违约情况下的最优投资和定价

对于违约强度，我们假设在θ的长期平均值下，一年内违约概率为3%，对应于e-σγθ=。最后，我们使用3的风险规避。这产生u=0；u=1.3608；σ=1.2247；ρ=-0.53；κ=0.25；θ=0.06；ξ=0.1；γ=0；γ=0.4145；α=3。（5.1）引理2.1的条件得到满足，因此定理1.11以及命题3.1、4.1得以通过。在时间t=0时，图2显示了动态违约保险价格f（0，x）和无差异价格P（0，x；q）作为基础状态变量x的函数。对于动态保险价格，我们还计算了命题4.1中的上界γ^qf和P下的违约强度，在这种情况下也是最小鞅测度下的强度：参见[8，29]。在此，我们看到保险价格随着状态变量的增加而增加，这是直觉所指示的，因为物理测量默认强度在x中是线性的。P我们的代码可根据要求联系第二作者，地址为“scottrob@bu.edu“.14 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSON0 0.05 0.1 0.150.020.040.060.080.10.120.140.160.180 0.05 0.1 0.150.30.40.50.60.70.80.9图2。时间0时的动态违约保险价格（左图）和可违约债券无差异价格（右图）作为基础状态变量的函数。参数如（5.1）所示地平线为T=1年。在保险图中，实线对应于（4.5）中的f。虚线是命题4.1的上界γ^qf，虚线是P下的默认强度γ（也是最小鞅测度下的强度）。在无差异价格图中，给出了q=1（破折号）、q=3（点破折号）、q=5（点）和q=10（实数）名义价格。

状态变量范围为X不变分布的2.5%至97.5%分位数。对于无差异价格，我们绘制了价格作为名义尺寸q的函数，以及q=1、3、5、10的状态变量X。正如预期的那样，价格在q下降，在x上升（回想一下：这是我们购买可违约债券的价格）。定理1.11的证明定理1.11的证明很长，因为我们在一般领域工作，不假设因子过程的一致椭圆度，也不限制模型系数有界。证明定理1.11的大纲包括以下步骤：（1）确定（1.17）中偏微分方程的局部版本，其中我们能够使用解及其梯度均为二次增长的半线性椭圆方程理论来证明有界梯度解的存在性。（2） 将局部最优投资问题与局部偏微分方程相关联，并证明局部偏微分方程的任何解都是局部最优投资问题的确定性等价物，因此解是唯一的。（3） 证明了局部偏微分方程的解是局部一致有界的，因此存在完全偏微分方程的解。（4） 证明了完全偏微分方程的解是完全最优投资问题的确定性等价，并确定了最优交易策略和等价的局部鞅测度。在本节中，由于函数φ是固定的，我们在（1.17）中为PDE写G=G（·；φ）。此外，假设1.1、1.2、1.4、1.5和1.6也有效。至于假设1.8、1.9，仅在下文命题6.10、6.11中需要这些假设，并明确使用这些假设。默认定价156.1。Molli fiers和功能空间。我们首先引入molli fiers，以确定本地PDE。

为此，我们声称，在不丧失一般性的情况下，我们可以重新索引假设为1.1的子域，以便每个n都存在一个函数χn∈ C∞（E；R）使得（6.1）0≤ χn≤ 1.En上的χn=1-1.χnis支持onEn；En上χn>0。实际上，设置εn=（1/3）距离(恩，恩-1） 。然后设置E′n=x个∈ 东区（x，En）-1） <εn和▄En=x个∈ E |距离（x，En-1） <2εn. 最后，设置χn=ηεn 1E′n其中ηε是标准摩尔数（见【6，附录C】）。然后χn∈ C∞（E；R）带0≤ χn≤ 此外，我们在En上有χn=1-1.En-1，χn在▄En中受支持，且在▄En中χn>0。因此，（6.1）满足En，也满足假设1.1。因此，我们可以重新标记En=~En。接下来，我们将介绍PDE解决方案所在的函数空间。我们使用[19，第1.3、4.1章]的符号。也就是说，让Q表示R1+和writeX=（t，x），t中的一个区域∈ R、 x个∈ rm对于Q中的典型点。由ρ（X，X）给出的nx，Xis之间的抛物线距离：=max|t型- t | 1/2，| x- x个|,对于Q和β上的给定函数f∈ （0，1）我们定义| f | 0，Q：=supX∈Q | f（X）|；[f] β，Q：=supX，X∈Q、 X6=X | f（X）- f（X））|ρ（X，X）β；hfiβ，Q：=supX∈Qsupt6=t，（t，x）∈Q | f（t，x）- f（t，x）| | t- t |β/2。（6.2）接下来，对于给定的非负整数k，通过（6.3）| f | k+β，Q：=X |α|+2j=k[DαxDjtf]β，Q+X |α|+2j=k，定义|·| k+β范数-1hDαxDjtfi1+β，Q+X |α|+2j≤k | DαxDjtf | 0，Q。这里a是一个范数为| a |的多索引。Daxis是由a确定的关于x的导数，Djis是关于t的导数。抛物线H"older空间Hk+β，Qis是Q上所有函数的Banach空间，f | k+β，Q<∞. 当Q采用特殊形式Q=（0，T）×E时，空间Hk+β，Q，loc是所有带K的有界区域K的Hk+β，（0，T）×kf中的函数集 E、 我们特别注意k=2时，因此（6.4）| f | 2+β，Q=X |α|+2j=2[DαxDjtf]β，Q+X |α|=1hDαxDjtfi1+β，Q+X |α|+2j≤2 | DαxDjtf | 0，Q，k=0，其中| f | 0+β，Q=| f |β，Q=[f]β，Q+| f | 0，Q.6.2。局部偏微分方程与最优投资问题。

