违约情况下的最优投资和定价

因此，（6.52）G（t，x）≤ infQ公司∈fM公司αEhZQTlogZQT公司i+EhZQTδ>Tφ（XT）i= -α对数(-u（t，x；φ））。这与命题6.9中的（6.37）相结合，证明G是最优投资问题的确定性等价物。现在，我们已经从上面和命题6.9（1）证明了G是确定性等价物。（2） 测度^Q的存在性∈具有密度过程^Z的fM，对于对偶问题是最优的。注：这源自命题6.9和（6.52）的第（1）部分，后者表明（6.42）中的不平等是平等的。（3） 交易策略^π的存在性，因此对于所得财富过程^W，e-α（^WT+1δ>Tφ（XT））=e-αG（t，x）^ZT，使^W达到最佳效用。此外，由于（6.42）中的不等式是等位性质，因此E^Qh^WTi=0。最后要说明的是^π∈ A、 如果^W是所有Q的Q超鞅∈fM。这很难直接显示出来，所以在这一点上，我们求助于众所周知的n对偶结果，即局部有界半鞅的指数性。即asfM 6= 主要问题存在一个最优71π（c.f.[25]），由于^Q解决了对偶问题，我们已经从概率为1的最优性的必要和充分条件中知道：e-α（WˇπT+1δ>Tχ（XT））=e-αG（t，x）^ZT。这表明^WT=Wˇπt是最确定的。接下来，从命题6.9的第（2）部分，我们知道^W是一个^Qsub鞅。但是，E^Qh^Wi=0以及次鞅性质意味着^W是一个^Q鞅。抽象理论告诉我们，Wˇπ在^Q下也是m鞅≤ s≤ T认为^Ws=Wˇπ是最确定的，因此通过右连续性，它们在[T，T]上是不可区分的。最后，默认值为31的抽象理论定价意味着Wˇπ是所有Q的Q次鞅∈fM，因此对于^W也是如此。因此，^π∈ A并且证明是完整的。最后，我们转向假设1.9的情况。提案6.11。

假设1.9成立。然后，得出定理1.11的结论。命题6.11的证明。该证明与命题6.10相似，因此我们仅显示差异，并在步骤中引用之前的证明。因此，有两件事需要显示/执行：（1）对于0≤ t型≤ T、 x个∈ E、 n足够大，创建一个度量值qn=Q（t，x），n∈相对熵为GnT的FMN∧τn在x上局部有界，在n上均匀有界。这将使我们能够调用命题6.7,6.9。（2） 对于0≤ t型≤ T、 x个∈ E和Q=Qt，x∈fM，在随机间隔（T）中适当调整Q∧τn-1，T∧ τn]创建度量Qn∈fMnand然后显示与此调整相关的相对熵消失为n↑ ∞. 这将建立G的上界（6.52），从该上界出发，剩下的定理陈述与命题6.10证明的最后几段完全一致。我们首先考虑（1）。根据假设1.9的（A）部分，对于0≤ t型≤ T、 x个∈ E、 SDE dXt有一个独特的解决方案，xs=（b-laρ）（Xt，xs）ds+a（Xt，xs）dWs，s≥ t、 Xt，Xt=x，因此进程z0，s：=E-Z·tlρ（Xu）′dWust型≤ s≤ T、 是一个FW，Wmartingale，它定义了一个测量值Pon FW，WT。请注意，我们自lρ（x）1x∈Enis有界thatE[Z0，Tlog（Z0，T）]≤ lim信息↑∞E[Z0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）]；E[Z0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）]=EPZT公司∧τntlρ′ρ（Xu）du≤EP公司ZTt公司l（徐）杜≤εEPxheεRTl（徐）对。（6.53）最后一个不等式后面是{Px}X下X的马尔可夫性质∈E、 估计值（1/2）x≤（2/ε）eεx，ε>0时x>0。接下来，让n足够大，所以x∈ 回顾an、bnin（6.47）的定义，并定义GNT的可预测过程≤ u≤ T通过Anu=-1u≤bn公司lρ（Xu）和Bnu≡ 0，Cnu≡ 很明显，风险方程（6.13）的市场价格是令人满意的，并且由此产生的密度过程满足zn0，s=Z0，sfor t≤ s≤ bn。

