有条件Davis定价

在例7.3的符号中，当t=1时，我们定义了局部鞅（β′t）t∈[0,1）和（W′t）t∈[0,1）通过β′t：=Zt√1.-udβu和W′t：=Zt√1.-乌德乌，t∈ [0，1），以及停止时间τ：=inf{t>0:E（β′）=1/2}和σ：=inf{t>0:E（W′）=2}∈[0,1]和（ν（0）t）t∈[0,1]由λt给出：=-σ∧τ（t）√1.- t、 ν（0）t：=-σ∧τ（t）√1.- t、 仍需应用[11]的结果得出结论，即NFLVR条件是满足的，但最小鞅密度E(-λ·β）是严格的局部鞅。我们的引理7.4适用，因为|ν（0）t |≤√1.-t型∈ L（[0，1]）。最后，我们提到示例7.3和7.5以及引理7.4将在第8节的示例中再次使用。下一个例子表明，构造没有唯一超可复制的有界payoffsψ非常容易。示例7.6。我们考虑以下三种状态的单周期模型：S：=（1，0，-1） ′，ψ：=(-1、0、，-1） ′。x+π的一组对（x，π）S≥ ψ由x给出≥ 0和π∈ [-1.-x、 1+x]。然而，相应的增益结果集（x+π，x，x-π） \'有条件DAVIS定价25x≥ 0和π∈ [-1.- x、 1+x]不包含s锤元素。事实上，如果（a，b，c）是最小的元素，我们会得到≤ - 1，b≤ 0，andc≤ -1但这样的元素（a，b，c）不是任何增益过程x+π的结果S带x≥ 0和π∈ [-1.- x、 1+x]。本节的主要技术成果如下：提案7.7。根据假设6.3，假设-B和-（B+εД）可通过-乐队-（B+εν），分别适用于0附近所有ε>0的情况。然后，对于每个^u∈^D（B），我们有limε0εU（B+εД）- U（B）= E[^YД]+limε0εD^us，B+εД- BE，（7.4），其中^Y=d^urdP。证据

对于ε>0，我们让xε，x∈ R和πε，π∈ A.∩ (-A） B+εД=εxε+ε（πε·S）和B=x+（π·S）T，因为B的边界远离零和∈ L∞（P） 我们可以认为ε>0太小以至于xε，x>0。对于δ∈ ε（Д）我们有εδ+^π∈ A和dε（δ·S）T+（π·S）T≥ -εД- B、 因此，通过B+εν的独特超复制性，我们得到了0≤ xε+（δ·S）T+ε（π·S）T+（πε·S）T.（7.5）由于Buniquely超级复制B，我们有B+（π·S）T≥ 因此，对于任何^u∈^D（B），[6]产品中等式（4.7）的第一部分0≤ h^us，B+（π·s）Ti≤ h^us，B+（^π·s）Ti=0。（7.6）[6]中等式（4.7）的第二部分确保hu，（π·S）Ti=0，并将其与huS，B+（π·S）Ti=0结合，我们看到hur，B+（π·S）Ti=hu，B+（π·S）Ti=hu，Bi。因为^Y=d^urdPwe获得表示e[^Y（^π·S）T]=h^uS，Bi。（7.7）性质εδ+^π∈ A产生h^u，ε（δ·S）T+（π·S）Ti≤ 0和h^u，（πε·S）Ti=0，对于每个ε>0。因此，通过（7.5），我们确定[^Y（xε+（πε·S）T+（δ·S）T+ε（ππ·S）T]≤ h^u，xε+（πε·S）T+（δ·S）T+ε（π·S）Ti≤ h^u，xεi.（7.8）为了表明已达到上述（7.8）中的上限，我们选取Δε=（xεx-ε） ^π+xεxπ- πε。（7.9）条件DAVIS定价26由于xε>0和x>0，可以检查Δε∈ ε（Д）。然后我们有E[^Y（xε+（πε·S）T+（Δε·S）T+ε（ππ·S）T）]=E[^Y（xε+xεx（（π+π）·S）T）]=xεxE[^Y（B+（π·S）T）]=xεxhu，B+（π·S）Ti=hu，xεi，其中最后一个等式从hu开始Bi=h^u，xi和h^u，（^π·S）Ti=0。因此，Δε确实达到了（7.8）的上限，并且，s o，supδ∈ε（Д）E[^Y（（δ·S）T+Д）]==h^u，xεi-εE[^Y（B+εД）]-εE【^Y（^π·S）T】+E【^YД】=h^ur，Дi+εh^uS，B+ε- Bi。集合ε（Д）m在耳部增加至（Д）as0。这意味着SUPδ∈ε（Д）E[^Y（（δ·S）T+Д）]supδ∈（Д）E[^Y（（δ·S）T+Д）]（7.10）为ε0。因为（7.10）的左侧等于h^ur，Дi+εh^us，B+ε-Bi，我们看到（7.4）符合命题6.5。

