前向时间单调下的时空收费公路型结果

选择ε，使ε<2（1-γ）-ayields 0<小时(-1） （x，t）t-a<2（1-γ）-a、 使用a<1-γ、 givesa+h(-1） （x，t）t≤1.- γ。然后我们从（28）中推导出thatx≥Za+h(-1） （x，t）二十h类(-1） （x，t）t-yu（dy）。二次H（y）：=yh类(-1） （x，t）t-y在上述被积函数中，y=0和y=2h时，bec omeszero(-1） （x，t）t>a，因此，其最小值出现在端点a或+h处(-1） （x，t）t.注意a<a+h(-1） （x，t）t<y.如果发生在a，则H（a）=a （x，t），如果发生ata+h(-1） （x，t）t，然后Ha+h(-1） （x，t）t=a+h(-1） （x，t）t （x，t）>a （x，t）。结合上述因素x≥Za+h(-1） （x，t）taeta（x，t）u（dy）=u（[a，a+ （x，t）]）预计到达时间（x，t）。最后，设a=0+。然后 （x，t）=h(-1） （x，t）t.回想一下↑∞h类(-1） （x，t）=∞, 砰的一声(-1） （x，t）t>0，对于t大。对于ε∈h类(-1） （x，t）t，2h(-1） （x，t）t然后我们有了≥Zεh(-1） （x，t）太提h类(-1） （x，t）t-yu（dy）≥Zεh(-1） （x，t）tetεh类(-1） （x，t）t-εu（dy）。设定ε=（1+θ）h(-1） （x，t）t，（57）如下。我们现在准备证明本文的主要结果之一。定理9假设a是度量u支撑的左端。然后，foreach x>0，limt↑∞r（x，t）x=a.（66）此外，存在由G（x，t）给出的函数G（x，t）：=R1级-γa（y-a） e类-ty（y-a） u（dy）， （x，t）<02 （x，t）x+R1-γa+2（x，t）（y-a） ety（2（x，t）+a-y） u（dy）， （x，t）>0，满足极限↑∞G（x，t）=0，对于足够大的t，0≤ r（x，t）- 斧头≤ G（x，t）。（67）证明。我们给出了两种可选的收敛证明。第一个收益率为（66），第二个收益率为收敛速度G（x，t）。为此，区分（17）给定下一个（x，t）=- h类(-1） t（x，t）ux（x，t）。（68）此外，（14）和（16）意味着ut（x，t）=-ux（x，t）r（x，t），反过来，utx（x，t）=-uxx（x，t）r（x，t）-ux（x，t）rx（x，t）。（69）结合以上我们推导出rx（x，t）=h(-1） t（x，t），（70）和fr om命题8和（59）limt↑∞rx（x，t）=极限↑∞2小时(-1） t（x，t）=a。

（71）另一方面，limc↓0+Zxcrx（ρ，t）dρ=r（x，t）- limc公司↓0+r（c，t）。使用以下事实：≥ 0，极限↓0+r（x，t）=0（见[18]），我们得到that，当x>0时，r（x，t）=Zxarx（ρ，t）dρ。（72）最后，我们从（70）和（52）推导出rxt（x，t）<0，因此，对于x>0，我们有y∈ （0，x），rx（y，t）≤ rx（x，0）。然而，对于所有x>0，rx（x，0）<∞. 这直接来自（21）、（19）和h（x，0）的全范围，正弦（h（z，0），0）=hzz（z，0）hz（z，0）=R1-γayeyz-tyu（dy）R1-γayeyz-tyu（dy）≤1.- γ。利用支配收敛定理并将极限传递为t↑ ∞ 在（70）中，我们推导出（66）。接下来，我们给出了第二个收敛定理，这也得到了收敛率。首先请注意0≤ r（x，t）- ax。（73）这直接来自（21）、（19）和（50），对于r（x，t）=Z1-γayet（yh(-1） （x，t）t-y） u（dy）≥ aZ1-γaet（yh(-1） （x，t）t-y） u（dy）。此外，fr om（21）、（19）、（50）和（54），我们有（x，t）- ax=Z1-γa（y-a） ety（2（x，t）+a-y） u（dy）。（74）如果 （x，t）<0（仅当a>0时发生，如前一证明所示），则上述屈服强度r（x，t）- 斧头≤Z1级-γa（y- a） e类-ty（y-a） u（dy）和（67）直接跟在G（t）后面：=R1-γa（y-a） e类-ty（y-a） u（dy）。