自| Anu |≤ |l（许）| 1u≤bn公司≤ C（n），通过构造Gnwe，knowZnis是一个gn鞅，因此定义了一个测度qn∈ Mnby dQn/dPGnT公司∧τn=Zn0，T∧τn=Zn0，bn=32 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONZ0，bn。此外，EZn0，T∧τnlogZn0，T∧τn= E[Z0，bnlog（Z0，bn）]；=EZTu公司≤T∧τnZ0，u∧T∧τnlog（Z0，u∧T∧τn）（χnγ）（Xu∧T∧τn）e-俄罗斯∧T∧τn（χnγ）（Xv）dvdu+ EhZ0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）e-RT公司∧τn（χnγ）（Xv）dvi；≤ E[Z0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）]；≤εEPxheεRTl（徐）对。上文中，第二个等式来自δn的条件密度。第一个等式成立于≤T∧τnis in FW，Wu∧T∧τnand因为（6.53）意味着Zlog（Z）是FW，Wsub鞅。最后一个不等式也可从（6.53）中得出。因此，Qn∈根据假设1.9的（6.44）和（A）部分，我们得出结论，对于每个k∈ N、 0个≤ t型≤ T，x∈Ekand n公司≥ k+1Gn（t，x）≤ supx公司∈EkεEPxheεRTl（Xu）dui+φ=C（ε，k）。因此，上述第（1）部分成立，我们可以应用命题6.7、6.9。如前所述，我们用（1.18）中的最优策略表示财富过程，用（1.19）中的密度过程表示财富过程。我们现在转向（2），上面的结果是（6.52）。为此，让Q∈fM是引理6.8中的形式，其中，B，C是FW，wp可预测过程满足（6.33）。用Z=ZQ表示合成密度过程。创建Gnpredictable进程An，Bn，Cnon[t，t∧ τn]通过Anu=Auu≤一- lρ（Xu）1an<u≤bn，Bnu=Buu≤anand Cnu=Cuu≤一再次，满足风险方程（6.13）的市场价格。然后，创建过程ZnbyZn·=EZ·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWu+Z·tCnudMnu·∧T∧τn.为了证明Znis是鞅，我们使用引理a.8，在Gnan上的迭代条件，即lρ（x）1x∈Enis有界，Z是G鞅（自Q起∈fM）推导[ZnT∧τn]=E“ZnanEZ·t-lρ（Xu）′dWubnan#=E[赞]=1。因此，zn是鞅测度Qn的密度∈ 明尼苏达州。接下来，我们注意到Zis实际上也是一个gn鞅，因为W是一个gn鞅，lρ是GN可预测的，对于t，E[Z0，s]=1≤ s

因此，我们可以扩展到GT∧τnvia Z0，T∧τn.对于相对熵，再次使用lρ（x）1x∈Enis有界与默认33条件Bayes公式的定价：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=EZnanlog（Znan）Z0、bnZ0、an+ EZnanZ0、bnZ0、anlogZ0，bnZ0，an;= E[Zanlog（Zan）]+E扎内普日志Z0，bnZ0，an尼安;= E[Zanlog（Zan）]+E扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安.（6.54）如前所述，第一项以E[Zδ]为界∧Tlog（Zδ∧T） 】。至于第二学期，我们再次使用XY≤ （1/K）eKx+（1/K）y对数（y）表示x∈ R、 y>0，K>0扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安≤KE[Zanlog（Zan）]+KEeKEPhRbnan公司lρ′ρ（Xu）du格纳尼.第一项再次以（1/K）E[Zδ）为界∧Tlog（Zδ∧T） 】。第二学期：EeKEPhRbnan公司lρ′ρ（Xu）du格纳尼≤ Ehepherkrbnan公司lρ′ρ（Xu）duGnanii；=EPhˇZ0，anEPheKRbnanlρ′ρ（Xu）duGnanii，其中71z0，s=ER·tlρ（Xu）′dWPus=dP/dPGns（参见引理6.3）。继续，我们得到了假设1.9中（B）的p>1:EPhˇZ0，anEPheKRbnanlρ′ρ（Xu）duGnanii=EPhˇZ0，aneKRbnanlρ′ρ（Xu）对；≤ EP公司ˇZ0，anp1/政治公众人物eKp2（p-1） Rbnan公司lρ′ρ（Xu）du（p-1） /p.对于上述最右边的项，我们使用假设1.9的（A）部分，并取K=2ε（p- 1） /p.