有条件Davis定价

最后，U被认为具有合理的弹性（如[22]中所定义），iflim supx→∞xU′（x）U（x）<1。尽管我们需要它来获得一些结果，但我们从一开始就没有强加合理弹性的条件。有条件的DAVIS定价7让v按照（1.1）中的上述许可概念定义。那么，对于任何B∈ L∞++:= ∪x> 0（x+L∞+) 我们定义（B）：=v（0；B）=supX∈科胡B+Xi（2.2）与约定E[U（B+X）]=-∞ 如果E[U（B+X）-] = +∞.因为U（B）≥ U（essinf B）>-∞, U是(-∞, ∞]-在L上估价∞++. 在下面的（2.3）中，我们提出了一个双重属性假设，其中包括U在L上的绝对值∞++.2.4。双重效用最大化问题。等价局部鞅测度m的集合可以通过相对于P的Radon-Nikodym导数，用L+（P）的子集来识别，并自然嵌入ba（P）：=L∞（P）* L（P）。我们定义*作为弱者*-关闭我们定义的需求 ba+（P）作为所有yQ-wher-y家族∈ [0，∞) andQ公司∈M*. 然后，我们可以通过vb（u）：=supX定义双效用函数∈L∞E[U（B+X）]- hu，Xi, u∈ ba（P）。特别是VBis凸，下弱*-在ba（P）上半连续，从下以E[U（B）]为界∈ R、 为了提醒你这篇论文，我们提出了一个适当的假设。虽然这一假设在我们的环境中并不是最薄弱的，但它允许我们快速地处理一些与本文信息无关的技术要点，即持续假设2.3（适当性），同时又能将通用性损失降到最低。存在y∈ （0，∞) andQ公司∈ M使得u：=yQsatis fiesvb（u）<∞.（2.3）由于p上引理2.1的微小修改。

138在【30】及其之前的讨论中，Vb承认以下表示Vb（u）=EhVdurdPi+hu，Bi，u∈ D、 （2.4）式中，V是由V（y）定义的对偶效用函数（严格凸）：=supx>0U（x）- xy型, y>0。因此，Fenchel的等式和（2.3）保证了原始值函数U满足U（B）<∞ 对于所有B∈ L∞++. 此外，（2.3）还确保由v（B）定义的相应双值函数：=infu∈DVB（u），B∈ L∞++,（2.5）具有固定价值。对于B∈ L∞++我们让^D（B）表示所有极小值的集合，即所有这些u∈ D使得V（B）=VB（u）。条件DAVIS定价8下一个结果收集了我们在以下章节中需要的一些基本事实：引理2.4。对于每个B∈ L∞++, 集合^D（B）是一个非空弱集*-ba（P）的紧子集，且存在一个非负随机变量^Y=^Y（B），使得P[^Y>0]>0且^Y=durdpf对于所有u∈^D（B）。此外，强对偶U（B）=V（B）适用于所有B∈ L∞++.证据设{un}n∈Nbe a形式为un=ynQnwhere Qn的VBof的最小化顺序∈M*和{yn}n∈N [0，∞).看到{yn}n∈Nis有界，我们注意到（2.3）产生了最终上限：VB（u）≥ lim supnE[V（yndQrndP）]+ynhQn，Bi≥ lim supnV（yn）+ynessinf B.第一个不等式来自（2.4）和序列{un}n的极小化性质∈其中最后一个不等式来自于V和d Jensen不等式的不递增性。因为V′(∞) = 0且essinf B>0{yn}n的有界性∈n以下。因为完全加性概率{Qn}n∈向弱者倾斜*紧凑型setM*, 我们可以得出结论{un}n∈Nadmits是个弱者*-聚合子网uα，使uα→ u，对于某些u∈ D、 函数VB是低连续的，我们得到v（B）=limαVB（uα）≥ VB（u）。因此，u是D上的最小值，我们有^D（B）6=.接下来，我们显示所有u∈^D（B）具有相同的常规部分。为此，假设ur6=ur。

