将统计模型误差纳入

我们可能会发现亚西格玛代数~Ft f如▄St=E[St |▄Ft]（组件），▄Ct=E[Ct |▄Ft]，▄x*t=E[x*t | Ft]（组件），我们有thatkSt-Stkp≤ δ、 kCt公司-Ctkp≤ δ、 kx公司*t型- x*tk公司∞≤ δ。用（▄P）表示问题（P）的变体，其中过程（St）和（Ct）被（▄St）和（▄Ct）替换。与之前类似，引入符号▄Yt（x）=（xt）-1.- xt）>St-Ctfor 1≤ t<Tx>t-1ST-CTfor t=t。请注意| At（▄Yt（▄x*t） （）- At（Yt（x*t） （）|≤ Kk▄Yt（▄x*t）- Yt（x*t） kp公司≤ K【K▄x*t型- x个*tk公司∞kStkp+kx*tk公司∞kSt- Stkp+kCt- Ctkp]≤ K[δK+δK+δ]=η[2kSk]-通过引理1，我们可以得出结论V*≤ v*+ η、 （5）其中▄v*是（￠P）的最佳值。设（▄Pn）为问题（▄P）的变量，其中所有的ata都替换为At，n。▄Pn的最佳值用▄v表示*n、 在这种情况下，我们可以显示v*n↑ v*. 显然，~v*nis随▄v的非单调递增序列*n≤ v*.仍需证明limnv*nCa不能小于▄v*. 为此，让▄xn*是（▄Pn）的解决方案。由于过滤F的不确定性，（~Pn）和~P的解都是一些高维但有限维RN中的有界向量，并且都是以K为界的。让x为界**是（￠xn）的累积点*), i、 e.，我们有一些子序列，xni*→ x**. 我们展示了▄x**满足（P）的约束条件。假设相反。然后有一个t，使得在（▄Yt（▄x**)) < 0。这意味着有一个Zt，m∈ {Zt，1，Zt，2，…}使E【~Yt（~x**) · Zt，m]<0。但是，对于n≥ m、 按结构E【~ Yt（~ xn*) ·Zt，m）]≥ 0和自▄xn起*→ x**成分方面，然后也是E[Yt（x**) · Zt，米]≥ 0。由于目标函数在x中是连续的，这意味着limiv*ni=~v*通过单调性，limnv*n=▄v*. 因此，我们已经证明，我们可以找到一个指数n，使得v*< v*n+η。（6） 让xn*为（Pn）的解，设^xn*= E[xn*|英尺]。

与之前类似，我们可以证明| At（▄Yt（^xn*)| ≤ η[2kSk]-因此，通过引理1，~v*n≤ v*n+η。（7） 把（5），（6）和（7）放在一起，我们可以看到v*≤ v*n+3η，这与v*n<v*- 3η。现在我们转向问题（P）和（P）的对偶，分别称为（D）和（D）。事实证明，在我们的一般可接受性案例中，amartingale属性也出现在对偶中，正如a.s.超级/子复制案例中所知。定理1。对于所有t=1，T，设Atbe可接受性泛函和相应的超微分Zt。然后，可接受的要价由（D）给出πa（a，…，AT）=supQEQ“TXt=1Ct#s.t.EQ[St+1 | Ft]=Stt=0，T- 1dQdP英尺∈ Zt公司t=1，T，（8a）（8b），可接受的投标价格由（D）给出πb（A，…，AT）=infQEQ“TXt=1Ct#s.t.EQ[St+1 | Ft]=Stt=0，T- 1dQdP英尺∈ Zt公司t=1，T（9a）（9b）证明。可接受的买卖价格对应于下文定义2中引入的分销稳健可接受买卖价格的一种特殊情况，即当模糊集减少到一个单件时。因此，定理1的有效性直接来自定理2的证明。备注1（双重公式的解释）。双重配方（D）和（D）的目标是最大化（分别最小化）索赔产生的预期收益值w.r.t.一些可行的度量值Q。约束条件（8a）和（9a）要求Q使得基础资产定价过程是一个鞅w.r.t.Q。这在点式超/子复制的传统方法中是众所周知的。可接受性标准以约束（8b）和（9b）的形式进入对偶问题，这使得可用集比仅具有相同零集的两个概率度量减少了一个更强的条件。