那么对于klarge足够的so x∈Ekand n公司≥ k+1我们有EPeKp2（p-1） Rbnan公司lρ′ρ（Xu）du≤ EPxheεRTl（Xu）dui<C（ε，k）。至于另一项，我们通过假设1.9的（B）部分和yp的凸性，p>1，对于x∈ E和k足够大，以便x∈Ekand n公司≥ k+1：EPˇZ0，anp≤ EP公司ˇZ0，Tp= EP公司EZ·tplρ（Xu）′dWPuTep（p-1） RTt公司lρ′ρ（Xu）du;= EPphep（p-1） RTt公司lρ′ρ（Xu）对；≤ EPxphep（p-1） RT公司l（徐）队≤ C（p，k），34 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson，其中最后一个不等式来自假设1.9的（B）。

把这些加在一起，我们得到了forx∈Ek，n≥ k+1:（6.55）EZnT∧τnlogZnT∧τn≤1+2p2（p-1） εE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+C（ε，p，k）。因此，Qn∈命题6.5和（6.44）（6.56）Gn（t，x）的fMnand≤αE[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]+αE[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]。继续，再次从（6.46）我们可以写ZnT∧τn=ZanZ0，bn/Z0，ana，因此我们知道ZnT∧τn→ Zδ∧塔尔莫特肯定。此外，（6.55）表示{ZnT∧τn}是一致可积的。因此，limn↑∞E[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]=E[ZT∧Δδ≥Tφ（XT）]=E[ZT∧Δδ>Tφ（XT）]，对于E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]，回到（6.54）：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=E[Zanlog（Zan）]+E扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安.与之前一样，可以证明上面的第二项消失为n↑ ∞. 但是，对于K>00≤ 扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安≤克赞洛（Zan）+凯克夫南（KeKEPhRbnan）lρ′ρ（Xu）duGnani；≤克赞洛格（Zan）+凯菲克布南lρ′ρ（Xu）du格纳尼。第一项是一致可积的。对于第二项，我们得到了一些p＞1，以及假设1.9的p＞1，即以弗克南lρ′ρ（Xu）du格纳尼p≤ EhEPhe▄pKRbnanlρ′ρ（Xu）duGnanii；=EPhˇZanepKRbnanlρ′ρ（Xu）对；≤ EP公司ˇZanp1/政治公众人物eppK2（p-1） Rbnan公司lρ′ρ（Xu）du（p-1） /p；右侧的第一个术语已经显示为有限的。对于第二项，我们取K>0小的值，因此对于任何▄p>1，我们有▄ppK/（2）（p- 1） ）<ε。这表明以弗所（K/2）Rbnanlρ′ρ（Xu）du对于所有▄p>1，gnanis在L▄p（p）中有界，因此一致可积。因此，ZanEPZbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安= ZanZ0、anZ0、bnlogZ0，anZ0，bn,是P一致可积的，由于它几乎肯定会收敛到0，所以它在预期中消失。因此，我们有∧τnlog（ZnT∧τn）]→ E[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） 】。此给定sg（t，x）=limn↑∞Gn（t，x）≤αE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+E[Zδ∧Tδ>Tφ（XT）]。因此，我们展示了第（2）部分。从这一点开始，证明与命题6.10相同，从上面（6.52）的句子开始。默认定价35附录A。

