用两尺度幂估计含噪从属布朗运动

例如，考虑（4.1）中引入的估计量^σn，Kforσ，为简单起见，假设Ti，K=T（渐近满足）和微结构噪声的存在。可以看出，kkxi=1[X，X]G（i）n=Kn-KXi=0（Xti+K- Xti），其项是相关的。5数值性能和经验证据在本节中，我们提出了一种迭代方法来实现前一节中描述的估计量，并相应地选择了K*. 主要问题在于，为了准确估计σ，我们需要选择（4.21）（或（4.18））中的K，这完全取决于我们想要估计的σ。因此，我们建议从σ的初始合理猜测开始，以找到K*, 然后用它来改进σ的初始猜测，等等。模拟和真实的高频数据应用说明了结果估计器的有限样本和经验性能。为简洁起见，在下文中，我们将使用以下符号k*（m，σ）：=n6mTσ, K*（m，m，σ）：=n6（m+m）Tσ.对于本节的模拟部分，我们考虑了具有高斯白微结构噪声的方差伽马（VG）模型。噪声ε的方差用%表示，因此i增量|εi，n的噪声为n（0，2%）。其他参数设置为：σ=0.02，κ=0.3，%=0.005。这里的时间单位是一天。特别是，上述σ值对应于0.02的年化波动率√252=0.31.5.1σ的估计量我们比较了以下估计量的有限样本性能：1。（4.1）中的估计量^σn，Kgin，K由最优值K的适当估计确定*（4.18）中给出，如下所述。如命题3.4和（4.5）所示，给出了Eε=E|ε/2的一致无偏估计量：^%：=dEε：=2n[eX，eX](R)Gn。

（5.1）估算（4.18）所缺少的唯一成分是σ的初步估算，然后我们将通过σn，K进行改进*. 具体而言，我们提出以下程序。首先，我们评估估计值^K*:= K*（^%，σ），其中σ是波动率的初始“合理”值。其次，我们通过σ：=σn，K来估计σ*.接下来，我们使用^σ来改进我们对K的估计*通过设置^^K*:= K*（^%，^σ）。最后，我们设置^σ：=^σn，^^K*2、我们考虑（4.7）中引入的偏差修正估计量^′σn，其值为K除以^K*如上文第1点所述。我们表示这个估计量^σ。我们还分析了一个类似于第1项的迭代过程，但使用了^σ。具体而言，weset^σ=^′σn，^′K*, 其中^′K*:= K*（^%，^σ）。最后，我们还考虑了（4.7）中引入的估计量^′σn，但使用了最佳值K的估计值*如公式（4.21）所示。具体来说，我们设置^σ=^′σn，^K*带^K*:= K*（^%、^$、σ），其中σ是σ的初始合理值，而^$是Eε的一致估计量。接下来，我们通过设置^σ：=^′σn，^^K来改进^σ的估计*, 带^^K*:= K*（百分比，$，σ）。（5.2）为了估计Eε，我们使用（4.12）。具体而言，如命题证明3.5和等式（4.10）所示，统计量^m4，n（|ε）：=[eX，eX](R)Gn/n收敛于E（|ε）=2Eε+6（Eε）。因此，Eε的一致估计值由^$：=dEε：=2n[eX，eX](R)Gn给出- 3.dEε.表2给出了基于1000次模拟的样本平均值、标准偏差和均方误差（MSE）。这里，我们取T=252天，σ≈ 0.063，相当于1的年化波动率。正如预期的那样，估计量^σ显示出明显的偏差，并且该偏差通过^σ进行了校正。然而，^σ远远优于其他考虑的估计量，这与等式中描述的均方误差的渐近结果一致。

