信用风险中发电机的稳健一致估计

对于ths，我们只考虑了EM、QOG、WA和[Ina06]中的MCMCMode算法，因为这些算法给出了默认估计的最佳概率。我们考虑一个不可嵌入的TPM，然后估计生成矩阵Q，从Q我们可以很容易地计算出一个公司在时间t>0的初始评级违约的概率。这里的目标是评估概率是如何随时间变化的。表4.4给出了TPM，对于MCMCalgorithm，我们将此表生成为每个评级有250个债务人。AAA AA A BBB BB B C DAAA 0.8824 0.1176 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0AA 0.0064 0.9111 0.0813 0.0008 0.0001 0 0.0003 0A 0.0003 0.0559 0.8836 0.0499 0.0079 0.0015 0.0002 0.0007BB 0 0.0116 0.1585 0.7640 0.0528 0.0070 0.0061BB 0 0 0 0 0.0213 0.7746 0.0623 0.0099 0.0127B 0 0 0 0.0062 0.0199 0.1669 0.7017 0.0730 0.0322C 0 0 0 0 0 0 0.0417 0.2083 0.4544 0.2956D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1表4.4：用于估计违约概率图中的生成器。时间（年）0.2 0.4 0.6 0.8 1违约概率×10-501234aaaemqogwamcm ModeTime（年）0.2 0.4 0.6 0.8 1违约概率×10-30123456a时间（年）0.2 0.4 0.6 0.8 1违约概率00.0050.010.0150.02b随时间（年）违约概率0.2 0.4 0.6 0.8 1违约概率00.050.10.150.20.250.3图4.5：随时间违约概率对于EM，QOG，MCMC模式和WA。图4.5显示了一年内评级违约的概率。这些图让我们对算法本身有了更深入的理解。随着违约概率的增加，算法收敛，然而，在违约较少的情况下，我们观察到更大的差异。

这可以被认为是算法处理缺失数据的能力，在较低的等级中，我们观察到默认值，因此可以处理概率，然而，在AAAratings的情况下，我们没有观察到默认值，因此这是算法的近似值。这显示了方法之间的差异，显示了MCMC算法中潜在的先验依赖性。另一个非常有趣的是，QOG将生成器从AA到C的跳跃设置为零（即使TPM有非零条目），这意味着QOG可能在某些地方低估了投资评级的风险，这可以从QOG对AAA的违约概率较小这一事实看出。WA和McMcCalgorithms对更高级别的违约概率有明确的估计。4.3风险费用之前的测试都是理论性的，我们现在考虑进行一次实际测试，以评估这些算法在计算风险费用时的性能。我们没有对这些风险费用的计算进行太多讨论，更多的技术细节读者应参考文献，如【SC11】。在这里，我们考虑多种风格化的投资组合来代表不同银行的风险偏好。文献中没有考虑我们对不同风险度量如何应对不同投资组合类型的知识分析。我们考虑的风险费用是IRC（VaR为99.9%，流动性期限为3个月，包括按市值计价的损失）、IDR（仅考虑违约，一年内VaR为99.9%）和理论风险费用，即IRC，但使用97.5%的预期缺口来衡量。最终风险费用包括在内，因为巴塞尔委员会对ES的兴趣不断增加。我们考虑了4年的模拟数据，为了保持分析的真实性，我们考虑了每个评级200家公司。