支持引理A.1。将θ定义为（1.15）。然后（1）对于y>0，y˙θ（y）（1+θ（y））=θ（y）。（2） 石灰↑∞θ（y）log（y）=1。（3） 对于x∈ R和y>02y+x- θ（yex）- 2θ（yex）≥ 0；px+2年- θ（yex）- 2θ（yex）-|x个-θ（yex）|≥ 0。（A.1）对于上述每个不等式，当且仅当x=y>0时才存在等式。引理A.1的证明。θ显然是光滑的，（1）后面是直接计算，因为y=θ（y）eθ（y）。对于（2），很明显θ（y）→ ∞ 作为y↑ ∞ . l\'Hospital的规则意味着Limy↑∞θ（y）log（y）=石灰↑∞y˙θ（y）=石灰↑∞θ（y）1+θ（y）=1，其中从（1）开始的倒数第二个等式。最后，对于（3），将h（x，y）设置为（A.1）中方程的左侧。然后Hx（x，y）=2x- 2yexθ（yex）˙θ（yex）- 2yex˙θ（yex）=2（x-θ（yex））；hxx（x，y）=2- 2yex˙θ（yex）=2- 2θ（yex）1+θ（yex）=1+θ（yex）>0。最后两个等式从（1）开始。因此，对于固定的y，当x=θ（yex）时，h（x，y）具有唯一的最小值，但这只能在x=y时发生，因为通过构造y=θ（yey）。在这种情况下，我们有2y+y- θ（yey）- 2θ（yey）=0，给出结果。至于第二个不等式，它相当于2y- θ（yex）- 2θ（yex）（1- x）≥ 使用（1）进行的计算表明，该函数对x的偏导数为2θ（yex）（x- θ（yex））/（1+θ）。然而，θ（yex）>0和x- θ（yex）在x中急剧增加，只有在x=y时才为0。因此，对于0的值，在x=y>0时，（a.1）中第二个方程的左侧唯一最小化。引理A.2。对于（6.7）中定义的ˇ和，有一个常数C（n），因此zˇan（x，z，0）≤ C（n）（1+| z |）forx∈恩。引理A.2的证明。为了简化表示法，我们抑制了x函数参数，但保留了z函数参数。此外，C（n）是一个常数，它可能会随着行的变化而变化。

在p=0时，我们有（A.2）ˇan（x，z，0）=σχn2α2γσ+μσ- θγσeμσ+αz- 2θγσeμσ+αz.当z<0时，引理A.1得出ˇan（x，z，0）≥σχn2α2γσ（1-eαz）≥ 0,36石川哲也和斯科特·罗伯逊，因此zˇan（x，z，0）≤ 当z>0时，θ的严格正性紧随其后，即ˇan（x，z，0）≤σχn2α2γσ+μσ≤ C（n），因为χnis支持的one和γ、u、σ都有界于En。因此，我们得到了zˇan（x，z，0）≤C（n）| z |≤ C（n）（1+z）。引理A.3。对于函数71anfrom（6.7），以及任何间隔[z，z]lim sup | p|↑∞supx公司∈恩，z∈[z，z]| an（x，z，p）| | p |<∞.引理A.3的证明。我们再次抑制了x函数参数，但保留了z，p参数。因为b、A、σ、χn、γ和u都是有界的，所以我们只需要考虑术语2γσ+uσ-ασp′aρ- θγσeμσ+αz-ασp′aρ- 2θγσeμσ+αz-ασp′aρ由于θ>0，这在上面以2γ/σ+2u/σ+（2α/σ）ρ′Aρp′p为界。通过引理A.1，这在下面以（2γ/σ）（1）为界-eαz）。结果很快就出来了。引理A.4。对于（1.2）中定义的δ和（6.8）中定义的δ，我们有δn↓ δ几乎可以肯定。引理A.4的证明。固定n<m。因为χn、χm、γ连续且χn≤ χmwe有-log（U）=Rδm（χmγ）（Xu）du≥Rδm（χnγ）（Xu）du，因此δm≤ δnand因此δ=limn↑∞δnexist几乎可以肯定。此外，由于χn≤ 1我们有-log（U）=Rδγ（Xu）du≥Rδ（χnγ）（Xu）du，给出δ≤ δ与因此δ≤ δ。但是-对数（U）=limn↑∞Zδn（χnγ）（Xu）du=limn↑∞Zδnγ（Xu）du+Zδn（（1-χn）γ）（许）杜≥Zδγ（许）都。ThusRδγ（Xu）du≤Rδγ（Xu）du和δ≤ δ、 这给出了结果。引理A.5。让Ak、Bk、Ckbe如（6.23）所示。对于任何常数C（k）>0，我们有a∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Ak（x，z，p）|=1。B∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Bk（x，z，p）|<∞.C∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Ck（x，z，p）|=0。（A.3）引理A.5的证明。由于Aijdoes不依赖于p，我们得到δ（p）[Aij]（x，z，p）=0。此外，我们有δ（p）[E]（x，z，p）=2p′A（x）p，因此（δ（p）- 1） [E]（x，z，p）=p′A（x）′p=E（x，p）。

