轻松交易：交叉影响和最优投资组合执行

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英文标题：
《Trading Lightly: Cross-Impact and Optimal Portfolio Execution》
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作者：
Iacopo Mastromatteo, Michael Benzaquen, Zoltan Eisler, Jean-Philippe
  Bouchaud
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We model the impact costs of a strategy that trades a basket of correlated instruments, by extending to the multivariate case the linear propagator model previously used for single instruments. Our specification allows us to calibrate a cost model that is free of arbitrage and price manipulation. We illustrate our results using a pool of US stocks and show that neglecting cross-impact effects leads to an incorrect estimation of the liquidity and suboptimal execution strategies. We show in particular the importance of synchronizing the execution of correlated contracts.
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中文摘要：
通过将之前用于单一工具的线性传播模型推广到多元情况，我们对交易一篮子相关工具的策略的影响成本进行了建模。我们的规范允许我们校准没有套利和价格操纵的成本模型。我们使用一组美国股票来说明我们的结果，并表明忽视交叉影响会导致对流动性的错误估计和次优执行策略。我们特别说明了同步执行相关合同的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Trading_Lightly:_Cross-Impact_and_Optimal_Portfolio_Execution.pdf (989.31 KB)

2022-5-31 04:14:03 上传

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关键词：投资组合 Quantitative manipulation Multivariate Instruments

轻率交易：交叉影响和最优投资组合执行I Mastromatteo，M Benzaquen1,2，Z Eislerand J-P BouchaudCapital Fund Management，23 rue de l\'Universit\'e，75007 ParisLadhyx，UMR CNRS 7646，\'Ecole Polytechnique，91128 Palaiseau Cedex，FranceAugust 23，2017AbstractWe建模交易一篮子相关工具的策略的影响成本，通过将以前用于单个仪器的线性传播子模型扩展到多变量情况。我们的规范允许我们校准无套利和价格操纵的成本模型。我们使用一组美国股票来说明我们的结果，并表明忽视交叉影响会导致对流动性的错误估计和次优执行策略。我们特别说明了同步执行相关合同的重要性。在真实市场中执行交易决策是一项困难的工作。流动性不足往往阻碍了大量资金的流动。当订单量超过lit订单簿中通常以最佳出价或要价提供的小量时，所产生的滑移成本会迅速对交易策略产生不利影响。准确预测这些交易成本是一项非常重要的工作，人们必须经常求助于统计模型。此类模型的复杂性大多来自价格影响，即交易往往会将市场价格朝着自己的方向移动。这种影响最近引发了大量的理论活动，因为它与供求有直接关系，也因为金融交易的大量可用数据。如上所述，这种兴趣并不纯粹是学术性的，因为可靠的交易成本估计对于判断一个人是否应该进入头寸以及（如果成本模型足够准确的话）尝试优化执行策略至关重要。

例如，随着时间的推移，将大订单拆分为小订单流是普遍接受的降低交易成本的方法之一。然而，与往常一样，魔鬼在于细节，订单的精确性质和时间安排会对最终结果产生很大差异。最优执行问题在文献中广泛存在，许多不同的公式和技术已经被开发出来来解决它们。然而，这些问题大多局限于单一资产的执行。最近，在Benzaquen等人【2017年】中，我们已经证明，即使是跨资产价格影响的简单线性模型也会导致veryrich现象学，这与Wang和Guhr【2016年】、Wang等人【2015年】的结果一致。在本论文中，我们提供了一个优化交易组合执行的实用配方，考虑到Schied et al.（2010）的多变量分析中对不同基础产品的交叉影响。我们将表明，执行计划各部分的正确同步非常重要。为了量化该策略产生的下滑，我们引入了特征流动性模型（ELM）。该模型与统计风险因素直接相关，这些因素已被用于多个级别的投资组合风险管理。基于相关矩阵的主成分分析，该矩阵提供了一种实用的方法来量化不同类型的市场风险（长期市场、部门等），人们可以在交易成本的规定预算内进行交易。1单一股票的二次成本模型为了设置阶段，让我们首先讨论单个公司股票在交易日的执行情况，该交易日从时间t=0开始，持续到t=t。我们必须交易的总交易量为V股，这是通过一个连续执行计划在一天内获得的，该计划的本地速度为V（t），normalizedasRTv（t）dt=V。

如果我们持有该头寸，我们的预期风险（定义为每日PNL的标准偏差）将为R=σV，其中σ=E[（pT- p） ]1/2股票的每日波动率，以美元表示。为方便起见，让我们定义风险单位的交易速度asq（t）：=σv（t），以及当天交易的总风险asq=RTdt q（t）：=σv，这自然等于R。Almgren和Chriss【2001】首次引入了一个标准模型，用于估算一定量交易时产生的成本。我们将在交易者风险中性、影响线性且短暂的环境中考虑其框架【阿方西和希德，2013年，布塞提安和利洛，2012年，Gathereal和Schied，2013年，Gathereal等人，2012年】。这可以表示交易成本asC=ZZTdt dtq（t）G（t- t） q（t），（1）其中G（τ）是一个影响核【Bouchaud等人，2004年】，它量化了小交易q（t）dt在稍后时间t=t+τ对价格的影响。G（τ）通常是一个递减函数，在缓慢衰减后，从τ=0时获得的最大值下降到零。与Bouchaud等人[2004]的结果一致，它可以写成G（τ）=Gφ（τ），其中φ（τ）=（1+τ/τ）-α表示τ≥ τ<0时为00。（2） G（τ）的单位为1/$，其倒数对应于在没有decay的情况下必须交易的风险量，以通过其典型的日波动率σ移动股票价格。尽管存在一些局限性（例如，根据经验，影响是交易量的一个次线性函数），但上述模型为大型交易提供了合理的交易成本估计，并且能够捕捉到交易进度表对成本的主要影响【阿方西和希伊德，2013年，Gatheraland-Schied，2013年，Gatheral等人，2012年】。

