前向时间单调下的时空收费公路型结果

如[18]所示，此类解由h（z，t）=Zbaeyz唯一地重新表示-年初至今- 1yν（dy）+C，其中a=0+或a>0，b≤ ∞ C是一个通用常数。测度ν定义在B+（R）上，B+（R）是一组正的Borel测度，其附加属性为，对于z∈ R、 Rbaeyzν（dy）<∞ andRbaν（dy）y<∞.为了简化表示并且不损失一般性，我们选择C：=Rbayν（dy），并引入非标准化度量u（dy）=yν（dy）。那么，函数h具有，for（z，t）∈ D、 代表h（z，t）=Zbaeyz-ytu（dy），（19）带rbayeyzu（dy）<∞, a=0+，a>0，b≤ ∞.我们很容易推断出≥ 0，函数h（，，t）是绝对单调的，因为ih（z，t）/zi>0，i=1，2。。。这些函数满足≥ 0，i=1，2。。。，不平等i+1h（z，t）zi+1我-1h（z，t）zi公司-1.-ih（z，t）zi公司> 0。（20）从（17）、（16）和（19）中，我们得到风险容限函数表示为r（x，t）=hzh类(-1） （x，t），t=兹巴耶(-1） （x，t）-ytu（dy）。（21）此外，第一个等式加上（18）得出满足（不适定）非线性ar方程RT+rrxx=0，（22），r（x，0）=Rbayeyh(-1） （x，0）u（dy）。我们还有rx（x，t）=hzzh类(-1） （x，t），tr（x，t）=r（x，t）Zbayeyh(-1） （x，t）-ytu（dy）>0。（23）此外，rxx（x，t）=r（x，t）hzzz（z，t）hz（z，t）- hzz（z，t）z=h(-1） （x，t）>0，（24），我们使用（20）。我们注意到，我们经常会在积分签到（19）下进行区分，如【18】中所述，积分签到是允许的。这也可以直接看到，因为在微分之后，可以证明相关被积函数在各自的参数中是联合连续的，因此是一致的局部可积的。

这使得我们可以在整数符号下进行区分（例如，参见[1]中的定理24.5及其后面的注释）。如引言所述，本文的目的是研究（5）中的空间和时间限制，当度量有单位支持时，r（x，t）如（21）中所述。我们首先提供了一个例子，表明与经典情况相反，这两个极限通常并不重合。2.1激励示例让基础度量ub e A Dirac函数在1-γ、 γ<1。从（19）和（17）我们得到了，对于t≥ 0，h（x，t）=e1-γx-（1）-γ） tand ux（x，t）=xγ-1e级-γ2（1-γ） 因此，局部风险容限函数由r（x，t）=1给出-γx和时空极限coinc ide，limx↑∞r（x，t）x=1- γ和极限↑∞r（x，t）x=1- γ、 对于固定t，x分别为。接下来，让度量值u为点a=1处的两个狄拉克函数之和-θ和b=1-γ使得b=2a，0<θ<1，γ<1，即u=δ1-θ+δ1-γ带1- γ=21- θ。（25）然后，（19）和（17）得出h（x，0）=e1-θx+e1-γx，ux（x，0）=21-θ√1+4倍- 1.θ-1和u(-1） x（x，0）=x-1.-θ+x-1.-γ。（26）反过来，limx↑∞ux（x，0）xγ-1=极限↑∞2（1-γ）√1+4倍- 1.2（γ-1） xγ-1=1。（27）此外，表达式（19）给出，对于t>0，h（x，t）=e1-θx-（1）-θ） t+e1-θx-（1）-θ） t，因此，h(-1） （x，t）=1- θt+（1- θ） ln公司qe（1-θ） t+4倍-qe（1-θ） t型. （28）反过来，变换（17）yieldsux（x，t）=21-θe(-1.-θ） tqe（1-θ） t+4倍-qe（1-θ） t！γ-1、将上述内容进行区分以获得uxx（x，t）（或使用（19）、（28）和（21）），我们得出风险容限函数由r（x，t）=x1给出- γq4x+e（1-θ） tpe（1-θ） t+4x+pe（1-θ） t.（29）因此，对于每个t≥ 0，极限↑∞r（x，t）x=1- θ=1- γ。（30）而对于每个x>0，limt↑∞r（x，t）x=1- θ。（31）因此，空间和时间限制并不一致。接下来，我们进行以下两个重要观察。