允许 （x，t）>0且a>0或a=0+。如果a=1-γ、 然后，结果就不足为奇了。对于<1-γ、 观察t足够大时，0<a+2 （x，t）<1-γ、 Andhus表示（74）给定Sr（x，t）- ax=Z（a+2（x，t））-a（y- a） ety（2（x，t）+a-y） u（dy）+Z1-γa+2（x，t）（y- a） ety（2（x，t）+a-y） u（dy）。设C（x，t）：=R（a+2（x，t））-a（y- a） ety（2（x，t）+a-y） u（dy），观察值C（x，t）≤ 2. （x，t）Z（a+2（x，t））-aety（2（x，t）+a-y） u（dy）≤ 2. （x，t）x，我们使用（50）。Thuslimt公司↑∞C（x，t）=0。（75）也设C（x，t）：=R1-γa+2（x，t）（y- a） ety（2（x，t）+a-y） u（dy）和F（y，t，x）：=（y- a） ety（2（x，t）+a-y） ，y∈ha+2 （x，t），1-γi.那么，F（a+2 （x，t），t，x）=2 （x，t），从而限制↑∞F（a+2 （x，t），t，x）=0。

此外，对于每个∈a+2 （x，t），1-γi，我们也有极限↑∞F（y，t，x）=0。反过来，优势收敛理论给出了很小的↑∞C（x，t）=0。（76）设置G（x，t）：=C（x，t）+C（x，t），使用（75）和（76），我们得到（67）。5相对阻力函数的空间和时间限制我们现在重新关注定义的相对审慎函数p（x，t）（x，t）∈ D+，asp（x，t）=-xuxxx（x，t）uxx（x，t），（77）带u解算（14）。（x，t）的命题10∈ D+，p（x，t）>0。此外，以下空间和时间限制适用。i） 如果假设选项1成立，则对于每个t≥ 0，极限↑∞p（x，t）=2- γ。（78）ii）如果假设2成立，则对于每个x>0，limt↑∞p（x，t）=1+a，如果a>0∞, 如果a=0+。（79）证明。利用（77）和（16），我们推断，对于每个t≥ 0，p（x，t）=xr（x，t）（1+rx（x，t）），并且p（x，t）>0和（78）分别直接来自（23）和（37）。从（7 7）和方程（14）中，我们还得到，对于每个x>0，uxt（x，t）ux（x，t）=1-r（x，t）xp（x，t）=- h类(-1） t（x，t）。（80）使用该限制↑∞h类(-1） t（x，t）=很容易得出结论。6个示例我们给出了两个具有代表性的示例，其中度量分别是Dirac函数的asum和Lebesgue度量。第一个示例概括了第2.1小节中示例的结果，而第二个示例表明，如果测量支撑的右端没有质量，则空间收费公路特性将失效。6.1 Dirac函数的有限和我们假设u=NXn=1δyn，0<y<···<yn=1- γ。那么，h（z，0）=∑Nn=1eynzand，因此，limz↑∞h（z，0）e-zyN=1。反过来，（34）yieldslimx↑∞ux（x，0）xγ-1=1，验证引理2的结果。我们也有，对于（z，t）∈ D、 h（z，t）=NXn=1expynz公司-ynt公司.（参见（19）），因此，对于x>0，x=NXn=1expynt公司h类(-1） （x，t）t-yn公司. （81）此外，h(-1） （x，t）-年初至今≤yln x。

（82）6.1.1 h的时间渐近展开(-1） （x，t）对于大tWe，对于每个x>0，为t↑ ∞,h类(-1） （x，t）=yt+yln x+o（1）。（83）事实上，使用极限（53），我们有极限↑∞h类(-1） （x，t）t-yn公司（<0，1<n≤ N=0，N=1。因此，作为t↑ ∞, （81）中的所有术语都消失了，除了第一个，并且x=limt↑∞经验值yh公司(-1） （x，t）-年初至今. （84）取对数和重新排列条件产生（83）。6.1.2 h的空间渐近展开(-1） （x，t）对于较大的x，对于每个t≥ 0，小时(-1） （x，t）=（1- γ） ln x+2（1- γ） t+o（1）。（85）为此，我们首先建立thatlimx↑∞h类(-1） （x，t）ln x=（1- γ） 。