违约情况下的最优投资和定价

然而，如【19，第2.1章】所述，BQ={0}×B（x，R），因此s upBQ|vn |≤ 苏佩克|φ|，因为n≥ k+1，我们在{0}×Ek上有vn=φ。最后，数量oscOhmkvnis在【19，第4.1节】中有定义，但在我们的案例中，kvnis以bysup为界Ohmkvn公司- inf公司Ohmkvn=supOhmkGn公司- inf公司OhmkGn公司≤ C（k）- φ、 最后一个等式来自（6.18）和命题6.6。将所有这些放在一起，并使用Gnon公司Ohmkwe获得支持≥k+1sup0≤t型≤T、 x个∈埃克-1个|Gn（t，x）|≤ C（k）。如果我们通过移动k到k来重新索引它- 1我们获得（6.20）。步骤2：使用（6.20）和[9，定理4，第7章，第2节]来显示（6.25）supn≥k+3【Gn】β，Ohmk+[Gn]β，Ohmk≤ [19，方程式（11.7）]的C（k），++v等于p′p：见[19，方程式（11.2）]后面的内容。22 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONwhere[·]β，Ohmkis定义见（6.2）。实际上，fix k≥ 2和n≥ k+2。现在，将[9，T heorem 4，Ch 7，Section 2]直接应用于vn（T，x）=Gn（T- t、 x）我们将其应用于vn的截断版本，由（6.26）ˇvn：=χk（vn）给出- φ） （t，x）；（t，x）∈ Ohmk、 请注意71vn∈ H2+β，Ohmk上的Γvn=0。将PDE用于vnin（6.6），得出Γvn解出thePDE（6.27）- ˇvnt+TrADˇvn= f、 式中（6.28）f：=-χkˇan+vnTrADχk+ (vn）′Aχk-Tr公司AD（χkφ）.注意f在{0}×处消失此外，由于（1）|χk | 0，Ohmk+Pdi=1|xiχk | 0，Ohmk+Pdi，j=1|xi，xjχk | 0，Ohmk≤ C（k）按构造。（2） φ≤ 越南≤ 第6.6和（6.18）条中的C（k）。（3）|vn | 0，Ohmk≤ C（k）乘以（6.20）。（4） φ∈ C2，β（E），因此φ∈ H2+β，Ohmkby假设，我们知道（6.29）| f | 0，Ohmk≤ C（k）。因此，通过【9，定理4，Ch 7，第2节】我们得到了【vn】β，Ohmk+[71vn]β，Ohmk≤ C（k）| f | 0，Ohmk、 现在，因为vn=φ+ˇvninOhmk-1三角形不等式意味着[vn]β，Ohmk-1+[vn]β，Ohmk-1.≤ [φ] β，Ohmk-1+[φ] β，Ohmk-1+[ˇvn]β，Ohmk-1+[71vn]β，Ohmk-1.≤ |φ| 2+β，Ohmk-1+C（k）| f | 0，Ohmk≤ C（k）。这保持了n≥ k+2。

更换k- 1对于k，我们可以看到n≥ k+3我们有[Gn]β，Ohmk+[Gn]β，Ohmk=[vn]β，Ohmk+[vn]β，Ohmk≤ C（k）。这就是我们想要展示的。步骤3：使用（6.25）和[19，定理（5.14）]表示（6.30）supn≥k+4 | Gn | 2+β，Ohmk≤ C（k）。让n≥ k+3。我们保留了上一步中的符号&vn。因为ˋVnStifies线性抛物线PDEin（6.27）inOhmk在Γk上，当边界条件|vn=0时，由众所周知的非线性抛物型偏微分方程的存在性结果（参见，例如，[19，定理5.14]）得出| vn | 2+β，Ohmk≤ C（k）| f |β，Ohmk=C（k）（| f | 0，Ohmk+[f]β，Ohmk） 。默认定价23By（6.29）我们已经知道| f | 0，Ohmk≤ C（k）。然而，从（6.28），（6.25）以及模型系数和χkit的规律性可以很容易地看出，[f]β，Ohmk≤ C（k）。这就产生了| vn | 2+β，Ohmk≤ C（k）。因为ˇvn=vninOhmk-我们看到| Gn | 2+β，Ohmk-1=| vn | 2+β，Ohmk-1.≤ ||vn | 2+β，Ohmk≤ C（k）。因此，替换k-1带k，从n开始≥ k+4表示| Gn | 2+β，Ohmk≤ C（k），精确地说是（6.30）。