首先，请注意，（25）表示度量值的支持度为Isupp（u）=1.- θ、 1个- γ.因此，空间极限与支架的右端重合，而时间极限与左端重合。其次，对于每个x>0，比率的时间限制(-1） （x，t）等于左端点的一半，因为（28）yieldslimt↑∞h类(-1） （x，t）t=极限↑∞1.- θ+1- θtlnqe（1-θ） t+4倍-qe（1-θ） t型=2（1- θ） 。在第4节中，我们将说明这两个属性始终有效。特别是，我们将看到，正是上述比率的限制在确定一般措施的临时收费公路限制方面起着关键作用。为了将上述结果与传统预期终端效用设置中的结果并列，我们计算了对数正态市场中[10]和[2]中分析的案例的类似数量和相关限制。在不丧失一般性的情况下，我们考虑一个市场，其无风险债券的利率为零，单对数正态股票的平均收益率为u，波动率为σ。为此，我们假设任意水平T>0，与（26）类似，我们取终端反向边际效用，I（x）=（U′）(-1） （x），至beI（x）=x-1.-θ+x-1.-γ、 对于x>0和θ，γ如（25）所示。这与最终边际效用U′（x）有关=√1+4倍-1.θ-因此，在（27）的分析中，limx↑∞U′（x）xγ-1=1。现在，我们考虑相关Merton pr问题的值函数s ay u（x，t；t），对于t∈ [0，T]。让τ=T- 如果是到投资期结束的时间，我们使用众所周知的结果推断，函数u（x，τ）≡ u（x，T- t；T），满足度，对于（x，τ）∈ R+×[0，T），Hamilton-JacobiBellman方程▄uτ+λ▄ux▄uxx=0。逆空间边缘值函数▄v:R+×[0，T）→ R+然后求解▄vτ=λx▄vxx+λx▄vx，其中▄v（x，0）=I（x）。我们可以很容易地推断出，v（x，τ）=eατx-α+eβτx-2α，α=λθ（1-θ） β=λ1+θ（1-θ） 。

注意，β>2α。取▄v（x，τ）的空间逆得到▄ux（x，τ）=eατ+√e2ατ+4xeβτ2x！1.-θ。因此，相关的ris k tole rance函数由r（x，τ）=1给出- θ2x1个+√1+4xe（β-2α）τ+8x√e（2α-β） τ+√e（2α-β） τ+4x.在tur n中，对于每个τ>0和x>0，我们分别获得了空间和时间极限limx↑∞r（x，τ）x=1- θ和limτ↑∞r（x，τ）x=1- θ。3空间渐近结果我们检验了风险容忍函数asx的空间渐近行为↑ ∞, 对于每个t≥ 0，在投资者初始ris k偏好的大财富水平的渐近假设下。根据[10]和[2]中的类似假设，我们将此渐近假设施加在边缘u′（x）上，而不是函数本身。假设1：对于某些γ<1，limx，初始数据用途↑∞u′（x）xγ-1=1。（32）NEXT结果在b上产生了必要且充分的条件，b是支持上述假设的度量的右端。引理2假设（32）成立，当且仅当相关度量usatifiesb=1- γ和u1.- γ= 1.（33）证明。从（32），（17）以及h（x，0）严格递增且为全范围的事实，我们得到1=limx↑∞ux（x，0）xγ-1=limz↑∞ux（h（z，0），0）（h（z，0））γ-1=limz↑∞h（z，0）e1-γz1.-γ。（34）因此，陈述（19）给出了Slimz↑∞Zbaez（y-1.-γ） u（dy）=1。（35）如果a=b，则（33）紧随其后。如果a<b，则必须是a≤1.-γ、 否则，就会产生矛盾。反过来，对于ε>0，Zbaez（y-1.-γ） u（dy）≥Zb1型-γ+εez（y-1.-γ） u（dy）≥ eεzu[1- γ+ε，b]. （36）发送ε↓ 0并使用（35）得出u（（1-γ、 b]）=0，因此，supp（u）（a，1-γ] 。此外，我们从（35）得到1=limz↑∞Z（1-γ）-aez（y-1.-γ） u（dy）+u（{1- γ} ）=u（{1- γ} ），我们得出结论。其余的证明很容易理解。我们给出了主要的空间渐近结果。命题3假设初始数据使用渐近性质（32）。

