信用风险中发电机的稳健一致估计

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英文标题：
《Robust and Consistent Estimation of Generators in Credit Risk》
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作者：
Greig Smith and Goncalo dos Reis
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Bond rating Transition Probability Matrices (TPMs) are built over a one-year time-frame and for many practical purposes, like the assessment of risk in portfolios or the computation of banking Capital Requirements (e.g. the new IFRS 9 regulation), one needs to compute the TPM and probabilities of default over a smaller time interval. In the context of continuous time Markov chains (CTMC) several deterministic and statistical algorithms have been proposed to estimate the generator matrix. We focus on the Expectation-Maximization (EM) algorithm by Bladt and Sorensen (2005) for a CTMC with an absorbing state for such estimation.   This work\'s contribution is threefold. Firstly, we provide directly computable closed-form expressions for quantities appearing in the EM algorithm and associated information matrix, allowing to easily approximate confidence intervals. Previously, these quantities had to be estimated numerically and considerable computational speedups have been gained. Secondly, we prove convergence to a single set of parameters under very weak conditions (for the TPM problem). Finally, we provide a numerical benchmark of our results against other known algorithms, in particular, on several problems related to credit risk. The EM algorithm we propose, padded with the new formulas (and error criteria), outperforms other known algorithms in several metrics, in particular, with much less overestimation of probabilities of default in higher ratings than other statistical algorithms.
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中文摘要：
债券评级转移概率矩阵（TPM）是在一年的时间框架内建立的，出于许多实际目的，如评估投资组合中的风险或计算银行资本要求（如新的IFRS 9法规），需要在较小的时间间隔内计算TPM和违约概率。在连续时间马尔可夫链（CTMC）的背景下，提出了几种确定性和统计算法来估计生成器矩阵。我们关注Bladt和Sorensen（2005）针对具有吸收状态的CTMC的期望最大化（EM）算法。这项工作的贡献是三倍的。首先，我们为EM算法和相关信息矩阵中出现的数量提供了可直接计算的闭式表达式，从而可以方便地近似置信区间。以前，这些量必须用数字进行估计，并获得了相当大的计算速度。其次，我们证明了在非常弱的条件下（对于TPM问题）收敛到单个参数集。最后，我们提供了一个与其他已知算法相比的结果的数值基准，特别是在与信用风险相关的几个问题上。我们提出的EM算法，加上新的公式（和错误标准），在几个指标上优于其他已知算法，特别是在更高评级下，比其他统计算法高估的违约概率要少得多。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Robust_and_Consistent_Estimation_of_Generators_in_Credit_Risk.pdf (671.66 KB)

2022-5-31 05:06:12 上传

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关键词：一致估计 信用风险 发电机 Applications Quantitative

信用风险中生成元的鲁棒一致估计Greig-Smith*英国爱丁堡大学麦克斯韦数学科学研究所（University of EdinburghMaxwell Institute for Mathematics Sciences School of MathematicsEdinburgh，EH9 3FD）。史密斯-13@sms.ed.ac.ukGoncalo dos Reis+爱丁堡大学数学学院，EH9 3FD，UKandCentro de Matemática e Aplicacoes（CMA），FCT，UNL，葡萄牙。dosReis@ed.ac.uk01h18，2017年10月17日AbstractBond rating Transition Probability Matrix（TPM）是在一年的时间框架内构建的，出于许多实际目的，如评估投资组合中的风险或计算银行资本要求（如新的IFRS 9法规），需要在较小的时间间隔内计算TPM和违约概率。在连续时间马尔可夫链（CTMC）的背景下，提出了几种确定性和统计算法来估计生成矩阵。我们重点研究了[BS05]提出的具有吸收状态的aCTMC的期望最大化（EM）算法。这项工作的贡献是三倍的。首先，我们为EM算法和相关信息矩阵中出现的数量提供了可直接计算的闭式表达式，允许轻松地近似置信区间。以前，必须对这些量进行数值估算，并获得了相当大的计算速度。其次，我们证明了在非常弱的条件下（对于TPM问题）收敛到单个参数集。最后，我们提供了一个与其他已知算法相比的结果的数值基准，特别是在与信用风险相关的几个问题上。