（86）事实上≥ 0，设δ∈ （0,1-γ） 假设Lim infx↑∞h类(-1） （x，t）lnx<1-γ+δ。然后，使用（81）和h(-1） （x，t）>0，对于大x，我们有1=xNXn=1expynln x公司h类(-1） （x，t）ln x-ynt公司≤xNXn=1expynln x公司h类(-1） （x，t）ln x≤ Nx1-γh(-1） （x，t）ln x-1，并使用它1-γ1-γ+δ-1=-δ（1-γ） 1+δ（1-γ） <0，我们将矛盾定义为x↑ ∞.由于δ是任意的，我们推导出thatlim infx↑∞h类(-1） （x，t）ln x≥ （1）- γ） 。

（87）类似地，假设δ∈0,1-γ,lim supx公司↑∞h类(-1） （x，t）lnx>1-γ- δ。然后，（82）给定1>xexp1- γln xh(-1） （x，t）ln x-1.- γt！=x1-γh(-1） （x，t）ln x-1e级-（1）-γ） 并使用该1-γ1-γ-δ-1=δ（1-γ） 1个-δ（1- γ） >0，我们得到一个矛盾的x↑ ∞.由于δ是任意的，我们推导出thatlim supx↑∞h类(-1） （x，t）ln x≤ （1）- γ） ，我们很容易得出结论。接下来，我们重写（81）as1=NXn=1expynh公司(-1） （x，t）-ynt公司- 自然对数（89）=NXn=1expynln x公司h类(-1） （x，t）ln x-yn公司-ynt公司.请注意，从（8 6）中的极限，我们得到了thatlimx↑∞h类(-1） （x，t）ln x-yn公司=（<0，1≤ n<n=0，n=n。因此，作为x↑ ∞, 第一个N- （89）中的1项消失，我们推导出thatlimx↑∞exp1- γh(-1） （x，t）- ln x-1.- γt！=然后取对数并重新排列项，得到（85）。6.1.3 r（x，t）的空间和时间渐近性从表示（21）中，我们得到了风险容忍函数r（x，t）=NXn=1ynexpynh公司(-1） （x，t）-ynt公司. （90）设x>0。n，（82）给定sr（x，t）≤NXn=1ynexpyn（yt+yln x）-ynt公司= yx+NXn=2ynexpyn（y- yn）txyny。因此，r（x，t）的暂时性口腔扩张为t↑ ∞ 由r（x，t）=yx+O给出ey（y-y） t型. （91）接下来，让t≥ 0.n，limx↑∞r（x，t）=limx↑∞NXn=1ynexpyn（（1- γ） ln x+2（1- γ） t）-ynt公司,因此，作为x↑ ∞,r（x，t）=NXn=1ynexpynt（1- γ- yn）x（1-γ） yn+o（1）。（92）因此，对于x>0和t≥ 0，我们有时间符号扩展（91）yieldslimt↑∞r（x，t）x=yand limx↑∞r（x，t）x=yN=1- γ、 这些限制分别与命题3和定理9中的发现一致。6.2 Lebesgue测度我们考虑一个具有连续支撑但在其右边界处没有mas的测度的情况。

我们推导出了相关的极限，并表明空间收费公路属性失效Lebesgue mea sure onha，1-γi，a>0考虑函数Д（z）：=e-zandΦ（z）：=Rz-∞Д（y）dy，表示z∈ R、 然后，表达式（19）和（50）分别得出h（z，t）=Z1-γaeyz-ytdy=ez/2t√tZ1-γ√t型-z/√助教√t型-z/√tИ（y）dy，（93）and x=Z1-γaeyth类(-1） （x，t）t-ydy公司=√teh公司(-1） （x，t）2tZ1-γ√t型-h类(-1） （x，t）√助教√t型-h类(-1） （x，t）√tИ（y）dy.（94）6.2.1 h的时间渐近展开(-1） （x，t）对于x>0的大tWe c laim，作为t↑ ∞,h类(-1） （x，t）=在+a时ln t+ln x+lna+ o（1）。（95）为了证明这一点，我们首先确定X=limt↑∞ea（h(-1） （x，t）-at）at。（96）使用（94），对于z<0，Φ（z）≤ -ν（z）z，（97）我们有，对于足够大的ge，x≤√特克斯普h类(-1） （x，t）2tΦ-一√t+h(-1） （x，t）√t型≤√助教√t型-h类(-1） （x，t）√特克斯普h类(-1） （x，t）2t^1-一√t+h(-1） （x，t）√t型=ea（h(-1） （x，t）-at）at- h类(-1） （x，t）。反过来，x≤ lim信息↑∞ea（h(-1） （x，t）-at）at- h类(-1） （x，t）。（98）接下来，我们展示X≥ lim支持↑∞ea（h(-1） （x，t）-at）at- h类(-1） （x，t），其中（98）将产生（96）。为此，我们将其用于任何b>a>0的情况，即InequalityΦ（b）- Φ（a）≥b（Д（a）- ^1（b））保持不变。设1<k<a（1-γ） 。