我们考虑了3种不同的投资组合，分别对应于风险不利（所有投资等级）、投机投资组合（所有投机等级）和最终的混合投资组合。表4.5、4.6和4.7给出了考虑的投资组合。这些表格显示了每个投资组合中各种债券的价值和评级。AAA 100、500、1500、750AA 200、750、2000、650A 150、400、400BBB 300、500、150、1500BB 500、250、700B 200、500C 100、150、200表4.5：混合投资组合AA 1000、5001500、1500AA 100、400、7502000、400、1500A 150、100、800400、200BBBBB表4.6：投资组合AA 1000、150、100800、1500B 100、300、400750、2000、1500C 400、500、400、，1000表4.7：投机性投资组合在这些投资组合中，我们使用以下信息计算风险费用，o我们在每个评级区域收到的债券利率AA AA a BBB BBB C2.65%2.69%2.78%2.93%3.18%5.45%12.39%。这些数据基于穆迪的利率，见【SC11】第4.1节。虽然这些利率在技术上与我们用于胎压监测系统的发电机不匹配，但它们为我们的玩具示例提供了合理的利率我们假设在违约的情况下，所有的钱都会损失（零回收率）。o我们使用单因素信贷指标模型（[GFB97]）计算信贷转移，即标准化资产回报率，zi=βiX+q1- βii、 其中X是系统风险，iis是标准正态分布的特殊风险，βiis是与系统风险的相关性，定义见【Sup03，p.50】，βi=0.121.- 经验值{-50 PDi}1- 经验值{-50}+ 0.241.-1.- 经验值{-50 PDi}1- 经验值{-50},其中Pdis是资产i的违约概率。因此，我们发现Pdis越高，β值越低虽然有更复杂的方法可用于计算VaR和ES（见[Fer14]），但我们使用蒙特卡罗法计算风险费用。

这在这里是足够的，因为投资组合相对于典型的银行投资组合来说很小，因此我们可以使用合理数量的模拟来获得准确的估计再次，我们计算了胎压监测系统的10个实现，并估计了每个实现的发电机。我们考虑对每个投资组合进行15×10模拟，为了评估这是否足够，我们使用7.5×10、10×10、12.5×10和15×10模拟计算了VaR和ES，发现所有情况下7.5×10和15×10之间的差异都小于5%。因此，我们认为15×10的结果对于我们的目的来说是非常准确的。关于风险费用计算，与前面的分析类似，我们计算每组胎压监测系统的风险费用，然后对所有种子进行平均，以获得风险费用。表4.8给出了真实发电机设定的风险费用。稳定不稳定混合投资投机性混合投资投机性IRC 702 0.32 3395 1251 0.41 5057 IRC ES 508 0.20 2409 842 3.78 3826 IDR 750 0 3400 1750 200 4600表4.8：真实发电商的风险收费结果。为了评估每个算法的性能，我们通过以下方式测量误差，风险误差=NPNi=1 |风险费用估计（i）- 风险费用为真|风险费用为真，其中风险费用估算（i）是风险费用的实现，N是胎压监测系统的数量（此处为10）。通过算法获得的结果如表4.9所示。应该注意的是，在稳定的IDR中，一些算法会为投资组合产生非零值，因此我们插入了货币价值。我们的第一个观察结果是，所有算法都高估了投资组合的风险。这归结为两个关键特征，一个是VaR的“阶梯式”性质，在一个小的投资组合中，小概率的变化可以产生巨大的差异。

另一个原因是，我们正在对多个蒙特卡罗模拟进行平均，因此其中一个实现中的一个默认值将显著改变总体平均值。就aThis而言，它在技术上并不是IDR计算的真正规定，IDR需要一个双因素模型，然而，我们这里的目标只是将这些计算用作比较算法的方法。稳定不稳定混合投资投机性混合投资投机性EM 7.3 7.5 1.5 22.5 29 195 2.6DA 11.9 8.1 2.4 36.9 66 829 4.3WA 11.8 8 8.1 2.3 37.3 69 293 4.1IRCQOG 11.6 7.8 2.3 26.7 38 976 4.1MCMCBS05 154 306 000 2 49.6 478 000 4.1MCMCBS09 24.9 18.4 14.4 68.3 264 000 14MCMCMode 12.5 8 8 8.1 3 3 3 34.9 39 000 3 EM 5.3 115 3.4 8.6 375 2.7DA 8.2 235 5.1 16.6 1130 3.9WA 7.8 210 5 16.4 1109 3.8IRCESQOG 7.3 123 4.9 12.6 622 3.8MCMCCBS05 35.4 135 000 4.7 19.7 5315 4.1MCMCBS09 21 610 15.5 67.7 6693 13.1MCMCMode 9.2 235 6.1 19.1 1063 3 3 3.5EM 6 0 0 0.3 4.3 113 3.5DA 10 0 1.2 8.6 295 5.7WA 9.3 0 0.6 8.6 295 5.2IDRCQOG 7.3 0 0 0.6 5.4 185 5.3MCMCBS05 139 1580.3 12.6 530 4.7CMCMQOG CBS09 20 40 9.3 33.7 775 13.2MCMODE 10 0.9 8 278 4.7表4.9：每种算法的风险费用结果（以百分比表示）。典型的银行投资组合这种类型的错误不应该是问题，因为我们要处理的资产数量要多得多，因此一个人会获得多次违约。然而，结果仍然提供了算法之间的有用比较。尽管MCMC算法在推测等级方面优于确定性算法，但值得注意的是，在所有类别中，EM产生的结果都是最好的。

