前向时间单调下的时空收费公路型结果

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英文标题：
《Temporal and Spatial Turnpike-Type Results Under Forward Time-Monotone
  Performance Criteria》
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作者：
Tianran Geng and Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We present turnpike-type results for the risk tolerance function in an incomplete market setting under time-monotone forward performance criteria. We show that, contrary to the classical case, the temporal and spatial limits do not coincide. We also show that they depend directly on the left- and right-end of the support of an underlying measure, which is used to construct the forward performance criterion. We provide examples with discrete and continuous measures, and discuss the asymptotic behavior of the risk tolerance for each case.
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中文摘要：
在时间单调的远期绩效标准下，我们给出了不完全市场环境下风险容忍函数的收费公路型结果。我们表明，与经典情况相反，时间和空间限制并不重合。我们还表明，它们直接依赖于基础度量支持的左端和右端，该度量用于构建正向性能标准。我们提供了离散和连续测度的例子，并讨论了每种情况下风险容忍度的渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Temporal_and_Spatial_Turnpike-Type_Results_Under_Forward_Time-Monotone_Performan.pdf (354.08 KB)

2022-5-31 04:41:42 上传

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关键词：收费公路 Mathematical Quantitative performance mathematica

前向时间单调性能准则下的时空收费公路类型结果*T、 Geng+和T.Zariphopoulou初稿：2016年11月，该初稿：2017年2月摘要我们在时间单调的远期绩效标准下，给出了完整市场It^o扩散设置下风险容忍函数的收费公路型结果。我们表明，与经典情况相反，时间和空间限制并不重合。相反，它们直接依赖于与远期绩效标准相关的基础度量的左右端支持。我们给出了离散和连续这类测度的例子，并讨论了每种情况下风险容忍度的渐近行为。1简介收费公路导致最大期望效用模型在投资者风险偏好的渐近假设下，在投资期限较长时产生最优投资组合函数的行为。“收费公路”结果的本质（为简单起见，对于系数为u和σ的单一对数正态股票而言）如下所示：假设投资期限为[0，T]，投资者的效用UT表现为大财富水平的p-owerfunction，即UT（x）~γxγ，x大。（1） 如果这个视界很长，那么相关的最优投资组合函数π*（x，t；t）是与该电力公司相关的“clo se”，即，对于每个>0，t∈ [0，T]，*这项工作在ETH、国王学院、普林斯顿、牛津和哥伦比亚大学的研讨会和研讨会上发表。

作者感谢与会者提出的富有成果的意见和建议。+德克萨斯大学奥斯汀分校数学系；tgeng@math.utexas.edu.德克萨斯大学奥斯汀分校数学系和IROM系以及牛津大学牛津曼定量金融研究所；zariphop@math.utexas.edu.π*（x，t；t）x~uσ1- γ、 T大。（2） 换句话说，终端数据的渐近空间行为决定了每个财富水平的投资组合函数的长期时间行为。我们记得函数π*（x，t；t）是以反馈形式确定最优财富过程的过程，因为最优财富过程x*t、 t型∈[0，T]由投资策略π生成*t=π*（十）*t、 t；T）。收费公路结果可在[4]中找到，其中首次考虑了连续时间模型，并使用偶然目标法建立了收费公路特性。他们的结果后来在[10]中使用了一个自治方程进行了扩展，该方程的函数π（x，t；t）满足粘度解的条件和参数。文献[5]中使用对偶方法研究了完全市场，文献[9]中研究了不完全市场情况。最近，[2]的作者建立了alog正态模型的收敛率，表明存在一个正常数c和一个函数D（x），因此，对于所有x>0，π*（x，t；t）-uσ1- γx≤ D（x）e-c（T-t） 。仔细看一下这些收费公路的结果，我们基本上是在一个单一的投资环境下工作的，[0，T]，这需要很长的时间。然而，作为一个结果，我们需要为这一长期的市场模式作出承诺，但如果需要时间一致性，这种选择以后就无法修改。此外，一个在初始时间预先提交一个未来很长时间的实用函数T。

我们还注意到，无论T有多大，最优投资问题的定义都不会超出这一点，因为效用函数仅针对T给出。在此，我们取一个n备选点vie w。我们没有致力于一个单一的长期目标[0，T]，而是始终为T定义一个投资问题∈[0，∞). 此外，我们不是在初始时间为远程地平线T选择效用UT，而是在该初始时间选择效用。我们还偏离了对数正态设置，使用了一般的伊藤扩散多证券不完全市场模型。我们通过所谓的远期投资绩效标准来衡量投资策略的绩效。该标准由Musiela和一位作者在[14]中提出，并在模型调整和模糊性、替代市场观点、滚动视野等条件下，提高了绩效衡量和风险管理的灵活性。我们回顾了它的定义，并参考了读者[16]、[17]，以了解对未来评估的概述。在此，我们重点研究了[18]中研究的时间单调向前性能标准，并在下一节中进行了简要回顾。它们通过减少时间来适应市场信息过程，U（x，t），（x，t）∈R+×[0，∞) , 式中，u（x，t）=u（x，At），其中u（x，t）是一个决定函数（见（14）），At=Rt |λs | ds，过程λt是风险的市场价格。请注意，U（x，t）是确定性投资者特定投入U（x，t）和随机市场特定投入的汇编。最优投资过程π*t结果是，对于t≥ 0，π*t=σ+tλtr（X*t、 At）带r（x，t）：=-ux（x，t）uxx（x，t），（3），其中σ+是波动率矩阵的伪逆，x*t、 t型≥ 0，该投资策略产生的最佳财富π*t（参见（12））。

