违约情况下的最优投资和定价

对于s≥ t、 Wπ，什么是动态的Wπ，W=πSDSSS-;= πss≤δ（u- γ） （Xs）ds+（σρ）（Xs）′dWs+σp1-ρ′ρ（Xs）dWs- πSDM。（1.10）请注意，在δ违约时，投资者失去其美元头寸πδ，在此之后，财富没有变化。然后我们说π是可容许的，然后写π∈ A、 如果Wπ，则为所有Q的A Q超鞅∈fM。除了股票交易外，投资者还拥有一项在horizonT收到的非交易债权，这取决于股票的存续情况。我们考虑形式为1δ>Tφ（XT）的索赔，因此付款可能取决于因子过程。然而，我们的兴趣主要在于φ≡ 0（无索赔）或φ≡ 1（可违约债券）。我们做了一个共同的假设，即φ有界，以及一个特定的正则性要求：假设1.6。φ∈ C2，β（E；R）以（1.11）φ为界：=0∧ infx公司∈Eφ（x）；φ：=0∨ supx公司∈Eφ（x）。投资者的偏好由指数效用函数（1.12）U（w）描述：=-e-αw，其中α>0是绝对风险规避。投资者交易S是为了最大限度地发挥其对终端财富的预期效用，包括其在或有权益中的地位。因此，对于给定的财富w，我们定义（回忆一下：投资窗口从t开始，因子过程从x开始）：（1.13）u（t，x；w，φ）：=supπ∈AEh公司-e-α（Wπ，wT+1δ>Tφ（XT））i；u（t，x；φ）：=u（t，x；0，φ）。很明显，对于指数效用，u（t，x；w，φ）=e-awu（t，x；φ）。因此，在第3节之前，我们考虑w=0。最后，我们将G（t，x；φ）作为确定性等价物，定义为（1.14）G（t，x；φ）：=-alog公司(-u（t，x；φ））。1.3。主要结果。在给出主要结果之前，我们必须介绍最后一段符号。当y>0时，将θ（y）定义为（1.15）θ（y）eθ（y）=y的唯一解。θ被称为“产品日志”（Mathematica）或“Lambert-W”（Matlab）函数。θ的进一步性质在下面的引理A.1中给出。

使用此符号，对于[0，T]×E上的平滑函数f，定义（1.16）θf（s，y）：=θγ（y）σ（y）eu（y）σ（y）+αf（s，y）-ασ（s）f（s，y）′a（y）ρ（y）.使用动态规划原理的默认7A启发式推导定价表明（1.14）中的G应解半线性退化椭圆偏微分方程（PDE）或Hamilton-Jacoby-Bellman（HJB）方程（此处，我们抑制函数参数（t，x）并从（1.1）中召回L）），0=Gt+LG-αG′AG+σ2α2γσ+uσ-ασG′aρ- θG- 2θG; t型∈ （0，T），x∈ Eφ=G（T，·；φ）；x个∈ E（1.17）动态规划原理还建议，如果G解上述偏微分方程，则对于任何起始点（t，x），最优交易策略为（1.18）^πs=^π（s，Xs）=^π（s，Xt，Xs）；^π：=αuσ-ασG（·；φ）′aρ- θG（·；φ）; t型≤ s≤ T、 备注1.7。我们不推导HJB方程，因为它是标准的。此外，我们将使用直接方法a）得出解决方案G以（1.17），b）验证它是确定性等价的，以及^π是最优策略。因此，我们不需要掌握动态规划原理。为了解决最优投资问题，我们必须再施加一个约束条件。在这里，我们根据相关性ρ分为多个案例。第一种情况是，无市场违约是“严格不完全”的，因为ρ′ρ的范围小于1，而第二种情况对ρ′ρ没有限制。我们之所以进行这种划分，是因为在前一种情况下，主要结果是在市场风险价格（u-γ） /σ。

