信用风险中发电机的稳健一致估计

允许参数qabis的估计方差，然后是-H（·）-1，其中VQ（i，1）=a，VQ（i，2）=b。根据标准统计数据，qabis qab±1.96pV ar（qab）的正常95%置信区间。3竞争对手算法3.1确定性算法对角线调整（DA）讨论的第一种方法是对角线调整，请参见[IRW01]。给定TPM，P，直接计算矩阵对数。然而，由于可嵌入性问题，对数可能不是有效的生成器。为了解决这个问题，建议设置i 6=j，qDAij=（（log（P））ij，if（log（P））ij≥ 0，0，否则。并相应地调整（重新平衡）对角线元素，qDAii=Pj6=i-qijfor i公司∈ {1，···，h}。因此，强制相应的矩阵QDAto满足生成器的属性。加权调整（WA）【IRW01】中也建议进行加权调整。它遵循对角线调整，除了一个在整行上重新平衡。再次计算TPM的对数以找到q，然后计算I=| qii |+Xj6=imax（qij，0），Bi=Xj6=imax(-qij，0）。与加权调整相对应的分录定义为qW Aij=如果i 6=j且qij<0，则为0，qij- Bi | qij |/Giotherwise如果Gi>0，qijotherwise如果Gi=0。发电机的准优化（QOG）不幸的是，上述两种方法在任何意义上都不是最优的。[KS01]中建议的QOG（发电机准优化）方法依赖于优化，因此是对角和加权调整方法的改进。QOG involve解决了最小化问题Minq∈QkQ- log（P）k，其中Q是稳定生成矩阵的空间，| |·| |是欧氏形式。此外，[KS01]还提供了一种有效的算法来获得Q.3.2统计算法：马尔可夫链蒙特卡罗一种可以采用的替代统计算法是MCMC（马尔可夫链蒙特卡罗）。

为了读者的方便，我们在附录B中包含了MCMC的摘要。应该注意的是，这里介绍的所有MCMC算法都使用了所谓的辅助变量技术，通过引入完全观察到的马尔可夫链，X作为随机变量。此外，Q的先验是Γ（α，1/β）（形状和尺度），这与CTMC的可能性是共轭的。3.2.1吉布斯抽样-Bladt&Sorensen 2005为模拟马尔可夫过程，X，【BS05】建议采用拒绝抽样方法。如【BS05】所述，在考虑低概率事件时，这种抽样方法会遇到困难，因为拒绝率很高（例如，高评级债券违约）。MCMC算法总结如下[Ina06]，1。使用先验分布（Γ（αij，1/βi））构造初始生成器Q。2、对于某些特定的运行次数（1）从Y处模拟每次观测的X，根据Q的规律。（2）从X处计算感兴趣的K和S的数量。（3）通过从Γ（Kij（t）+αij，1/（Si（t）+βi）中抽取样本构建新的Q。（4） 保存此Q并在下次模拟中使用。3、从Qs列表中，减少一些比例（老化），然后取剩余部分的平均值。这种方法的问题是α和β的选择以及在我们知道样本已经收敛（老化）之前所需的运行次数。这两项对于从MCMC获得准确答案都至关重要，尽管[BS05]建议将αij和βito取为1，但他们观察到，当真实条目很小时，MCMCoverestimating条目会出现在生成器中。此外，这里要求我们通过推断公司转型间接使用TPM。也就是说，我们在每个评级中考虑McCompanies，并将i转换为j的公司数量定义为M×Pij，这当然不需要是整数，但我们始终可以将条目标准化。

我们不能像在EM算法中那样直接使用TPM的原因是，MCMC对之前的值变得非常敏感。在这里，MCMC的老化对我们来说并不重要，因为在对算法进行分析时，这一点会变得很明显。3.2.2重要性抽样-Bladt&Sorensen 2009【BS09】通过运行与之前相同的算法，并结合基于Metropolis-Hastings算法（本质上是单组件Metropolis-Hastings算法）的重要性抽样方案，解决了【BS05】中的一些问题。建议的分布是一个马尔可夫链，其生成器由“中性矩阵”Q给出*, 其形式如下，Q*=Wh类- Ih公司- 你好,其中1hand ih分别是1和单位矩阵的h×h矩阵，W是一个缩放因子集，以匹配真实生成器矩阵Q中的强度。[BS09]注意，如果已知Q中的条目为零，则Q中的相应元素*还应设置为零，并相应修改对角线。因此，在Q下，生成的马尔可夫链很少产生的转换将更频繁地发生*. 因此，我们解决了（至少部分）MCMC面临的一个问题。链X的重要抽样权重为，w（X）=L（Q；X）L（Q*; 十） ，其中L是CTMC可能性。对于前辈，[BS09]不建议对其早期工作进行任何重大改进。作者使用了α=1和β=5，他们声称这两个参数比[BS05]中的建议给出了更好的结果。然而，当处理Q中接近于零的条目时，它仍然会带来一个问题。

