以o（T）的速率收敛-1） ，这比MME在无噪声情况下获得的速率更快。对于κ的估计，发现最佳K取formK*κ=n5 Var（（ε- ε） ）Tσ, （1.2）当所得估计量的均方误差以cκVar的速率收敛时（ε- ε）n-T-,达到常数Cκ。这里，ε和ε表示对应于SBM两个不同观测值的微观结构噪声。特别是，我们再次推断，在没有噪声的情况下，所得估计器比普通MME获得更好的MSE性能。为了实现具有相应最优选择K的估计量*, 我们提出了一种迭代程序，其中使用σ的初始合理猜测来确定K*,这反过来又用于改进σ的初始猜测，等等。由此产生的估计器在模拟和真实高频股票数据上都抑制了优异的有限样本性能。特别是，我们发现，与MME相对应的估计量相比，随着采样频率的增加，估计量相当稳定，如上所述，MME相对应的估计量收敛于0或∞ 分别用于σ或κ。Zhang等人（2005）提出的K的最佳值（见其中的公式（58）和（63））在分子中缺少ε。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了模型和估计框架。第三节介绍了矩估计的方法。第3.2节分析了它们的内部和长期渐近行为。第4节介绍了σ和κ的估计器，这些估计器对微观结构噪声分量具有鲁棒性，以及这些估计器的偏差校正版本，并对K进行了最佳选择。

第5节通过模拟展示了拟议估计器的具体性能，以及它们使用真实高频交易数据的经验可靠性。最后，论文的证明推迟到附录中。2模型和抽样方案在这一节中，我们介绍了整篇论文中使用的模型。我们考虑formXt=σW（τt）+θτt+bt（2.1）的从属布朗运动，其中σ，κ>0，θ，b∈ R、 W：={W（t）}t≥0是标准布朗运动，且{τt}t≥0：={τ（t；κ）}t≥0是一个独立的从属函数（即非递减的L'evy过程），满足以下条件：（i）eτt=t，（ii）Var（τt）=κt，（iii）eτj<∞, j=1，8.（2.2）为了便于识别，第一个条件是必需的，而第二个条件允许解释κ作为多余峰度的度量。施加条件（2.2-iii），以便X允许足够大的阶数的有限时刻。在金融应用中，X通常被解释为价格过程为{St}t的风险资产的对数回报过程Xt=对数（St/S）≥在这种情况下，τ起着随机时钟的作用，旨在将随时间变化的业务“活动”纳入其中。众所周知，过程X是一个L'evy过程（例如，见Sato（1999））。此后，ν将表示X的L'evy度量，它控制过程的跳跃行为，因为ν（（X，X+dx））度量单位时间内大小接近X的预期跳跃次数。（2.1）的两个典型示例是方差Gamma（VG）和正态逆高斯（NIG）L'evy过程，分别由Carr et al.（1998）和Barndorff-Nielsen（1998）提出。

在VG模型中，τ（t；κ）呈γ分布，尺度参数β：=κ，形状参数α：=t/κ，而在NIG模型中，τ（t；κ）呈逆高斯分布，平均u=1，形状参数λ=1/（tκ）。从力矩公式（见下文（3.1））可以看出，模型参数有以下解释：1。σ表示流程增量的总体可变性，或者在财务方面，表示资产的对数回报；在“对称”情况下（θ=0），σ是对数收益的方差除以收益的时间跨度；2、κ控制对数回归分布的峰度或尾重；在对称情况下（θ=0），κ是对数收益的剩余峰度乘以收益的时间跨度；3、b是日历时间中的漂移分量；4、θ是业务时间中的漂移分量，控制着日志返回的偏度；在本文中，我们还假设日志返回过程{Xt}t≥0是在时间间隔[0，T]内以均匀间隔的时间进行采样：ti，n=ti：=iδn，i=1，n、 式中，δn：=Tn.（2.3），这种抽样方案有时被称为日历时间抽样（c.f.Oomen（2006））。在增量的独立性和平稳性假设下，我们有一个随机样本niX：=Xiδn- X（i）-1） δn，i=1，n、 （2.4）Xδn分布的大小为n。在实际市场中，高频对数收益表现出某些程式化特征，这无法用（2.4）等有效模型准确解释。有不同的方法来模拟这些特征，被广泛称为微观结构噪声。微观结构噪声可能来自不同的来源，如聚类噪声、非聚类噪声（如出价/反盎司效应）和圆效应误差（参见Campbell et al.（1997），Zeng（2003））。在下文中，我们采用了张等人提出的流行方法。