在后一种情况下，我们必须假设的条件更加复杂，但在许多感兴趣的模型中仍然适用：见第2节。首先，我们考虑ρ′ρ在1以下有界的情况，并回顾备注1.3的符号：假设1.8。ρ：=supx∈Eρ′ρ（x）<1，存在ε>0，因此对于每个nsupx∈EnExheεRT（u-γσ）（Xu）dui=C（n）<∞.接下来，我们考虑ρ′ρ不低于1时的有界性：假设1.9。ρ没有限制。然而，（A）对于算子l=Tr，E上的鞅问题有一个解公元+b-u-γσaρ′.P={Px}x∈在所得溶液中，有一些ε>0，因此对于每个n:supx∈EnEPxheεRT（u-γσ）（Xu）dui=C（n）<∞.（B） 对于某些p＞1的算子，存在E上鞅问题的解p：=Tr公元+b+（p-1） u- γσaρ′.8石川哲也和斯科特·罗伯逊=Pxpx个∈Edenting the resulted solution，we have for each n thatsupx∈EnEPxphep（p-1） RT（u-γσ）（Xu）dui=C（n）<∞.备注1.10。请注意，假设1.8中的每个条件都允许无界（u-γ） /σ。为了获得为什么我们分成两种情况的直觉，请注意，如果ρ<1，则可以获得度量Q∈ M通过密度过程z0，s=E-Z·tu-γσ√1.-ρ′ρ（徐）德武st型≤ s≤ T、 因为X独立于W，我们看到Q∈fM当假设1.8成立时：事实上，这一假设比实际需要的要强大得多，但在下面命题6.10的微妙展开过程中使用了这一假设。然而，当ρ=1时，我们不再能够将风险的市场价格“放入”独立布朗运动W：这里我们考虑密度过程z0，s=E-Z·tu-γσρ′（徐）德武st型≤ s≤ T、 由于X不是独立于W的，我们必须执行假设1.9的可积性要求才能得到我们的结果。

但是，如第2节所示，假设1.8虽然看起来很复杂，但很容易检查，对于许多常见的模型来说，都是在温和的参数限制下进行的。在所有假设就绪后，我们陈述了主要结果。关于抛物线H"older空间H2+β，（0，T）×E，loc的定义，请参见下文第6.1节，但目前我们注意到H2+β，（0，T）×E，loc C1,2（（0，T）×E）。定理1.11。假设1.1、1.2、1.4、1.5、1.6和1.8或1.9保持不变。然后，（1.14）中的确定等价G在H2+β，（0，T）×E中，locand求解（1.17）中的PD E。此外，对于每个0≤t型≤ T、 x个∈ E、 最优交易策略为^π∈ A来自（1.18），过程^Z=^Zt，xde由（1.19）^Zs定义：=e-α（W^πs）-G（t，x；φ）+1δ>sG（s，Xs；φ））；t型≤ s≤ T、 是度量值^Q的密度过程∈fM解决了下面（6.31）中给出的双重问题。2、示例2.1。具有恒定默认强度的OU因子过程。当X具有动力学dXt=-bXtdt+dWt（b∈ R） ，取E=R中的值，我们为其设置En=(-n、 n）。相关性ρ∈ [-1，1]恒定。对于资产动态，我们取σ（x）=σ>0和u（x）=σ（u+ux），u，u∈ R、 默认强度为γ（x）=σγ，γ>0。显然，假设1.1、1.2、1.4和1.5成立。这种说法要么是错误的≡ 0或φ≡ 所以假设1.6也成立。对于更复杂的假设1.8、1.9，我们注意到（1）（（u- γ） /σ）（x）≤ 2（u- γ） +2ux（2）在假设1.8、1.9中的每个操作符下，x是OU过程。（3） EheRTkXtdti公司≤ （1/T）RTEhekT Xtidt用于k∈ R、 当k>0足够小且X=X时，默认为9（4）的定价，EhekT Xti≤ C（T）eC（T）xfor T≤ T，因为Xtis正态分布，均值和方差在T中是连续的。因此，很容易看出，假设1.8和1.9都成立，没有额外的参数限制。2.2。具有明确违约强度的CIR因子过程。当X具有动力学dXt=κ（θ）时，考虑w-Xt）dt+ξ√XtdWt。