这表明，默认值为37Ak（x，z，p）=1的定价结果很简单。对于Bkwe，我们首先有，因为E（x，p）不依赖于z，即E（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）=p′p p′App′x个p′A（x）p.根据椭圆度和正则性，这个项的数量级为1/| p |，因此lim | p|↑∞supx公司∈EkE（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）=0。接下来，我们必须计算（δ（p）- 1） [ˇan]（x，z，p）。根据（6.7）中的p对术语进行分组，我们得到了ˇan（x，z，p）=p′b-χnuσρ′a（十）-αp′A.- χnaρρ′a′（x） p+χnαγ+u2σ（十）-χnσ2α（x）θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）.（A.4）这意味着δ（p）[ˇan]（x，z，p）=p′b-χnuσρ′a（十）-αp′A.-χnaρρ′a′（x） p+χnσθ（x，z，p）p′aρ，（a.5），其中最后一项后面是引理a.1，这意味着对于任何光滑函数f（p）和常数K>0pθ（Kef（p））+2θ（Kef（p））= 2θ（Kef（p））pf（p）。这里，我们将其应用于K=（γ（x）/σ（x））eu（x）/σ（x）+αzand f（p）=-（α/σ（x））p′a（x）ρ（x）。因此我们有e（x，p）δ（p）- 1.[ˇan]（x，z，p）=p′A（x）p-αp′A.- χnaρρ′a′（x） p-χnαγ+u2σ（十）+p′A（x）pχnσ（x）p′aρ（x）θ（x，z，p）+χnσ2α（x）θ（x，z，p）-2θ（x，z，p）.根据A的椭圆度和系数正则性假设，上述第一项的数量级为1，一致为1，如| p |↑ ∞. 根据（6.7）中θ（x，z，p）的定义和引理A.1，我们推断θ（x，z，p）≈ x的O（| p |）均匀∈恩，z∈ [-C（k），C（k）]，因此上面的第二项也是在1的阶上，均匀地覆盖在x上∈Ek，z∈ [-C（k），C（k）]。Thuslim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Bk（x，z，p）|≤ lim sup | p|↑∞supx公司∈EkE（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）+lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]E（x，p）δ（p）- 1.[安]（x，z，p）<∞.最后，我们必须考虑Ck。

我们首先评估δ（p）[Aij]（x，z，p）=p′xAij（x）p′p。显然，这是在1/| p |的顺序上，所以（A.6）lim sup | p|↑∞supx公司∈EnE（x，p）p′p8λkdXi，j=1δ（p）[Aij]x，z，p= 0.38 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONNext，我们必须评估δ（p）[安]（x，z，p）=安兹（x，z，p）+p′xˇan（x，z，p）p′p。从（A.4）和引理A.1我们可以看到ˇanz（x，z，p）=-χnσ（x）θ（x，z，p），通过引理A.1，它在| p |的阶上。接下来，我们从（A.4）中得到xˇan（x，z，p）=dXi=1pix个b-χnuσρ′ai（x）-αdXi，j=1pipjx个A.- χnaρρ′a′ij（x）+x个χnαγ+u2σ（十）-θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）x个χnσ2α（十）-χnσ2α（x）x个θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）.