有条件Davis定价

原始价值函数的方向导数我们的下一个任务是研究（2.2）定义的原始效用最大化价值函数的方向差异性。几位作者已经注意到它在Davis定价中的相关性（包括Dav在[8]中），我们在后面的章节中使用获得的结果来给出条件Davis价格区间的可行特征。首先，我们通过一个例子说明，平滑度——即使是在最“良性”的方向上，条件DAVIS定价16——通常也无法预期。然后，我们用线性控制问题给出了d方向导数的一个特征。我们希望bothour的反例和后来的描述在Davis定价的背景之外能保持一些独立利益。6.1。不顺利的一个例子。我们的下一个示例显示，对偶极小化集^D（B）可能包含具有不同总质量的度量。换句话说，^u(Ohm ) 不得在^u上保持恒定∈^D（B）。因此，即使在ε→ U（B+ε）在ε：=0时可能无法区分。一旦我们在下一节中介绍了独特的超级可复制性的概念，我们将看到如何在某些感兴趣的情况下使用它来重新获得差异性。为了简单和具体，我们以[22]中的E x示例5.1\'为基础，并使用以下符号和约定：所有随机变量x将在样本空间中定义Ohm := N、 我们把它写成X（{N}）。可数加性测度与序列识别l+和forQ=（qn）∈ l+我们写hQ，Xi f orPqnXnwhenever X=（Xn）∈ l∞.示例6.1。

我们首先回顾[22]中一个时期例子5.1’的元素（特殊情况）Ohm := Nand P=（pn）带P：=，pn：=-为n∈ N、 一期股价涨幅S=(Sn）定义如下S： =1和序号：=1-NN代表n∈ N、 当U：=log时，原始问题由U（x）：=su pπ定义∈[-x、 x]E[U（x+π）S） ]，x>0。设Q表示所有有限鞅测度的集合，即Q：={Q∈ l+: 总部，Si=0}，设M：={Q∈ Q:hQ，1i=1}。因为V（y）=-1.- log（y），对偶问题由v（y）：=infQ给出∈ME[V（ydQdP）]=V（y）+V*, 其中v*:= infQ公司∈我[-日志（dQdP）]。首先，我们将证明不存在最小化序列（QN）N M代表v*（等价地，对于v（y））可以弱收敛，因为hQN，f不能收敛于所有测试函数f∈ l∞. 这是Vitali-Hahn-S achs定理的一个结果（参见，例如，【12】第159页的推论8）l是弱序列完备的，所以任何弱收敛序列在l. 因此，任何极小化序列（QN）n的任何弱极限也必须属于M，因此是v的极小值*. 然而，这与[22]中示例5.1\'中所示的双日志优化器的严格超鞅属性相矛盾。条件DAVIS定价17由于上述原因，对于给定的最小化序列（QN）N，存在一个随机变量H∈ l∞这样的thqn，Hi在R中不收敛为N→ ∞.（6.1）因为hQN，1i=1，对于每个N，我们可以假设H≥ 此外，存在两个子序列（Q1，N）和（Q2，N）Nof（QN），因此，极限y=limNhQ1，N，Hi和y=limNhQ2，N，Hi存在于y6=y。（6.2）与H如上所述，我们定义B：=1/H和一个新的股票价格过程S：=BS、 然后考虑随机分布域B和股票价格增量的对数效用最大化问题S。

相关的对偶问题由▄v（y）：=inf▄Q给出∈ME[V（ydQdP）]+yhQ，Bi=-1+infQ∈~ME类[-对数（ydQdP）]+yhQ，Bi= -1+E[对数（B）]+infQ∈~ME类[-对数（ydQdPB）]+yhQB，1i= E[日志（B）]+inf▄Q∈~ME【V（ydQdPB）】+yhQB，1i, y>0，其中▄Q：={▄Q∈ l+: hQ，Si=0}和▄M：={▄Q∈~Q:h ~Q，1i=1}。因为Q∈Q当且仅当Q=QB∈ Q、 我们有infy>0v（y）=E[对数（B）]+infy>0infQ∈ME[V（ydQdP）]+y= E[日志（B）]+信息>0v（y）+y= E[日志（B）]+信息>0V（y）+y+V*= E[对数（B）]+v*.[28，引理3.12]表明，在合理的渐近弹性条件下，在可数加性鞅测度集上的优化-与其在[6]中的加性放大相反-导致相同的值函数。条件DAVIS定价18通过使用前面构造的最小化序列（Q1，N）N和（Q2，N），我们定义了概率测度序列Qi，N：=Qi，NHhQi，NH，1i∈对于i=1，2，M。我们可以使用（6.2）和（Qi，N）N，i=1，2，是v的最小序列这一事实*参见E[V（yidQi，NdP）]+yihQi，N，Bi=E[V（yihQi，NH，1idQi，NdP）]+yihQi，NH，1i=E[V（yihQi，NH，1i）]+yihQi，NH，1i- E[对数（dQi，NdP）]→ E[对数（B）]+v*= infy>0v（y）。很明显，~v（yi）≥ 对于i=1，2，infy>0v（y），这意味着Qi，Nis是v（yi）的最小序列。因此，v（y）=v（y）=infy>0v（y），这意味着v在[y，y]上是常数。这反过来又意味着v的共轭函数在0处不可微（实际上，整个段[y，y]属于其在0处的超微分）。备注6.2。（1） 上述示例6.1中随机禀赋B的构造基于l这实际上适用于任何L-空间。