我们假设κ>0，κθ≥ ξ/2，使E=（0，∞) （En=（（1/n，n）），b（x）=κ（θ-x） ，A（x）=ξx。相关性ρ∈ [- 1，1]又是常数。对于资产动态，我们取σ（x）=σ√x、 σ>0且u（x）=σ（u+ux），u，u∈ R、 最后，我们假设γ（x）=σ（γ+γx），γ，γ>0。因此，该模型属于“扩展af FINE”类：参见[3、5、7]等。与OU案例一样，假设1.1、1.2、1.4和1.5显然成立。对于假设1.8、1.9，我们有以下内容：引理2.1。假设κθ>（1/2）ξ，此外，如果ρ=1+，则u-γ<（1/ξ）（κθ-（1/2）ξ）和u- γ>-κ/ξ。然后假设1.8、1.9成立。引理2.1的证明。我们首先声明，如果X是一个一般的CIR过程，其动力学dXt=△κθ- Xt公司dt+￠ξ√XtdWt，X=X，然后提供了对于0<A<（|κ|θ）的|κ>0和|κ|θ>（1/2）|ξ- （1/2）～ξ）/（2～ξ）和0<B<～κ/（2～ξ）thatExeRT公司AXt+BXtdt公司≤CeD公司Cx公司-CeDx+λT，其中C=（|κ|θ）-（1/2）～ξ）/～ξ1.-第一季度- 2？ξA/（？κ？θ）- （1/2）～ξ）, D=（|κ/|ξ）1.-第一季度- 2？ξB/？κ,和λ=￠κC+￠κОθD-ξCD。实际上，请注意C，D>0，并将f（x）=x-CeDx，L作为与X相关的二阶运算符。然后∧Lf（X）+（A/X+Bx）f=λf，通过它的公式，我们可以看到eRT公司AXt+BXtdt公司= x个-CeDx+λTExMTXCTe公司-DXT公司≤eCDCx公司-CeDx+λT，其中M·=ER·(-C/Xt+D）~ξ√XtdWt公司·, 其中最后一个不等式成立，因为C，D>0-Dx公司≤ （eC/D）C，因为M是一个超鞅。接下来，请注意（（u- γ） /σ）（x）=（u-γ） /x+2（u-γ） （u-γ） +（u-γ） 在假设1.8中的每个算子下，1.9X仍然是一个CIR过程。参数限制意味着X不会在每个操作符下爆炸（p>1足够小），直接计算得出假设1.8、1.9。3、无差别价格定理1.11的直接应用，我们可以得到可违约债券的无差别价格，考虑到投资者交易可违约资产的能力。

在此，我们假设可违约债券的买方名义q>0，并试图确定（每单位名义）无差异价格。+情况ρ=-1类似。10 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson≤ t型≤ T、 x个∈ 通过平衡方程（3.1）u（t，x；w，0）=u（t，x；w），确定（买方平均）无差异p（t，x；w，q）- qp（t，x；w，q），q）。上面，我们使用了（1.13）并将φ写为0≡ φ为0和q≡ q、 从质量上来说，（3.1）指出，以p（t，x；w，q）的价格，索赔的买方在不拥有索赔和支付QP（t，x；w，q）购买索赔的q个单位之间是无关紧要的。对于指数效用，众所周知，初始财富w不会影响无差异价格，因此我们将p（t，x；w，q）=p（t，x；q），其中（3.2）p（t，x；q）=-αqlogu（t，x；q）u（t，x；0）=q（G（t，x；q）- G（t，x；0）），其中G如（1.14）所示。因此，定理1.11简化了命题3.1。假设假设1.1、1.2、1.4、1.5以及假设1.8或1.9中的任何一个成立。然后对于固定的0≤ t型≤ T、 x个∈ E持有可违约债券名义数量为q的单位买方的无差别价格由（3.2）中的p（t，x；q）给出。对于固定q，无差异价格为H2+β，[0，T]×E，loc。4、动态违约保险的定价我们现在考虑的问题是，如何为动态违约保险找到一个公平的价格，这将考虑市场的不完整性以及投资者的偏好。本节的结果旨在补充[30]中的结果，其中考虑了类似的最优投资问题，不同之处在于，如果S违约，则隐含地假设投资者受到保护。具体而言，如果投资者在δ处拥有一个美元金额πδ，她不会损失这个美元金额。