我们提出的EM算法，加上新公式（和错误标准），在几个指标上优于其他已知算法，尤其是在更高评级下，对违约概率的高估远低于其他统计算法。关键词：似然推理、信用风险、转移概率矩阵、EM算法、MarkovChain Monte Carlo2010 AMS主题分类：主要：62M05；次要：60J22、91G40JEL主题分类：C13、C63和G32最终作者版本。《定量金融》（2016年12月13日提交；2017年9月15日接受）中的文章，doi:10.1080/14697688.2017.1383627CRAN R-package ctmcd：从离散时间数据估计连续时间马尔可夫链的参数-(https://CRAN.R-project.org/package=ctmcd*G、 史密斯获得了麦克斯韦研究所分析及其应用研究生院、英国工程和物理科学研究委员会资助的博士培训中心（grant[EP/L016508/01]）、苏格兰资助委员会、赫里奥瓦特大学和爱丁堡大学的支持。+G、 dos Reis感谢葡萄牙科学技术基金会（Fundacao para a Ci^encia e a Tecnologia）通过该项目（UID/MAT/00297/2013）（Centro de Matemática e Aplicacoes CMA/FCT/UNL）提供的支持。1简介信用评级不仅在计算银行资本支出（银行必须持有的资本额）方面起着关键作用，而且通常也是希望发行债券的公司的一项要求。有不同的机构为公司提供评级，该机构对公司的信用评级在某种程度上决定了公司的财务状况。通常评级为AAA、AA、A、BBB、BB、B、C、D（尽管各机构的评级不同），其中AAA为最佳（最安全），C为最差（风险最高），D表示该公司已违约。

这也是银行使用自己的内部评级系统的标准（见【YWZC14】）。有关评级程序中涉及的“科学”概述，请参见[Can04]。这项工作的主要目标是所谓的年度转移概率矩阵（TPM），它是一个随机矩阵，显示了不同评级公司在一年内的迁移概率。评级机构每年制作一次。例如，由于公司合并或四舍五入，此类矩阵可能不是最初的仓促矩阵。然而，它们可以通过[KS01]中所述的方法进行重整，正如[BDK+02]中所述，对所有评级的非评级公司进行重整确实是行业标准。这里考虑的主要问题是TPM包含了1年时间范围内的转移概率，在实践中，通常需要一个3个月或10天的转移矩阵，其违约概率低于TPM中的转移概率。因此，我们希望在给定年度矩阵的情况下，准确估计次年度矩阵。在巴塞尔协议提案中，巴塞尔协议3[Sup13，p.3]很大一部分风险费用将使用ES（预期差额）来衡量，ES（如CDS10所示）对概率的微小变化极其敏感。因此，准确一致的估计在计算中至关重要。此外，从IFTR 9法规的角度来看，我们需要更好地估计相关违约概率（PD）和马尔可夫链生成器，因为对于一家风险比例发生显著变化的公司，我们需要评估其在债券存续期间的风险。由于PD由指数函数给出，较小的初始误差将以显著的方式复合，尤其是在长期债券中。我们的数值实验证实了一个已知事实，即某些算法高估了PD，这使得情况更加复杂。

我们的方法可以从整个周期（TTC）估计中获得违约概率（PD）的时间点（PIT）估计。从理论和数值角度来看，马尔可夫框架下的信用评级模型都很方便。[LS02]中给出的证据表明，这种马尔可夫结构在实践中并不真实，然而，在马尔可夫结构中，有效实施apt马尔可夫信用风险模型和能够处理大规模投资组合的相关风险度量估计是一个具有挑战性的问题，见[BMS14，RT15]。有几种模型会产生非马尔可夫效应，例如混合两个生成器【FS08】或考虑隐马尔可夫模型【Kor12】，参见【LKN+11】。所有非马尔可夫模型都需要以某种方式访问其他数据以进行精确校准。此数据成本高昂，需要随时间更新，许多公司选择只处理胎压监测系统。这项工作的重点是那些无法访问数据的从业者。评级动量问题将在即将进行的研究中讨论。眼前的问题。我们的观点是，金融代理人希望评估其投资组合中因信用转换而产生的违约概率或风险，但无法获得（昂贵的）个人信用评级转换。代理仅具有年度TPM，例如P（1），并使用连续时间马尔可夫链（CTMC），例如（^P（t））t≥0，有一个有限的状态空间来模拟评分超时的变化。在标准条件下，CTMC的演变可以写成^P（t）=eqt，其中qi是生成器矩阵。然后，问题是估计给定P（1）的Q。由于所谓的可嵌入性问题，这种估计是非常重要的（此处不作评论）。