[Almgren和Chriss，2001，Curato等人，2016，Obizhaeva和Wang，2013]以及[Curato等人，2016，Obizhaeva和Wang，2013]考虑了该模型对风险规避的扩展，并考虑了买卖价差效应。2单一股票的最优交易成本函数下的最优交易计划（1）对于固定的总交易量，已在金融文献中进行了广泛的研究【阿方西和希德，2013年，布塞蒂和利洛，2012年，Gathereal和Schied，2013年，Gatherelet等人，2012年，Obizhaeva和Wang，2013年】。最小成本的轨迹可以写成q（t）=qψ？（t） ，whereRdtψ？（t） =1和ψ？（t） 可通过求解线性积分方程确定【Gatheral等人，2012年】。这就得到了ψ的对称桶形解？（t） 如图1所示（红色曲线）。最佳解决方案表明，在最初一段时间的快速交易后，应放慢执行速度，以限制因自身交易影响而产生的额外成本，然后在接近收盘时再次加速交易。由于交易不会超出这一点，因此在这最后一段时间内对价格的强烈影响不会惩罚任何进一步的处决。例如，最优策略比两小时执行的本地化FL大约便宜30%，比图1所示的线性交易大约便宜7%。冲击内核的时间形状排除了价格操纵，这意味着没有往返轨迹能够平均赚钱【阿方西和希德，2010年，阿方西等人，2012年，Gatheral，2010年】。3组合投资的二次成本模型Kratz和Schoneborn【2014】、Schied等人【2010】、Schoneborn【2016】首次考虑了跨多个工具的最优执行问题，而上述成本模型已推广到Alfonsi等人的多变量情况。

【2016年】（另见Schneiderand Lillo【2016年】的非线性概括）。在该框架下，我们对上述风险的定义很容易扩展到风险头寸为sq={Qi}Ni=1asR=Q>ρQ的多个股票组合，（3）其中相关矩阵ρ由价格协方差矩阵∑=E[（pT- p） （pT- p） >]通过ρij=∑ij√∑ii∑jj。（4） 日波动率广义为σ={σi}Ni=1={（σii）1/2}Ni=1。类似地，等式（1）可以扩展到此设置asC=ZZTdtdtq>（t）G（t- t） q（t）。（5） G（t）矩阵元的解释- t） ={Gij（t- t） }Nij=1与之前一样：在时间t对合同j进行dqj（t）美元风险交易后，我们预计合同i的价格会发生Gij（t）的变化- t） dqj（t）每日美元波动率σi的单位。i=j的术语对应直接价格影响，早期的模型已经描述了这一点，其中每个股票都是独立的。此外，i 6=j的新术语描述了股票之间的交叉影响，正如Benzaquen et al.（2017）所示，这是一种高度相关的影响，因为它解释了股票之间交叉相关性的一个重要部分，我们将在下面使用这一特征。Benzaquen等人【2017年】进一步发现，如果近似程度很好，可以将核函数G（τ）写成分解形式G（τ）=[G++G-] φ（τ），其中φ（τ）由公式（2）给出，G±分别表示G的对称部分和反对称部分。Schneider和Lillo【2016】已经表明，当播放机G的反对称部分-如果规模较大，则可能存在价格操纵，从而导致最优策略的成本不明确。从经验上看，G-很小，我们将其设置为零，以便与执行交易组合相关的成本为：C=ZZTdtdtq> （t）G+q（t）φ（| t- t |）。（6） 为了避免价格操纵，G的对称条件并不是唯一需要的条件。

事实上，公式（6）没有价格操纵，当且仅当G+为正半定义时。这等于说，购买投资组合总是推高其价格，反之亦然，无论其构成如何，导致的影响成本总是大于或等于零，与实际交易的投资组合无关。4特征流动性模型原则上，G可以使用相应股票池的同时交易和报价数据来确定。然而，经验冲击矩阵G通常非常嘈杂，因此需要一些清洁方案。通过利用Benzaquen等人[2017]的经验结果（见图7），表明影响矩阵的结构在适当的统计意义上“接近”相关矩阵之一，我们假设影响矩阵具有与相关矩阵ρ相同的特征向量集。直觉上，ρ的特征向量对应于收益率不相关的投资组合。我们的假设很自然地意味着，交易其中一个投资组合只会影响（第一近似值）该投资组合的回报，而不会影响任何其他正交投资组合的回报。除了作为一种经验上合理的G清洁模式外，这一选择的动机是本节所示的结果，表明它导致了一个满足三个基本一致性要求的成本函数C：对称性、正半完整性和碎片不变性。更准确地说，可以写ρ=O∧O>，（7）图1：执行一个单位每日风险的典型每日交易文件（左面板）。红色轨迹对应于方程式（2）中模型下的桶形轨迹，即α=0.2，τ=90秒的交易成本最小化。蓝色轨迹是全天的执行速度。