因此，上述示例6.1是通用的，因为它可以应用于在loginvestor的对偶优化器中产生非平凡奇异组件的任何模型（具有恒定的赋能）。这意味着在[22]中例5.1的布朗环境中也存在随机禀赋，它产生一个不可微的原始效用函数。（2） 示例6.1似乎与[6]中定理3.1（i）所述的原始值函数的光滑性相矛盾：使用示例6.1中的符号，我们可以定义原始效用函数u（x）：=supπ∈RE[U（x+πS+B）]，x∈ R、 （6.3）其中我们使用约定E[U（x+πS+B）]=-∞ 如果E[U（x+πS+B）-] = +∞. 那么▄u在x=0时是不可微的，x=0是▄u域中的一个内点。6.2。一个线性随机控制问题的特征。尽管U在B的超差由与对偶问题的解决方案相关的完全可加性度量组成，但可以在不依赖于完全可加性的情况下给出方向导数的特征化。这是作者首次从Pietro Siorpaes那里了解到的关于[6]中备注4.2可能缺乏正确性的线性特征中最具吸引力的特征。我们还请读者参阅勘误表【7】，以进行进一步讨论。条件DAVIS定价19提案6.5如下；然而，正如我们稍后将看到的，它在许多情况下也会导致显式计算。我们付出的代价是线性化问题域的复杂性增加。在本文的整个提醒中，我们采用了以下假设，其中^X是以（5.4）为特征的原始优化器，其存在由合理弹性假设保证：假设6.3。U是有弹性的，在^X U′处存在一个大于0的常数b（1）- b） ^X∈ L（P）。（6.4）备注6.4。

假设6.3自动成立，例如，如果U属于CRRA（电力）实用程序的类别U（x）=xpp，对于p∈ (-∞, 1） \\{0}或U（x）=对数（x）。给定优化器^π∈ A和随机变量^X，我们让（^1）：=∪ε> 0个ε（Д），其中ε（Д）表示所有δ的等级∈ L（S），使得^π+εδ∈ A和d^X+ε（Д+（δ·S）T）≥ 0。（6.5）因为A是凸锥和^X≥ 0，家庭ε（Д）为非增量ε≥ ε意义上的0≤ ε=> ε（Д） ε(φ).（6.6）同样，家庭ε（Д）在Д中为非递减∈ L∞从某种意义上讲≤ ^1=> ε（Д） ε（Д）。（6.7）提案6.5。根据假设6.3，我们有∈ L∞（P） limε0ε（U（B+εД）- U（B））=supδ∈（Д）E【^Y】（δ·S）T+Д],（6.8）其中^Y：=d^urdP。证据对于足够小的ε>0，我们可以找到πε∈ A使得Xε=（πε·S）T+B+εν具有e[U（XεT）]的性质≥ U（B+εД）- ε。当ε>0时，我们定义δε=επε- ^π.因为π+εδε=πε∈ A，上述（6.5）的第一部分成立。为了证明（6.5）的第二部分成立，我们注意到^X+ε（Δε·S）T+Д= Xε和条件DAVIS定价20E[U（Xε）]>-∞ 这意味着^X+ε（Δε·S）T+Д≥ 之前，我们有Δε∈ ε（Д）。