（4.19）和（4.22）。δn^∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑5最小均值0.02274333 0.02066226 0.01998258 0.01988843 0.019996995 0.01999614标准偏差0.0006854182 0.001143444 0.0007945224 0.0012479476 0.0008839566 0.0007044640MSE 7.995654e-06 1.746024e-06 6.315694e-07 1.569822e-06 7.813885e-07 4.962843e-071最小平均值0.02288498 0.02066931 0.01995456 0.01984824 0.01997237 0.020002STD偏差0.0006482329 0.0010605652 0.00074685490.0011609025 0.0007887707 0.0006469303MSE 8.743311e-06 1.572774e-06 5.598574e-07 1.370725e-06 6.229225e-07 4.185247e-0730秒平均值0.02293765 0.0207521 0.01998865 0.01993685 0.0200009 0.02001709标准偏差0.0006537998 0.0010611910 0.0007515176 0.0011497640 0.0007185258 0.0006364266MSE 9.057229e-06 1.692391e-06 5.649076e-07 1.325945e-06 5.162794e-07 4.053310e-071秒平均值0.02296041 0.020761580.01998938 0.01994110 0.02000240 0.02000628Std Dev 0.0006346972 0.0010546469 0.0007285086 0.0011415267 0.0006393828 0.0005973219MSE 9.166839e-06 1.692287e-06 5.308377e-07 1.306553e-06 4.088161e-07 3.568328e-07表2：基于1000次模拟，σ=0.02的不同估计量的样本均值、标准偏差和均方误差。5.2κ的估计器我们比较了以下三种估计器的有限样本性能，这三种估计器分别用^κ、^κ、^κ表示。（4.9）中的估计量^κn，Kgiven，σ替换为式（5.2）中的估计值^σ，K由最优值K的估计值确定*在（4.26）中给出，分别用^σ和等式（4.29-i）替换σ和E|ε。（4.13）中定义的无偏估计量^′κ与前一项的K值相同。如前所述，我们将σ替换为估计量^σ。同样，无偏估计量^′κnin（4.13）将σ替换为^σ，但现在K的值由（4.28）给出。

我们将其中的σ替换为^σ，而估计e（ε）=Var（（ε- ε） ，我们利用（4.29）中的限制。表3给出了基于1000次模拟的样本平均值、标准偏差和均方误差（MSE）。这里，我们取T=252天，σ=0.063。预计，估计量^κ比其中的任何其他估计量都有更好的性能。κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κδn=5分钟平均值0.57771957 0.29982420.29967835 0.57428966 0.29189326 0.29686684标准偏差0.1783289311 0.1832631941 0.0979104650 0.1571326 0.15992758700.0758019358MSE 1 1 1.089294e-01 3.358543e-02 9.586563e-03 9.992531e-02 2.564255e E-02 5.755750e-03δn=30秒δn=1秒平均值0.58111784 0.29929056 0.29677713 0.57371817 0.29046728 0.29455234标准偏差0.1617998730.163678990 0.069347518 0.162874998 0.165066890 0.066836990 MSE 1.052064e-01 2.679132e-02 4.819465e-03 1.014499e-01 2.733795e-02 4.496860e-03表3：基于1000次模拟，κ=0.3的不同估计量的样本均值、标准偏差和均方误差。5.3收敛速度分析在本节中，我们研究了由等式定义的无偏估计量^′σn、Kand′κn、Kas的标准误差的收敛速度。（4.7）和（4.13），当分别根据最佳值（4.21）和（4.28）选择K时。特别是，我们要评估我们的说法，即估计量方差的收敛速度比T-为此，我们绘制日志（dVar^′σn，K*,T) 针对2个月至2年的T的对数（T）和8个日内采样频率δn（见图1中的左面板）。我们还显示了每个图的最佳线性拟合。这里，dVar^′σn，K*,T表示估计量^′σn，K的样本方差*,t蒙特卡罗使用200次模拟计算。

在表4中，我们还报告了最佳线性拟合斜率的95%置信区间（表中第二列）。很明显，线性拟合很好，这表明Var^′σn，K*,T∝ T-β、 对于较大的T和某些β<0，并且，斜率估计表明Var的收敛率^′σn，K*,T略优于T-1（平均费率为T-1.03）。我们还对估值器σ进行了相同的分析，如第5.1节所述，该估值器被设计为oracle估值器σn，K的数据驱动代理*,T、 结果显示在图1的右面板和表4的第三列中。Var（^σ）的平均收敛速度为T-1.045。请注意，CI表明坡度与-1在几乎所有情况下。我们对κ的估计量进行了相同的分析。对数图（dVar^′κn，K*,T和log（dVar（^κ）与log（T）的对比如图2所示。表4（最后两列）显示了最佳线性拟合斜率的CI\'s。^′κn，K方差的平均收敛速度*,Tis T公司-1.15，而^κ方差的平均收敛速度为T-1.18。δnlogdVar^′σn，K*日志dVar（σ）日志dVar^′κn，K*日志dVar（^κ）5秒-1.036±0.025-1.032±0.027-1.234±0.122-1.219±0.12710秒-1.053±0.026-1.040±0.026-1.272±0.151-1.219±0.17130秒-1.031±0.025-1.058±0.026-1.22±0.138-1.197±0.1321分钟-1.043±0.032-1.031±0.032-1.315±0.158-1.196±0.17810分钟-1.001±0.026-0.998±0.024-1.086±0.199-1.229±0.1520分钟-1.045±0.030-1.073±0.026-1.056±0.099-1.268±0.18730分钟-1.028±0.036-1.076±0.019-0.931±0.177-1.056±0.2321小时-1.041±0.020-1.053±0.023-1.124±0.105-1.072±0.133表4:t∈ {2m，3m。

