信用风险中发电机的稳健一致估计

注意这一点V*ij是保持时间S的拉普拉斯-斯蒂尔杰斯变换和跳跃K的概率母函数，初始和最终状态X（0）=i，X（t）=j。用V表示*（c，Z；t）元素V的h×h矩阵*ij（c，Z；t）。这允许我们在[BMNS02]中给出主要定理（类似版本）。定理2.3。对于t≥ 0，矩阵V*（c，Z；t）由，V给出*（c，Z；t）=exp{[QoZ- （c） ]t}，其中o是矩阵的Schur（Hadamard）积，Q是CTMC的生成矩阵，两个h×h矩阵A和B的Shur积是元素AijBij的h×h矩阵。（c） 是对角线矩阵，对于i=1，…，条目位于位置ii处，h、 （2.3）中的期望项的封闭式表达式源自[VL78]中的结果（也在[HJ11]中绘制）。提案2.4。设ei为长度h的列向量，其在条目i处为1，在其他地方为零，进一步定义2h×2h矩阵C（αβ）γ和C（α）φas，C（αβ）γ=Q Qαβeαe |β0 Q和C（α）φ=Q eαe |α0 Qα、 β∈ {1，···，h}。（2.5）考虑我们在n个时间点0观察到的CTMC X≤ t<t<···<t并用y表示时间ts时马尔可夫链的状态，即ys：=X（ts）。然后，观测的预期跳跃和保持时间为，EQ[Kij（t）| y]=n-1Xs=1exp{C（ij）γ（ts+1- ts）}ys，h+ys+1（exp{Q（ts+1- ts）}）ys，ys+1，等式[Si（t）| y]=n-1Xs=1exp{C（i）φ（ts+1- ts）}ys，h+ys+1（exp{Q（ts+1- ts）}）ys，ys+1。证据观察V*在（2.4）中，满足了定理2.3中的微分方程（见[BS05]）。由于可以使用[VL78]中的方法求解方程，因此省略了证明。因此，我们得到了（2.3）中出现的两个关键量的闭式表达式。这种方法不同于[BS05]，在BS05中，他们描述了求解微分方程的数值格式，即龙格-库塔（Runge-Kutta）和均匀化。

这些技术可以在这个级别上产生很好的结果，但当涉及到错误估计时，我们的闭式表达式将带来好处。这产生了我们想要的关系，然而，在我们的示例中，我们有一个观察到的TPM（或TPM序列），P，在相等的观察窗口的情况下，t在区间[0，t]（尽管概括起来很重要）中，期望可以表示为，EQ[Kij（t）| P]=NXu=1hXs=1hXr=1Pusr（t）exp{C（ij）γt}s、 h+r（exp{Qt}）s，r，EQ[Si（T）| P]=NXu=1hXs=1hXr=1Pusr（T）exp{C（i）φt}s、 h+r（exp{Qt}）s，r，（2.6），其中N=T/T（观察次数），Pu是第u次观察的TPM。备注2.5（可还原情况）。以前，我们只观察到跃迁，因此它们发生的概率必须非零。这里我们可以在整个范围内求s和r的和，因为Psr（t）是可能跃迁的指示器，也就是说，如果Psr（t）=0，我们将s，r分量设置为0。很明显，ifPsr（t）>0，但（exp{Qt}）sr=0，Q是错误的。在这个问题的情况下，EM算法的似然收敛[BS05]证明了似然函数收敛于一个小警告，以保持参数空间紧凑。即，它们使用以下约束参数空间Q, 可通过设置Q来实现= {Q∈ Q | det[经验（Q）]≥ } （Qi是定义2.1中的参数空间）对于某些 > [BS05]中的定理4指出，该算法将收敛到似然的一个平稳点，或到达它们所导出的参数空间的边界。这是一种解决问题的粗略方法，当det[exp（Q）]=. 另一种方法是使用【MK07，第214页】中讨论的惩罚可能性。参数收敛准则上述收敛足以得出似然收敛的结论。