步骤4：使用（6.30）获得溶液G至（1.17）。这个证明是标准的，遵循对角线子序列参数。实际上，将一个整数k乘以（6.30）应用于k=kwe可以提取一个子序列gnk，该子序列在·······································································································································，OhmK到函数Gk。很明显，Gksolves（1.17）inOhmkwith Gk（T，·）=φon Ek。然后，对于k=k+1，我们可以取进一步的子序列gnk，其收敛于|·| 2+β，Ohmktoa函数gk满足中的PDEOhmk、 按构造Gk=GkinOhmk因此将G设置为该公共函数，G在Ohmk、 对k，k+1，…重复此过程。。。我们得到了一个函数gw，它在正确的边界条件下求解（0，T）×E中的完全偏微分方程。很明显，G∈ H2+β，Ohmkforeach k和G∈ H2+β，（0，T）×E，位置。这就完成了证明。6.4。展开本地化：概率结果。我们现在提供概率结果，以补充第6.3节中的分析结果。

第一个引理在精神上与引理6.3、6.4相似，但包含了关于（1.13）对偶问题的附加声明。双重问题是（回想一下，我们是从t开始的≤ T和因子过程满意度Xt=x）：（6.31）v（T，x；φ）：=infQ∈fM公司EhZQTlogZQT公司i+αEhZQTδ>Tφ（XT）i; ZQT=dQdP燃气轮机。引理6.8。假设FM 6= 因此有一个独特的优化器^Q∈fM到（6.31）的右侧（c.f.，[25，定理1.1]），那么Z^qm必须是t的形式≤ s≤ T：（6.32）Z^Qs=EZ·tu≤T∧δA′udWu+Z·tu≤T∧δBudWu+Z·tu≤T∧δCudMus、 式中，A、B、C为FW、W可预测过程，使得（6.33）0=（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu，对于P×leb[t，t]，几乎每个（ω，u）。引理6.8的证明。与引理6.3、6.4中相同的参数表明，如果Q∈ M代表t≤ s≤ T:ZQs=EZ·tA′udWu+Z·tBudWu+Z·t+CudMus、 式中▄A，▄B，▄C是G可预测的，其中P×leb[t，t]几乎每（ω，s）0=1u≤T∧δ（u- γ） （Xu）+σρ（Xu）′~Au+σp1- ρ′ρ（Xu）~Bu- γ（Xu）~Cu.24 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONWe首先声称∈对于对偶问题，fM，Q不可能是最优的，除非在T∧ δ。确实，Q∈fM意味着上面的ZQas是鞅和EhZQTlogZQT公司i<∞. 因此，ZQlog（ZQ）是一个次鞅。因此，由于1δ>Tφ（XT）=1δ>Tφ（XT∧δ） 在GT中∧δ我们通过次鞅性质和可选抽样定理得到了ehzqtlogZQT公司i+αEhZQTδ>Tφ（XT）i≥ EhZQT∧δlogZQT公司∧δi+αEhZQT∧Δδ>Tφ（XT∧δ） 因此，任何优化器都必须位于EhZQTlog所在的类中ZQT公司i=EhZQT∧δlogZQT公司∧δi、 这意味着几乎可以肯定ZQTlogZQT公司= ZQT公司∧δlogZQT公司∧δ. 因此，根据优化器的唯一性，它必须保持关联的A、B、C的形式为（6.34）A··≤T∧δ、 B··≤T∧δ、 C··≤T∧δ。现在，到目前为止，~A、~B、~C只需要是G可预测的。

但是，如【1，第5章】所示，由于G的特殊结构，我们得到了在区间【t，t】上，~A，~B，~C与FW，wp可预测过程A，B，C重合∧ δ） 。因此，P×leb[t，t]几乎可以肯定0=1u<t∧δ（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu;= 1u≤T∧δ（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu-1u=T∧δ（u- γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1- ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu.确定FW、WPR可预测流程：=（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu-γ（Xu）Cu; t型≤ u≤ T、 对于任何ε>0，我们有P×leb[T，T][1u=T∧δYu≥ ε]≤ P×leb[t，t][u=t∧ δ] 。但是，对于每个u∈ 我们知道P[u=t∧ δ] =EhEhu=δFW，W∞ii=0，因为δ的密度取决于FW，W∞. 当{u=T}的勒贝格测度为0时，我们可以看到P×leb[T，T][1u=T∧δYu≥ ε] =0表示所有ε>0。类似的参数显示P×leb[t，t][1u=t∧δYu≤ -ε] =0，因此P×leb[t，t]几乎可以肯定0=1u≤T∧δ（u- γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu（6.35）现在，对于如上所述的Y，假设存在一个开放区间（a，b） [t，t]，a集合a∈ FW，W和ε>0的常数≥ ε在A×（A，b）和P[A]>0上。然后我们有{1u≤T∧δ、 于≥ ε} （A×（A，b））∩ （{δ>T}×[T，T]）=（A∩ {δ>T}）×（a，b）。显然，leb[t，t]（a，b）=（b- a） /（T- t） >0。此外，P【A】∩ {T>δ}]=EhAe-RTγ（Xu）dui>0，其中最后一个不等式紧随其后，因为P[A]>0且γ是连续的。这与（6.35）相矛盾。Y的类似参数≤ -ε表明，P×leb[t，t]几乎可以肯定Y=0，从而得出结论。接下来，我们将给出命题6.7的概率对应项，该命题将产生一个候选对偶优化器以及确定性等价物的上界。默认定价256.9号提案。假设Gnbe是命题6.1和6.5中（6.5）的唯一解。

如命题6.7所示，假设每个k∈ N该（6.36）supn≥k+1sup0≤t型≤T、 x个∈EkGn（t，x）=C（k）<∞.设G表示命题6.7中（1.17）的解，并回忆子序列（仍标记为n），使得gn在H2+β，（0，T）×E，loc中收敛到G。修复t∈ [0，T]，x∈ E、 对于G，定义^π如（1.18）所示，定义^Z如（1.19）所示。（1）^Z是测度^Q的密度过程∈fM。（2） W^π是a^Q次鞅。（3） 对于（1.13）（6.37）中的u（t，x；φ）-α对数(-u（t，x））≤ G（t，x）。命题6.9的证明。取k，n≥ k+1足够大，以便x∈埃克。根据命题6.5，Gnis的确定性相当于（6.12）。此外，提案6.5中的流程^zn定义了度量^Qn∈FMN解决了对偶问题（类似于（6.31））。因此，Eh^ZnT∧τnlog^ZnT∧τni=αGn（t，x）- αEh^ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）i≤ α（C（k）- φ） ，（6.38），其中最后一个等式来自（6.36）。这表明N^ZnT∧τ非≥k+1是一致可积的。接下来，当X=Xt时，我们几乎可以肯定地知道^πn（s，Xs）→ ^π（s，Xs），t≤ s≤ T^π决定财富过程^W，动态d^Ws=^π（s，Xs）1s≤δu（Xs）ds+（σρ）（Xs）′dWs+（σp1-ρ′ρ）（Xs）dWs- ^π（s，Xs）dHs。回顾命题6.5中的最优财富过程^Wns，其中dynamicd^Wns=^πn（s，Xs）1s≤τn∧δn（χnu）（Xs）ds+（χnσρ）（Xs）′dWs+(√χnσp1-χnρ′ρ）（Xs）dWs- ^πn（s，Xs）1s≤τndHns。对于u∈ [t，t]writeAnu：=^π（u，Xu）1u≤Δu（Xu）- ^πn（u，Xu）1u≤τn∧δn（χnu）（Xu）；Bnu：=^π（u，Xu）1u≤δ（σρ）（Xu）- ^πn（u，Xu）1u≤τn∧δn（χnσρ）（Xu）；Cnu：=^π（u，Xu）1u≤δ（σp1-ρ′ρ）（Xu）- ^πn（u，Xu）1u≤τn∧δn(√χnσp1-χnρ′ρ）（Xu）。请注意ZTT | 1u≤δ- 1u≤τn∧δnχn（Xu）| du≤ZTtu公司≤τn-1 | 1u≤δ- 1u≤δn |+ZTtu>τn-1 | 1u≤δ- 1u≤τn∧δnχn（Xu）| du；≤ δn∧ T- δ∧T+2最大值T- τn-1，0.26 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson最后一个不等式是从下面的L emma A.4中得到的s，它表示δn≥ δ。因此，根据引理A.4和假设1.2，我们几乎可以肯定limn↑∞RTt | 1u≤δ- 1u≤τn∧δnχn（Xu）| du=0。