相反，违约只表明不可能进行进一步交易。目前，我们描述了获得动态违约保险公平价格的方法。在无违约债券的第1.2节模型中，我们假设投资者有两种潜在策略：（1）投资者选择策略π∈ A如上所述，并且不购买违约保险，因此upondefault atδ她将失去她在股票中的美元头寸πδ。因此，对于固定的0≤ t型≤ T、 x个∈ E herindirect效用由（1.13）中的u（t，x；0）给出，确定性等效于（1.14）中的G（t，x；0）。（2） 投资者再次在股票中选择策略π。然而，她签订了一份针对违约提供动态保护的合同。在违约之前，本合同的持续付款率为πdf，其中f是（待定）每美元的保护成本。默认情况下，投资者不会失去其美元头寸πdδ，但不再能够交易标的资产。在这种情况下，对于给定的策略πd，财富过程按照（参见（1.10）进行比较）（4.1）dWπ，ds=πdsδ发展≤s（（u-γ） （Xs）ds- fs）ds+（σρ）（Xs）′dWs+（σp1- ρ′ρ）（Xs）dWs.事实上，在[30，第2.1节]中，提交人表示“为简单起见，我们假设她（投资者）在清算时所持股票获得了全部违约前市场价值，尽管人们可能会考虑一些损失，或在违约时股价暴跌。”默认定价11此处，πd∈ 如果πdis G是可预测的，则Adis是可容许的，这样相关的积分可以很好地定义，并且对于所有Qd，Wπ，dis是Qd超鞅∈fMd，该市场中具有有限相对熵的等价局部鞅测度类。

然后，她寻求解决最优投资问题（4.2）ud（t，x；0）：=supπ∈阿德-e-αWπ，dTi，我们用Gd（t，x；0）表示：=-（1/α）ud（t，x；0）确定性等价物。目标是找到f，以便投资者对这两种选择漠不关心；i、 e.u（t，x；0）=所有起点（t，x）的ud（t，x；0）。根据定理1.11，我们可以通过将偏微分方程s与G，Gd相等来立即识别f。事实上，根据[30，命题2.1]中的论点，在ft=f（t，Xt）是函数确定的先验假设下，Gdon[0，t]×E的HJB方程是0=Gdt+LGd-α(Gd）′AGd+σ2α2γσ1.-eαGd+u-fσ-ασ(Gd）′aρ!;0=Gd（T，˙）；x个∈ E、 （4.3）t≤ s≤ T为（4.4）^πds=^πd（s，Xs）=^πd（s，Xt，Xs）；^πd=αu-fσ-ασ(Gd）′aρ.现在，考虑当定理1.11成立时，G=G（·；0）用φ解（1.17）≡ 通过与（4.3）的比较，我们可以看到G也将解（4.3）提供的2γσ1.- eαG+u-fσ-ασG′aρ=2γσ+uσ-ασG′aρ- θG- 2θG。这有两个（实）解f±=σuσ-ασG′aρ±suσ-ασG′aρ-θG+2θG-2γσeαG!,作为引理A.1的第（3）部分，x=（（u/σ）- （α/σ）G′aρ）和y=（γ/σ）eαG表明平方根内的项是非负的。由于投资者正在支付违约保险，我们认为她寻求尽可能低的成本，因此将违约保险的价格设定为（4.5）f：=σ|||∑-ασG′aρ-suσ-ασG′aρ-θG+2θG-2γσeαG!§。对于上述f，我们有以下主张：§第二个赞成使用f的论点-接着检查（4.4）中受保护市场的最佳^πdin。此处α^πd±=suσ-ασG′aρ-θG+2θG-2γσeαG.因此，如果使用f+>0，投资者在做空股票的同时还支付违约保险，这是一种非常值得怀疑的情况。12石川哲也和斯科特·罗伯逊提案4.1。假设1.1、1.2、1.5、1.4和（1.8）、1.9中的任何一个都成立。

