量纲分析的惊人力量：量化市场影响

另一方面，将L乘以系数0<a<1，则对应于增加新资本，以便将公司自有资本增加（a-1.- 1） 乘以其股本。根据[18]，假设2可按以下方式重新表述：假设5（杠杆中立）。按系数A缩放Modigliani-Miller“维度”M∈ R+意味着oQ、V和C保持恒定，oP通过因子a变化-1、oσ随系数a变化，oG随系数a变化。用散文概括一下：设定a=2相当于支付一半股权作为股息，即每股股息为（1- A.-1） P=P/2。因此，股票价格乘以-1=1/2，而波动率σ和市场影响百分比G乘以A=2。根据莫迪利安尼（Modigliani）和米勒（Miller）[20]的见解以及凯尔（Kyle）和奥比扎耶娃（Obizhaeva）[18]最近的研究，剩余数量不受杠杆变化的影响。如引言所示，这种消费被称为杠杆中立。现在，我们通过将非正式的固定假设2替换为更正式的假设5来重新表述定理1，并提供一个证明。定理6。在假设1和5下，对于某些常数cons t>0，市场影响的形式为g=const·σrQV，（9）。证据结合假设1和5以及第1节中介绍的Q、P、V和σ的维数，我们得出矩阵B和向量a由B给出=1.-1 1 00 1 0 00 0-1.-10-1 0 2和a=. （10） 表1总结了B和a的推导方法，应如下所示：假设参考份额单位的维度S的测量由事实r S重新缩放，然后Q由因子S改变，P由因子S改变-1，V随系数S变化，而σ不变。

L ikewise，最后一行标记为M，表示如果杠杆率L按系数a变化，Q不变，P按系数a变化-1等。由于矩阵B具有满秩，即秩（B）=4=n，且假设4已满足，因此应用推论4 yieldsG=常数·QyPyVyσ2y，Q P VσC GS 1-1 0 0 0 0 u 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0-1 0 2 0 1表1：分别与数量维度（Q，P，V，σ）相关的矩阵B和与数量维度（Q，P，V，σ，C）相关的矩阵K的标签概述，以及与G的维数相关的向量a。对于一些常数常数>0，其中y=（y，y，y，y）是线性系统的唯一解，由y=（，0，-,).定理6暗示了众所周知的市场影响平方根定律。我们想强调的是，目前平方根定律的推导不依赖于经济、经验或理论假设，除了G仅依赖于Q、P、V和σ，以及杠杆中性。Donier et a l【10】根据偏微分方程提出了平方根定律的另一种推导方法。如上所述，Kyle和Obiz haeva【18】考虑了影响市场影响的另一个变量，即“下注成本”下降到较弱的消费3。[17]中还提供了将C纳入分析的经济动机。基于假设3，Kyleand Obizha eva[18]得出了定理2中总结的更一般的结果。第3节的方法可用于证明以下类似结果。首先，将定理6证明中使用的矩阵B扩展为一个对应于C的共列，以获得矩阵K=1.-1 1 0 00 1 0 10 0-1.-100个-1 0 2 0. （11） 向量a=（0，0，0，1）（10）中的定义保持不变。

表1说明了附加变量C与所考虑的“尺寸”之间的关系。让我们计算齐次系统Kx=0的解空间H，它是由矩阵K诱导的线性映射的核给出的，以及非齐次线性系统Ky=a：H的解空间I=λ-1.-2., λ∈ R而我=-1.-1.+ λ-1.-2., λ∈ R.定理7。假设假设3和5成立。固定x=（x，…，x）∈ H和y=（y，…，y）∈ 一、 有一个函数f:R+→ R+使得g=QyPyVyσ2yCyfQxPxVxσ2xCx. （12） 证明。结合假设3和5以及第1节中介绍的Q、P、V、σ和C的维数，我们分别恢复了（11）和（10）中给出的矩阵K和向量a。由于假设4满足且秩（K）=4，应用推论5完成证明。例如，通过设置X=1.-,, -∈ H和y=0，-, -,,∈ 一、 定理7精确地得出了导言中给出的定理2的公式，即=σCP V1/3层QPσV C1/3=Lf（Z），（13），其中L和Z在（7）中定义。可以考虑x的其他选择∈ H和y∈ 一、 例如：x=（3，2，-1，1，-（2）∈ H和y=, 0，-,, 0∈ 一、 公式（12）则取fo rmG=σrQVhZ= σrQVhQPσV C. （14） 如果（14）中的函数h不是常数，则该公式以乘法的方式很好地描述了与s平方根定律（9）的偏差。备注1。需要注意的是，（13）和（14）都是定理7描述的函数关系的一般解，因此是一致的。