考虑到molli fiersχnin的位置，考虑（0，T）×En上（1.17）的本地化版本：0=Gnt+LGn-α（Gn）’AGn+σχn2α2γσ+uσ-ασ（Gn）′aρ- θGn- 2θGn;χnφ=Gn（T，·）。（6.5）16石川哲也（TETSUYA ISHIKAWA）和斯科特·罗伯逊（SCOTT Robertson）符合【19】中的符号，我们反转时间，定义vn（t，x）：=Gn（t-t，x），Ohmn： =（0，T）×En，且Γ为Ohmn、 此外，我们为vnas0=P vn编写PDE：=- vnt+TrADvn公司+ ˇan（x，vn，vn）；（t，x）∈ Ohmnχnφ=vn；（t，x）∈ Γn.（6.6）在上面，我们定义了（χnφ）（t，x）：=χn（x）φ（x）（t，x）∈ Γn.kAlso，代表x∈ 恩，z∈ R、 p∈ Rdwe已设置（从（1.15）中调用θ）：θ（x，z，p）：=θγ（x）σ（x）eu（x）σ（x）+αz-ασ（x）p′a（x）ρ（x）;ˇan（x，z，p）：=b（x）′p-αp′A（x）p+σ（x）χn（x）2α2γ（x）σ（x）+u（x）σ（x）-ασ（x）p′a（x）ρ（x）!-σ（x）χn（x）2αθ（x，z，p）- 2θ（x，z，p）.（6.7）使用此符号，以下是[19，定理12.16]的直接结果。提案6.1。存在解决方案vn∈ H2+β，Ohmnto（6.6）和解决方案Gn∈ H2+β，Ohmnto（6.5）。命题6.1的证明。一旦满足必要的假设，结果将遵循【19，定理12.16】。为此Enis C1，β表示Γn∈ H1+β。此外，φ∈ C2、β（E；R）和χn∈ C∞（E；R）表示χnφ∈ H1+β，Ohmn、 接下来，下面的引理A.2意味着[19，方程（12.26）]，A的局部椭圆度产生[19，方程（12.25a）]。A.∈ C2，β（E；Sd++）表示Aij∈ H1，K（即isLipschitz），对于En的所有有界子集K。系数正则性还意味着对于En×R×Rd的所有有界子集K，an（x，z，p）在Hβ，K中。关于[19，方程（12.27）]，引理A.2的第一条注释[19，方程（12.26）]，意味着（6.6）中PDE解的先验最大原理。事实上，将引理A.2与[19，定理9.5]结合应用于两个vn，-因此，任何解vnto（6.6）都满足约束su pOhmn | vn |≤ e（1+C（n））TsupEn |φ|+C（n）1/2.