然后，对于每个t≥ 0时，相对风险容限收敛到度量值ulimx的s支持的右端↑∞r（x，t）x=1- γ。（37）证明。让t≥ 根据表达式（36），我们得到h（z，t）=z（1-γ）-aezy公司-tyu（dy）+e1-γz-（1）-γ） t，然后，支配收敛定理将limz↑∞h（z，t）e1-γz-（1）-γ） t=1。（38）因此，从（17）出发，结合严格单调性和h（z，t）的全范围，我们推导出thatlimx↑∞ux（x，t）xγ-1e级-γ2（1-γ） t=1，（39）sincelimx↑∞ux（x，t）xγ-1e级-γ2（1-γ） t=limz↑∞e-z+thγ-1（z，t）e-γ2（1-γ） t=limz↑∞h（z，t）e1-γz-（1）-γ） t！1.-γ=1。接下来，我们声明Limx↑∞uxx（x，t）xγ-2e类-γ2（1-γ） t=γ- 1.（40）为了证明这一点，必须证明≥ 0，ux（x，t）是凸的，因为上面将遵循[1 0]中引理3.1（ii）中的ar-guments。为此，不同的（17）产量xxx（h（z，t），t）（hz（z，t））+uxx（h（z，t），t）hzz（z，t）=e-z+t.（41）h的严格凸性和u的严格凹性，然后给出uxxx（h（z，t），t）>0，（42），并利用h的严格单调性和全范围得出结论。组合（39）和（40）yieldslimx↑∞r（x，t）x=limx↑∞-ux（x，t）xuxx（x，t）= 林克斯↑∞-ux（x，t）xγ-1e级-γ2（1-γ） t型uxx（x，t）xγ-2e类-γ2（1-γ） t型-1=1.- γ。我们强调，不能削弱假设（32）或等效假设（33）。事实上，正如我们将在例6.2中看到的那样，我们在例6.2中采取的措施是在[a，b]上的杠杆，因此在b上没有ma ss，空间收费公路不适用。推论4假设初始数据使用渐近性质（32）。然后，对于每个t≥ 0，极限↑∞rx（x，t）=1- γ。（43）证明。从（2-4）我们得到了，对于每个t≥ 0，极限↑∞rx（x，t）存在，我们很容易得出结论。4时间（收费公路）渐近结果我们研究了相关风险耐受性的时间渐近行为↑ ∞, 对于e ach x>0，在初始边际效用的简化假设下，对于较大的财富水平。

这是经典预期效用模式ls和本文主要结论中类似结果的真正“收费公路”模拟。它表明，相对风险容限将转化为基础度量支持的左端。与空间情况一样，我们首先将测量的属性与初始（边缘）数据的共生行为联系起来。假设2：存在γ<1，γ6=0，因此对于所有γ′∈ （γ，1），limx↑∞u′（x）xγ′-1=0，（44），而对于所有γ′<γ，limx↑∞u′（x）xγ′\'-1=∞. （45）如我们接下来所示，上述假设与[11]和[5]中引入的条件直接相关，分别适用于离散时间和连续时间情况。引理5假设2等价于指数γ有规律变化的函数u′（x）- 1，即对于所有k>0，limx↑∞u′（kx）u′（x）=kγ-1.（46）证明。我们首先表明，条件（46）意味着（44）和（45）。我们用矛盾来争论。假设（44）不成立。那么，就有γ′∈ （γ，1）和ε>0，使得对于足够大的x，u′（x）xγ′-1> ε。另一方面，条件（46）意味着，对于足够大的ll k>0和x，u′（kx）u′（x）kγ-1.- 1.< ε。因此，对于足够大的x，0<u′（kx）（kx）γ′-1=u′（kx）u′（x）kγ-1u′（x）xγ′-1kγ-γ′<（1+ε）u′（x）xγ′-1kγ-γ′。自γ起- γ′<0，limk↑∞u′（kx）（kx）γ′-1=0，我们得出结论。类似地，weestablish（45）。接下来，我们显示反向。假设（45）和（44）保持不变。