设（1.14）中的G是（1.13）的确定性等价物，它求解（1.17）中的偏微分方程。定义（4.5）中的f，并考虑（1.18）中的最优交易策略函数^π。那么我们有以下关于f的事实：（1）f≤ γeα（G+^π）=γ^Q，定理1.11中^Q下δ的默认强度函数。这里，当且仅当^π=0时，等式才成立。（2） f与γeα（2^π+G）/（2σ）+eαπ具有相同的符号（包括0）-1、特别是当^π>0时，f>0。命题4.1的证明。x=（u/σ）- （α/σ）G′aρ和y=（γ/σ）eαGwe看到f/σ=x-px+2年- θ（yex）- 2θ（yex）。现在，（1.18）表示x=α^π+θ（yex），写z=θ（yex），我们通过定义θ得到zez=yex=yeα^π+z。因此，z=yeα^π和x=α^π+yeα^π。插入（4.5）中的forx，z得到（4.6）fσ=hα^π，γσeαG; h（l，y）：=l+yel-ql+2年（lel+1- el）。对l的直接分析显示∈ R、 y>0该l-pl+2年（lel+1- el）≤ 0和so f/σ≤（γ/σ）eα（G+^π）和（1）如下，因为γeα（G+^π）是^Q下δ的默认强度，如下面的引理6.3和（6.40）所示。对于（2），分析表明存在唯一的l=l（y）<0，因此h（l，y）=0。对于l>l，h（l，y）>0，对于l<l，h（l，y）<0。因此，f与l具有相同的符号-l、 简单计算显示l=log((√1+2年-1） /y）和l- LHA与（y/2）e2l+el的符号相同-1、封堵inl=α^π，y=（γ/σ）eαGgives（2）。4.0.1。讨论要解释位置4.1，请考虑^π>0的时间。在这里，投资者将在违约时损失资金，因此有动机支付违约保险，使f>0。然而，有趣的是，有一个阈值^π<0，只要^π<0，如果未来头寸上升，立即违约的收益不会超过违约保护的价值：因此投资者愿意支付保险费。

低于^π水平时，违约收益非常显著，投资者需要得到补偿才能放弃，因此f<0。f=f（t，x）的完整计算需要了解G， G、 而且很难计算，尤其是当X是多维的时候。然而，对于t≈ 我们可以使用（4.6）来提供f和^π之间的简单关系。实际上，因为G（T，·）=0，如果我们替换G（T，·）≈ 0到（4.6），我们看到t≈ （4.7）fσ=α^π+γσeα^π-r（α^π）+2γσ（α^πeα^π+1- eα^π）。考虑第2.1节和第2.2节的模型，其中在后一个模型中，我们通过设置u=γ=0来强制af FINE条件。在每种情况下，γ/σ都是常数，我们可以将f/σ单独视为α^π的函数。图1显示了该设置中F/σ和α^π之间的关系，以及P位置4.1（1）中的理论上限。默认定价为13-1.0-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0-2-112345图1。f/σ作为t的α^π的函数≈ T和常数γ/σ=2/3。实线是（4.7）中f/σ的值，虚线是命题4.1.5第（1）部分的理论上限。数值应用考虑了第2.2节的CIR模型，但仅限于af FINE，而非扩展af FINE案例。特别是，我们假设u=γ=0。我们还假设ρ6=±1，因此定理1.11在假设κθ>（1/2）ξ下成立。目标是计算（3.2）对于可违约债券的q个名义单位的无差别价格，以及（4.5）中给出的动态违约保险的单位公平价格。为了获得这些值，我们求解φ的偏微分方程（1.17）≡ 0和φ≡ q使用Matlab中的半线性偏微分方程解算器“pdepe”，该解算器可以在一个空间维度P中求解此类偏微分方程。对于X和ρ，我们使用与[11，第6节]中相同的参数值。对于瞬时收益率和方差，我们假设X的长期平均θ方差σθ=。09和σuθ的平均值=。10