从这里可以看出，X是连续的，模型系数是连续函数，Gn→ G在H2+β中，（0，T）×E，loc意味着几乎肯定limn↑∞ZTt | Anu | du=0；画↑∞ZTt | Bnu | du=0；画↑∞ZTt | Cnu | du=0。这表明关于du、dWu和dWuin^wn的积分在概率上一致收敛于[t，t]上的相应积分（见[17，命题3.2.26]）。最后，设置ˇMs：=Zst^π（u，Xu）dHu=1δ≤s^π（δ，Xδ）；ˇMns：=Zstu≤τn^πn（u，Xu）dHnu=1δn≤s∧τn^πn（δn，Xδn）。引理A.4表示1δn≤s∧τn→ 1δ<最肯定且明确的^πn（δn，Xδn）→ ^π（δ，Xδ）几乎肯定是好的。因此，我们几乎可以肯定limn↑∞|ˇMns- Ms |=1δ=s^π（s，Xs）。但是，如Lemma 6.8的证明所示，P[δ=s]=0，因此→G Msalmost sauly for each s∈ [t，t]。将上述事实放在一起，得出→^WTin概率。接下来，如（1.19）定义（6.39）^Zs:=e-α（^Ws-G（t，x）+1s<δG（s，Xs））；t型≤ s≤ T、 根据程序，我们通过构建^Wn:^ZnT∧τn=^ZnT=e-α（^WnT-Gn（t，x）+1T∧τn<δn（χnφ）（XT∧τn））→ e-α（^WT-G（t，x）+1T≤Δφ（XT））=^ZTeα1T=Δφ（XT）。极限在概率中。同样，由于P[T=δ]=0，我们看到^ZnT∧τn→^ZTin概率。我们已经证明了Eh^ZnT∧τni=1和n^ZnT∧τnon是一致可积的。这表明Eh^ZTi=1。此外，使用It^o的公式进行的纵向计算，与下面引理a.7中的计算结果完全一致，表明^Z具有动态性d^Zs^Zs-= 1秒≤δA’sdWs+BsdWs+ CSDM；As=-α（^πσρ+a）G） （s，Xs）；Bs=-α^πσp1-ρ′ρ（s，Xs）；Cs公司=eα（^π+G）（s，Xs）- 1..（6.40）同样，从引理A.7中得出（A.8）的计算中可以推断，G在（1.17）中解出thePDE，而^π在（1.18）中是这样的事实证明P×leb[t，t]几乎可以肯定0=1u≤δ∧T（u- γ） （Xu）+σρ（Xu）′Au+σp1- ρ′ρ（Xu）Bu- γ（Xu）Cu,因此，由d^Q/dP定义的^Q | GT=^ZTis，单位为M。

Fatou引理与^ZnT∧τn→^ZTin概率implyEh^ZTlog（^ZT）i≤ lim信息↑∞Eh^ZnT公司∧τnlog^ZnT∧τn我≤ α（C（k）- φ） .事实上，可以通过设置χn正式恢复结果≡ 1，τn≡ ∞, δn≡ 其中δ。违约定价27（6.38）之后是最后一个不平等。这表明^Q∈fM并给出声明（1）。继续，从（6.39）开始，接下来是（6.41）- α^Ws^Zs+α^ZsG（t，x）=^Zslog（^Zs）+α1s<Δ^ZsG（s，Xs）≥ -e+αφ，其中不等式遵循命题6.6和Gn→ G、 自^Q起∈fM我们看到了-α^Ws^Zs+α^ZsG（t，x）是一个从下方有界的局部鞅，因此是超鞅。因此，由于^Z是一个鞅，我们可以看到^W^Z是一个子鞅。这给出了语句（2）。次马尔基尼性意味着Eh^WT^ZTi≥因此，使用已知的对偶结果，我们从（1.13），（6.41）中得到-α对数(-u（t，x；φ））=infQ∈fM公司αEhZQTlogZQT公司i+EhZQTδ>Tφ（XT）i;≤αEh^ZTlog（^ZT）i+Eh^ZTδ>Tφ（XT）i；=G（t，x）-Eh^ZT^WTi；≤ G（t，x）。（6.42）因此，（6.37）成立，完成结果。根据以上结果，我们准备完成T heorem 1.11的证明。在这里，我们根据假设1.8或假设1.9是否成立来划分结果。要缩短符号，请设置l（x） :=u-γσ（x） ；ln（x）：=√χn√1.- χnρ′ρu-γσ（x） （6.43），并注意到假设1.8、1.9基本上涉及T的指数可积性l（徐）杜。提案6.10。假设1.8成立。然后，得出定理1.11的结论。命题6.10的证明。回想一下，我们已经为第1.2节和第6.2节的最佳投资问题确定了一个起点（t，x）。此外，根据命题6.5，每个n∈ N存在唯一函数Gn∈ H2+β，Ohmnsolving（6.5），相当于（6.12）的确定性。