通过我们所考虑的测试，我们得出结论，EM是解决此问题的最佳算法。4.4 EM算法的误差估计与确定性算法相比，统计算法的一个主要优点是，在不使用强制（稍微特别）捕虫方法的情况下，只需进行一次误差估计（置信区间）。对于MCMC来说，这是通过查看后验分布来实现的，我们可以免费获得后验分布。然而，正如我们所看到的，MCMC的计算成本很高，我们推导了一个相对的堆公式来计算EM算法的置信区间。以与我们之前进行的分析类似的方式，我们现在测试EM给出的误差估计。再次，我们通过使用模拟胎压监测系统掩盖真实的发电机，然而，这里我们只考虑每个评级300个债务人的情况，但数据的年数是不同的。也就是说，我们模拟了50年的胎压监测系统，然后应用EM算法，使用1年的胎压监测系统，然后使用2年的胎压监测系统，直到50年。该分析显示了参数的估计误差，以及当添加更多信息时误差如何变化。还应注意的是，我们将替换那些未达到违约前评级的公司。这使系统中的公司数量保持不变，可以认为是新公司被评级的流量。

此外，这只是数据的一种实现，因此参数估计和置信区间不是特别平滑。考虑年数0 10 20 30 40 50 Q00.020.040.060.080.1Q（1,2）Q误差Q估计Q真实考虑年数0 10 20 30 40 50 Q×10-3-5051015Q（1,3）考虑年数0 10 20 30 40 50 Q×10-3-5051015Q（4,2）EM误差Q稳定发电机考虑年数0 10 20 30 40 50 Q0.10.150.20.250.3Q（7,8）图4.6：显示估计年数95%参数的置信区间是年的函数。考虑的年数0 10 20 30 40 50 Q0.040.080.10.120.14Q（1,2）Q错误Q估计Q真实考虑的年数0 10 20 30 40 50 Q0.010.020.030.040.050.060.07Q（1,3）考虑的年数0 10 20 30 40 50 Q值-0.0100.020.03Q（3,6）EM错误Q不稳定发电机考虑的年数0 10 20 30 40 50 Q0.350.450.50.55Q（7,8）图4.7：显示参数的估计95%置信区间是年的函数。选择图4.6和4.7中所示的跃迁来显示发生器中的震级谱，其他未显示的条目类似。首先要指出的是，参数的真实值几乎总是在置信区间内，并且置信区间随着年数的增加而缩小。然而，最重要的特征之一是，当EM稳定且接近真实参数时，密度区间很小，因此EM不是“过度自信”，而是对其自身误差进行合理估计。