然而，它不足以收敛参数，因为不能说明迭代序列q（k）收敛（kQ（k+1）- Q（k）k→ 0作为k→ ∞). 从理论角度来看，这可能不像似然收敛本身那么重要，但对于应用程序来说，这是至关重要的。例如，如果参数不收敛，即使在非常严格的收敛条件下，从相同数据中获得的不同金融代理人的风险费用也可能会有很大的差异。在提供融合之前，我们需要两点。备注2.6。考虑到（2.6），我们假设对于任何s 6=r，所有u的Pusr（t）=0，我们取起点q（0）sr：=（q（0））sr=0。正如[BS05]中所讨论的，任何设置为零的点在所有迭代中都将保持为零。注意，我们并没有改变这个问题，因为这些项在theEM算法下会收敛到零。假设2.7（要素约束）。与[BS05]类似，我们将使用手动空间约束来获得收敛。取1> > 0，因此 i 6=j，qij<1/. 此外，我们假设邻接混合，即∈ {2，…，h- 1} ，qi，i±1> 和q1,2>.我们将满足此条件的生成矩阵空间表示为∧.上述假设确保了三对角带中的非零条目，也确保了可以采用的单位数 我们想多小就多小。在与信用评级相关的TPM的情况下，这种消费通常是令人满意的，因为一个通常具有对角占优矩阵，并且公司可以通过一个来升级或降级，因此Pui，i±1通常是非零的。

对角线优势足以识别发电机，因此条目不会爆炸，我们将在第2.2节讨论识别通知。证明参数收敛比可能性更具挑战性，然而，[Wu83]提供了发生这种情况的充分条件，即kQ（k+1）的充分条件- Q（k）k→ 0as k→ ∞ 存在强迫函数σ，使得R（Q（k+1））；Q（k））- R（Q（k）；Q（k））≥ σ（| | Q（k+1）- Q（k）| |）。强迫函数的一个例子是σ（t）=λt，其中λ>0。我们需要以下预期值的界限来显示收敛性。引理2.8。设N和Pube如（2.6）所定义，并假设i 6=j存在u∈ {1，…，N}使得Puij>0（我们在观察窗口u中观察到从i到j的移动）。然后我们得到了一个力函数，它被定义为任何函数σ：[0，∞) → [0，∞) 对于[0]中定义的任何序列tkde，∞),利姆→∞σ（tk）=0表示limk→∞tk=0。预期跳跃次数的以下界限：Puijqijh公司≤ 等式[Kij（T）| P]≤ hNht公司 最小值hthexp{-th公司/} , exp{ht/}. （2.7）此外，假设存在u∈ {1，…，N}使得Puii>0，我们得到预期保持时间的以下界，等式[Si（T）| P]≥ Puiit经验-ht公司. （2.8）为了保持文本的流动性，我们立即陈述了我们的主要收敛结果，并将引理的顶部推迟到附录A.1。定理2.9。在假设2.7下，则存在λ>0，使得对于所有EM迭代k∈ N、 RQ（k+1）；Q（k）- RQ（k）；Q（k）≥ λkQ（k+1）- Q（k）k，其中| |·| |是欧几里德范数。证据写出我们得到的R项的差值，hXi=1Xj6=ihEQ（k）[Kij（t）| P]对数（q（k+1）ij）- 日志（q（k）ij）- 等式（k）[Si（T）| P]q（k+1）ij- q（k）iji、 由于欧几里德范数平方和函数R的形式，足以显示所有i 6=j的内在质量。

也就是说，证明λ>0的存在是足够的，这样，等式（k）[Kij（T）| P]对数（q（k+1）ij）- 日志（q（k）ij）- 等式（k）[Si（T）| P]q（k+1）ij- q（k）ij≥ λq（k+1）ij- q（k）ij, （2.9）对于所有i 6=j。我们首先处理对数项。众所周知，我们可以表示任何C∞-函数使用泰勒展开到有限个项，并带有一些误差（余数）项。此外，误差项具有已知的形式，因此，使用精确的二阶泰勒展开，存在aZ∈ [最小值（q（k）ij，q（k+1）ij），最大值（q（k）ij，q（k+1）ij）]，这样，log（q（k+1）ij）- 日志（q（k）ij）=-1q（k+1）ij（q（k）ij- q（k+1）ij）+2Z（q（k）ij- q（k+1）ij），其中我们围绕q（k+1）ij展开了q（k）ij。将（2.3）代入（2.9）的LHS，条件简化为，等式（k）[Kij（T）| P]2Z（q（k）ij- q（k+1）ij）≥ λ（q（k+1）ij- q（k）ij）。为了显示这个界限，我们需要得到Z上的句柄。很明显，在操作之间有两个选项，q（k）ij>q（k+1）ij或q（k）ij≤ q（k+1）ij。在后一种情况下，我们得到EQ（k）[Kij（T）| P]2Z（q（k）ij- q（k+1）ij）≥等式（k）[Si（T）| P]2EQ（k）[Kij（T）| P]（q（k）ij- q（k+1）ij）。由于我们可以按元素绑定Q（k），使用引理2.8和假设2.7，我们可以通过常数（取决于). 因此，我们可以选择一个与k无关的λ，以满足条件。第二种情况q（k）ij>q（k+1）ij，遵循类似的论点。同样，我们可以将Z设置为两个值中的较大值，因此我们得到以下不等式，EQ（k）[Kij（T）| P]2Z（q（k）ij- q（k+1）ij）≥等式（k）[Kij（T）| P]q（k）ij（q（k）ij- q（k+1）ij）。使用引理2.8，我们可以将这个不等式简化为，EQ（k）[Kij（T）| P]2Z（q（k）ij- q（k+1）ij）≥普伊2hq（k）ij（q（k）ij- q（k+1）ij）。由于Puij>0，并且我们可以从上面绑定每个QIj，因此我们再次选择与k无关的λ。EM算法的起始值要讨论的最终点是选择初始矩阵Q。