因此，根据标准对偶结果gn（t，x）=infQn∈fMn公司αEhZQnT∧τnlogZQnT公司∧τni+EhZQnT∧τnδn>T∧τnχnφ（XT∧τn）i≤αinfQn∈fMnEhZQnT∧τnlogZQnT公司∧τni+φ。（6.44）现在，定义（6.45）Zns：=EZ·t-ln（Xu）dWus、 t型≤ s≤ T、 如果zn是测量Qnthen的密度过程，用引理6.4表示，我们有Anu≡ 0，Bnu=-ln（Xu）和Cnu≡ 0表示u≤ T由于Bnis FWpredictable，它也是Gnpredictable，28 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONcalculation表明（6.13）是令人满意的。AlsoEZnT∧τn= EEZ·tBnudWuT∧τn= EEZ·tu≤T∧τnBnudWuT= 1，其中最后一个等式后跟条件fw，并注意到1·≤τnBn·是FW可预测的，Wis与W无关。因此，zn是一个gn鞅，我们从引理6.3和6.4中可以看到Qn∈ 明尼苏达州。事实上，使用1的独立性·≤T∧τnBn·和Wwe获得：EZnT∧τnlogZnT∧τn=EZT公司∧τntln（徐）杜≤2（1-ρ） E类ZTt公司l（徐）杜.上面，不等式使用0≤ χn≤ 1和supEρ′ρ=ρ<1。现在，回想一下X=Xt，X。使用马尔科夫性质和假设1.2中L on E鞅问题的解px，我们得到了ZTt公司l（Xt，xu）杜= Ex公司ZT公司-t型l（徐）杜≤εExheεRTl（Xu）dui，其中最后一个不等式使用x≤ （1/ε）eεx或x≥ 因此，从（6.44）和假设1.8中，我们得出每个k∈ N、 0个≤ t型≤ T，x∈Ekand n公司≥ k+1我们有gn（t，x）≤2（1- ρ） εαsupx∈EkExheεRTl（Xu）dui+φ=C（ε，k）。因此，命题6.7、6.9的结论成立。正如在后一个命题中，我们用（1.18）中的最优策略表示，用（1.19）中的财富过程和密度过程表示。现在我们来证明（6.37）中的相反不等式。为此，我们使用引理6.8。也就是说，让Q∈fM是引理6.8中的形式（任何优化器都必须位于引理6.8中），其中A、B、C是FW，wp可预测的过程满足（6.33）。用Z=ZQ表示合成密度过程。

创建Gnpredictable进程san，Bn，Cnon[t，t∧ τn]viaAnu=Auu≤δn∧T∧τn-1.Bnu=Buu≤δn∧T∧τn-1.- ln（Xu）1δn∧T∧τn-1<u≤δn∧T∧τn；Cnu=Cuu≤δn∧T∧τn-1A直接计算表明（6.13）中风险方程的市场价格满足要求。然后，创建Gnlocal鞅ZnbyZn·：=EZ·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWu+Z·tCnudMnu·∧T∧τn.我们现在证明zn是鞅。首先，下面的引理A.8证明了技术事实，这基本上是因为En上的χn=1-1： （6.46）δn∧ T∧ τn-1=δ∧ T∧ τn-1.Znδn∧T∧τn-1=Zδ∧T∧τn-接下来，为了简化符号，定义（6.47）an：=δ∧ T∧ τn-1=δn∧ T∧ τn-1.bn：=δn∧ T∧ τn，默认定价29，并注意→ δ∧ T，bn→ δ∧ T还要注意，我们定义了δ的一个项，但上面的第二个等式来自引理A.8。通过这个符号，（6.46）和（6.45），我们在Gnan上使用了迭代条件作用，并且Wand（W，τn，δn）的独立性：E[ZnT∧τn]=E“ZnanZnbnZnan#=E兹南= E[赞]=1。