有条件Davis定价

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英文标题：
《Conditional Davis Pricing》
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作者：
Kasper Larsen, Halil Mete Soner, and Gordan \\v{Z}itkovi\\\'c
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study the set of marginal utility-based prices of a financial derivative in the case where the investor has a non-replicable random endowment. We provide an example showing that even in the simplest of settings - such as Samuelson\'s geometric Brownian motion model - the interval of marginal utility-based prices can be a non-trivial strict subinterval of the set of all no-arbitrage prices. This is in stark contrast to the case with a replicable endowment where non- uniqueness is exceptional. We provide formulas for the end points for these prices and illustrate the theory with several examples.
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中文摘要：
在投资者具有不可复制随机捐赠的情况下，我们研究了基于边际效用的金融衍生品价格集。我们提供的一个例子表明，即使在最简单的设置中，例如萨缪尔森的几何布朗运动模型，基于边际效用的价格区间也可以是所有无套利价格集合的非平凡严格子区间。这与可复制捐赠的情况形成了鲜明对比，在这种情况下，非唯一性是例外的。我们提供了这些价格的终点公式，并用几个例子说明了理论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-31 03:50:27 上传

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关键词：Davis AVI Mathematical Quantitative mathematica

条件DAVIS PRICINGKASPER LARSEN、HALIL METE SONER和GORDANˇZITKOVI'CAbstract。我们研究了在投资者拥有不可复制随机捐赠的情况下，基于边际效用的金融衍生品价格集。我们提供的一个示例表明，即使在最简单的设置中（如萨缪尔森的几何布朗运动模型），基于边际效用的价格区间也可以是所有无套利价格集合的非平凡严格子区间。这与非唯一性例外的可复制捐赠的情况截然不同。我们提供了这些价格的终点公式，并用几个例子说明了该理论。2018年8月17日。简介我们认为投资者处于一个无摩擦但不完整的金融市场。价格动态由局部有界半鞅S建模。投资者将在未来时间T>0时获得捐赠B，并希望在时间T时以payofffД为衍生工具定价。为了获得支付的可能价格集，我们使用了Mark Davis在[8]中提出的基于边际效用的定价方法。投资者效用函数U：（0，∞) → Rgiven，我们首先定义原始价值函数v（·；B）“条件”为禀赋B的存在∈ L∞++:= ∪a> 0（a+L∞+). 其领域是一组随机变量，被解释为未来衍生品支付和2010年数学科目分类。初级91G10、91G80；辅助60K35。经济文献杂志（JEL）分类：C61，G11。关键词和短语。不完全市场，效用最大化，非规划禀赋，局部鞅，线性化，方向导数。作者要感谢Pietro Siorpaes、Mihai S^irbu和Kim Weston进行了大量有益的讨论。

在这项工作的准备过程中，第一作者得到了国家科学基金会第N号拨款DMS-1411809（2014-2017）和第DMS-1812679号拨款（2018-2021）的支持，第二作者得到了瑞士国家基金会通过拨款SNF 200021153555和瑞士金融研究所的支持，第三作者获得了美国国家科学基金会（National S ScienceFoundation）的支持，批准号为DMS-1107465（2012-2017）和DMS-1516165（2015-2018）。本材料中表达的任何观点、发现和结论或建议均为作者的观点、发现和结论或建议，不一定反映国家科学基金会（NSF）的观点。条件DAVIS定价2其价值isv（Д；B）：=supHE[U（Д+B+ZTHudSu）]，Д∈ L∞,（1.1）其中，H在一组可容许被积函数上的范围，该可容许被积函数在下文第2节中定义。然后，给定一个固定的带payoffuД的导数，我们称之为常数∈ R有条件的Davis价格为Д（有条件的捐赠B），ifp满足以下不平等Vε（Д）- p） ；B≤ v（0；B），ε∈ R、 （1.2）数学细节见下文定义3.4。上述条件Davis定价概念也可以被视为效用函数不再具有确定性的经典情况的变体。我们可以将随机禀赋B视为代理人偏好结构的一部分，即考虑x 7→ U（x+B（ω））作为随机效用函数，并将E[U（ν+B）]视为位置Д的预期效用。跨越的禀赋B集提供了一个有趣的特例。确实，如果B∈ L∞++满足B=x+r对于某些初始值x和容许H，则x是唯一的，且主要效用函数满足v（Д；B）=v（Д；x）。在这种情况下，条件Davis价格恰好是基于边际效用的支付价格，前提是[16]第3.1条定义的初始财富x（常数）大于0。