函数（x，t）是（局部）风险容忍度，将是本文的主要研究对象。与经典情况相反，在这种情况下，终端基准预先指定为forT，然后为t构建解决方案∈ [0，T），在正向设置中，从n初始（而非终端）基准u（x）=u（x，0）开始，始终定义标准。与经典收费公路设置类似，我们因此有动机研究以下问题：如果初始条件u（x）是u（x）~γxγ，x大，（4）这是否意味着，对于每个x>0，r（x，t）x~1.- γ、 t大？经典设置和正向设置之间存在着根本的区别，因为其中一个设置不仅仅是另一个设置的时间反转变化。相反，经典问题是适定的，而正问题是逆问题。自然，用于经典收费公路结果的各种属性都失败了，最重要的是手头上缺乏各种PDE的比较原则（参见（14）和（22））。这两种设置之间最显著的区别是时间和空间限制的不同性质。事实上，在传统的收费公路结果[10]和[2]中，（2）c的时间限制与空间限制一致，即固定时间和财富水平x，limx↑∞π（x，t；t）x=极限↑∞π（x，t；t）x。然而，在正向设置中并非如此。实际上，函数（x，t）xd的时间和空间限制并不一致。

例如，在第2.1节中的动机示例中，这可以是s e en。因此，本文的目的是研究空间和时间极限Slimx↑∞r（x，t）x和极限↑∞r（x，t）x，（5）对于固定t>0，x>0，在初始基准u（x）的共相行为的适当条件下，对于大x。确定这些极限的关键作用是由潜在的正有限钻孔测量u起作用，u是构建正向性能过程的定义元素。事实上，在[18]中可以看出，上述函数u是与调和函数h:R×[0]唯一相关的（直到加性常数），∞) -→ R+，并且，后者具有积分变换的唯一特征，特别是ux（h（z，t），t）=- e-x+twith h（z，t）=Zbaezy-0的ytu（dy），（6）≤ 一≤ b≤ ∞.此通解的直接结果是，初始基准与此度量u直接相关，即（u′）(-1） 需要为整数形式（u′）(-1） （x）=Zbax-yu（dy）。因此，很自然地，收费公路假设中u（x）的渐近性质也与u的形式和性质直接相关。此外，这一指标也出现在风险承受能力函数的说明中。实际上，我们推断fr om（3）和（6），r（x，t）可以表示为r（x，t）=hxh类(-1） （x，t），t, （7） 带HX和h(-1） 取决于u。本文的主要结果是，如果该措施的支持是有限的，b<∞, 然后，空间极限与支架的右端点重合，而时间极限与左端极限重合，即limx↑∞r（x，t）x=b和极限↑∞r（x，t）x=a.（8）获得上述限值的第一步是了解初始（边缘）数据的渐近行为与测量支持的不确定性之间的关系。

我们研究了以下两种情况，这两种情况分别对应于空间和时间限制。我们首先证明了渐近假设（4），以边缘u′（x）表示~ xγ-1，（9）当且仅当度量支持的右端满足b=1-γ和u（{b}）=1。换言之，条件（9）意味着度量必须具有有限支持，其右边界等于1-γ，此外，此时的累积。反过来，为了使度量具有这些属性，必须满足条件（9）。然后，我们使用表示法（6）建立（8）中的第一个极限，方程（14）由u（x，t）满足，以及hand及其导数的各种凸性性质。我们强调，不能取消u（{b}）6=0的要求。事实上，我们在例6.2中显示，当度量值为Lebesgueone时，空间收费公路属性失败。对于第二种情况，我们将度量支持的完整性与（9）的放松版本联系起来。如果存在γ<1，γ6=0，那么对于所有γ′∈ （γ，1）和γ′＜γ，limx↑∞u′（x）xγ′-1=0和limx↑∞u′（x）xγ′\'-1=∞, （10） 那么度量支持的右基数必须满足b=1-γ、 反之亦然。这种规则变化假设弱于空间极限所需的（9），自然会产生较弱的结果。事实上，虽然支持必须是有限的，右边界等于1-γ、 它不需要在1时积累-γ。我们又在（8）中确定了第二个极限，这是对经典al收费公路结果的真实分析。由于问题的不适定性质，获得该极限比经典情况下更具挑战性。事实上，由于缺乏r（x，t）所满足的方程遍历版本的比较结果，因此[10]中使用的方法不适用。