然后，u=u+u∈ 通过（2.4）我们得到了VB（u）+VB（u）=EhV（DurdP）i+EhV（DurdP）i+hu，Bi>VB（u），通过V的严格凸性。然而，这与u和u的最小值相矛盾。为了证明^Y 6=0，我们通过矛盾来论证，并假设P[^Y=0]=1。在第V（0）种情况下∞ 由于Jensen不等式，我们得到了VB（u）<∞ 对于所有u∈ D、 特别是，我们有一些Q∈ M和^u∈^D（B）VB（uε）<∞, 式中，με：=εQ+（1- ε） ^u，ε∈ [0，1]。因为正则部分泛函是加性的，所以我们有urε=εQ+（1- ε） ^ur=εQ。条件DAVIS定价9因此，^u的最小生产量为[V（εdQdP）]+huε，Bi=VB（uε）≥ VB（μ）=V（0）+h（μ），Bi。Fatou引理然后im plieshQ- ^u，Bi≥ lim infε0V（0）- 超高压εdQdP我= -V′（0）=+∞.这是一个矛盾，因为B∈ L∞（P） 确保左侧是固定的。从上面我们知道(Ohm) 在^D（B）上一致有界。因此，弱者*-闭集^D（B）是范数有界的，且^D（B）的紧性来自于Banach-Alaoglu定理。最后，为了建立强对偶性质，我们定义了弱*-紧凑型双设置DN：={u∈ D：| |u| |≤ n} ，n∈ N、 以及原始集合c=（K- L+）∩ L∞= {X∈ L∞: Xi总部≤ 0表示所有Q∈ M} 。有关最后一个恒等式的证明，请参见[28]中的推论3.4（1）。作为aconsequence，X有以下等式∈ L∞（P） limn公司→∞supu∈Dnhu，Xi=（0，X∈ C、+∞, X 6∈ C、 然后，可以使用极大极小定理（例如，参见第2.10.2节，第144页，见[31]）来产生v（B）=limn→∞infu∈DnsupX公司∈L∞（P）E[U（X+B）]- hu，Xi= supX公司∈CE[U（X+B）]。单调收敛定理确保该表达式等于初值函数U（B）。3、条件Davis价格定义3.1。对于B∈ L∞++, 随机变量R∈ L∞被称为beB无关，用R表示∈ I（B），ifU（B+εR）≤ U（B），ε∈ R、 （3.1）备注3.2。

值为B的函数U fifine，以及值为a L的函数U fifine∞-因此，（3.1）的两边都是实值f或足够小的ε。由于U的凹度，对于ε的较大值，（3.1）的右侧可能只取负值。因此，对于R∈ I（B），仅检查ε在0附近的（3.1）就足够了。条件DAVIS定价10Lemma 3.3。I（B）是一个非空的、弱的*闭线性子空间∞.证据函数U在B是凹的，因此I（B）是这些方向R的集合，其性质是U在R方向上的方向导数和-R是非正的。换句话说，我们有SUPu∈U（B）hR，ui≤ 0和supu∈U（B）-hR，ui≤ 0，其中U（B） ba（P）是U的超差分。前面，I（B）是U（B），即i（B）={R∈ L∞: hu，对于所有u，Ri=0∈ U（B）}，这意味着该语句。以下定义源于Mark Davis，源于【8】：定义3.4。A数字p∈ R被称为B-有条件DavidSprice（或B-基于边际效用的价格），如果B从上下文中是明确的，则R只是有条件的Davis价格，用于支付∈ L∞如果^1- p与B无关。所有B-条件Davis价格的集合由P（Д| B）表示。因此，p∈ P（Д| B）当且仅当（3.2）U（B+ε（Д- p） （）≤ U（B），ε∈ R、 4。边际效用基础d价格在本节中，我们回顾了边际效用基础价格的定义，并将其与前一节中定义的条件Davis价格联系起来。我们从[15]中给出的定义开始。设导数payoffξ是一个Rd值、有界、ft可测的随机变量。请参阅（1.1）中定义的函数v。定义4.1（注释1，【15】第849页）。