命题7.7的第一个结果是，如果-B如果唯一可超级复制。实际上，原始值函数U在所有可复制方向上都是光滑的：推论7.8。假设假设6.3成立-B是唯一的超级可复制的，而那是可复制的。然后，以下双侧极限为Slimε→0εU（B+εД）- U（B）= h^u，每个^u的^i∈^D（B）。（7.11）特别是，存在一个常数yB>0，使得yB=^u(Ohm) 对于每个^u∈^D（B）。证据首先观察可复制的ν，我们有B+εД=B+εД。因此，我们可以将第7.7条提案应用于Д和-^1见（7.11）。最后一项权利要求后面是设置Д=1。现在我们知道所有对偶极小值∈^D（B）具有相同的总质量，以下结果直接来自上述推论5.2。推论7.9。假设假设6.3成立-B是唯一可复制的。然后每个都是可复制的∈ L∞（P） u ni que B-有条件Davis价格(Ohm ).条件DAVIS定价27当B是常数（更一般地说，当B是合理的）时，已知原始优化器和对偶优化器的乘积是鞅（例如，参见[22]中关于p.911-2的讨论）。当对偶优化器只是一个完全相加的度量时，以下推论可以作为替代。结果依赖于[19]，其中正的上鞅导数{Yt}t∈[0，T]由^u构成∈^D（B）（见[19]中的方程式2.5]）。推论7.10。假设假设6.3成立- B是唯一的超级复制-B、 并且writeB=x+（π·S）T。然后过程^Ytx个+（π+^π）·St型, t型∈ [0，T]是一个非负鞅，其中{Yt}T∈[0，T]是与^u相对应的上界值∈^D（B）。证据从[19]中的定理2.10我们知道，所讨论的过程是一个非负上鞅。

此外，同样从[19]中，我们得到了^YT=durdPand^Y≤ ^u(Ohm). 为了获得常数期望性质，我们使用（7.6）获得h^u，xi=h^u，（π·S）T+Bi=h^ur，（π·S）T+Bi=Eh^YT（π·S）T+B我≤^Yx≤ ^u(Ohm)x、 下面是所声称的鞅性质。8、条件Davis价格区间这一部分在唯一超可复制性假设下闭合了循环，并给出了条件Davis价格区间的显式表达式。我们从扰动值函数的条件Davis-Prices的标准特征开始。给定B∈ L∞++和Д∈ L∞（我们还没有对这两种情况强加任何独特的超复制性假设）。我们把乐趣放在你身上→ [-∞, ∞) 定义为U（ε，x）：=U（B+x+ε），并将其在（0，0）处的超梯度表示为u（0，0）。引理8.1。Let^1∈ L∞. If（0，0）∈ u（0，0），然后P（Д| B）=R。否则，P（Д| B）={δ/y：y 6=0，（δ，y）∈ u（0，0）}。证据由于假设B∈ L∞++, u是凹形的，在（0，0）的某个邻域中进行单位值化。此外，将定义3.4翻译为以下语句：p∈ P（Д| B）当且仅当u（0，0）≥ u（ε，-εp）表示所有ε。条件DAVIS定价28通过凹度，这相当于u的方向导数在（0，0）方向上的非正性(-1，p）和（1，-p） ，即inf（δ，y）∈u（0,0）-δ+py≤ 0和inf（δ，y）∈u（0,0）δ- py公司≤ 通过超梯度的凸性，这等价于apair（δ，y）的存在∈ u（0，0），使得py=δ。定理8.2。假设假设6.3成立-B和-（B+εД）可通过-乐队-（B+εν），分别适用于0附近的所有ε。给定的B-Davis价格区间为：nbyybe[^YД]+yBhlimε0εD^us，B+εД- BE，limε0εD^us，B+ε- BEi，（8.1），其中yb是^u的公共值(Ohm) 对于所有^u∈^D（B）。证据

根据推论7.8，在x=0时，函数u在x中可微分，导数为yB。根据EMMA 8.1，B条件Davis价格区间由Yb给出[ε+u（0，0），ε-u（0，0）]。由于命题7.7，这与（8.1）中的表达式相吻合。8.1。两个示例。最后，我们给出了两个在不完全布朗环境下的示例，说明我们的结果可以直接应用，并导出条件Davis价格非平凡区间的显式公式。让(Ohm, F、 P）是支持两个独立布朗运动（Z，W）的概率空间，我们让{Ft}t∈[0，T]是指其在某些到期日T>0时的强化过滤。所有路径p-可积可预测过程集用Lp表示，p-绝对连续的空间完全可加测度用ba（p）表示，因此ba（p）可以与L∞（P） ′。在这两个例子中，股票价格动态由一维t^o过程dst：=Stσt给出λtdt+dZt, S> 0，（8.2），过程σ，λ∈ 五十、 由于布朗运动的驱动力大于资产，这导致了一个不完整的金融市场。这两个示例都将以（无计划的）或有索赔为特征，即在时间T，wher eД：R时支付Д（WT）→ Ris是一个非常数、有界且连续的函数。两个示例之间的主要区别在于，在第一个示例中，非流动性随机禀赋退化（对于常数x>0，B：=x），而在第二个示例中，随机禀赋B是n不可复制的。第一个示例说明，即使B：=x>0是常数，我们的条件DAVIS定价29设置也不同于[23]，因为相应的Dav价格不是唯一的，而[23]中对索赔支付的增长条件总是产生唯一的DAVIS价格（在[23]中使用的增长条件源自[16]）。