那么，对于所有δ，k>0，x足够大，u′（kx）（kx）γ+δ-1<1和xγ-δ-1u′（x）<1。将这两个方程相乘并重新排列得出，对于所有δ>0，u′（kx）u′（x）<（kx）γ+δ-1xγ-δ-1=kγ+δ-1x2δ。类似地，在上述两个不等式中互换kx和x，即u′（kx）u′（x）>（kx）γ-δ-1xγ+δ-1=kγ-δ-1台-2δ，条件（46）随后发送第一个δ↓ 0，然后是x↑ ∞.假设2比假设1弱，并且暗示，我们接下来展示的是，度量uha s支持右端点a t1-γ、 但不一定有质量。引理6假设2成立，当且仅当度量u具有其右边界为1的有限支撑-γ、 即，inf{y>0：u（（y，∞)) = 0}=1- γ。（47）证明。我们证明了假设2暗示了属性（47）。对于每个γ′∈ （γ，1），我们从（44）推导出0=limx↑∞ux（x，0）xγ′-1=limz↑∞ux（h（z，0），0）（h（z，0））γ′-1=limz↑∞h（z，0）ez1-γ′型1.-γ′，因此，limz↑∞兹拜兹y-1.-γ′型u（dy）=0。（48）接下来，观察如果b≥ 1，那么它将改变上述限制，因此我们需要b<1。假设存在γ′∈ （γ，1），b=1-γ′。然后，对于每个￠γ∈ （γ，γ′）我们有1-γ<1-γ′和以上给出，对于ε足够小，limz↑∞Z（1-γ+ε）-aez（y-1.-γ）u（dy）+Zb1-γ+εez（y-1.-γ）u（dy）！=0。因此，必须是u[1-γ+ε，b]= 0、发送ε↓ 0，表示u1.-γ，bi=0，这是一个矛盾。因此，我们必须有b≤1.-γ。

类似地，使用（45），我们得到b≥1.-γ、 因此，b=1-γ。为了显示相反的方向，我们首先观察到，当ε>0时，概率（47）和优势收敛理论得出limz↑∞h（z，0）e-（1）-γ+ε）z=limz↑∞Z1级-γaez（y-（1）-γ+ε）u（dy）=0。然后，将γ′设置为1-γ′=1-γ+ε，我们推导出llγ′的（44）∈ （γ，1）。其余的证明很容易理解，因此省略了。到目前为止，我们已经确定，在假设2下，相关度量u的右边界（但不一定是质量）为1-γ、 维切弗萨。现在我们将注意力转向支撑的左边界，用a表示，其中：=inf{y≥ 0：u（（0，y））>0}。（49）在即将到来的证明中，我们将经常使用ide ntityx=Z1-γaeyh(-1） （x，t）-ytu（dy），（50）表示x>0，直接从（19）表示b=1-γ。引理7 Let h(-1） ：D+→ R是h的空间倒数，a如（49）所示。然后，对于每个x>0，limt↑∞h类(-1） t（x，t）存在，而且对于t≥ 0，a≤ h类(-1） t（x，t）≤2（1- γ） 。（51）证明。让x>0，观察（18）yieldsh(-1） t（x，t）=hxxh类(-1） （x，t）hx公司h类(-1） （x，t），t=R1级-γayeyh(-1） （x，t）-ytu（dy）R1-γayeyh(-1） （x，t）-ytu（dy），因此不等式（51）适用于所有t≥ 0、显示极限↑∞h类(-1） t（x，t）存在，必须表明h(-1） t（x，t）随时间递减。事实上，直接计算(-1） tt（x，t）=-R1级-γayh公司(-1） t（x，t）-y哎呀(-1） （x，t）-ytu（dy）R1-γayeyh(-1） （x，t）-ytu（dy）<0。（52）或者，区分hh类(-1） （x，t），t= xtwice产量，设置z=h(-1） （x，t），h(-1） tt（x，t）hx（z，t）+h类(-1） t（x，t）hxx（z，t）+2h(-1） t（x，t）hxt（z，t）+htt（z，t）=0。我们有hx，hxx>0，因为它直接来自（19）和差异。此外，上述二次曲线在h中(-1） t（x，t）保持为正，这将产生h(-1） tt（x，t）<0。