最后要指出的是，尽管一些置信区间会小幅低于零，但只有在参数最初非常接近零的情况下才是如此，而且，一旦考虑到更多数据，所有参数的置信区间都是严格正的。备注4.1（实践和法规中的置信区间）。图4.6和4.7显示了一个非常重要的特征。也就是说，估计值随数据变化的程度，尤其是当参数非常小时。这种分析揭示了估计中的差异，以及在估计稳定之前实际需要多少数据。从这个例子来看，虽然从信息矩阵计算的置信区间似乎能够捕捉到这个错误。考虑到未来的监管，在考虑风险费用时，考虑此类置信区间可能是谨慎的。与全局极大值的联系先前EM的问题是无法确定驻点的性质。然而，我们知道Hessian的形式，因此我们可以通过评估该矩阵的特征值轻松检查该点是否为最大值。显然，如果我们没有达到最大值，那么就值得扰动输出的生成器并重新运行算法。正如在Remark 2.11中所讨论的，在这种情况下，全球最大值的问题非常困难。备注4.2。有人建议，提高EM收敛到全局最大值的机会的一种方法是，从多个点开始。

在这里，我们可以考虑通过设置foreach i 6=j，qij来创建起点~ Exp（λ）取适当的λ，然后适当设置qia。我们根据上述备注测试了EM，发现在所有情况下，EMalways都返回相同的生成器。5结论和未来研究在这份手稿中，我们建立在具有吸收状态的CTMC的预期跳跃次数和保持时间的闭合表达式上，在给定的观察值上，并使用结果推导出可能性的Hessian的闭合表达式。这与strongerconvergence相结合，将EM算法提升为解决此问题的最佳算法。在进行的一系列测试中，EM算法的性能优于其他算法。THEM是一种易于处理的算法，比确定性算法慢，但仍比马尔可夫链蒙特卡罗方法快几个数量级（表4.2）。与确定性算法相反，统计算法（EM和MCMC）嵌入了估计器的强鲁棒性，即似然对基本TPM中的微小变化不太敏感。在估计风险费用方面，EM算法在所有情况下都具有优异的结果。从更实际的角度来看，图4.5强调了评级较低的算法对违约概率的估计基本相同，而评级较高的算法则会产生明显的差异。此外，EM中的误差估计可以提供一种合理的方法来测试有效模型风险。最后，非马尔可夫现象，如评级动量（见[LS02]）和解决该问题的适当模型，将在即将进行的研究中予以解决。感谢野村银行伦敦分行的R.P.Jena博士提出的有益意见。此外，作者还要感谢露丝·金（美国。

爱丁堡大学的Ioannis Papastathopoulos和牛津大学的Samuel Cohen感谢有益的讨论。我们也感谢两位匿名裁判的评论，他们的评论导致了首次提交的改进。资金筹措。史密斯得到了麦克斯韦研究所分析及其应用研究生院、英国工程和物理科学研究委员会（grant[EP/L016508/01]）资助的博士培训中心、苏格兰资助委员会、Heriot Watt大学和爱丁堡大学的支持。G、 dos Reis感谢葡萄牙科学技术基金会（Fundacao para a Ci^encia e a Tecnologia）通过该项目（UID/MAT/00297/2013）（Centro de Matemática e AplicacoesCMA/FCT/UNL）提供的支持。A证据A。1引理证明2.8我们现在提供引理证明2.8，所使用的所有术语都具有与引理陈述时相同的定义。在整个过程中，我们假设i 6=h，因此从假设2.7 PQ（X（t）=j | X（0）=i）>0表示所有j∈ {1，…，h}和t>0。我们证明的第一个不等式是预期跳跃次数的下界。根据引理2.8中的假设和时间同质性，我们进行了观测q[Kij（T）| P]≥ PuijPQ（Kij（t）≥ 1 | X（0）=i，X（t）=j）。上述不等式成立，因为我们只考虑X（0）=i，X（t）=j，而不是所有可能的开始和结束状态组合，此外，PQ（Kij≥ 1 | X（0）=i，X（t）=j）≤P∞n=1nPQ（Kij=n | X（0）=i，X（t）=j）。我们进一步观察，PQ（Kij≥ 1 | X（0）=i，X（t）=j）≥qij公司-qii。因此，可以很容易地得到不等式（2.7）的下界。现在我们证明了预期跳跃次数的上界。我们的第一个观察是针对所有人的∈ {1。