从（9.4）和上面，我们得到了，对于t largeenough，thax≥√teh公司(-1） （x，t）2tΦka公司√t型-h类(-1） （x，t）√t型- Φ一√t型-h类(-1） （x，t）√t型≥√tka公司√t型-h类(-1） （x，t）√teh公司(-1） （x，t）2t×^1一√t型-h类(-1） （x，t）√t型- ^1ka公司√t型-h类(-1） （x，t）√t型=凯特- h类(-1） （x，t）ea（h(-1） （x，t）-at）- eka（h(-1） （x，t）-kat）.从命题8开始，由于k>1，我们得到了limt↑∞eka（h(-1） （x，t）-kat）kat- h类(-1） （x，t）=极限↑∞ekat（h(-1） （x，t）at-k） 在k-h类(-1） （x，t）at= 0。因此，x≥ lim支持↑∞凯特- h类(-1） （x，t）ea（h(-1） （x，t）-at）- eka（h(-1） （x，t）-kat）≥ lim支持↑∞eka（h(-1） （x，t）-kat）kat- h类(-1） （x，t）-限制↑∞eka（h(-1） （x，t）-kat）kat- h类(-1） （x，t）=lim supt↑∞ea（h(-1） （x，t）-at）kat- h类(-1） （x，t），并发送k↓ 1我们得出结论。接下来，我们利用La mbert-W函数W（x），定义为F（x）=xex的反函数，推导出h的显式渐近展开式(-1） （x，t）为t↑ ∞. 回顾符号 （x，t）=h(-1） （x，t）-在，我们从（96）中推导出存在带limt的ε（t）↑∞ε（t）=0，因此ea（x，t）at-  （x，t）=x（1+ε（t））。重写它yieldsa在-  （x，t）ea（at-（x，t））=ax（1+ε（t））eat，使用左手侧为形式F（a（at-  （x，t）），我们得到a（在-  （x，t））=Wax（1+ε（t））eat,反过来， （x，t）=at-aW公司ax（1+ε（t））eat.文献[3]证明，对于la rge x，W（x）的渐近展开式由W（x）=ln x给出- ln（lnx）+o（1）。因此 （x，t）=at-aln公司ax（1+ε（t））eat+aln ln公司ax（1+ε（t））eat+ o（1）=alnxa+ln（1+ε（t））+lnat+lnax（1+ε（t））+ o（1）。将其用作t↑ ∞, ln（1+ε（t））=o（1）和thatlnat+lnax（1+ε（t））= ln公司在+ o（1），断言（95）如下。6.2.2 h的空间渐近展开(-1） （x，t）对于大型车桥t≥ 0。我们显示为x↑ ∞,h类(-1） （x，t）=2（1- γ） t+（1- γ）ln x+ln x- ln1- γ+ o（1）。（99）我们首先建立thatlimx↑∞h类(-1） （x，t）ln x=（1- γ） 。（100）的确，设f（z，t）：=ze1-γz-（1）-γ） t。

那么limz↑∞h（z，t）f（z，t）=limz↑∞Z1级-γazez（y-1.-γ）-（y）-（1）-γ） ）tdy=limz↑∞Z1级-γa（z-yt）ez（y-1.-γ）-（y）-（1）-γ） ）tdy+Z1-γaytez（y-1.-γ）-（y）-（1）-γ） ）tdy！=林茨↑∞1.- e（a-1.-γ） z-（a）-（1）-γ） ）t+Z1-γaytez（y-1.-γ）-（y）-（1）-γ） ）tdy！=1，我们使用a<1-γ，对于第三项，单调收敛定理。因此，对于ea ch t≥ 0，极限↑∞h（x，t）f（x，t）=1。