[2]的方法也不适用，因为不适定热方程的解与其解的Feynman-Kac型随机表示之间缺乏联系。因此，我们可以直接使用函数r（x，t），从（7）和（6）中可以看出，函数r（x，t）=Zbayeyh(-1） （x，t）-ytu（dy），其中空间逆h(-1） 涉及。获得时间极限的关键步骤是显示极限↑∞h类(-1） （x，t）t=a，其中a是测量支撑的左端点。然后，使用隐式表示r（x，t）显示（8）中的时间收敛性和收敛速度- ax=Zba（y- a） etyh类(-1） （x，t）t-yu（dy）。除了一般的时空收敛结果外，我们还给出了两个具有代表性的例子。在第一种情况下，度量是Dirac函数的有限集，而在第二种情况下，度量是Lebesgue度量。我们计算了（8）的极限，并给出了风险容限函数的渐近展开式。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了市场模型、投资绩效标准和一个激励示例，表明时间和空间限制通常不一致。在第3节和第4节中，我们分别分析了相对风险容忍度的空间和时间渐近行为，而在第5节中，我们分析了相对审慎函数的渐近性质。在第6节中，我们介绍了两个具有代表性的示例，并在第7节中总结了未来的研究方向。2模型和投资绩效在市场环境中由1种无风险证券和k种风险证券组成。风险证券的价格随着其扩散过程而变化，即风险资产的价格随It=Sit而变化uitdt+σdj=1σjitdWjt,当Si>0时，对于i=1。。。，k

工艺Wt=Wt。。。，Wdt公司, t型≥ 0是标准布朗运动，定义在过滤概率空间上(Ohm, F、 P）。系数uItan和σit=σ1i。。。，σdit, i=1。。。，k、 t型≥ 0，为英尺-分别在R和Rd中调整流程和值。我们用σt表示挥发矩阵，即d×k随机矩阵σjit, 其ITH列r e表示ITH资产的波动率σIto。然后，我们也可以将上述方程写成DSIT=Situitdt+σit·dWt.r无息资产、储蓄账户、ha s价格过程B满足dBt=rtBtdt且B=1，且为非负Ft-调整利率过程rt。此外，我们用ut表示坐标为uItan的k维向量，用1 k-dim向量表示每个分量等于1。过程ut、σ和rt满足适当的可积性条件。我们假设tut-rt1∈林σTt, 林在哪里σTt表示由σTt列生成的线ar空间。因此，方程式σTtz=ut- rt1有一个解决方案，称为市场风险价格λt=σTt+（ut- rt1）。（11） 假设存在一个确定性常数c>0，因此|λt |≤ cand that limit公司↑∞Rt |λs | ds=∞.从t=0开始，初始捐赠x≥ 0，投资者在任何时间t>0投资于风险和无风险资产。给定数量的现值由过程π和πit表示，i=1。。。，k、 分别被视为自筹资金。然后，她的投资现值通过贴现财富过程Xπt=Pπit，t>0给出，该过程用（列）向量πt求解Xπt=σtπt·（λtdt+dWt）（12=πit；i=1。。。，k.

取满足非负性约束Xπt≥ 0，t>0。容许策略集由a给出=π：自融资，πt∈ Ft，EPZt |σsπs | ds<∞, Xπt≥ 0，t>0.可接受投资策略的绩效通过[1 4]中介绍的所谓的远期投资绩效标准进行评估（另见[15]、[16]和[17]）。接下来，我们将回顾他们的定义。我们引入域表示法D+=R+×[0，∞) D=R×[0，∞) .定义1如果适用于（x，t），则Ft适应过程U（x，t）是一种前瞻性投资绩效∈ D、 i）映射x→ U（x，t）严格递增且严格凹；ii）对于每个π∈ A、 EP（U（Xπt，t））+<∞, 对于s≥ t、 U（Xπt，t）≥ EP（U（Xπs，s）| Ft），iii）存在sπ*∈ A对于s≥ t、 U型Xπ*t、 t型= EP公司U（Xπ*s、 s）英尺.在此，我们重点研究了一类时间单调的前向性能过程。为了方便读者，我们重写了导言中陈述的一些结果。文献[18]对时间单调正向过程进行了广泛的研究，其中u（x，t）=u（x，At），（13），其中u:D+→ R+严格增加，严格集中在x上，满足UT=uxuxx。（14） 市场输入流程和Mt、t≥ 0，定义为asMt=Ztλs·dw，在=Zt |λs | ds=hMit时。（15） 最优投资组合过程π*由π给出*t=σ+tλtr（X*t、 At），其中（局部）风险容限函数r（x，t）：D+→ R+定义为R（x，t）：=-ux（x，t）uxx（x，t）。（16） 在绩效标准、最优政策及其财富的构建中起着核心作用，发挥着协调作用→ R+，通过转换Ux（h（z，t），t）=e定义-z+t.（17）它解出了（14）和（17）的不适定热方程HT+hzz=0。（18） 此外，它是正的，并且在z上严格增加。