因此，任何解vn都位于R的紧区间[z，z]中。鉴于此，下面的引理a.3表明| an |的阶数为| p |。同样清楚的是，Aijz=Aijp=0，Aijxis独立于p，因此在1的阶上。因此，满足了[19，定理12.16]的结果假设，并且（6.6）中的偏微分方程存在一个解Vn。现在，[19，定理12.16]得到了一个解vn∈ H-1.-β2+β，定义见【19，C第4章】。然而，由于在（6.6）中，因此χnφ（边界项）满足一阶相容条件：Pχnφ=0；{0}×恩，既然χnvanishes开了恩。因此，正如【19，定理12.16】（c.f【19，定理5.14,8.2】末尾所述，vn∈ H2+β，Ohmn、 这给出了结果。K与[19，方程式（12.2）]相比，我们得出aij=（1/2）Aijand a=an。默认定价17备注6.2。我们记录| Gn | 2+β，Ohmn<∞ 表示sup0≤t型≤T、 x个∈恩|Gn（t，x）|≤ C（n）对于某些常数C（n）。这将用于下面命题6.5的证明。接下来，我们将显示Gnis是第1.2节中最优投资问题的本地化版本的确定性等价物。实际上，fix 0≤ t型≤ T、 x个∈ E并考虑n足够大，以便x∈ 恩。系数processX=Xt，xis与备注1.3中的相同。接下来，确定局部默认时间δnvia（6.8）δn：=in fs≥ t | Zst（χnγ）（Xu）du=-日志（U）,局部缺省指示符过程及其通过Hns的补偿器：=1δn≤砂Mns：=Hns-卢比∧s的δnt（χnγ）（Xu）du≥ t、 以与（1.4）类似的方式设置GNI，并注意MN是GN鞅（c.f.[27，定理1.51，4.48]）。资产价格过程Snt定义为s≥ t： （6.9）dSnsSns-= 1秒≤δn（χn（u- γ） ）（Xu）du+（χnσρ）（Xu）′dWu+√χnσp1-χnρ′ρ（徐）德武- dMns。在本地化了违约强度和资产动态之后，我们接下来本地化了当X退出En时要停止的最优投资问题。

为此，定义（6.10）τn：=单位：f{s≥ t | Xs∈ 恩}。集Mnas为GnT上的等价局部鞅测度类∧τn（这些度量使得snstopped于τnis[t，t]上的Gnlocal鞅），并让fmndnote相对于GnT上的P具有有限相对性的子集∧τn.表示为GN类可预测交易策略πnsothatπn··≤τn/Sn·-在[t，t]上是不可积的，因此所得财富过程Wπ对所有Qn都是不可积的∈fMn。这里，s的Wπnhas动力学≥ t： dWπn，ws=1s≤τnπnsdsnss-;= 1秒≤τn∧δnπns（χn（u- γ） ）（Xu）du+（χnσρ）（Xu）′dWu+√χnσp1-χnρ′ρ（Xu）dWu公司- 1秒≤τnπnsdMns，（6.11）对于起点（t，x），局部最优投资问题是（6.12）un（t，x）：=supπn∈安尼-e-α（WπnT∧τn+1δn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn））i.在确定确定性等价物之前-（1/α）对数(-un（t，x）），利用命题6.1中的Gn（t，x），我们给出了关于此背景下局部鞅测度结构的两个补充结果。第一个结果见[1，命题5.3.1]：引理6.3。对于任何度量Qn~ GnT上的P∧τn这是代表性dqdpGnT公司∧τn=EZ·（Anu）′dWu+Z·BnudWu+Z·CnudMnuT∧τn，18 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson，其中An、BN和Cn是可预测的过程。此外，（WQn，W0，Qn）是一个Qn布朗运动，在T处停止∧ τnwhere WQn·：=W·-R·Anudu，W0，Qn·：=W·-R·Bnudu，MQn·：=Mn·-R·∧δnt（χnγ）（Xu）Cnudu是一个Qnmartingale，停在T∧ τn.第二引理刻画了当一个测度Qn~ GnT上的P∧Mn中的τnis：引理6.4。让Qn~ GnT上的P∧τn，设An，Bn，Cnbe如引理6.3所示。然后Qn∈ P×leb[t，t]的Mnif和onlyif几乎全部（ω，u）：（6.13）t≤u≤δn∧τn∧T（χn（u- γ） ）（Xu）+（χnσρ）（Xu）′Anu+√χnσp1- χnρ′ρ（徐）Bnu-（χnγ（Xu））Cnu= 引理的证明6.4。