换言之，FirstExample中考虑的薪酬不包括在【23】中。第二个例子支持了我们在摘要和导言中提出的主张：当捐赠B不可复制时，一般情况是Davis prices是非唯一的。8.1.1。示例1。我们采用上述示例7.3中使用的设置，该设置基于【11】。禀赋取为B：=x>0常数。根据fr om E x示例7.3，φ（WT）的无套利价格区间由（Д，Д）给出，其中Д：=infa∈RИ（a），Д：=supa∈RИ（a）。（8.3）我们的第8.2条，其中B：=x>0常量s表明，Log investor的Dav区间为“价格（WT）”，由[p，p]给出，其中p：=^YE[^YT（ν- Д）]+Д，p：=Д-^YE[^YT（^- ^1）]。因此，由于函数Д不是常数，我们有- p=（Д）- ^1）（1- E【^YT】/^Y）>0.8.1.2。示例2。在这个例子中，我们考虑了[27]第2节中使用的萨缪尔森模型设置，其中股票价格动态由（8.2）给出，σt：=σ>0和λt：=λ>0都是常数。设U（ξ）：=ξγγ，ξ>0，γ<1，是“幂”族中的一个效用函数，具有恒定的相对风险规避p参数（通常γ：=0被解释为loginvestor）。投资者在时间t>0时收到f形式B（WT）的随机捐赠，其中B是一个非常数、有界和连续的函数。我们正在计算其B条件Davis价格的支付函数，以及数量和数量的定义与上面的示例1完全相同。我们还定义了以下数量b（ε）：=infa∈RB（a）+εД（a）,B（ε）：=supa∈RεД（a）- B（a）, ε≥ 【27】中的命题2.4在对偶优化器^Q处表示th∈ 具有形式B（WT）随机禀赋的效用最大化问题的ba（P）在函数B可能移动一个常数后，Yosida Hewitt分解^Q=^Qr+^qs中有一个非平凡的奇异部分。

此外，可以始终安排这样的移位，以使B的值为正且有界远离0。因此，在不失去普遍性的情况下，我们假设已经执行了这样的移位，因此，特别是b（0）>0。^QrdP的质量损失性质可以部分量化为DAVIS定价30的条件如下：【13】中的定理3.7和【29】中的命题3.2允许我们将^QrdP=^Yt，其中d^Yt=-^YtuσdZt+^νtdWt,^Y>0，对于某些过程∈ 五十、 非平凡奇异部分^qs的存在意味着^Y是一个严格的局部鞅，即e[^YT]<^Y。示例7.3考虑了eorem 8.2中处理唯一超可复制性的条件。事实上，两者- B和-（B+εν）是在那个里处理过的形式，所以，通过-乐队-B（ε），分别为f或ε≥ 应用定理8.2之前的最后一步是简化（8.1）中的两个ε-极限轴承。由于随机变量εB+εД-B为常数且等于εB（ε）-B（0）. 定理8.2保证该商在ε=0时允许左极限和右极限，我们引入以下符号B′（0+）：=limε0εB（ε）- B（0）和B′（0-) := limε0εB（ε）- B（0）.^qs中的总质量由^Y给出-E【^YT】，因此，支付（WT）的B（WT）条件Davis价格区间由【p，p】给出，其中p：=^YEh^YT^1（重量）- B′（0+）i+B′（0+），p：=B′（0+）-^YEh^YTB′（0+）- ^1（重量）i、 8.1.3。线性近似。我们用一个结果来结束本文，该结果用一些渐近对冲信息来补充前两个例子的定价公式。更准确地说，我们提供了上述布朗设置中原始效用最大化器的两个一阶近似值。我们关注右极限（ε0），因为通过将结果应用于-^1。