不同之处在于（任意）函数f和h不完全相同，而是从（13）传递到（14）时呈一对一关系。正如Kyle和Obizhae va【18】所指出的，方程式（13）中f的不同选择（以及（14）中的h）导致了文献中研究的一些特别相关的市场影响模型。（a） 比例市场影响：f≡ 常数（分别为h（x）=常数·x-1/6）导线toG=常数·σCP V1/3。（b） 平方根影响：f（z）=常数·z1/2（分别为h≡ 常数）导致toG=常数·σrQV，唯一的解决方案不依赖于C。（C）线性市场影响：f（z）=常数·z（分别为h（x）=常数·x1/6）导致toG=常数·QσPCV1/3。备注2。还需要注意的是，上述维度分析中只有变量C的两个属性：C的“维度”是货币，即[C]=U，通过将Modigliani-Miller“维度”M按因子a缩放，骨灰保持不变∈ R+。因此，上述结果并不依赖于Kyle和Obizhaeva[18]中所考虑的将数量C解释为“betcost”，而是同样适用于具有上述两个性质的任何其他数量。例如，Benzaquen et al.（3）在关于日内交易的研究中，可以找到一个有趣的替代品，来代替C享受这些属性。这些作者考虑的是价差cos t C，而不是C，这可以解释为交易Q股所产生的交易成本。更正式地说，用S表示以每股货币单位衡量的买卖价差【S】=美元。然后，具有sizeQ的元订单的价差成本C由C定义：=QS，因此以货币单位衡量【C】=美元。因此，当C替换为C时，上述数学分析保持完全不变。特别是，公式（14）的模拟结果为asG=rQVhQPσV C！。

（15） 为了完成本节，我们将考虑一组可能的5个解释变量，这将引导我们进入一个略有不同的方向。我们不考虑C（或任何合适的替代变量，如C），而是考虑具有不同维度的变量，即执行元顺序的时间间隔[0，T]的长度。显然，长度T是影响市场影响的一个重要候选因素：oT执行间隔的长度，以时间单位衡量【T】=T。在实践中，间隔长度T可以从小时到几天甚至几周不等。与“下注成本”C进入假设3的方式类似，后续消费包含执行间隔的长度。假设6。市场影响G仅取决于变量Q、P、V、σ和T，即G=G（Q、P、V、σ、T），（16）应注意，当按系数a缩放Mo-digliani-Miller维度M时，价差S保持不变∈ R+。例如，这可以从Kyle和Obizhaeva的论点中推断出来[18，第3节：基于买卖价差和…]的经验证据，其实证分析表明，Gand和S/P具有相同的维度特性。因为杠杆中性的概念准确地告诉我们，当M被因子a缩放时，G和P会发生怎样的变化∈ R+，价差S必须保持不变。其中函数g:R+→ R+以及数量G在测量“维数”T、U和S所选择的单位变化下是不变的。在进行如上类似的游戏时，定理m 6证明中使用的矩阵B被扩展为与T对应的一列，现在由K给出=1.-1 1 0 00 1 0 0 00 0-1.-1 10-1 0 2 0.（10）中给出的向量a保持不变。

分别给出了齐次系统Kx=0和非齐次系统Ky=a的解空间H和I=λ-1., λ∈ R而我=-+ λ-1.-1., λ∈ R.在杠杆中性和市场影响G对Q、P、V、σ和T的唯一依赖性的假设下，维度分析得出以下结果。定理8。假设假设假设5和6成立。固定x=（x，…，x）∈ H和y=（y，…，y）∈ 一、 有一个函数f:R+→ R+使得g=QyPyVyσ2yTyfQxPxVxσ2xTx.证据由于假设4已满足且秩（K）=4，因此结果由推论5得出。例如，settingx=（1，0，-1、0、，-（1）∈ H和y=, 0，-,, 0∈ 一、 我们得到=σrQVhQV T. （17） 与（14）类似，“下注成本”C显示为影响（14）与（9）偏差的量，（17）中的函数h表示与平方根定律（9）的偏差，具体取决于执行间隔T的长度。Donier等人【10】基于考虑executionhorizon T的模型推导出平方根定律。因此，出现了一个问题，在什么条件下我们可以接受平方根定律（9）。答案很简单：如果执行间隔的长度Tdepe仅取决于数量Q、V、P和σ中的一个或所有数量，那么假设6可以被假设1取代，我们回到了定理1的设置中，其中市场影响遵循平方根定律。在实践中，如果投资者根据后一个数量确定执行期T，则可以满足T依赖于Q、P和σ的条件。5.

结论本文的主要贡献是推导了市场影响的平方根定律。支持这一法则的强大经验支持使其具有普遍性。Kyle和Obizhaeva[18]根据一维分析以及杠杆中性和市场微观结构不变性的概念，推导出了市场影响函数的一般形式，其中s平方根定律是其结果的特例。作为对他们方法的补充，我们只需要两个假设就可以直接而简单地推导平方根定律：首先，给定市场订单的市场影响仅取决于其规模、相应的股票价格、股票交易量及其波动性。其次，我们在[18]中采用了杠杆中立的概念。这一想法符合莫迪利亚尼-米勒不变性原理[20]，并解释了当改变企业杠杆率时所考虑的数量的行为。基于这些看似合理的假设，我们以严格的方式应用量纲分析，以表明元订单的市场影响与波动率以及该订单规模的平方根成正比，与交易量的平方根成反比。我们还讨论了该结果的几个扩展，包括以下数量作为额外的解释变量：如[18]所示的“下注成本”C（14），[3]所示的“价差成本”C（15），或执行间隔的长度T（17）。A、 摆锤定理1的设置，令人惊讶的是，市场影响并不取决于股票价格，尽管价格包含在我们的分析中。有一个简单的解释：在我们的分析中，股价是唯一涉及货币“维度”U的数量。