使用Snin（6.9）的动力学和引理6.3，可以得出Qn下的结果∈ mn资产Snhas dynamics on[t，t∧ τn）]：dSnuSnu-= 1u≤δn（χn（u- γ） ）（Xu）+（χnσρ）（Xu）′Anu+√χnσp1- χnρ′ρ（徐）Bnu-（χnγ（Xu））Cnudu+1u≤δn（χnσρ）（Xu）′dWQnu+√χnσp1-χnρ′ρ（Xu）dW0，Qnu- dMQnu。（6.14）由于具有有限变化路径的连续局部鞅必须是常数（c.f.[28，Ch IV，Prop（1.2）]），结果如下。动态规划原理的启发式使用表明，确定性等价于unis的PDE与（6.5）中的相同。以下命题表明，命题6.1中的GN确实是等价的。提案6.5。Gn有一个独特的解决方案∈ H2+β，Ohmnto（6.5）中的PDE，其形式为gn（t，x）=-（1/α）对数(-un（t，x）），对于（6.12）中未定义的内容。对于局部最优投资问题，最优交易策略为（6.15）^πns=^πn（s，Xs）=^πn（s，Xt，Xs）；^πn：=αuσ-ασ(Gn（·））′aρ- θGn（·）; t型≤ s≤ T∧τn.最优鞅密度过程由^Zn=^Zn，（t，x）给出，其中（6.16）^Zns=e-α（W^πns-Gn（t，x）+1s∧τn<σnGn（s∧τn，Xs∧τn））；t型≤ s≤ T∧ τn.命题6.5的证明。写入^Wn=W^πnand，注意下面的C（n）是一个常数，它可能会随着行的变化而变化。因为Gnsolves（6.5）在T∧ τnwe有^ZnT∧τn=eαGn（t，x）×e-α（^WnT∧τn+1T∧τn<δn（χnφ）（XT∧τn），so^Wn，^zn满足最优性的一阶条件。根据众所周知的指数效用的效用最大化结果（见[4，16，10，13]），如果（1）Wnis是所有Qn的Qnsuper鞅，则结果如下∈fMn。（2） ^ZnT∧τn=d^Qn/dPGnT公司∧τn对于某些^Qn∈fMn。默认为19（3）^wn的定价是一个^Qnmartingale。第（1）和（3）部分紧跟引理6.3、6.4和备注6.2。

实际上，使用（6.14）wehaved^Wns=1u≤τn∧δn^πn（u，Xu）（χnσρ）（Xu）′dWQnu+√χnσp1-χnρ′ρ（Xu）dW0，Qnu- 1u≤τn^πn（u，Xu）dMQnu。因此，h^Wn，^WniT∧τn=ZT∧τn∧δnt（^πn（u，Xu））χnσ（Xu）du+1δn≤T∧τn（^πn（δn，Xδn））。自|πn |≤ C（n）在[t，t]×En（见备注6.2）上，σ，χnare在Enit上有界，遵循qnalmoststruen[^Wn]t∧τn≤ C（n），因此，^Wnis是一个Qnmartingale（C.f.[27，定理1.51,4.48]）。这也给出了（1）和（3），前提是我们可以显示（2）。为此，使用下面引理a.7中的Ingit^o公式进行的冗长而直接的计算显示了^Znhas动力学：d^Zns^Zns-= 1秒≤τn∧δn（Ans）’dWs+BnsdWs+ 1秒≤τnCnsdMns；Ans=-α（^πnχnσρ+a）Gn）（s、Xs）；Bns=-α^πn√χnσp1-χnρ′ρ（s，Xs）；中枢神经系统=eα（πn+Gn）-1.（x，Xs）。（6.17）备注6.2和（6.15）表明，几乎可以肯定的是| Ans |、| Bns |、| Cns |≤ C（n）。此外，注意An，Bn，cnfw是可预测的，并且存在一些εn>0，因此Cns>-（1）-εn）。因此，根据[26，定理9]，可以得出^zn是严格正鞅**. 仍需证明^Qnde由^ZnT定义∧τnis信息。首先，那^Qn∈ mn紧随下面引理A.7中的（A.8）以及引理6.4。对于相对熵，请注意，通过定义^Znin（6.16）和（6.5），我们得到了^ZnT∧τnlog^ZnT∧τn= -α^ZnT∧τn^WnT∧τn- α^ZnT∧τnT∧τn<δn（χnφ）（XT∧τn）+α^ZnT∧τnGn（t，x）。自0起≤ χn≤ 1，φ有界，^Zn是鞅，而gni是确定性的，^Zn^Wnis amartingale这一事实暗示了期望的结果。因此，Eh^ZnT∧τnlog^ZnT∧τni<∞ 所以^Qn∈fMn。6.3。展开本地化：分析结果。现在，我们提供了两个分析结果来展开本地化。第一种方法使用最大本金来获得解Gnto（6.5）的统一下界。第二个证明了（1.17）解的存在性，给出了Gn的局部一致上界。提案6.6。让GN表示命题6.1和6.5中（6.5）的唯一解。