这个问题源于这样一个事实，即对于某些转换，已知的信息很少（很少观察到），因此这些条目的输出主要基于我们之前的信念。3.2.3 MCMC模式算法【Ina06】提出了一种替代算法，用于计算模式而非平均值，以替代【BS05】中提出的原始MCMC算法。作者声称，这给出了非常准确的结果，并且优于其他算法。提出的理由是，由于伽马分布“歪斜”，标准MCMC在小概率情况下高估，因此模式是更好的估计。[Ina06]通过对估计值进行核平滑来近似{q（k）ij}模式（在进行对数变换以确保所有结果均为正之后）。备注3.1（其他基于MCMC的估计器）。可以使用许多扩展和不同的MCMC方法来解决此问题（例如，先验作为超参数或顺序蒙特卡罗技术）。在这里，我们考虑一些不太复杂的MCMC算法，这些算法已经为比较研究奠定了基调。4算法基准由于银行投资的多样性，无法通过一次测试来评估算法的性能。考虑到这一点，我们考虑对不同的投资组合和矩阵进行大量测试。计算是在配备四个Intel Xeon E5-2680处理器的Dell PowerEdge R430上进行的。在我们工作的回顾过程中，我们发现[Pfe17]对上一节中介绍的一些算法进行了R实现。【Pfe17】的性能测试只是我们接下来介绍的测试的一个子集，并独立确认（如果有重叠）我们的发现，特别是MCMC算法与EM的时间安排。

我们的算法版本将出现在上述R包中（见备注1.2）。我们的第一个观察结果是，过渡矩阵可能会因金融环境的不同而发生很大变化（参见[CHL04]和[Can04]）。因此，我们考虑两种不同的发电机矩阵，它们可以被视为发电机财务压力和发电机财务平静。为了使这些矩阵“合理”，我们从使用大量数据构建的[CHL04]中给出的生成器开始（另请参见[Ina06]），并考虑一个具有较高转换率和较低转换率的生成器。通过考虑多个生成器，可以对各种算法的性能进行更详细的评估，而不是进行其他比较审查，如[Ina06]。我们考虑的发电机如表4.1和表4.2所示。

我们观察到，表4.1比表4.2有更多的非零条目和更大的条目。AAA AA A BBB BB B C DAAA-0.146371 0.085881 0.04549 0.015 0 0 0 0AA 0.018506-0.166337 0.114831 0.033 0 0 0 0 0 0 0A 0.0276 0.047012-0.198043 0.09043 0.023001 0.01 0 BBB 0.011469 0.010734 0.088133-0.243046 0.077569 0.044407 0.010734 0 BB 0 0 0.019159 0.184699-0.323077 0.106166 0.013053 0B 0 0 0 0.012280 0.034822 0.093489-0.296265 0.134273 0.022401C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.140209-0.600939 0.440730D 0 0 00 0表4.1：真实不稳定发电机AA AA A BBB BB B C DAAA-0.061371 0.055881 0.005490 0 0 0 0 0 0AA 0.013506-0.096337 0.074831 0.008 0 0 0 0 0A 0.037012-0.097442 0.06043 0 0 0BBB 0 0.000734 0.058133-0.120843 0.057569 0.004407 0 0BB 0 0 0 0 0.009159 0.104699-0.190024 0.076166 0 0 0 0 0 0.024822 0.083489-0.174985 0.064273 0.002401C 0 0 0 0.080209-0.300939 0.220730D 0 0 0 0 0 0 0 0 0表4.2：真正稳定的生成器在分析中，我们参考了第3节中介绍的多个MCMC算法，我们以以下方式标记这些算法：MCMC BS05是第3.2.1节中的[BS05]算法；MCMC BS09是第3.2.2节的[BS09]算法；MCMC模式是第3.2.3.4.1节样本量推断中的[Ina06]算法。我们考虑的第一个测试是对[Ina06]中测试的扩展，其中作者考虑了一个真实的底层生成器，并通过使用它来模拟胎压监测系统来屏蔽它，我们将其视为观测值，然后将算法应用于每个观测值。这里的关键点是，[Ina06]每个评级只模拟100家公司，因此输出的TPM是不可嵌入的（对于AccessibleJump有0个条目）。这是一个非常有用的测试，因为它提供了一种公平和直观的方法来评估每个算法的性能，然而，[Ina06]只考虑一个真正的生成器和一个级别的信息，即每个评级100家公司。