A向量p∈ Rdis称为基于边际效用的价格ξat（x，q）∈ Rd+1ifv（q·（ξ- p） ；x+q·ξ）≤ v（0；x+q·ξ），q∈ Rd。在我们的上下文中，B：=x+q·ξ，投资者价格单位ξ加上q。如【15】所示，为了研究这些价格，可以方便地引入有限维值函数。然后，边际效用价格可以表示为该凹函数的次微分。实际上，考虑由（4.1）u（q，x）：=u（x+q·ξ）=s upX在Rd+1b上定义的值函数u（q，x）：=u（x+q·ξ）=s upX∈科胡x+q·ξ+xi、 条件DAVIS定价11在我们现有的假设下，u是Rd+1上的一个适当的凹函数。此外，如果没有增益过程X∈ K使得x+q·ξ+x≥ 0，则值函数u的定义等于负单位。在凸分析意义上，基于边际效用的价格与u的次微分之间的基本联系见【15】中的备注1、【16】中的方程式（3.11）和【23】中的方程式（24）。我们再次声明，以备将来参考。首先，我们注意到在u域内部的任何（q，x）处，子微分集都是非空且紧凑的。此外，任何（zq，zx）的第二个分量∈ u（q，x）满足zx>0。引理4.2（[15]、[16]、[23]）。设y：=（q，x）∈ Rd+1be在u域的内部。然后，p∈ RDI是基于边际效用的ξatyif价格，对于某些（zq，zx），只有ifp=zqzx∈ u（y）。证据定义p∈ RDI是一个基于效用的p rice，在yif时为ξ，仅在ifu（q+q，x）时为ξ- q·p）≤ u（q，x），q∈ Rd.我们定义（q）：=u（q+q，x-q·p），q∈ 那么，f是一个凹函数，p∈ RDI是基于边际效用的价格ξ，在yif且仅当0∈ f（0）。此外，f的s次微分与u的次微分通过以下方式关联：，f（0）=n-zxp+zq∈ Rd:z=（zq，zx）∈ 因此，0∈ f（0）当且仅当存在（zq，zx）∈ u（y）使得-zxp+zq=0。4.1。

条件Davis价格和基于边际效用的价格。在本小节中，我们表明，上述条件Davis价格可被视为前一节中在适当选择点的基于边际效用的价格预测。对于给定的B∈ L∞++和Д∈ L∞,设Z（Д| B）为所有基于边际效用的价格p的集合∈ R对于x点处的随机变量ξ：=（B，Д）：=0，q：=（1，0）。使用这些参数选项p∈ Z（Д| B），前提是我们有（4.2）U（B+q·（（B，Д）- p） （）≤ U（B），q∈ R、 接下来，我们展示了Z（Д| B）在其第二个分量上的投影是上述定义3.4中条件Davis价格P（Д| B）的集合。还有，因为B∈ L∞++和Д∈ L∞, 点（x，q）=（0，（1，0））位于（4.1）中定义的u域的内部。引理4.3。对于B∈ L∞++和Д∈ L∞我们有p（Д| B）={p∈ R: p∈ Z（Д| B），使得p=p·（0，1）}。有条件DAVIS定价12证明。Let（pB，p）∈ Z（Д| B）。我们使用（4.2）和q：=（0，ε）。结果是，U（B+ε（Д- p） （）≤ U（B），对于所有ε∈ R、 鉴于（3.2），p∈ P（Д| B）。为了证明相反，fix p∈ P（Д| B）。然后，乘以（3.2）u（（1，ε），-εp）=U（B+ε（Д）- p） （）≤ U（B）=U（（1，0），0），ε∈ R、 Setg（ε）：=u（（1，ε），-εp）。然后，0∈ g（0）。同样，在L emma 4.2的证明中，我们有g（0）={-zxp+zq·（0，1）∈ R:z=（zq，zx）∈ u（（1，0，0）}。因此，存在z∈ u（（1，0），0）使得0=-zxp+zq·（0，1）。我们定义p：=zq/zx∈ Rand使用引理4.2得出p∈ Z（Д| B）。同样清楚的是，p=p·（0，1）。备注4.4。在您的背景下，我们获得了捐赠B和带有payoffД的衍生产品（B和Дpayoff在时间T）。我们的目标是在给定捐赠B的情况下，研究基于边际效用的^1价格。显然，人们不会给嫁妆B定价。