从计算的角度来看，从一个好的地方开始是有用的。在这里，我们根据QOG算法（如第3.1节所述）的推广选择Q，该算法允许复杂输入。对于每个条目qij，我们将输入定义为qij→ 签名Re（qij）×|qij |，其中| qij |是qijand Re（qij）的大小，是qij的真实分量。对于新定义的Q，我们采用QOG算法。我们将不在最后一行中的任何零条目视为一个小数字（10-除非观测到零跃迁。这定义了我们对Q的初始选择。我们将EM算法步骤定义为，1。取初始强度矩阵Q和正值.2、当不满足收敛标准且Q的所有条目都在边界内时（1）E步骤：计算公式[Kij（T）| P]和公式[Si（T）| P]。（2） M步：为所有i 6=j设置qij=EQ[Kij（T）| P]/EQ[Si（T）| P]，并适当设置qii。（3） 设置Q=Q（其中Qis是qs的矩阵）并返回到E-step。3、结束while并返回Q。这导致了以下EM收敛定理。定理2.10（EM收敛）。假设我们的初始点在参数空间∧中:是真实的生成器，满足假设2.7。然后，点序列{Q（k）}k与∧中的一个点相交这也是一个平稳的似然点，或者条目进入边界（爆破或非吸收行中的一些三对角元素归零）。定理2.10的证明直接来自于[BS05]中的定理4和我们的定理2.9。备注2.11（可能性的唯一最大化）。

人们可能会问的一个自然问题是，这种更强的收敛形式是否意味着收敛到全球最大值？在这种情况下，最大可能性的存在性和唯一性问题是一个历史悠久的极具挑战性的问题。[BS05]对这一主题进行了精彩的概述，[BS05]中的定理1还提供了关于最大值的存在性和唯一性的结果。不幸的是，如果可以得出存在唯一最大值的条件（对于不可嵌入胎压监测系统），那么上述收敛结果足以得出EM将收敛到最大似然估计的结论。在本手稿的最终修订期间，我们注意到了[PMF17]。在这里，作者提出了两种算法来缓解EM可能收敛到局部但不一定是全局最大似然函数的影响（没有给出证明）。我们的定理2.9是在这种情况下产生的，因为它表明，一旦EM“接近”全局最大值，迭代将收敛到它。2.2方差估计在本节中，我们推导出了似然的Hessian表达式。我们在[Oak99]中使用一个结果并遵循[BS09]，然而，与[BS09]不同的是，我们为Hessian提供了一个封闭形式的表达式。这一结果消除了在数值模拟情况下观察到的当Q中的入口很小时的稳定性问题。Hessian提供了一种估计最大似然估计的标准误差的方法，并进一步允许我们评估收敛平稳点的性质（这将在第4.4节中进一步讨论）。我们将读者引向[BS05，定理1]，了解关于这个问题的最大似然估计的存在性和唯一性的结果。此外，关于与该问题相关的一致性和共正态性的讨论，应参考[KW13]、[KW14]。

【KW13】，为一致性提供了充分的条件，关键假设依赖于所谓的模型识别。【KW13】证明在对我们的目的过于严格的条件下的可识别性；[BS05，DY07]详细讨论了可识别性问题。根据[Cut73]，[BS05]，为了使模型能够识别，mini（exp{Qt}）ii>1/2是足够的（尽管非常粗糙），[Cul66]给出了基于特征值的一般矩阵的要求，在得出Q后，人们总是可以对其进行后验验证。【KW14】中获得渐近正态性的关键假设是，Hessian函数在真值处必须是可逆的，我们当然可以事后验证可逆性。我们回忆起[Oak99]中的一个结果，用于计算可能性的Hessian。引理2.12。带有参数ψ和观测信息y的似然二阶导数与EM函数R相关L（ψ；y）ψ=R（ψ；ψ）ψ+R（ψ；ψ）ψψψ=ψ。将（2.2）注入上述我们获得的，R（Q；Q）qαβquν=-1quνEQ[Kuν（t）| y]ΔαuΔβν，（2.10）R（Q；Q）qαβquν=quνqαβEQ[Kuν（t）| y]-qαβEQ[Su（t）| y]，（2.11），其中δAbi是克罗内克三角洲。从我们之前的工作中，（2.10）很容易获得，然而，（2.11）涉及预期跳跃和保持时间的导数，因此具有挑战性。[BS09]选择一个简单的数值格式来计算这些导数，并发现结果不稳定，尽管作者确实指出，更复杂的数值格式可以以更大的计算费用产生更好的结果。在我们的设置中，如果没有两个exp{Qt}=exp{Qt}的生成器Q 6=Qsuch，则模型是可识别的。值得注意的是，除了明确限制α、β、u和ν属于{1，…，h}之外，我们没有对它们的允许值作出评论。现在让我们陈述以下定义。定义2.13（允许成对）。