[IRW01]对此进行了详细讨论，关于嵌入问题的更多数学和许多现有结果，我们将读者引向[Lin11]。有几种方法可以解决这个估计问题[KS01、IRW01、T"O04、BS05、Ina06、BS09]，可以使用确定性算法（例如对角线或加权调整、生成器的准优化）或统计算法（期望最大化（EM）、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法），参见第3节。我们重点研究了[BS05]对CTMCS的期望最大化算法，并考虑了吸收态。这项工作的贡献。1、我们提供了充分的条件，将[BS05]的收敛结果扩展到单个参数，而不仅仅是似然收敛。在TPM问题的背景下，所呈现的条件微不足道。我们推导了EM算法中使用的似然函数的Hessian项的闭式表达式。这消除了文献中发现的其他数值实现中出现的几个不稳定性问题，并允许计算加速（相对而言）。此外，该结果还为估计估计误差和评估算法收敛到的平稳点的性质提供了一种方法。3、我们简要概述了已知的方法，并对其进行了一些修改以提高其性能。具体含义见第3节和第4节：我们将该算法应用于某些信贷风险问题，并进行模拟研究，以检查风险费用计算中的影响，即IRC（增量风险费用）与VaR（风险价值）、IDR（增量违约风险）与VaR以及IRC与ES（预期差额）。

我们区分投资组合类型（混合、投资或投机）；不同类型发电机的影响（稳定与不稳定）；依赖于样本量和一般收敛性。我们将违约概率作为不同算法的时间图进行比较，并发现有趣的结果。对于所进行的研究，所实现的EM算法具有很强的竞争力。它比确定性算法略慢，但比MCMC算法快得多。它嵌入了确定性算法无法捕获的统计特性，如稳健性。备注1.1。我们只关注连续时间模型和离散时间模型。连续时间算法产生鲁棒估计，而离散时间算法不产生鲁棒估计，鲁棒性理解如下：fromP（1）估计P（0.5）和P（0.25）。从P（0.5）再次估算P（0.25）。连续算法产生相同的P（0.25），离散算法（一般）不会。备注1.2（软件可用性）。这项工作的发现和算法现在是CRAN R-package ctmcd改进版的一部分：从离散时间数据估计连续时间马尔可夫链的参数（见[Pfe17]）https://CRAN.R-project.org/package=ctmcdThis工作安排如下。在第2节中，我们介绍了EM算法，并陈述了我们的主要理论发现。在第3节中，我们简要介绍了其他已知算法，在第4节中，我们介绍了基准测试结果。2 EM算法本文中介绍的大多数算法都有大量文献，因此我们仅提供简要讨论，并提供参考以获取更多信息。此外，我们将广泛使用马尔可夫链理论。我们不提供该理论的详细信息，但是，感兴趣的读者可以参考文献，如[Nor98]。预备条款和常设公约。

在本手稿中，我们考虑在有限状态空间{1，…，h}上定义的公司，其中每个状态对应一个评级。我们将AAA表示为等级1，将D（默认值）表示为等级h。我们采用的标准符号是P是一个h-by-h随机矩阵，这将是观察到的TPM（例如，时间t=1），Q是一个h-by-h生成器矩阵。我们进一步用Pij=（P）ij表示，用qij=（Q）ij表示，用qi=Pj6=iqijwherei，j表示状态i的强度∈ {1，…，h}。信用风险建模中使用的一个标准假设是，违约是一种吸收状态，因此Phh=1。我们使用以下类别的微型生成器。定义2.1（稳定保守的CTMC微型发电机矩阵）。如果满足所有i，j的下列性质，我们称矩阵为生成矩阵∈ {1，…，h}：i）0≤ qij<∞ fori 6=j；ii）qii≤ 0；和iii）Phj=1qij=0i、 如果矩阵Q满足上述性质，则对于所有t≥ 0矩阵P（t）：=eqt是一个随机矩阵，其中ea是矩阵a的矩阵指数【Nor98，P.63】。所述算法的目标是计算生成器矩阵Q，以使eqt是观察到的TPM的最佳t，其中t表示评级更新之间的时间长度（通常为一年）。贯穿let（X（t））t≥0表示有限状态空间{1，…，h}上的CTMC，其生成器q为上述类别。与X（t）相关联的是，对于状态空间中的i，j，Kij（t）是间隔[0，t]中从i到j的跳跃次数，Si（t）是间隔[0，t]中状态i的保持时间。备注2.2。如果矩阵P是可嵌入的，那么下面的算法是无意义的，可以通过特征值分解等轻松解决问题。或者，在评级转换的确切时间已知的情况下，可以使用[JLT97]中的标准最大似然估值器。