本文的主要目标是将为跨越式捐赠发展的理论推广到非跨越式捐赠的情况，这是许多不完全市场均衡框架中面临的主要问题之一。另一种方法是将捐赠B也视为金融衍生品的支付。这一观点要求我们同时为多重竞争定价，并在[15，23]中予以考虑。也就是说，设ξ为d的d维支付函数，并fix一个量q∈ Rd.那么，在【15】的备注1中，p∈ RDI称为ξ的基于边际效用的价格，给定qif psatis fies，v（q·（ξ- p） ；q·ξ）≤ v（0；q·ξ），q∈ Rd.因此，也可以将条件Davis价格定义为ξ：=（B，ν）和q：=（1，0）对的二维边际效用价格的第二个组成部分。事实上，我们在第4节中给出了准确的定义，在第4.1节中，我们表明这两个概念是一致的。除了使用相同的定义外，之前的研究不包括条件Davis价格与非计划捐赠B的情况。特别是，[16]研究具有常数（跨越）捐赠B的一维问题：=x>0，而[15]提供了多维定义，但仅研究效用最大化问题。[23]研究了在ξ的衰减假设下，仅针对qun的小值的多维定价问题，我们将在后面讨论。由于我们需要将qt固定为条件DAVIS定价3（1，0），因此[23]的渐近结果不能应用于一般条件Dav is价格。为了突出我们的设定和【23】之间的一个非平凡的差异，让我们回顾一下，自【16】日起，当B：=x>0是常数时，基于边际效用的支付价格可以形成一个非平凡的区间。

然而，这种情况被视为罕见的病理现象，并在【23】中通过衰变条件明确假定为消失。在我们的设置中，其中B是未经退火的，我们提供了一个示例，表明即使在塞缪尔森的几何布朗运动模型中，具有常数系数，也存在一个显式有界支付的整体谱，具有非平凡且显式可计算的基于边际效用的价格区间。虽然基于边际效用的价格的概念已经存在了二十多年（我们将在下面讨论相关文献），但当B和Д都未退火时，满足（1.2）的所有常数p的特征目前还不可用。本文的主要贡献是为（B，Д）提供了一组条件，可以明确计算基于边际效用的价格区间的两个端点。我们的主要结果是：（1）对于任意捐赠∈ L∞++, 我们表明，基于边际效用的价格区间∈ L∞（P） 由所有hД，^Qi的集合给出 R、 当^Q∈ba（P）的范围包括相关双重效用问题的一组完全可加最小值（如【6】所述）。这里h·，·i表示nl之间的对偶∞（P） 及其对偶ba（P）：=（L∞（P） ）’。（2） 众所周知，基于边际效用的价格与原始效用价值函数（1.1）的导数有关。我们表明，在效用函数U（ξ）在ξ=0时的温和增长条件下，v（Д；B）在Д方向上的方向导数可以表征为某一线性随机控制问题的值。此外，我们通过一个示例说明，即使在log实用程序的情况下，map pingR x个→ v（x；B）；也就是说，v（·；B）限制为常数payoff sД=x∈ R在其领域内部无法区分。

另请参见勘误表[7]中的讨论。（3） 在[27]对（B，ν）的唯一超可复制性的附加假设下，我们明确地解决了（2）中提到的线性随机控制问题。这为我们提供了描述基于边际效用的价格区间的两个端点的公式。当B：=x>0为常数时，[22]中的定理2.2确保了初值函数（1.1）的光滑性。但是，当B∈ L∞++未经退火，下面的示例6.1说明平滑度可能会失败。有条件的DAVIS定价4an off shot，我们还显示映射→ 只要B是唯一的超级可复制的，v（Д；B）就是光滑的。我们希望强调的是，虽然与边际效用价格相关的一些已知结果逐字地从恒定捐赠案例B：=x>0扩展到一般的未经统计的案例B∈ L∞+, 并非所有结果都是这样。尽管如此，上述（2）中提到的例子说明了一个非常重要的差异。由于市场的不完全性，无套利价格的区间通常呈现极端形式，其端点由基本上限和上限给出。我们请读者参阅专著【3】和【14】，以获取更多的一般信息和对各种非计划支付定价方式的全面历史概述。几位作者使用了特殊方法来减少无套利价格区间的宽度（例如，参见【5】和其扩展【2】，其中使用了基于夏普比率的HansenJagannathan界限的所谓好交易界限）。在这方面，我们的结果表明，基于边际效用的价格可以用来缩小无套利价格的区间。我们继续阐述上述基于边际效用的价格缺乏唯一性。

对于确定在正轴上的效用函数（如幂和对数），以及B：=x>0常数，[16]表明Dav is价格对于所有的Д都是唯一的∈ L∞如果且仅当双重效用优化器^Q是鞅测度（在这种情况下，基于边际效用的价格由E^Q[^]给出）。然而，自[17]以来，人们就知道存在无套利模型，其中双重效用优化器不能满足鞅性质；当双效用优化器不能满足鞅性质时，满足NFLVR（没有风险消失的免费午餐）的模型的更多示例也请参见[22]。因此，有一些模型存在有界支付，且基于边际效用的价格不唯一（有关此类支付的abs合同建设，请参见[16]）。当唯一性被认为是不可或缺的时，可以将注意力限制在产生鞅双重效用优化器的金融模型和效用函数上（参见，例如，[24]中使用的BMO类型条件），或者只考虑具有独特Davis价格的支付函数（如[23]中所述）。我们没有施加这样的限制，我们基于边际效用的价格区间通常是相反的。在本简介的最后，我们简要总结了当B：=x>0为常数（更一般地说，当B∈ L∞++已跨距）。与本文最接近的文献链中，U仅在正轴上是有限的，包括[6]、[15]、[23]和[16]。让我们评论一下它们与本文的异同：当U的域是R（如指数效用）时，相应的对偶优化器总是鞅；见[1]。