（101）我们现在使用渐近函数的逆的一个结果（见[7]），通过验证该结果成立的必要假设来证明（100）中的极限。为此，考虑函数g（z）：=（1- γ） lnz，注意g（f（z，t））=-（1）- γ） ln z+z-2（1- γ） t型~ z、 作为z↑ ∞.因此，limz↑∞z-1g（f（z，t））=1。另一方面，因为limz↑∞f（z，t）=∞,我们推断f(-1） （x，t）~ g（x），as x↑ ∞. 此外，g（x）严格递增，比率x（x，t）g（x，t）~x ln x=O（x），对于足够大的x。然后根据上述结果，g（x）~ h类(-1） （x，t），如x↑ ∞, 和（100）如下。接下来，我们声明，对于每个t≥ 0，极限↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）x ln x=1- γ。（102）事实上，对于t=0，我们从（9 4）得到x=Z1-γaeyh(-1） （x，0）dy=h(-1） （x，0）e1级-γh(-1） （x，0）- 是的(-1） （x，0）, （103）和（100）产生thatlimx↑∞e1级-γh(-1） （x，0）x ln x=limx↑∞e1级-γh(-1） （x，0）e1-γh(-1） （x，0）- 是的(-1） （x，0）小时(-1） （x，0）ln x=1- γ。对于t>0，我们从（94）推导出thatx=√te公司-h类(-1） （x，t）2tΦ1.- γ√t型-h类(-1） （x，t）√t型- Φ一√t型-h类(-1） （x，t）√t型.（104）然后，使用（97），我们得到，对于大x，1≤x个√特克斯普h类(-1） （x，t）2tΦ1.- γ√t型-h类(-1） （x，t）√t型≤x个√teh公司(-1） （x，t）2次(-1） （x，t）√t型-1.-γ√t^11.- γ√t型-h类(-1） （x，t）√t型=e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）x（h(-1） （x，t）-1.-γt），依次为1≤ lim infx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）xh(-1） （x，t）h(-1） （x，t）h(-1） （x，t）-1.-γt！=lim infx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）xh(-1） （x，t）limx↑∞h类(-1） （x，t）h(-1） （x，t）-1.-γt=lim infx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）xh(-1） （x，t）。

（105）类似地，我们使用它，对于a<b<0，Φ（b）- Φ（a）≥^1（a）- ^1（b）a，（106）并从（104）中推断，对于la rge x，1≥x个√teh公司(-1） （x，t）2ta√t型-h类(-1） （x，t）√t×^1（a√t型-h类(-1） （x，t）√t）- ^1（1- γ√t型-h类(-1） （x，t）√t）=e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）x（h(-1） （x，t）- at）-ea（h(-1） （x，t）-at）x（h(-1） （x，t）- 位于）。第二学期，我们有Limx↑∞是的(-1） （x，t）x（h(-1） （x，t）- at）e-at=极限↑∞是的(-1） （x，t）-项次xh(-1） （x，t）- ate公司-at=极限↑∞经验值a ln xh类(-1） （x，t）ln x-一h类(-1） （x，t）- at=0。因此，lim supx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）x（h(-1） （x，t）- at）-ea（h(-1） （x，t）-at）x（h(-1） （x，t）- at）！