以上前两行的术语顺序为| p |。使用（6.7）和引理A.1，我们得到x个θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）= 2θ（x，z，p）x个日志γσ+uσ（十）-αdXi=1pix个aρσi（x）！。再次使用（6.7）和引理A.1，我们可以看到这是在| p |的顺序上。因此，我们看到-χnσ2α（x）x个θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）在| p |的顺序上，这意味着xˇan（x，z，p）也在| p |的顺序上。因此，我们推断δ（p）[ˇan]（x，z，p）=ˇanz（x，z，p）+p′xˇan（x，z，p）p′pis的顺序为| p |，因此lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]E（x，p）δ（p）[ˇan]（x，z，p）=0完成证明。引理A.6。让Dkbe如（6.24）所示。对于任何常数C（k）>0，我们有∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Dk（x，z，p）|<∞.（A.7）引理A.6的证明。自|pE（x，p）|=| A（x）p |通过thatlim sup | p的椭圆度很清楚|↑∞supx公司∈Ek | p |∧k+| p||pE（x，p）| E（x，p）<∞.对于（1/E（x，p））| p||p y an |，从（A.5）我们可以看到pˇan（x，z，p）=b-χnuσρ′a（十）-αA.-χnaρρ′a′（x） p+χnσθ（x，z，p）aρ，根据引理a.1，我们可以看到这个项的数量级为| p |。Thereforelim sup | p|↑∞supx公司∈Ek | p||pˇan（x，z，p）| E（x，p）<∞,默认定价39，完成结果。引理A.7。让Gnbe来自命题6.1，回顾函数^πnfrom（6.15）和财富过程^Wnfrom（6.11）。

然后，对于（6.16）中的^Znas，可以得出^Zns=1-αZst^Znu-u≤τn∧δn^πnχnσρ′+(Gn）′a（u，Xu）dWu- αZst^Znu-u≤τn∧δn^πn√χnσp1-χnρ′ρ（u，Xu）dWu+Zst^Znu-u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）- 1.dMnu。此外，在[t，t]×Enit之后是χn（u- γ） +χnσρ′^πnχnσρ′+(Gn）′a+√χnσp1-χnρ′ρ^πn√χnσp1- χnρ′ρ- χnγeα（πn+Gn）- 1.= 引理的证明。写入^Zns=e-αynswwhere Yns=^Wns-Gn（t，x）+1s∧τn<δnG（s∧τn，Xs∧τn）。It^os公式表示^Zns=1- αZst^Znu-d（Yn）cu+αZst^Znu-d[Yn，Yn]cu+Xt<u≤塞兹努-1^Znu^Znu-- 1.（A.9）其中（Yn）表示Yn的连续部分。根据（6.9）和分部积分公式：dYns=1s≤τns≤δn^πn（s，Xs）（χnu）（Xs）ds+（χnσρ）（Xs）′dWs+√χnσp1-χnρ′ρ（Xs）dWs- 1秒≤τn^πn（s，Xs）dHns+1s∧τn≤δns≤τn（Gnt+LGn）（s，Xs）ds+1s∧τn≤δns≤τn(Gn）′a（Xs）dWs- 1秒≤τnGn（s，Xs）dHns。收集术语，这意味着d（Yn）cs=1s≤τn∧δn（^πnχnu+Gnt+LGn）（s，Xs）ds+1s≤τn∧δn^πnχnσρ′+(Gn）′a（s，Xs）dWs+1s≤τn∧δn^πn√χnσp1-χnρ′ρ（s，Xs）dWs，（A.10）和（A.11）d[Yn，Yn]cs=1s≤τn∧σn（πn）χnσ+2πnχnσ(Gn）′aρ+(Gn）′AGn公司（s，Xs）ds。40石川哲也（TETSUYA ISHIKAWA）和斯科特·罗伯逊（ScottRobertson）指出，^zn只会在u≤ 如果u=δn，则为s≤ τn.在这种情况下Ynu=-^πn（u，Xu）- Gn（u，Xu）sothat^Znu/^Znu-= eα（πn（u，Xu）+Gn（u，Xu））。