我们说，如果在EM算法下α6=β（不在对角线上），且qαβ不收敛到零，则允许对α，β。对于实际应用，可以将允许值的集合想象为α、β的集合，例如qαβ>, 哪里 是某个分界点（10-8，比如说）。我们必须排除小参数的原因是，这种分析只适用于大数据限制，因为我们没有有限的数据量，我们无法排除某些跳跃，但是，如果qαβ收敛到零，这意味着该参数要么为零，要么极为接近零，因此我们可以在上面用一个较小的数字将其绑定。此外，从数学角度来看，一个趋向于零（甚至变为零）的参数位于边界上，这里的可微性概念并不明确。因此，在受限参数空间中解决问题时，我们可以将“允许对”视为变量。我们现在给出以下定理。定理2.14。Letu，ν，α，β∈ {1，…，h}，和Q，Qbe两个生成矩阵(∈ ∧对一些人来说 > 0）。对于任意两个允许的对α、β和u、ν，（2.11）中的导数为，R（Q；Q）qαβquν=n-1Xs=1quν-（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1eC（αβ）η（ts+1-ts）ys，h+ys+1（eC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1eC（αβ，uν）ψ（ts+1-ts）ys，3h+ys+1--（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1eC（αβ）η（ts+1-ts）ys，h+ys+1（eC（u）φ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1eC（αβ，u）ω（ts+1-ts）ys，3h+ys+1,式中，2h×2h矩阵C（αβ）γ、C（α）φ、C（αβ）η定义为C（αβ）γ=Q Qαβeαe |β0 Q, C（α）φ=Q eαe |α0 Q, C（αβ）η=Q eαe |β- eαe |α0 Q,4h×4h矩阵C（αβ，uν）ψ，C（αβ，u）ω定义为C（αβ，uν）ψ=C（uν）γC（uν）γqαβ0 C（uν）γ, C（αβ，u）ω=C（u）φC（u）φqαβ0 C（u）φ.这一证明使用了与命题2.4类似的技术以及矩阵指数的微分性质，并推迟到附录A.2。备注2.15。

在R导数的上述表示中，我们使用了形式为h+ys+1和3h+ys+1的下标，这只是[VL78]中结果的结果。也就是说，我们对矩阵的所有条目都不感兴趣，只对一个h×h段感兴趣。因此，我们需要调整索引，使其仅包含该特定细分市场的元素。利用定理2.14和引理2.12，我们可以将与qαβquν导数相对应的Hessian元素写成，L（Q；y）qαβquν=n-1Xs=1-1quν（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1（eC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1ΔαuΔβν+quν-（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1eC（αβ）η（ts+1-ts）ys，h+ys+1（eC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1eC（αβ，uν）ψ（ts+1-ts）ys，3h+ys+1--（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1eC（αβ）η（ts+1-ts）ys，h+ys+1（eC（u）φ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1eC（αβ，u）ω（ts+1-ts）ys，3h+ys+1.此处可以应用与（2.6）类似的转换，以从TPMs中获取Hessian。使用结果估计误差时，需要了解每个评级的公司数量。2.2.1误差计算由于Hessian仅针对参数qαβ>0定义，一些参数不包括在Hessian中，因此矩阵小于（h- 1） -通过-（h）- 1） 。我们计算Hessian如下所示：o让Nabe计算EM算法返回的估计Q中允许的点数。o将Na-B2矩阵VQA定义为记录Q的允许（定义2.13）成分的矩阵。然后，Hessian的ijthcomponent是微分，qVQ（i，1）VQ（i，2）qVQ（j，1）VQ（j，2）。o如果我们用Namatrix H（·）用Na表示Hessian，那么信息矩阵如下所示：-H（·）。