信用风险中发电机的稳健一致估计

，h}，等式[Kij（T）| X（0）=i，X（T）=ν]=supu∈{1，…，h}等式[Kij（T）| X（0）=u，X（T）=ν]。要看到这一点，让u6=i，然后用τ表示过程第一次进入状态i（如果PQ（X（t）=i | X（0）=u）=0，对于t>0，那么结果是微不足道的），根据总概率定律，我们发现，EQ[Kij（t）| X（0）=u，X（t）=ν]=EQ[Kij（t）| X（0）=u，X（t）=ν，τi<t]PQ（τi<t | X（0）=u，X（t）=ν）+等式[Kij（t）| X（0）=u，X（t）=ν，τi≥ t] PQ（τi≥ t | X（0）=u，X（t）=ν）。第二项为零。然后，利用马尔可夫性质，我们得到，等式[Kij（t）| X（0）=u，X（t）=ν]≤ 等式[Kij（t）| X（τi）=i，X（t）=ν，τi<t]≤ 等式[Kij（t）| X（0）=i，X（t）=ν]。因此，从这一观察结果和（2.6）中，我们得到，等式[Kij（T）| P]≤ hNhXν=1EQ[Kij（t）| X（0）=i，X（t）=ν]。观察等式[Kij（t）| X（0）=i，X（t）=ν]=等式[Kij（t）{X（t）=ν}| X（0）=i]PQ（X（t）=νX（0）=i）≤等式[Kij（t）| X（0）=i]PQ（X（t）=ν| X（0）=i）。通过考虑i的预期跳转次数，可以很容易地确定分子的界限，等式[Kij（t）| X（0）=i]≤ -qiit。分母需要进一步分析，首先，让n=| i- ν|，因此，根据假设2.7，我们可以在n次跳跃中从状态i转到ν，w.l.o.g.让i≥ ν（很明显，排序并不重要）。首先，如果i=ν，那么PQ（X（t）=ν| X（0）=i）≥ eqiit。对于i>ν，我们使用马尔可夫性质来获得PQ（X（t）=ν| X（0）=i）≥nYa=1PQ十、蚂蚁= i+a十、一- 1nt= i+a- 1..条件作用于X，在我们获得的每个增量中只进行一次跳跃，PQ（X（t）=ν| X（0）=i）≥nYa=1qi+a-1，i+a-qi+a-1，i+a-1个(-qi+a-1，i+a-1） 试验{qi+a-1，i+a-1t}≥nYa=1t扩展{-ht公司/} .作为n≤ h且项严格小于1，寻求的结果如下（与ν6=i无关）。最后一个需要证明的不平等与等待时间有关。通过取Puii>0，等式[Si（T）| P]≥ PuiiEQ[Si（t）| X（0）=i，X（t）=i]≥ Puiit exp{qiit}，其中，通过简单考虑无跳跃的情况，最终不等式随之出现。

然后，我们可以应用假设2.7的边界来完成不等式。A、 2定理2.14的证明我们从[Wil67]，[TC03]中回忆到，对于元素依赖于参数{λ，…λr}（对于r∈ N） ，以下标识有效eM（λ）tλi=中兴通讯（t-u） M（λ）M（λ）λieuM（λ）du，（A.1）对于所有i∈ {1，…，r}。Letu，ν，α，β∈ {1，…，h}。回顾命题2.4，区分等式[Kuν（t）| y]w.r.t.qαβ收益率，qαβEQ[Kuν（t）| y]=n-1Xs=1-（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1qαβeQ（ts+1-ts）ys，ys+1（eC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1qαβeC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1。注意，尽管K的期望值仅取决于矩阵的各个元素，而不是全矩阵，但我们仍然能够使用微分结果，因为Aij=e | iAej。因此，从（A.1）中，我们得到，qαβEQ[Kuν（t）| y]=n-1Xs=1-（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1中兴通讯（t-u） QQqαβeuQduys，ys+1（eC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1Zte（t-u） C（uν）γC（uν）γqαβeuC（uν）γdu！ys，h+ys+1。显然，由于qαβ在q中出现两次，Qqαβ=eαe |β- eαe |α，和C（uν）γqαβ=eαe |β- eαe |αeue |νΔuαδνβ0 eαe |β- eαe |α.然后，通过【VL78】我们可以显式地求解这些积分，得到，qαβEQ[Kuν（t）| y]=n-1Xs=1-（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1eC（αβ）η（ts+1-ts）ys，h+ys+1（eC（uν）γ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1eC（αβ，uν）ψ（ts+1-ts）ys，3h+ys+1，同样C（αβ）η和C（αβ，uν）ψ如定理声明中所定义。因此，我们有一个关于期望跳跃的导数w.r.t.qαβ的闭式表达式。对我们获得的预期保持时间应用相似的参数，qαβEQ[Su（t）| y]=n-1Xs=1-（等式（ts+1-ts））-2ys，ys+1eC（αβ）η（ts+1-ts）ys，h+ys+1（eC（u）φ（ts+1-ts）ys，h+ys+1+（等式（ts+1-ts））-1ys，ys+1eC（αβ，u）ω（ts+1-ts）ys，3h+ys+1，其中C（αβ，u）ω如定理所定义。