U的凹度意味着U（B+εν）≤ E[U（Xε）]+ε≤ E[U（^X）]+εE[U′（^X）（Д+（Δε·S）T）]+ε≤ U（B）+εsupδ∈ε（Д）E[^Y（（δ·S）T+Д）]+ε≤ U（B）+εsupδ∈（Д）E[^Y（（δ·S）T+Д）]+ε。这将产生上界不等式lim supε0εU（B+εД）- U（B）≤ supδ∈（Д）E[^Y（（δ·S）T+Д）]。为了证明相反的不等式，我们选择ε>0和δ∈ ε（Д），因此^π+εδ∈ A和^X+εD≥ 0，其中d=（δ·S）T+Д。因为b>0，我们也有^X+bεD≥ （1）- b） 因此，对于ε∈ （0，ε）ε：=bε，我们有^X+εD≥ （1）- b） ^X>0。（6.9）U的凹度意味着ε∈ （0，ε）we haveU（^X+εD）≥ U（^X）+εYεD，其中Yε=U′^X+εD.因此，对于ε∈ （0，ε）我们得到u（B+εν）≥ E[U（^X+εD）]≥ U（B）+εE[YεD]。为了使ε为零，我们注意到（6.9）中的th给出了YεD-≤ U′型（1）- b） ^XD-≤ U′型（1）- b） ^Xε^X，（6.10），通过假设可积。（6.10）中的统一界限允许我们使用Fatou引理和Yε→ U′（^X）=：^Y，P-a.s.，以得出以下结论：infε0εU（B+εД）- U（^1）≥ lim infε0E[YεD]≥ E【^Y D】。以下示例强调了严格局部鞅在（6.8）中出现的线性优化问题中的作用。下一节将确定使本玩具示例起作用的关键组件。条件DAVIS定价21示例6.6。L et公司(Ohm, F、 P）是支持两个独立布朗运动（Z，W）的概率空间，我们让{Ft}t∈[0，T]是指其在某个到期日T>0时的强化过滤。我们将股票价格动态定义为：λtdt+dZt, S> 0，（6.11），其中过程λ如【11】所示，因此最小鞅密度为(-λ·Z）t：=e-RtλudZu-Rtλudu，t∈ 即使等价的局部鞅度量的集合M非空，但[0，T]仍会使鞅属性失败。

因此，[22]中的示例5.1表明，log investor的双效用优化器^Yt：=^YE(-λ·Z）是收敛的局部鞅。我们考虑一个简单的情况，其中^X：=1，payofffД是常数。事实上，我们正在使用日志实用程序，这意味着^Y=1，andRemark 3.2在【16】中指出，唯一的戴维斯价格是^本身，质量不同于e【^YT^】。对于δ∈ ε（Д）我们有（δ·S）t≥ -^1-ε^Xt，t∈ [0，T]。由于^Y^X=1，这是对数效用最大化中最优化的标准短视性质，因此局部鞅^Yt（δ·S）t+Д是一个较低的边界-ε；因此，它是一种超级艺术。在此之前，（6.8）左侧的限值由上至下以UPδ为界∈（Д）E【^YT】（δ·S）T+Д] ≤ ^1。（6.12）因为^Y是严格的局部鞅，所以对于任何δ∈ （Д）对于局部鞅^Yt（δ·S）是鞅的表达式E[^Yt（δ·S）T+Д]保持偏离（6.12）中的上限。另一方面，该上界在任何δ处都可以达到∈ 满足^YT（δ·S）T=^（^Yλ·Z）T的要求。唯一超可复制随机变量虽然命题6.5的线性控制问题提供了U的方向导数的有用表征，但线性问题似乎很难在完全通用的情况下显式求解。本节概述了一类相关的支付方式，对于这类支付方式，确实有一种可操作的解决方案。它涉及到与[27]中的条件（B1）相似的唯一可重复性的概念。定义7.1。

随机变量ψ∈ L∞（P） 如果存在常数ψ，则称为（1）可复制∈ R和πψ∈ A.∩ (-A） ψ=ψ+（πψ·S）T的此类th。条件DAVIS定价22（2）唯一超可复制（由ψ）ifψ∈ L∞（P） 是可复制的，ψ≥ ψ、 andx+（π·S）T≥ ψ=> x+（π·S）T≥ ψ表示所有x∈ R和π∈ A、 备注7.2。（1） 长期以来，人们认识到需要使用一致有界增益过程进行复制，如定义7.1（1）；例如，参见【4】中的定义1.15和【16】中备注3.2的第一部分。（2） 定义7.1（1）中可复制权利要求ψ的表示（ψ，πψ）是唯一的。此外，对于每个Q，过程（πψ·S）都有丰富的Q-鞅∈ M、 因此，因为每个u∈ D是弱者*具有yα的净yαQα的极限∈ [0，∞) andQα∈ M、 我们有hu，（πψ·S）ti=limαyαhQα，（πψ·S）ti=0。（3） 如果存在，定义7.1（2）中的随机变量ψ是唯一的。如果ψ=ψ+（πψ·S）被膜状超复制ψ，我们有表示ψ=supQ∈MEQ[ψ]。（4） 唯一的超可复制性是尺度不变的：如果ψ是由ψ唯一超可复制的，那么αψ是由αψ唯一超可复制的≥ 它在可复制随机变量的平移下也是不变的。特别是，可复制的随机变量是唯一的超可复制的。示例7.3。L et公司(Ohm, F、 P）是支持两个独立布朗运动（β，W）的概率空间，我们让{Ft}t∈[0，T]是指其在某个到期日T>0时的强化过滤。对于由Lp表示的所有路径可积可预测过程集，我们将其设为It^o过程dst：=Stσtλtdt+dβt, S> 0，（7.1），其中σ，λ∈ 使NFLVR保持稳定。我们关注形式为Д=Д（WT）的支付，其中Д：R→ R是丰富的Lipschitz函数。为了证明常数supaИ（a）可以唯一地超复制这样的Д（WT），我们首先假设x+（π·S）T≥ ^1（WT）a.s.，对于某些x∈ R和一些π∈ A.