实际上，hxt（z，t）- hxx（z，t）htt（z，t）=hxxx（z，t）- hxx（z，t）hxxxx（z，t）<0，如下（20）。我们现在准备介绍本文的一个主要发现，其限制为↑ ∞ ratioth的(-1） （x，t）。我们证明了它收敛到测度支持度下限的一半。在[21]中可以找到一些相关较弱的结果。提案8让h(-1） ：D+→ R是函数h的空间逆（参见（19）），让a、b分别是支架的左端和右端，a=0+或a>0，b<∞. 然后，对于每个x>0，以下断言保持不变。i） 这是有限的↑∞h类(-1） （x，t）t=a.（53）ii）Let （x，t）：=h(-1） （x，t）t-a、 （54）如果a>0，则| （x，t）|≤atln公司u[a，1-γ]x个, 如果 （x，t）<0，（55）和x≥ u（[a，a+ （x，t）]）预计到达时间（x，t），如果 （x，t）>0。（56）如果a=0+，则 （x，t）>0，而且，对于每个θ∈ （0，1），x≥ u([ （x，t），（1+θ） （x，t）]）et（1-θ）（x，t）。（57）证明。i） 。让x>0×d。回想一下h(-1） t（x，t）>0（参见（51）），因此，limt↑∞h类(-1） （x，t）存在。此外，重写（50）asx=Z1-γaetyh类(-1） （x，t）t-yu（dy），（58）我们看到↑∞h类(-1） （x，t）=∞, 否则，发送t↑ ∞ 我们遇到了矛盾。反过来，根据引理7和医院法则，我们推导出a（x）：=limt↑∞h类(-1） （x，t）t=极限↑∞h类(-1） t（x，t），（59）和thusa≤ A（x）≤2（1- γ） 。（60）接下来，我们声明A（x）<2（1-γ） 。让a>0。如果a=1-γ、 然后a=b和h(-1） （x，t）=ln x1-γ+1-γt，直接得出结果。设0<a<1-γ。假设存在x，即A（x）=2（1-γ） 。然后，对于ε>0，存在t（x，ε），因此，对于t≥ t，-ε≤h类(-1） （x，t）t-2（1- γ）≤ ε。反过来，当δ>0足够小时，上述和（50）yieldx≥Z（1-γ-2ε-δ）-aety（2（1-γ）-ε-y） u（dy）+Z1-γ1-γ-2ε-δety（2（1-γ）-ε-y） u（dy），产生一个矛盾，如t↑ ∞, 因为第一个积分会收敛到∞.接下来，假设存在x>0，使得A<A（x）<2（1- γ） 。

（61）那么，对于ε，δ>0足够小，我们有A<2（A（x）- ε）- δ<2（A（x）- ε） <1- γ。（62）从（50）中，我们推导出，对于t≥ t（x，ε），x≥R1级-γaet（y（A（x））-ε）-y） u（dy）。如果u（{a}）6=0，则x≥ eta（2（A（x））-ε）-a） u（{a}），并发送t↑ ∞ 产生冲突。I fu（{a}）=0，然后x≥Z1级-γaet（y（A（x））-ε）-y） u（dy）≥Z2（A（x）-ε）-δaet（y（A（x））-ε）-y） u（dy）。（63）考虑二次B（y）=y（A（x）- ε）-y、 我们有B（y）=B（y）=0，对于y=0和y=2（A（x）- ε），B（y）>0，对于0<y<2（A（x）- ε） ，且B（y）在y处达到最大值*=A（x）- ε。接下来，我们看它的最小值，y*= 米纳≤y≤2（A（x）-ε）-δ （y）和索赔*= 2（A（x）- ε）- δ。（64）如果0<a≤ y*, 然后选择δ<a，直接计算得出 （a） > （y）*) . 如果y*< a，则（62）产生a<y*< y、 因此，最小值也出现在y*.很明显，因为y<y*< y、 我们有B（y*) =δ（2（A（x））- ε）- δ） >0。因此，对于t≥ t（x，ε），x≥Z2（A（x）-ε）-δaetB（y*)u（dy）。（65）作为t↑ ∞, （65）的右侧收敛于∞, 除非它保持u（[a，2（a（x））- ε）- δ] ）=0。发送δ↓ 0和ε↓ 0，则u（[a，2A（x）]）=0，但与（61）相矛盾。因此，对于所有x>0，A（x）≤a、 我们很容易得出结论。如果a=0+，类似的参数会产生每个θ的值∈ （0，A（x）]，我们得到u（[θ，2A（x）]）=0。发送θ↓ 0产生u（0，2A（x）]=0，这与（61）相矛盾。ii）。让a>0。如果 （x，t）<0，从（50）我们得到x=Z1-γaety(（x，t）+（a）-y） ）u（dy）≤ 希腊字母表的第7个字母（x，t）Z1-γaety（a-y） u（dy）≤ 希腊字母表的第7个字母（x，t）ua、 1个- γ,和（55）如下。如果 （x，t）>0，则（53）得出，对于足够小的ε和t≥ t（x，ε），0<h(-1） （x，t）t-a<ε。