使可行集变小明显降低了卖出价，提高了买入价，从而使买卖价差更紧。提案2。对于固定可接受性函数A，在，考虑可接受的要价πa（P）作为基础模型P的函数。这个函数是Lipschitz。证据该断言源自附录中的定理5，考虑到索赔的利普希茨性质（假设A2）以及定理1.3模型模糊性和分布稳健性导致的问题公式。传统的随机程序基于给定和固定的不确定性概率模型。然而，自20世纪50年代Scarf的开创性论文发表以来，人们就认为，在做出决策时，应该考虑这些模型基于观测数据以及统计误差这一事实。模糊集通常是模型的有限集合或给定基线模型的一个整体。接下来，我们将研究后一种情况，尤其是使用嵌套距离来构造无参数模糊集。3.1可接受性定价在模型含糊不清的情况下，在第2.2节中，我们将未定权益的出价/要价定义为所需的最大/最小资本金额，以便将其支付额降低/超过可接受性标准。然而，用这种方法计算的结果在很大程度上取决于概率模型的特定选择。本节削弱了对模型的强烈依赖性。更具体地说，可接受的买卖价格应基于稳健的可接受标准。r、 t.包含在某个模糊集合中的所有模型。定义2。考虑未定权益C。然后，对于可接受性泛函，t=1。

，T和概率模型的模糊集Pε，i）C的分布稳健可接受的ask价格定义为（PP）πPεa（a，…，AT）=minxx>Ss。t、 APt（x>t-第一个- x> tSt公司- Ct）≥ 0P∈ PεAPT（x>T-第一- （CT）≥ 0P∈ Pε，（10a）（10b）ii）分配稳健的可接受投标价格定义为（PP）πPεb（A，…，AT）=maxxx>Ss。t、 APt（x>tSt- x> t型-第一次+连续油管）≥ 0P∈ PεAPT(-x> T型-第一次+连续油管）≥ 0P∈ Pε，（11a）（11b），其中优化运行于所有交易策略x∈ Lm公司∞对于流动交易资产。（10a）和（11a）中的约束条件适用于所有t=1，T- 当基本概率模型由P定理2给出时，1和APtdenotes表示可接受性泛函的值。设Pε是概率模型的凸集，由一系列模型（P，P，…）跨越。此外，设Pε受某些模型支配，并假设所有密度w.r.t.pO有界。对于t=1，T，设Atbe可接受性泛函和相应的超微分ZAt。然后，分布稳健的可接受ask价格由（DD）给出πPεa（a，…，AT）=supQEQ“TXt=1Ct#s.t.等式[St+1 | Ft]=Stt<t t型 P∈ Pε：dQdP英尺∈ ZAPt，（12a）（12b），分配稳健的可接受投标价格由（DD）给出πPεb（A，…，AT）=infQEQ“TXt=1Ct#s.t.等式[St+1 | Ft]=Stt<t t型 P∈ Pε：dQdP英尺∈ 扎普。（13a）（13b）证明。定义：=（Ztft： P∈ Pεs.t.Zt∈ ZAPt，dPd P英尺=英尺）。然后，可以将（PP）中的约束写入formEP[（xt-1.- xt）>St- Ct）dt]≥ 0dt公司∈ Dt。由于所有密度F都以假设为界，如果我们替换Zt，引理2成立∈ Ztby dt公司∈ Dt。很容易看出，对于每个t，都有序列（dt，1，dt，2，…）在Dt中密集。让我们假设ZAt Lsand ft∈ L使R+s=q。