（2005），其中市场微观结构的净影响被纳入观察到的对数回归过程的加性噪声中：eXt：=eX（t）：=Xt+εt，（2.5），其中{εt}t≥假设0是一个中心过程，与X无关。特别是在这种设置下，频率δn下的对数回归观测值由nieX：=eXiδn-eX（i-1） δn=niX+|εi，δn，（2.6），其中|εi，δ：=εiδ-ε（i-1） δ可以解释为微观结构噪声对观测增量的贡献尼克斯。在最简单的情况下，噪声{εt}t≥0是白噪声；i、 e.，变量{εt}t≥0与平均值0独立同分布。众所周知（也不足为奇），如果不考虑微观结构噪声，标准统计方法在应用于高频观测时表现不佳。然后，一个长期存在的问题是推导出对各种微观结构噪声具有鲁棒性的推理方法。在第4节中，我们提出了一种解决后一个问题的方法，借鉴了Zhang et al.（2005）应用于矩估计方法（MME）的开创性双尺度校正技术。在此之前，我们首先介绍了所考虑的MME，并在无微结构噪声和存在微结构噪声的情况下对估计量进行了简单的全面渐近分析。3矩估计方法矩估计方法（MME）由于其简单、计算效率高，以及已知对观测值之间潜在相关性的鲁棒性，被广泛用于处理高频数据。对于一般的从属布朗模型（2.2）-（2.1），中心矩可以很容易地以闭合形式计算为u（Xδ）：=E（Xδ）=（θ+b）δ，u（Xδ）：=Var（Xδ）=（σ+θκ）δ，u（Xδ）：=E（Xδ- EXδ）=3σθκ+θc（τ）δ、 （3.1）u（Xδ）：=E（Xδ- EXδ）=3σκ+6σθc（τ）+θc（τ）δ+3u（Xδ），其中，下文中，ck（Y）：=ikdkdukln EeiuY公司u=0，表示r.v.Y的第k个累积量。

对于VG模型，（c（τ），c（τ））=（2κ，6κ），而对于NIG模型，（c（τ），c（τ））=（3κ，15κ）。自始至终，我们假设θ=0，或者更一般地说，θ与σ相比可以忽略不计（有关此假设的进一步讨论，请参见下面的备注3.1）。θ=0的假设允许我们为参数σ和κ的MME提出如下易于处理的表达式：|σn（X）：=δn^u2，n（X），|κn（X）：=δn^u4，n（X）u2，n（X）- δn，（3.2），其中，下文中，n（X）表示由n（X）定义的k的样本中心力矩：=nnXi=1尼克斯- nX公司k、 k级≥ 2.nX：=nnXi=1niX=nlogSTS。（3.3）我们可以通过省略O（δn）=O（1/n）阶项（特别是，我们省略δnin（3.2）和（3.3）的样本矩中的nX）：^σn（X）：=T[X，X]，^κn（X）：=δnnPni=1(尼克斯）nPni=1(尼克斯）=T-1 \\[X，X]T-1 \\[X，X], （3.4）在上述情况下，我们已根据订单2和订单4的已实现变化来表示估算值，以下由\\[X，X]：=nXi=1定义(niX），\\[X，X]=nXi=1(尼克斯）。备注3.1在|θ|<<σ（即|θ|相对于σ可忽略不计）的情况下，我们可以将估计量（3.2）-（3.4）视为矩估计量的近似方法。θ的假设≈ 一些实证文献（如Seneta（2004），inturns引用Hurst等人（1997））提出了0。Figueroa-L'opez et al.（2011）使用MME和MLE以及日内高频数据对NIG和VG模型进行了验证。在后一个框架中，我们可以执行一个简单的实验来评估这个假设。根据（3.1）中u和u的公式以及c（τ）的公式，我们得到|u（Xδ）| 2u（Xδ）≥ |θ|κ≥ θκ，假设通常情况下，|θ|≤ 因此，σθκ≥2u（Xδ）δ|u（Xδ）|- 下表报告了2^u（X）δ|u（X）的值|- 少数股票为1。