然后，对于每个t∈ [0，T）我们有x+（π·S）T≥ esssu pQ∈MEQ[x+（π·S）T | Ft]≥ esssupQ公司∈MEQ[Д（WT）| Ft]。（7.2）下面的引理7.4给出了限制为t的条件↑ （7.2）右侧的T等于s upaИ（a）。当满足这些条件时，条件DAVIS定价23 s tochastic积分关于s的路径的连续性意味着x+（π·s）T≥ 苏帕（a）。反过来，这证实了常数supa^1（a）可以唯一地超级复制（WT）。引理7.4。在上述示例7.3的设置中，使用Д：R→ R boundedand Lipschitz，假设存在一个非负（确定性）函数f∈ L（[0，T]）和可预测过程ν（0）∈ l使（1）|ν（0）u |≤ f（u），对于Lebesgue几乎所有u∈ [0，T]，P-a.s.，和（2）随机指数Z（0）T：=E(-λ·β-ν（0）·W）是某些Q（0）的RadonNikodym密度∈ M关于P.Thenlimt↑Tessupq公司∈MEQ[Д（WT）| Ft]=supaД（a）。（7.3）证明。对于有界且可预测的过程δ，我们定义过程Z（δ）bydZ（δ）t：=-Z（δ）tλtdβt+（ν（0）t+δt）dWtZ（δ）：=1。简单计算得出以下表达式Z（δ）T=Z（0）TE(-δ·W（0））T，其中W（0）T：=Wt+Rtν（0）udu是Q（0）-布朗运动。当E（0）表示对Q（0）的期望时，我们得到E[Z（δ）T]=E（0）[E(-δ·W（0））]=1，其中最后一个等式源自δ的有界性。

因此，Z（δ）是（真）鞅，可用作概率测度q（δ）的密度∈ M、 为了继续，我们∈ （0，T）和a∈ R和定义δ（a）t：=t-t（Wt{| Wt|≤1/（吨）-t） }-a） 1{t≥t} ，t∈ [t，t]，W（a）t：=Wt+Zt（ν（0）u+δ（a）u）du，t∈ [0，T]。那么我们有WT- a=W（a）T- W（a）t-ZTtν（0）udu+Wt{| Wt |>1/（T-t） }。过程W（a）是Q（a）-布朗运动，其中Q（a）是Q（δ（a）的缩写。因此，界|ν（0）|≤ f表示等式（a）|WT公司- a|英尺≤ C（t），其中C（t）：=q2（t-t） π+ZTtfudu+| Wt | 1{| Wt |>1/（t）-t） }。有条件的DAVIS定价24，Lν表示Lipschitz常数，我们有| EQ（a）[Д（WT）| Ft]- ^1（a）|≤ LДEQ（a）[重量- a | |英尺]≤ LИC（t）。因此，lim suptTessupq∈MEQ[Д（WT）| Ft]≥ lim suptTEQ（a）[Д（重量）|英尺]≥ lim suptT^1（a）- LИC（t）= ^1（a）。需要注意的是，上面左侧的th并不依赖于a，即su paД（a）是（7.3）中的一个微不足道的上界。示例7.5。（继续实施例7.3）我们通过检查引理7.4适用的两个案例来继续实施例7.3。在第一个例子中，我们简单地将f：=0。如果最小鞅密度为(-λ·B）定义了一个鞅，这在许多流行模型中都是如此，包括在[25]和[20]中开发的不完全模型。在第二种情况下，E(-λ·B）是严格的局部鞅，但NFLVRnevertheless仍然成立。[11]中给出了一个发生这种情况的著名模型示例。我们在这里展示了一个时变版本（使用标准对数时间变换t 7→ -日志（1- t） ，因为【11】中的原始版本是在有限的范围内定义的。