然而，为了简单起见，我们保留了ZAt LQ和假设英尺∈ L∞.Dnt：=nXi=1niXj=1λi，jZj，itfit：nXi=1niXj=1λi，j=1，n（i，j）：1≤ 我≤ n、 1个≤ j≤ nio公司= n.那么，它认为Dnt Dn+1和SNDNT=Dt。因此，通过引理2，我们可以通过形式问题（PPn）来近似（PP）minxx>Ss。t、 EPh公司(-x> t型-第1+x>tSt+Ct）·Zi，jtfiti≤ 0t<t；我≤ nj≤ 尼夫(-x> T型-1+CT）·Zi，jTfiTi≤ 0我≤ nj≤ 镍。重新排列其拉格朗日函数可得到（PPn）的以下表示：infxsupλ≥0，λi，jt≥0nx>λS- EP【SWn】+T-1Xt=1EPhx>tStWnt公司- EP【St+1Wnt+1 | Ft】i+TXt=1EP[CtWnt]o，（14），其中wnt：=nXi=1niXj=1λi，jtZi，jtfjt。这是一个有限维双线性问题。请注意，（PPn）总是可行的。因此，我们可以交换inf和sup。在x上显式地进行最小化，无约束极大极小问题（14）可以写成有约束最大化问题supλi，jt≥0TXt=1EP【CtWnt】s.t.StWnt=EP【St+1Wnt+1 | Ft】t=1，TWnt=nXi=1niXj=1λi，jtZi，jtfjtt=1，T引入由Radon-Nikod'ym导数定义的新概率测度Q这源于可行解（x，…，xT）的事实-1） of（PPn）可以很容易地以确定性的方式构造，从xT开始-1、tivedQdP=WnT，问题可以用Q的形式（DDn）重写supQEQ“TXt=1Ct#s.t.EQ[St+1 | Ft]=St，t=0，T- 1dQdP英尺∈ Dnt。留下来证明极限中没有对偶间隙，如n→ ∞ . 假设对偶问题（DD）有一个最佳值πa6=πa。根据（PP）中的原始约束，对于任何对偶可行解Q，它保持seq“TXt=1Ct#≤ EP“T-1Xt=1（x>t-第一个- x> tSt）·Ztft+x>T-1ST·ZtfT#=x>S。因此，最优原始解πais也大于或等于最优对偶解πa。现在假设πa<πa。然后，由于πna↑ πaby引理2，必须存在一些n，使得πna>πa。

此外，还存在一些Qn，它是双重可行的，因此EQnhPTt=1Cti=πna。这与πabed形式的近似对偶问题（DDn）的最优值单调递增序列的极限是矛盾的。因此，πa=πa，即表明极限中没有对偶间隙。最后，考虑到Dt的结构，条件dqdp英尺∈ D表示其为Ztft形式，其中存在一些P∈ Pε使Zt∈ ZAPtanddPdPFt=Ft。这就完成了对偶问题公式（DD）的推导。3.2嵌套距离球作为模糊集：产生大偏差为了为随机优化框架中使用的概率模型找到合适的非参数距离，必须注意，最小要求是它度量弱收敛，并允许经验分布的收敛。Kantorovich-Wasserstein距离确实度量了具有初始时刻的概率测度族上的弱拓扑。它的多级泛化，即嵌套距离，衡量过滤概率空间上随机过程之间的距离。附录包含了对Kantorovich-Wassersteindistance和嵌套距离的定义和解释。现实的概率模型必须基于观测数据。虽然对于具有有限期望的单值或向量值随机变量，基于i.i.d.样本的经验分布在Kantorovich Wassersteindistance收敛于潜在概率测度，但这种情况更多地涉及到托氏过程。随机过程的简单经验分布不会在嵌套距离内收敛（参见。

P flug和Pichler[32]），但涉及密度估计的平滑版本确实如此。正如我们在这里通过合并核估计和传输距离的概念所显示的那样，在一些关于正则性的假设下，可以得到对置信球和模糊集的良好估计。设P为随机过程ξ=（ξ，…，ξT）的分布，其值为ξT∈ Rm。注意，P是R`上的一个分布，`=m·T。设P为n个独立样本的概率测度。如果ξ（j）=（ξ（j），ξ（j）T），j=1，n是这样一个样本，那么经验分布^pn将权重1/n放在每条路径ξ（j）上。对于嵌套歧义球的构造，经验分布必须通过x的核函数k（x）的卷积来平滑∈ R`。对于稍后指定的带宽h>0，让kh（x）=h`k（x/h）。在下面的内容中，我们将使用核密度估计（densityestimate）fn=Pn* kh，其中* 表示卷积。假设A4.1。P的支撑是一个集D=D×·····×DT，其中Diare-compact-setin-Rm；2、P有一个Lebesgue密度f，它是D上的Lipschitz，常数为L；3、f在D上从下到上的界限为0<c≤ f（x）≤ c4、核函数k在单位球外消失，为常数L的Lipschitz；5、条件概率Pt（A | x）=P（ξt）∈ A |（ξ，…，ξt）-1） =x）满足（Pt（·| x），Pt（·| y））≤ γtkx- yk，x，y∈ D（15）对于某些γt>0。这里，d表示Rm概率的瓦瑟斯坦距离。备注2。下面定理3的证明依赖于密度的下界c。由于条件密度f（x | y）=f（x，y）/f（y）的分母也必须通过密度估计来估计，因此该界限确保分母不会消失。事实上，关于紧立方体的假设（第1点）可以减弱为D是一个紧集；然而，当时的证据要稍微复杂一些。