最后一个等式如下，因为假设Z是鞅（作为Q的密度过程∈ M） 和可选抽样定理。因此，zn是鞅测度Qn的密度∈ 明尼苏达州。至于相对性：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=E“Znanlog兹南ZnbnZnan#+E“ZnanZnbnZnanlogZnbnZnan！#=E[Zanlog（Zan）]+E赞茨巴南ln（徐）杜.（6.48）由于Z是G鞅，因此≤ δ∧ T和E[ZTlog（ZT）]=E[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]<∞, 第一项由E[Zδ从上方限定∧Tlog（Zδ∧T） 】。对于第二项，我们使用不等式xy≤ （1/K）eKx+（1/K）y对数（y）表示x∈ R、 y>0，K>0。

这是givesE赞茨巴南ln（徐）杜≤KE[Zanlog（Zan）]+KEheKRbnanln（徐）队；≤KE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+凯赫克尔特ln（徐）队；（6.49）根据（6.43）和假设1.8，我们得到K=2（1-ρ） εthatEheKRTtln（徐）队≤ 排气εRTl（徐）对。因此，使用假设1.8，我们可以看到对于t≤ T、 x个∈Ek（6.50）E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]≤1+2（1- ρ） εE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+2（1- ρ） εsupx∈EkExheεRTl（徐）对。这表明Zn∈fMnand因此来自命题6.5和（6.44）（6.51）Gn（t，x）≤αE[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]+αE[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]。继续，从（6.46）我们可以看到ZnT∧τn=ZanZnbn/Znan。自| bn起- 安|→ 0，τn↑ ∞ 很明显，ZNT∧τn→ Zδ∧塔尔莫特肯定。此外，（6.50）表示{ZnT∧τn}是一致可积的。因此，根据支配收敛定理：limn↑∞E[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]=E[ZT∧Δδ≥Tφ（XT）]=E[ZT∧Δδ>Tφ（XT）]，30 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson，其中最后一个等式成立，因为P[δ=T]=0。至于E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]，回到（6.48）：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=E[Zanlog（Zan）]+E赞茨巴南ln（徐）杜.Fatou引理与Z log（Z）隐含limn的次鞅性质↑∞E[Zanlog（Zan）]=E[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） 】。至于第二个任期，自- 安|→ 0我们几乎可以肯定Zarnbnanln（徐）杜→ 0.此外，如（6.49）所示，对于K=2（1-ρ） ε，该项从上方以2（1）为界- ρ） εZanlog（Zan）+2（1- ρ） εeεRTtl（徐）杜。但是，这个项是一致可积的，因为它在概率上收敛，在上面讨论的Las中也收敛。因此{ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）}是一致可积的，因此我们从（6.51）中可以看到g（t，x）=limn↑∞Gn（t，x）≤αE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+E[Zδ∧Tδ>Tφ（XT）]。现在，这个结果适用于所有Q∈引理6.8中的形式，但如中所述，对偶问题是通过最小化此类得到的。