，24m}，和log（dVar（kappa估计器））对T的log（T）∈ {12m，13m，…，24m}。5.4实证研究我们现在开始分析拟议估计数在实际数据中的表现。如上所述，并通过命题3.4-3.5,4.0 4.5 5.0 5.5 6.0-15.5-15.0-14.5-14.0-13.5-13.0-12.5 Sigmalog（T）log（Var（Sigma估计量））的“Oracle”估计量的收敛率分析4.5 5 5.0 5 6.0-15.5-15.0-14.5-14.0-13.5-13.0-12.5 Sigmalog估计量的收敛率分析og（T）log（Var（Sigma估计量））图1：对数回归分析（dVar^′σn，K*,T对照对数（T）（左面板）和对数dVar（σ）（右面板）用于T∈ {2米，3米，…，24米}，δn=5秒（红色），δn=10秒（蓝色），δn=30秒（棕色），δn=1分钟（绿色），δn=10分钟（紫色），δn=20分钟（橙色），δn=30分钟（粉色），δn=1小时（灰色）。样本方差是基于200个模拟计算的。5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2-6.0-5.5-5.0-4.5-4.0-3.5 kappalog（T）log（Var（kappa估值器））的“Oracle”估值器的收敛率分析5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2-6.0-5.5-5.0-4.5-4.0-3.5 kappalog（T）log（Var（kappa估值器））估值器的收敛率分析图2：回归日志分析（dVar^′κn，K*,T对照对数（T）（左面板）和对数dVar（^κ）（右面板）用于T∈ {2米，3米，…，24米}，δn=5秒（红色），δn=10秒（蓝色），δn=30秒（棕色），δn=1分钟（绿色），δn=10分钟（紫色），δn=20分钟（橙色），δn=30分钟（粉色），δn=1小时（灰色）。样本方差是基于200个模拟计算的。随着采样频率的增加，传统的估计量不稳定。实际上，^σ和^σnboth分歧到∞ 而^κnandκnconverge为0，如n→ ∞.

目的是验证所提出的估计器在非常高的频率下不会表现出上述行为。我们考虑了2005年期间几个股票的高频股票数据，这些数据来自沃顿WRDS系统的纽约证券交易所TAQ数据库。为了简洁明了，我们只展示Intel（INTC）和Pfeizer（PFE）。对于这些，我们计算（5.1）中定义的估计器^%、K=1的（4.1）中定义的估计器^σn、Kde、K=K的（4.7）中定义的估计器^′σn、Kde*如（5.2）所示，K=1的估计量^κn，Kde finedin（4.9），以及K=K的最终估计量^′κn，Kde finedin（4.13）*如（4.28）所示。对于^κn，1，我们使用σ=^σn，1。^σn，1和^κn，1都表示估计器没有任何技术来减轻微观结构噪声的影响。如表5-6所示，估值器^′σ和^′κ在高频下没有表现出估值器^σ和^κ的缺点。作为本文实证结果的结论，我们推断英特尔股票的年化波动率σ约为0.014*√252=每年0.22，而其过剩峰度以约0.5的速率随1/δ增加（关于κ的解释，请参见上述等式（2.4）中的项目2）。相比之下，尽管P fizer股票的波动性略大（约0.015*√252=0.23），其超额峰度以约2.3的速率增加，1/δ，由于其收益分布的尾部更重，显示出更大的风险。