=lim supx公司↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）x（h(-1） （x，t）- at）- 林克斯↑∞ea（h(-1） （x，t）-at）x（h(-1） （x，t）- at）=lim supx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）x（h(-1） （x，t）- at）=lim supx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）xh(-1） （x，t）limx↑∞xh公司(-1） （x，t）x（h(-1） （x，t）- at）=lim supx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）xh(-1） （x，t）≤ 1.（107）从（1 05）和（107）中，我们得到了lim supx↑∞e1级-γ（h(-1） （x，t）-1.-γt）xh(-1） （x，t）=1，与（105）一起给出（102）。取两边的对数算术thenyieldslimx↑∞1.- γh类(-1） （x，t）-2（1- γ） t型- ln x- ln ln x= ln（1- γ） ，然后是空间渐近展开式（99）。6.2.3对于大于0的大xLet，r（x，t）的空间渐近性。我们显示为x↑ ∞, r（x，t）=1给出了r（x，t）的空间渐近展开式- γtx ln ln x+t（（1- γ） x ln x）a（1-γ） ea（1-γ-a） t+2（1- γ） x个-1.- γtx ln1- γ+o（1）。（108）实际上，从（21）和（93）中，我们得到了（x，t）=Z1-γat（yt- h类(-1） （x，t））eyh(-1） （x，t）-年初至今+小时(-1） （x，t）tZ1-γaeyh(-1） （x，t）-ytdy=tea（h(-1） （x，t）-at）- e1级-γ（h(-1） （x，t）-2（1-γ） t）+h类(-1） （x，t）tx，其中我们在上学期使用了（50）。然后，（108）接着使用（99）。对于t=0，我们从（103）得到r（x，0）=1- γx-（1）-γ- a） 是的(-1） （x，0）- xh公司(-1） （x，0）和，对于大x，r（x，0）=1- γx1.-自然对数+ o（1）。

（109）从（10 8）和（109）中，我们得到，对于t>0和t=0，我们分别有r（x，t）~1.- γtx ln ln x和r（x，0）~1.- γx。因此，风险容限函数不具有空间收费公路特性（37）。回想一下，基本度量值在度量值u的右边界上缺少狄拉克质量，这是保持位置3中的结果的必要条件在a=0+的情况下，我们得出结论，u是（0,1）上的勒贝格测度-γ] 。要塞≥ 0，我们很容易得到h的相同空间a辛展开式(-1） （x，t）如（99）所示，r（x，t）如（108）和（109）所示。对于时间表达式，我们声称↑ ∞,h类(-1） （x，t）t=√ln t+2 ln x- ln 2π√t+o(√t） 。（110）为了证实这一点，第一次召回（参见（50）），X=Z1-γ+ey（h(-1） （x，t）-yt）dy，（111）取（111）yields2 ln x两侧的对数=h类(-1） （x，t）√t型- ln t（112）+2 lnΦ√t（1- γ-h类(-1） （x，t）t）- Φ-h类(-1） （x，t）√t型.接下来，我们声明l：=lim inft↑∞h类(-1） （x，t）√t=∞. 确实，如果l<∞, 然后，ast↑ ∞, 上述产量2 ln x=l- 限制↑∞（ln t）+2 ln（1- Φ(-l） ）=-∞,这是一个矛盾。因此，必须是l=∞, 再加上limt↑∞h类(-1） （x，t）t=0，表示为t↑ ∞, （112）右侧的第三项收敛到2 ln√2π。因此，我们得到2 ln x=limt↑∞h类(-1） （x，t）√t型- ln t+2 ln√2π！，从中我们推断出h(-1） （x，t）=pt（ln t+2 ln x- ln 2π）+o(√t） ，和（110）如下。7扩展我们分析了风险容限函数r（x，t）的空间和时间渐近行为。我们记得，最优投资组合过程π*,Xtis以反馈形式π给出*,xt=σ+tλtr十、*,xt，t, 带X*,XT是由此产生的财富。