因此，适当的价格是一组基于边际效用的价格在x=0和q=（1，0）点的ξ：=（B，ν）到其第二个comp的投影。在Lemm a 4.3中，我们证明了这两种方法是等价的。我们还可以使用上述符号将相关文献总结如下：（1）定义4.1和Lemm a 4.2为FROM【15】。[15] 只研究效用最大化问题，不研究超出备注1的基于边际效用的价格。（2） 引理4.2也可以在[16]中找到。此外，当B：=x>0为常数时，[16]为索赔\'spayo fff提供增长条件，确保基于边际效用的价格的唯一性，并举例说明此类价格可能不唯一。在B：=x>0为常数的情况下，下面的定理8.2用描述基于边际效用的价格的非平凡区间的两个端点的公式补充了[16]中的结果。我们强调，当B未经退火时，[16]中的结果不适用。下面的示例6.1说明了这两种情况之间可能存在重大差异：（i）B：=x>0是常数，并且（ii）B是未经规划的。（3）[23]使用上文（2）中提到的[16]中的增长条件，以确保基于边际效用的价格的唯一性。[23]从基本情况B线性扩展基于边际效用的价格：=x>0常数。我们的分析从[23]中的三个关键方面有所不同：（i）即使B：=x>0恒量，我们也允许非唯一性，（ii）我们允许B未经规划，以及（iii）我们没有条件DAVIS定价13对索赔\'spayo ffi^1的小量q进行渐近展开，但我们在下面的定理8.2中提供了基于边际效用的价格区间的闭式表达式。

在第8.1节的两个示例中明确计算了这些非平凡区间终点。虽然定义4.1中的定价概念与现有文献一致，但之前的研究结果并未涵盖投资者未制定最终目标的情况。条件Davis Prices5.1的特征。双重性格。下文第5.2条中条件Davis价格集的双重表征基于以下简单引理：引理5.1。随机变量R∈ L∞当且仅当ifinfu时，B-不相关∈DVB（u）+hu，Ri|= infu∈DVB（u）。（5.1）证明。因为I（B）是向量s的速度，我们可以缩放R，这样，在没有损失一般性的情况下，我们可以假设B±R∈ L∞++. 然后，根据极大极小定理（见定理2.10.2，第144页[31]），我们得到了infu∈DVB（u）+hu，Ri|= infu∈Dsup |ε|≤1.VB（u）+εhu，Ri= sup |ε|≤1英寸u∈DVB（u）+εhu，Ri= sup |ε|≤1U（B+εR）。R=0时的相同等式意味着（5.1）相当于toU（B）=sup |ε|≤1U（B+εR），依次等于R∈ I（B）。通过引理2.4，我们得到u(Ohm) > 每u0∈^D（B）。因此，thefamily^D（B）：={u(Ohm)u：u∈^D（B）}（5.2）是一个定义良好的非空全加概率族。现在，我们已经为条件DavidSprices的主要特征建立了一切：定理5.2。对于^1∈ L∞（P） 以下两种说法相当于（1）P∈ P（Д| B），即P是一个B条件的戴维斯价格。（2） p=hQ、Дi、f或某些Q∈^D（B）。特别地，P（Д| B）是R.CONDITIONAL DAVIS定价14Proof的非空紧子区间。（1）=> （2） ：引理证明2.4的第一部分适用于函数u7→ VB（u）+hu，Д- pi |，我们可以得出结论，它含有一个极小的μ。根据引理5.1，相同的^u必须最小化功能u7→ VB（u），以及，s o，^u∈^D（B）和h^u，Д- pi=0。（2）=> （1） ：假设p是hu处的th*, ^1- pi=0，对于某些u*∈^D（B）。