在我们的示例中，给出的唯一数据是一组年度胎压监测系统，这些系统通常不可嵌入，而且刚才提到的方法不会产生有用的结果。2.1算法统计中开发了许多方法，以计算最大似然估计，但许多方法在缺少数据的情况下会中断。从数学上讲，我们对某些集合X感兴趣，但我们只能观察Y，前提是存在从X到Y的多对一映射。也就是说，X是一个比Y丰富得多的集合。在处理这种情况时，期望最大化（EM）算法通常为问题提供了一个稳健的解决方案。【MK07】提供算法的完整概述。算法的基础是，我们观察数据y，它是y的一个实现（元素）。我们知道y具有密度函数g（有时称为采样密度），这取决于somespace∧中的参数ψ，但我们想要X（y）的密度（似然）。因此，假设一些密度f族，依赖于ψ，其中f对应于完整数据集X（y）（点集sx）的密度∈ 在y的前图像中的X∈ Y） 。f和g之间的关系是，g（y；ψ）=ZX（y）f（x；ψ）dx。其思想是，EM算法最大化g w.r.t.ψ，但我们通过使用密度f强制它这样做。进一步，定义r（ψ；ψ）：=Eψhlnf（x；ψ）yiforψ，ψ∈ ∧，（2.1）其中Eψ[·| y]是条件期望，条件是参数ψ下的y。我们假设所有对（ψ，ψ）都存在Rto，特别是我们假设f（x；ψ）>0，几乎在x的所有地方，对于所有ψ，在这种设置中，如果存在一个生成器Q，使得P=eQ（否则对数是有限的），则随机矩阵P是可嵌入的。让我们澄清一下，f是用ψ计算的，但期望值是用ψ计算的。EM算法是以下迭代过程。选择一个初始ψ（1），取p=1.2。E步：计算R（ψ；ψ（p））。3.

M步：选择ψ（p+1）作为ψ的值∈ 使R（ψ；ψ（p））最大化的∧。检查是否满足预先确定的收敛标准，如果不满足，则取p=p+1并返回（ii）。2.1.1发电机估计的特殊问题对于我们的问题，观测过程是一个离散时间马尔可夫链（DTMC），要估计的不可观测过程是一个连续时间马尔可夫链（CTMC）。因此，观测数据是离散跃迁，我们希望估计的参数是生成器中的条目。生成元为Q的连续时间完全观测马尔可夫链的可能性由以下表达式给出（见[KS97，第3.4章]），Lt（Q）=exphXi=1Xj6=ilog（qij）Kij（t）- Si（t）Xj6=iqij,K和S与之前相同（紧跟在备注2.2之前）。因此，给定两个生成器Q，Q，（2.1）中的函数R为，R（Q；Q）=hXi=1Xj6=ilog（qij）EQ[Kij（t）| y]- 等式[Si（t）| y]Xj6=iqij, （2.2）其中y表示离散时间观测值。最大化qijin R（Q；Q）yieldsqij=EQ[Kij（t）| y]EQ[Si（t）| y]。（2.3）困难的步骤是计算公式[Kij（t）| y]和公式[Si（t）| y]。我们采用了与[BS05]类似的方法（另请参见[BMNS02]），但在更适合胎压监测系统发电机估计问题的框架中表达了结果，而不是单个运动的估计。此外，[BMNS02]中得出的结果是不可约马尔可夫链，因此不适用于我们的情况（具有吸收态的CTMC），如命题2.4所述。考虑以下功能（参见[BMNS02]），用于1≤ i、 j≤ 高压*ij（c，Z；t）=等式经验值-hXu=1cuSu（t）hYu，ν=1ZKuν（t）uν{X（t）=j}X（0）=i, （2.4）其中，我们表示为c=（c，···，ch）∈ Rhand Z∈ Rh×hwith Zii=1表示i∈ {1，···，h}。