将这些结果结合在一起可以得到所需的结果。B马尔可夫链蒙特卡罗算法概述有关马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）理论的详细信息，请参阅[GRS96]。[BS05]和[BS09]讨论了实现MCMC以从离散观测值估计生成器的算法。MCMC与EM的不同之处在于，EM估计使似然函数最大化的参数集，而MCMC从后验分布中采样。即，给定一些数据D，参数θ的后验分布为π（θ| D），根据贝叶斯定理，π（θ| D）=π（D |θ）π（θ）Rπ（D |θ）π（θ）Dθ，其中π（D |θ）表示似然分布，π（θ）表示先验分布。MCMC通过从π（θ| D）中采样并采用期望值的蒙特卡罗近似值来获得θ的最佳猜测。之所以预期是我们的最佳猜测，是因为我们既使用了数据（可能性），也使用了我们的经验，即结果应该大致是什么（之前的结果）。虽然先验知识在阻止“错误”答案方面非常有用，但由于所谓的先验敏感性，它也是对MCMC的批评。备注B.1。在这里，我们纯粹讨论从后验数据中采样的MCMC，确实存在在存在缺失数据的情况下近似最大似然的算法，但在例如无法在EM算法中明确写入E步骤时更有用（参见[GC93]）。与EM算法的情况类似，这里面临的问题是缺少数据。也就是说，我们希望考虑所谓的生成矩阵Q的后验分布，我们用π（Q | D）表示（尽管通常抑制数据，只写入π（Q））。

困难在于，在其当前状态下，这是一个极难评估的分布，因此我们增加了一个辅助变量X（见[GRS96，p.105]和[BG93]）。一般来说，X不需要解释，尽管这里它将对应于完整的马尔可夫链。为了生成π（Q | D）的实现，我们指定了条件分布π（X | Q，D），它提供了联合分布π（Q，X | D）=π（Q | D）π（X | Q，D），因此Q的边际分布是π（Q | D）。然后，可以使用任何保持联合分布π（Q，X | D）（并通过扩展π（Q | D））（如吉布斯或大都会黑斯廷斯）的采样方法从边缘分布中采样。[BS05]和[BS09]中使用的方法是[TW87]中的数据扩充算法（另见[LR02，p.200]）。我们指定先验分布π（Q）并从该分布中得到一个实现，Q（0），然后构造一个序列{Q（k），X（k）}，对于k=1，M比：1。画，X（k）~ π（X | Q（k-1） ，D）。2、图纸，Q（k）~ π（Q | X（k），D）=π（Q | X（k））（因为X（k）比D丰富）。3、保存{Q（k），X（k）}，取k=k+1。在温和的条件下（见[GRS96，第4章]），经过一些磨合n后，k的序列{Q（k），X（k）}≥ nhas与π（Q，X | D）的分布相同。此外，边缘词也有正确的分布，即{Q（k）}~ k的π（Q | D）≥ n、 因此，我们估计生成器矩阵，M-n+1PMk=nQ（k）。对于先验的选择，π（Q），[BS05]建议从伽马分布中选择一个先验，形状为αijandscale 1/βi。因此，qij~ Γ（αij，1/βi），其中αij，βi≥ 0， i 6=j∈ {1，…，h}。使用此选项时，优先级是一个共轭优先级。虽然这个先验有一些缺点，但我们注意到，通过假设先验服从Gammadistribution，我们有效地限制了参数空间，因此没有必要使空间紧凑。注意到X的后验分布与可能性相等，即。

π（X | Q）=Lt（X；Q），一个有π（Q | X，D）=π（Q | X）=π（Q，X）π（X）∝ Lt（X；Q）π（Q）。根据CTMC的可能性和先验假设，我们推断，Lt（X；Q）π（Q）∝hYi=1Yj6=iqKij（t）ije-Si（t）qijhYi=1Yj6=iqαij-1ije公司-βiqij=hYi=1Yj6=iqKij（t）+αij-1ije公司-（Si（t）+βi）qij。我们在这里没有平等，因为没有归一化项。我们从分布Γ生成i 6=j的QIJjKij（t）+αij，1/（Si（t）+βi）（因为每个qijis是独立的）。参考文献【BDK+02】A.Bangia、F.X.Diebold、A.Kronimus、C.Schagen和T.Schuermann，《评级迁移和商业周期，以及对信贷组合压力测试的应用》，银行与金融杂志26（2002），第2期，445–474。【BG93】J.Besag和P.J.Green，《空间统计和贝叶斯计算》，皇家统计学会杂志。系列B（方法学）（1993），25-37。【BMNS02】M.Bladt、B.Meini、M.F.Neuts和B.Seriola，《连续时间马尔可夫链上报酬函数的分布》，矩阵分析法（2002），39–62。【BMS14】D.Brigo，J.-F.Mai和M.A.Scherer，《多变量违约时间的一致迭代模拟：马尔可夫指标表征》，SSRN 2274369（2014）提供。【BS05】M.Bladt和M.Sorensen，《离散观测马尔可夫跳跃过程的统计推断》，皇家统计学会杂志：B辑（统计方法学）67（2005），第3395–410号。【BS09】M.Bladt和M.Sorensen，《从离散时间点的观察结果有效估计信用评级之间的转换率》，量化金融9（2009），第2期，147–160。【Can04】R.Cantor，《近期信用评级研究导论》，《银行与金融杂志》第28期（2004），第112565–2573号。【CDS10】R.Cont、R.Deguest和G.Scandolo，《风险衡量程序的稳健性和敏感性分析》，量化金融10（2010），第6期，593-606页。【CHL04】J.H.E.Christensen，E。

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