除了这两个不同的生成器之外，我们还考虑了每个评级的一系列公司，以确定其对每个算法收敛的影响。此外，[Ina06]使用了七年的数据，虽然可能可以访问几年的TPM数据，但我们不太可能从同一个生成器进行七年的转换。因此，我们考虑四年，这与发电机的时间均匀性估计值更为一致（见[CHL04]）。我们对发电机的估算如下。1、每个评级取一系列债务人，[100、200、300、500、750、1000]和10个

这可以更好地描述平均性能。算法确定性EM MCMCTime（秒）<1~ 10~ 10至~ 10表4.3：执行各种算法所需的时间顺序。请注意，MCMC还取决于信息水平，即每个评级中的债务人。我们还注意到，BS 09算法比其他MCMC算法更快，但在每个评级有1000个债务人的情况下，仍然需要10秒。4.1.1欧几里德标准的收敛性本分析的目标是，随着我们关于真实生成器的“信息”增加，考虑每个算法的经验改进率。对于每个债务人类别，我们计算估计值与真实值之间的距离（通过欧几里德范数测量）的自然分配。结果如图4.1和4.2所示。注：x轴为对数刻度。我们观察到这两个图之间的相似性，最明显的是在低信息的情况下，所有算法都有非常相似的收敛结果，然而，每等级义务102103欧氏范数距离对数-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1不稳定发电机的算法收敛性M DA WA QOG MCMC Mode MCMC BS05 MCMC BS09图4.1：显示每种算法的误差对数，作为每等级义务的函数。每个等级的义务人102103欧几里德范数中的距离对数-4-3.5-3-2.5-2-1.5稳定生成器的算法收敛性m DA WA QOG MCMC Mode MCMC BS05 MCMC BS09图4.2：显示每个算法的误差对数作为每个等级义务人的函数。随着信息量的增加，改进方面有很大的变化，MCMC BS09算法的改进不如其他算法。

缺失点源于算法未能通过接受时间。由于蒙特卡罗模拟，MCMC算法的误差可能会增加，因此与这里测试的已经最昂贵的算法相比，MCMC算法需要更大的计算开销。对于[BS09]算法，中性矩阵近似可能会产生较差的混合，从而产生额外的误差。4.1.2违约概率误差尽管总体误差很重要，但并未提供小概率范围的详细信息。这在银行业极为重要，因为对违约概率的估计至关重要。使用与前面相同的估计生成器，我们计算相应的一年TPM，也就是说，我们计算每个种子的exp{Qestimate}（使用MATLAB中的expm函数），然后取平均值。将平均TPM违约概率与真实概率进行比较。

为了保持比较中的数字有意义，我们绘制了相对误差的日志，其中我们定义了相对误差=| PDestimate- PDtrue | PDtrue。其结果如图4.3和4.4所示。根据等级102103log相对错误的债务人012345AAEDAWAQOGMCMC模式MCMC BS05MCMC BS09根据等级102103log相对错误的债务人101234A根据等级102103log相对错误的债务人-2-101234不稳定生成器的相对默认错误根据等级102103log相对错误的债务人-4-3-2-1012BB图4.3：显示每个算法的相对默认错误日志作为函数债务人评级。根据等级102103相对错误日志-4-3-2-1012BBEMDAWAQOGMCM模式MCMC BS05MCMC BS09根据等级102103相对错误日志-8-6-4-20B不稳定发电机的相对默认错误根据等级102103相对错误日志-8-6-4-20CCC图4.4：显示每个算法的相对默认错误日志，作为债务人等级的函数。与总体误差不同，误差估计中的波动性（违约概率）似乎要大得多。此外，投资级评级的误差似乎没有总体下降趋势。一个可能的原因是，即使有1000家公司，仍然没有/很少有投资级违约。在所有算法中，MCMC BS09的性能最差。虽然EM算法一直是误差最小的算法之一，但它显然是investmentgrades中最好的算法。我们只展示了不稳定发电机的结果，稳定发电机的结果是相似的。4.2与时间相关的违约概率文献中尚未解决的一个关键问题是，在几种算法中，违约概率是如何随时间变化的。