因此，在定理1的设定中，它不能发挥作用，因为市场冲击也不涉及货币的“维度”U。在下文中，我们将以类似于摆的情况的形式对这一论点进行更详细的讨论。在这个例子中，周期也不取决于摆锤的质量，摆锤的质量（先验）被视为解释变量。考虑长度为l（以米为单位）、质量为m（以克为单位）和周期（以秒为单位）的摆锤。假设周期仅取决于l、m和重力加速度g（以米/秒为单位）。也就是说，我们假设有一个函数f:R+→ R+这样的周期=f（l，m，g）。从表2中，我们得到矩阵D=1 0 10 1 00 0-2.和c=,分别表示单位系统表中的数量（l、m、g）和周期的尺寸、gr am和秒。当D具有满秩时，它由推论4得出，周期=常数·lymygy，对于某些常数>0，其中线性系统Dy=c的唯一解由y=（，0，-). 因此，周期=const·slg。（18） 为什么这个解决方案不涉及变量m？答案是通过观察D的第二行和c的第二个坐标给出的，这迫使Y等于零。这完全符合定理1中变量P的作用，即股票价格。接下来，我们将通过讨论摆锤情况下假设的类似变化来说明定理1和2之间的差异。上述推理中的关键假设是，摆锤的周期完全由其长度、质量和重力引起的加速度决定。然而，可以想象（事实上也是如此），周期还取决于其他变量，例如观察到的摆动幅度a（以米为单位测量）。

换句话说，我们也可以从最弱周期f（l，m，g，a）开始。（19） 包含观测量维数的矩阵现在由=1 0 1 10 1 0 00 0-2 0.从推论5可以看出，对于某些函数h:R，关系（19）的一般形式由period=lymygyayh（lxmxgxax）给出+→ R+，其中x=（x，x，x，x）是齐次系统dx=0且y=（y，y，y，y）的解非齐次系统的解y=c.选择x=, 0，-, 0y=（1，0，0，-（1）,we获得周期=slgh洛杉矶. （20） 在（19）的设置中，量纲分析不允许确定函数h。为了这样做，我们需要一些额外的信息。在物理学中，我们有实验的可能性。伽利略已经注意到——乍一看，令人惊讶的是——实验结果表明，钟摆的周期并不（至少不是很强地）依赖于振幅。利用实验物理学的这一观点，我们得出结论，h≡ 常量是一般解（20）中物理上合理的选择。我们通过类比上述定理1和定理2的情况来排除这种讨论。仅凭量纲分析无法确定定理1给出的特殊解是否为每碘长度1 0 1 1 0质量0 1 0 0 0 0时间0 0-2 0 1表2：矩阵的标签概述，总结了用于确定摆周期的量纲。市场影响与相关变量之间的“真实”关系，或其他解释性变量，如（14）、（15）或（17）是否产生“真实”关系。要回答这个问题，必须求助于经济理论或经验分析。

这类似于上面讨论的摆的情况，其中物理实验得出更一般的解决方案（20）的特殊情况（18）实际上是“真实”关系（只要振幅保持在合理的范围内）。为了总结这一讨论，我们举了一个例子，说明如果盲目应用，量纲分析如何导致偏差。从（愚蠢的）假设开始，即摆锤的周期仅取决于质量m、加速度g和振幅a，因此周期=f（m，g，a），对于某些函数f:R+→ R+。逐字表示分析结果（18），我们得到周期=常数（21），作为满足量纲分析不变性的唯一解。但是，当然，解决方案（21）与物理现实相去甚远。原因是我们选择了一组强有力的解释变量。换言之，只有当解释变量集选择得当且真正包含确定感兴趣数量所需的基本信息时，维度分析才能产生合理的解决方案。B、 定理3的Pi定理证明：我们通过使用以下符号传递到对数坐标：给定Z∈ R+我们将写EZ=log（Z）。关于对数标度Eu satis fieseu=gfW，fWn公司, （22）对于某些函数g:Rn→ R、 如果（22）的左侧和右侧不依赖于L，则可以使用单位（L，…，Lm）。另一方面，如果a6=0，b=b1n=0，则≡ 0、如果存在i∈ {1，…，n}这样，b1i6=0，我们假设b6=0，而不失去一般性。PuttingeV：=-abfW+欧盟安第西-1： =-b1ibfW+fWi，i=2，n我们有EV=-abfW+gfW，b1ibfW+eX，b1nbfW+eXn-1.= ffW，eX，eXn公司-1.,对于某些函数f，设λ∈ R a和put L*:= eλL.由于V和andeXi的尺寸-1，i=2，n以单位（L、）表示。