然后，对于任何u，我们有Vb（u*) + |hu*, ^1- pi |=VB（u*) ≤ VB（u）≤ VB（u）+hu，Д- pi |和引理5.1可以使用。最后，引理2.4确保^D（B）是弱的*-compact和最后一个声明如下。5.2。第一个后果。对带有凸约束的投资组合设置的重新解释导致以下双重特征：推论5.3。假设U具有合理的弹性。然后，对于每个常数c≥ 0和每个R∈ L∞我们有INFu∈DVB（u）+c | hu，Ri|= infy公司≥0，Q∈MVB（yQ）+c | hyQ，Ri|.证据设C：=（K- L+）∩ L∞设C′为所有随机变量X′的族∈ L∞式中X′=B+X+εR，其中X∈ C、 ε∈ [-c、 c）]。集合C′的支持函数αC′由αC′（u）=supX′给出∈C′hu，Xi=hu，Bi+supX∈C、 ε∈[-c、 c]hu，Xi+εhu，Ri= hu，Bi+c | hu，Ri |+（0，u∈ D、+∞, u6∈ D、 然后是INFu∈DVB（u）+c | hu，Ri|= infu∈ba（P）V（u）+αC′（u）.（5.3）此外，集合C很弱*-由[9]中的定理4.2闭合；因此，C′也是如此。因此，满足了[28]第686页第3.14条命题的假设（通过[28]第679页的推论3.4），因此，（5.3）右侧的上限可以替换为σ-加法测度的上限。定理5.2的下两个结果为定理3.1提供了部分推广和另一种证明方法，见【16】第206页。提案5.4。假设U是合理弹性的，并且对偶问题（2.5）允许一个非σ可加优化器。然后存在一个∈ FsuchД=1a有多个B条件Davis价格。有条件DAVIS定价15证明。设{un}n∈Nbe问题的最小化顺序infu∈DVB（u）。根据推论5.3，我们可以假设每个u都是可数相加的。此外，引理2.4的参数保证序列{u(Ohm)n} n个∈尼斯邦德。

因此，{un}n∈对弱者的渴望*-ba（P）的紧子集。通过提取进一步的子序列，我们可以假设总质量的序列un(Ohm) 向正常数y>0收敛（引理2.4确保y 6=0）。我们首先假设{un}n∈Nis不弱*-会聚性的然后，它的两个会聚子网将有不同的极限，并且这两个都是^D（B）的元素，总质量y>0。因此，（5.2）的集合^D（B）不是一个单态，根据推论5.2，存在Д=1A，其中∈ F、 有两种不同的条件Davis价格。另一方面，假设{un}n∈nConvergence to^uin the weak*感觉那么我们有^u∈^D（B）。此外，根据Vitali-Hahn-Sachs定理（见[12]，第159页的推论8），极限^u是可数相加的。因此，集合^D（B）将至少有两个不同的元素-一个可数可加元素和一个不可数元素。然后，可以如上所述构造具有两个不同条件Davis价格的随机变量Д=1。定理5.2的下一个结果给出了条件Davis价格唯一性的充分条件（类似于[16]第206页的定理3.1）。在我们陈述之前，我们记得，在合理弹性的条件下，[6]表明存在一个过程^π∈ A使得^X：=（^π·S）T+B满足[U（^X）]=U（B）和U′（^X）=d^urdP，（5.4），其中∈^D（B）。随机变量^X是具有此性质的P-a.s.uniqu e。推论5.5。假设U具有合理的弹性，且≤ c^X，对于某些常数c≥ 0，其中^X如（5.4）所示。然后将B条件Davis价格的P（Д| B）设置为∈ L∞是单身汉。证据根据引理2.4和定理5.2，足以证明h^us，^Xi=0，对于每个^u∈^D（B）。反过来，这直接来自于[6]中等式（4.7）的第一部分。6.