因此，对于这种效用函数，基于边际效用的价格总是很奇怪，我们的分析在这种情况下没有什么新的结果。条件DAVIS定价5-[6]关注效用最大化问题本身，而不考虑定价。-基于边际效用的价格的概念在【15】第849页的备注1中有定义，并且没有超出标准的超差异特征进行研究。-[16]的作者对恒定禀赋情况下基于边际效用的价格进行了深入研究，即对于某些常数x，B：=x>0（或更一般地，对于B跨度）。[16] 创建了第一个抽象示例，展示了基于非唯一边际效用的价格。-在[23]中，作者进行了渐近分析。如上文所述，并在下面的备注4.4中进一步详细说明，这些结果不适用于我们的设置。此外，[23]工作和其他假设，保证th atД具有唯一的基于边际效用的价格。这些假设以衰变条件的形式出现在Д上，并且可以在【16】中找到。尤其是，这种衰减条件对于一般的有界支付而言并不满足。我们不需要这样的衰减特性，因此，我们考虑的索赔集和[23]中考虑的索赔集不在任何方向嵌套。事实上，基于[11]中著名的反例，我们构造了一个Payoff族的exp-licetExample，其常数为B：=x>0（如[23]），其具有基于边际效用的价格的非平凡区间。这个例子说明，即使对于常数禀赋B：=x>0，我们的设置也允许s用于非唯一价格，而设置[23]总是产生基于唯一边际效用的价格。本文的组织结构如下。第2节描述了模型、术语和符号集、施加的持续假设，并对我们的中心效用最大化问题进行了初步分析。

在第3节中，我们定义了条件Davis价格。在第4节中，我们重新定义了[15]中基于边际效用的价格的定义，并表明条件Davis价格可以被视为基于边际效用的价格的预测。第5章从双重角度对Davis价格进行了描述，并阐述了这种描述的一些初步结果。第6节研究了原始效用最大化问题的方向导数，这也给出了上文（2）中提到的非对称性的明确例子。第6节还根据线性随机控制问题给出了方向导数的特征。第7节回顾了【27】中对独特超级可复制性的定义，并提供了一系列独特超级可复制权利要求的示例。第7节的主要结果给出了在唯一超可复制条件下效用最大化值函数的方向导数的显式表达式。该结果随后在第8节中被用于给出一般情况下基于边际效用的价格区间的显式公式。然后，在两个示例中使用这些公式，其中一个示例设置在萨缪尔森-布莱克-斯科尔斯-默顿模型中，并说明了即使在最简单的设置中也可能出现非唯一ess的事实（这支持我们在摘要中提出的条件DAVIS定价要求）。这些示例还允许我们给出与边际效用价格区间终点相关的对冲组合的一阶近似值的明确表达式。设置和假设2.1。市场模式。让(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个满足通常条件的过滤概率空间，且{St}T∈[0，T]是局部有界半鞅。

L（S）表示所有可预测S-可积过程的集合，M表示F上所有P-等价可数可加概率测度Q的集合，其中S是Q-局部鞅。长期假设2.1（NFLVR）。M 6=. 备注2.2。我们假设资产价格过程S是局部有界的，并假设存在局部鞅测度。虽然可以将我们的设置放宽到非局部边界情况（如[6]中所使用的），但不可能将第2.1节放宽到仅暗示存在超级马丁可变形器。事实上，不可复制禀赋B的存在使得仅产生非负财富过程的可接受性类太小，无法容纳优化器。这个微妙的问题在[26]第240、241页进行了讨论和说明。为了将当前论文的重点放在与条件Davis定价直接相关的问题上，我们选择了一组略强于绝对必要的假设。2.2。收益和可采性。投资者的收益过程具有以下动力学（π·s）t：=ZtπudSu，t∈ [0，T]，（2.1）对于某些π∈ L（S）。我们称之为π∈ 如果增益过程由常数一致下界，那么L（S）是可容许的，在这种情况下，我们写π∈ A、 术语最终结果集用K表示，即我们定义K：={（π·S）T：π∈ A} 。2.3。首要问题。设U是（0，∞), i、 e.，Uis严格凹，严格递增，并与U′（0+）连续可微=+∞ 和U′(+∞) = 必要时，我们通过设置U（x）=-∞ 对于x<0且U（0）=infx>0U（x）。