违约情况下的最优投资和定价

因此如下所示≤深圳大学-兹努兹努-- 1.=ZstZnu-u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）-1.dHnu=ZstZnu-u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）-1.dMnu+αZstZnu-u≤τn∧δnαeα（πn+Gn）- 1.χnγ（u，Xu）du（A.12）收集（A.10），（A.10），（A.11）中的结果，并在（A.12）中使用它们，以微分表示法给出d^Znu^Znu-= -α1u≤τn∧δnAnudu- α1u≤τn∧δn^πnχnσρ′+(Gn）′a（u，Xu）dWu+^πn√χnσp1-χnρ′ρ（u，Xu）dWu+ 1u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）- 1.dMnu。（A.13）式中，at（u，Xu）Anu=^πnχnu+Gnt+LGn-α（πn）χnσ+2πnχnσ(Gn）′aρ+(Gn）′AGn公司-αeα（πn+Gn）- 1.χnγ。现在，对于任何（u，y）∈ （t，t）×Enwe have（抑制函数参数），使用该Gnsolves（6.5）：Gnt+LGn-α(Gn）′AGn=-χnσ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ-θGn- 2θGn.将其插入上述给定值-α（^πn）χnσ- α^πnχnσ(Gn）′aρ-αeα（πn+Gn）- 1.χnγ-χnσ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ- θGn- 2θGn.注意上面右边的χn因子。按^πn分组，剩余项为^πnu-ασ(Gn）′aρ-α（^πn）σ-αeα（πn+Gn）- 1.γ-σ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ- θGn- 2θGn.默认定价41We下一个插件用于^πnfrom（6.15）。这给出了αuσ-ασ(Gn）′aρ-θGnu-ασ(Gn）′aρ-ασαuσ-ασ(Gn）′aρ- θGn-αeααuσ-ασ(Gn）′aρ-θGn+Gn公司- 1.γ-σ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ- θGn- 2θGn.这里有很多取消。其余项为σαθGn-γαeμσ-ασ(Gn）′aρ+αGn-θGn=e-θGnσαθGneθGn-γσeuσ-ασ(Gn）′aρ+αGn= 0，其中最后一个等式后面是θ的定义。因此，根据（A.13），第一个结果如下。Itremains显示（A.8）。为此，我们有χn（u- γ）-αχnσρ′（πnχnσρ+aGn）- α√χnσp1-χnρ′ρ^πn√χnσp1-χnρ′ρ- χnγeα（πn+Gn）- 1.= χnu-αχnσ(Gn）′aρ- αχnσ^πn- χnγeα（^πn+Gn）。记下χn因子。插入^πnfrom（6.15）u后，剩余项为-ασ(Gn）′aρ- ασαuσ-ασ(Gn）′aρ-θGn- γeααuσ-ασ(Gn）′aρ-θGn+Gn公司= σe-θGnθGneθGn-γσeuσ-ασ(Gn）′aρ+αGn= 0，其中最后一个等式后面是θ的定义。因此，（A.8）成立。引理A.8。

让t≤ T、 x个∈ E固定。设A，B，C为FW，wp可预测过程满足（6.33），并通过（6.32）的右侧设置Z。回顾（6.43）并创建Gnpredictable流程An，Bn，Cnon[t，t∧ τn]通过Anu=Auu≤δn∧T∧τn-1，Bnu=Buu≤δn∧T∧τn-1.-ln（Xu）1δn∧T∧τn-1<u≤δn∧T∧τnandCnu=Cuu≤δn∧T∧τn-1、SetZns=EZ·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWu+Z·tCnudMnus∧T∧τn.那么对于足够大的n，x∈ 恩-1： （A.14）δn∧ T∧ τn-1=δ∧ T∧ τn-1.Znδn∧T∧τn-1=Zδ∧T∧τn-引理A的证明。我们在（A.14）中证明了第一个等式。确实，如果δn≤ T∧ τn-1thenZΔγ（Xu）du=-log（U）=Zδnχn（Xu）γ（Xu）du=Zδnγ（Xu）du，因为En上的χn（x）=1-1、这表明δn≤ δ、 但我们已经从引理A.4中知道δn≥ δ所以事实上它们是相等的。如果δn>T∧τn-1和δ>T∧τn-1然后δn∧T∧τn-1=T∧τn-1=δ∧T∧τn-1.42 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONLastly，如果δn>T∧ τn-1和δ≤ T∧τn-1然后-log（U）=Zδγ（Xu）du=Zδχn（Xu）γ（Xu）du，这表明δn≤ δ≤ T∧ τn-1、矛盾。这将产生第一个结果。接下来，由于[t，δn]上的An=A，Bn=B∧ T∧ τn-1] =[t，δ∧ T∧ τn-1] 我们马上就看到了Z·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWuδn∧T∧τn-1=EZ·tA′udWu+Z·tBudWuδ∧T∧τn-对于跳跃过程，仍然需要考虑随机指数。此处Z·t+CnudMnuδn∧T∧τn-1=e-Rδn∧T∧τn-1tχn（Xu）γ（Xu）duδn>δn∧T∧τn-1+（1+Cnδn）1δn≤δn∧T∧τn-1..现在，上述论点表明δn≤ T∧ τn-1指数δ=δn≤ T∧ τn-1δn>T不可能∧ τn-1和δ≤ T∧ τn-所以实际上δn>T∧ τn-1杂质δ>T∧ τn-因此，如果δn≤ T∧ τn-1乙烷Z·t+CnudMnuδn∧T∧τn-1=e-Rδn∧T∧τn-1tχn（Xu）γ（Xu）du1+Cnδn∧T∧τn-1.;= e-Rδ∧T∧τn-1tγ（Xu）du（1+Cδ∧T∧τn-1） ；=EZ·t+CudMuδ∧T∧τn-1、同样，如果δn>T∧ τn-1乙烷Z·t+CnudMnuδn∧T∧τn-1=e-Rδn∧T∧τn-1tχn（Xu）γ（Xu）du；=e-Rδ∧T∧τn-1tγ（Xu）du（1δ>δ∧T∧τn-1） ；=EZ·t+CudMuδ∧T∧τn-因此，（A.14）保留完成证明。参考文献【1】T.R.BIELECKI和M。

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