回顾假设1.6中φ的定义。然后，对于每个n，inf0≤t型≤T、 x个∈工程师（t，x）≥ φ。**注意R·ts≤τnCnsdMnsis是一个鞅，因为它具有有界的二次变化：参见[27，定理1.51和4.48]。显然，布朗随机积分是鞅。20 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson命题6.6的证明。首先，假设GN在[0，T）×Enat（T，x）中有一个最小值。如果T>0，则Gnt（T，x）=0。如果T=0，则Gnt（T，x）≥ 0.此外，Gn（t，x）=0。根据En中A的椭圆度，（6.5）表示at（t，x）：0≥χnσ2α2γσ+μσ- θγσeμσ+αGn- 2θγσeμσ+αGn;≥χnσ2α2γσ+μσ-2γσeαGn-uσ;=χnγα1.-eαGn.上面的第二个不等式使用下面的引理A.1，y=（γ/σ）eαGnand x=u/σ。自x起∈ Enandχn，γ>0，我们看到0≥ 1.- eαGn，表示Gn≥ 0≥ φ。但是，我们已经知道Gn（T，·）=χnφ≥ φ和Gn（t，En）=0≥ φ。因此，结果如下。下一个命题涉及面更大。虽然可以从[18，定理V.8.1]中推导出来，但为了透明，我们使用[19，9]中的结果提供了详细的证明。提案6.7。假设Gnbe是命题6.1和6.5中（6.5）的唯一解。为eachk假设∈ N该（6.18）supn≥k+1sup0≤t型≤T、 x个∈EkGn（t，x）=C（k）<∞.然后存在一个解决方案G到（1.17）。特别是，有一个子序列（仍然标记为n）使得gnh2+β，（0，T）×E，loc收敛到G。命题6.7的证明。在下文中，C（k）是一个常数，它取决于[0，T]×Ek中的所有模型量，但可能会随着线的变化而变化。注意，命题6.6和（6.18）暗示（6.19）supn≥k+1sup0≤t型≤T、 x个∈Ek | Gn（t，x）|<∞.步骤1：使用[19，T heorem 11.3（b）]和（6.19）得出结论（6.20）supn≥k+2sup0≤t型≤T、 x个∈埃克|Gn（t，x）|<∞.为了说明这一点，我们回顾一下Gn（t，x）=vn（t- t、 x）式中，VN用（6.7）中定义的“另一个索引”求解（6.6）中的PDE。接下来，我们定义伯恩斯坦函数（c.f。

[19，方程（8.3）]：（6.21）E（x，p）：=p′A（x）p；x个∈ E、 p∈ Rd.注意，假设我们有E（x，p）≥ x的λkp′p>0∈ek和一些λk>0。接下来，我们定义了[19，第11章]中的微分算子，它们通过（6.22）δ（p）[f]（x，z，p）：=fz（x，z，p）+p′pp′作用于函数f（x，z，p）xf（x，z，p）；δ（p）[f]（x，z，p）：=p′pf（x，z，p）。域的默认21定价Ohmk=（0，T）×ek【19，方程式（11.7）】中的数量A，B，C变为++Ak（x，z，p）：=E（x，p）p′p8λkdXi，j=1δ（p）[Aij]（x，z，p）+δ（p）-1.[E] （x、z、p）;Bk（x，z，p）：=E（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）+δ（p）-1.[安]（x，z，p）;Ck（x，z，p）：=E（x，p）p′p8λkdXi，j=1δ（p）[Aij]（x，z，p）+ δ（p）[ˇan]（x，z，p）.（6.23）从下面的引理A.5中，我们可以看到数量A∞k、 B类∞k、 C类∞kof（A.3）与∞k=1和C∞k=0。最后，正如【19，方程式（11.4）】后面所述，我们取aij*= aij，fj=0，并使用这些值验证[19，方程式（11.17abc）]。在所有这些准备工作之后，我们准备好调用[19，Theroem11.3（b）]。首先，请注意，[19，等式（11.17ac）]成立。对于[19，方程式（11.17b）]，取θ=1t，注意，有一个常数∧k>0，因此E（x，p）≤ ∧kp′p inEk（这是[19，方程式（11.17b）]的∧）。接下来，定义（6.24）Dk（x，z，p）：=E（x，p）∧kp′p+| p |（|pE（x，p）|+|pˇan（x，z，p）|）.从下面的引理A.5我们可以看到数量D∞kof（A.7）是有限的，因此[19，方程式（11.17b）]适用于所有Q=（0，T）×B（x，R）和x∈ Ekand R>0足够小。事实上，让x∈ 埃克-1设置R=距离（Ek-1.瑞典克朗）。对于这样的x，R，我们有[19，方程（11.17b）]，同样地，对于n≥ k+1我们从[19，定理11.3（b）]得出：|Gn（t，x）|=|vn（x，T- t） |≤ c1个+osc公司OhmkvnR公司.这里，cdepends在Ak上∞, 黑色∞, Ck公司∞和supBQ上|vn |。