灰色轨迹对应于中午两个小时内的通货膨胀率，紫色轨迹是线性曲线，从早上到下午递增。右侧面板提供了每个交易轨迹相对于最佳轨迹的相对成本。其中，O={Oia}Nia=1是一个N×N的向量正交矩阵，∧={∧aδab}Nab=1是N个非负特征值的对角矩阵。我们的假设是矩阵G具有以下结构：G=O∧gO>：=ρ1/2g（ρ1/2）>，（8）其中G={gaδab}Nab=1是对角矩阵，ρ1/2=O∧1/2。这种分解的一个重要特性是，它导致了以下意义上的碎片不变成本公式：当交易两个完全相关的产品i和j（即，当ρij=1）时，交易部门的影响不取决于两种工具之间的交易量如何分配。更正式地说，在转换Qi（t）下，碎片不变成本C保持不变→ qi（t）+δq（t）（9）qj（t）→ qj（t）- δq（t），（10），其中δq（t）是完全任意的。直观地说，由于因子∧乘以g，等式（8）完全符合该特性。如果仪器i和j完全相关，则相对模式“rel”是零风险的特征向量，∧rel=0。当用于估计执行轨迹q（t）的成本时，等式（8）将通过投影O>q（t）挑出此类相对模式，并通过相应的风险∧对其进行加权，风险∧为零。冲击模型（8）将被称为特征流动性模型（ELM）。它可以被看作是实现碎片不变性的所有模型中最自然的选择。事实上，它不断地在小风险模式（因此预计影响较小）和大风险模式（影响成本可能很大）之间插入。根据经验，公式。

（8） Benzaquen等人【2017年】的研究表明，该方法具有很好的近似性。另一方面，G的半正定义条件，即ga≥ 0，a、 公式（8）不能保证，应根据经验数据检查。这是图3中使用真实数据显示的结果，证实所有ga实际上都是正的。数量（ga）-1具有每种模式流动性的自然解释。它以美元表示每日风险的金额，一个人可以在特征投资组合a上交易，通过每日波动率来调整其价格√∧a.5投资组合的最优交易在ELM下，任何附表q（t）的影响成本都可以通过分解C=NXa=1ga | | eqa | | | eqa |，（11）其中| | eqa | |=rrtdteqa（t）φ（| t-t |）eqa（t）。我们还提出了符号eq（t）=（ρ1/2）>q（t）（12），表示执行量在一组不相关的单位风险特征投资组合ρ上的投影-1/2={πa}Na=1。特征投资组合的概念对于直观地描述成本公式非常有用（11）。这一名称来源于这样一个事实，即这些投资组合不仅不相关且具有单位风险（即（πa）>ρπb=δab），而且根据πaha给出的权重交易a篮子的金额不会影响b篮子的总价值，反之亦然（即（πa）>Gπb=δabga）。这正是我们的中心假设背后的推论，公式（8）。这种构造意味着，成本C可以通过首先在投资组合πavia等式（12）上预测策略q（t），然后通过取影响成本模式Ga的和，以及此类预测给出的权重因子eqa来计算。等式（11）还清楚地表明，矩阵g和核φ（τ）的正性使得优化问题是凸的，它总是有唯一的解。

终端约束Q=RTdt Q（t）下的优化必须在同步执行计划下实现，其中任何给定时间点所有股票都以相同的时间文件进行交易，即Q（t）=Qψ？（t） ，与案例相似，无交叉影响。直观地说，异步执行策略可以在模式空间中被视为上面的最优策略，再加上沿着其中一些模式的循环。成本函数（6）的凸性意味着往返总是会增加执行成本，因此应该避免这种情况。因此，同步性是问题的凸性以及不同仪器衰变核φ（τ）均匀性的一般结果。方框1.6中给出了一个解释形式主义含义的玩具示例，将其应用于真实数据。我们按照方框2中详细描述的程序，在2012年将ELM应用于150只美国股票。在Benzaquen等人【2017年】中，对于冲击的时间衰减，我们发现了α≈ 0.15和τ≈ 90秒。冲击矩阵的视觉表示如图2所示。G的不均匀性反映了市场的部门结构，编码了股票i对其部门和/或最相关股票j的具体依赖性。我们的ELM和交叉影响模型的主要区别在于，通过将订单分布在多个相关工具上，无法有效降低大型购买计划的影响成本。impact-kernel Diff通过模式使用跨市场和部门的交互。在πais模式下交易风险Qdollars的交易成本等于gaQdollars。图3显示了特征值ga的倒数，在最具流动性的模式下，这大约是3000万美元的风险。