作为准备，我们注意到函数双凹及其右导数B′（0+）在0满足B′（0+）≤ 苏帕∈R |Д（a）|，并提醒读者B和Д都已标准化，以便B（0）>0。一如往常，^π表示随机禀赋B=B（WT）的效用最大化问题的原始优化器，而^Y是所有对偶优化器的公共正则部分。提案8.3。在第8.1小节开头描述的设置中，在假设6.3下，过程（1+εB′（0+）B（0））^π是一阶最优的，即B+εД（WT）- EhU1+εB′（0）+B（0）（^π·S）T+B+εД（WT）i=o（ε）条件DAVIS定价31asε0。证据我们基于命题7.7的值函数右导数的抽象表达式（7.4）进行证明。在命题7.7的证明中，我们让Δε由（7.9）定义，这要感谢例子7.3，它采用简单的形式Δεt：=B（0）B（ε）- B（0）ε^πt，那么我们有supδ∈（Д）E[^Y（δ·S）T]=limε0Eh^Y（δε·S）Ti=B′（0+）B（0）Eh^Y（π·S）Ti=B′（0+）uS(Ohm),其中最后一个等式使用（7.7）。我们可以利用第6.5项的证明来证明1+εB′（0）+B（0）（^π·S）T+B+εДWT公司我- UB- ε = o（ε），作为ε0，其中我们定义了 : = E[^YД]+B′（0+）us(Ohm).仍然需要应用三角形不等式和命题7.7。

参考文献[1]Fabio Bellini和Marco Fritelli，《关于极大极小鞅测度的存在性》，数学金融12（2003），1-21。[2] 托马斯·比约克（Tomas Bj¨ork）和伊琳娜·斯林科（Irina Slinko），《迈向良好交易边界的一般理论》，《金融评论》第10期（2006），第221-260页。[3] Rene Carmona，《差异定价：理论与应用》，普林斯顿金融工程系列（普林斯顿），（2009年）。[4] Alb ert Shiryaev和Alexander Cherny，《向量随机积分与资产定价基本定理》，斯特克洛夫数学研究所学报，237（2002），12–56。[5] John Cochrane和Jesus Sa\'a Requejo，《超越套利：不完全市场中的优质资产价格边界》，政治经济学杂志108（2000），79–119。[6] Jakˇsa Cvitani\'c、Walter Schachermayer和Hui Wang，《随机捐赠、金融和随机性的不完全市场中的效用最大化》5（2001），237–259。[7] Jakˇsa Cvitani\'c、Walter Schachermayer和Hui Wang，《不完全市场中随机捐赠、金融和随机的效用最大化勘误表》21（2017），867–872。[8] Mark Davis，《不完全市场中的期权定价》，《衍生证券数学》，M.A.H.Dempster和S.R.Pliska编辑，纽约：剑桥大学出版社（1997），216–226。[9] FreddieDelbaen和WalterSchachermayer，《资产定价基础理论》（fundamentaltheorem of asset pricing，Math）的一般版本。安。300（1994），463–520。[10] Freddie Delbaen和Walter Schachermayer，《无界随机过程的资产定价基本定理》，数学。安。312（1998），第2号，215–250。[11] Freddie Delbaen和Walter Schachermayer，《资产定价理论中几个问题的简单反例》，《数学金融》，8（1998），1-11。条件DAVIS定价32[12]Nelson Dunford和Jacob T.Schwartz，线性算子。第一部分，John Wiley&SonsInc。

（纽约），（1988年）。[13] 林启古，林毅清，杨俊健，《不完全市场中效用最大化的对偶问题，随机过程及其应用》，126（2016），1019–1035。[14] Hans F¨ollmer和Alexander Schied，《随机金融》，德格鲁特数学研究（柏林），（2004年）。[15] Julien Hugonnier和Dmitry Kramkov，《不完全市场中随机捐赠的最优投资》，应用概率年鉴14（2004），第2845-864号。[16] Julien Hugonnier、Dmitry Kramkov和Walter Schachermayer，《不完全市场中基于效用的未定权益定价》，数学金融15（2005），第2期，203–212。[17] Ioannis Karatzas，John Lehoczky，S teven E.Shreve和Gin-Lin Xu，不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法，SI A M J.ControlOptim。29（1991），707–730。[18] Ioannis Karatzas和Steven E.Shreve，《数学金融方法》，《数学应用》（纽约），第39卷，Springer Verlag，纽约，1998年。[19] Ioannis Karatzas和GordanˇZitkovi'c，《不完全半鞅市场中投资的最优消费和随机捐赠》，概率年鉴31（2003），第4期，1821-1858年。[20] 霍尔格·卡夫（Holger Kraft），《最优投资组合与赫斯顿随机波动率模型：电力效用的显式解决方案》，Quant。芬南。5，303–313（2005）[21]德米特里·克拉姆科夫，《不完全证券市场中的超级配股和对冲意外目标的可选分解》，Probab。理论相关领域105（1996），第4459–479号。[22]Dmitry Kramkov和Walter Schachermayer，《效用函数的渐近弹性与不完全市场中的最优投资》，Ann。应用程序。概率。9（1999），第。