其他技术假设（见第5点）我们可以参考Mirkov和P flug【22】。定理3（嵌套距离的大偏差）。在假设A4下，存在一个常数K>0，使得PndI公司P、 ^Pn* kh公司> ε< 经验值(-Knε2`+4），（16）对于n足够大且选择适当的带宽h。这里，dI表示嵌套距离。（16）的证明基于以下几个步骤。首先，我们回顾密度估计的两个重要结果^fn=^Pn* KH表示R′上的密度f。提案3。在上面给出的f和k的Lipschitz条件下，它保持sthatpnsupx公司∈Df（x）-^fn（x）> ε≤ Pn编号d^Pn，P>ε2L`+2.. （17） 如果带宽选择为h=ε/（2L）。证据见Bolley等人【2，3.1号提案】。提案4。设f和g是密度在紧集和集Pf（a）='Af（x）dx resp外消失。Pg（A）='Ag（x）dx。那么它们的wassersteindition d以d为界Pf，Pg≤ 2.λ（D）kf- gk公司∞. （18） 在这里 是D的直径，λ（D）是D的Lebesgue度量。参见[32，第4项]。下一个结果扩展了条件密度的前一个结果。提案5。设f和g是由0<c包围的紧集“D×”上的二元密度≤ f、 g级≤ c<∞ 非常接近，因此- gk'D×'D≤ cλ（\'D×\'D）[2`]-1、然后有一个普适常数κ，取决于集合D：=\'D×\'Donly，因此条件密度也很接近，即它们满足| f（x | y）- g（x | y）|≤ κsupx∈\'D，y∈\'D | f（x，y）- g（x，y）|对于所有x∈白兰地∈\'\'D，即supy∈\'Dkf（·| y）- g（·| y）k'D≤ κkf- gk'D×'D.（19）证明。缩写符号集ε：=supx，y | f（x，y）- g（x，y）|注意ε≤ cλ（(R)D）[2`]-1、考虑边缘密度f（y）：=''Df（x，y）dx（g（y）：=''Dg（x，y）dx，resp.）。

它认为| f（y）- g（y）|≤^D | f（x，y）- g（x，y）| dx≤^′Dεdx≤ `· ε。清晰| f（y）|≥ cλ（(R)D），其中λ（(R)D）是'的勒贝格度量，因此f（y）- g（y）f（y）≤`cλ（(R)D）·ε≤. （20） 初等不等式1+x≤ 1+2 | x |对x有效≥ -/2、（20）后接G（x | y）- f（x | y）=g（x，y）g（y）-f（x，y）f（y）=g（x，y）f（y）·1+g（y）-f（y）f（y）-f（x，y）f（y）≤g（x，y）f（y）1+2 |克（y）- f（y）| f（y）-f（x，y）f（y）=g（x，y）- f（x，y）f（y）+2g（x，y）f（y）| g（y）- f（y）| f（y）≤εcλ（\'D）+2ccλ（\'D）`cλ（(R)D）·ε≤ κε，其中κ=cλ（(R)D）+2c`（cλ（(R)D））。这个命题的断言最终是通过交换密度f和g的作用来实现的。定理4。假设A4存在常数κ，使得Pnsupy∈\'\'DdPf（·| y），P^fn（·| y）> ε！≤ 经验值(-κnε2`+4）（21），对于所有ε>0且n足够大的情况。证据根据（18）和（19）得出Pf（·| y），P^fn（·| y）≤ κf（·| y）-^fn（·| y）∞≤ κf-^fn∞对于κ=2λ（D）κ。回想一下[2，Th.2.8]中的大偏差结果，其由Pn（d（^Pn，P）>η）给出≤ 经验值(-nκη），对于一些普适常数κ，取决于f和konly的Lipschitz常数。（17）后面是thatpuspy∈\'\'DdPf（·| y），P^fn（·| y）> ε！≤ Pf-^fn∞>εκ≤ Pn编号d^Pn，P>ε`+2（2Lκ）`+2≤ 经验值(-κnε`+2（2Lκ）`+2).设置κ：=κ（2Lκ）-2`-4in（21）显示结果。定理3。前面的定理将应用于ξt的条件密度，如果过去ξ，ξt-因此，集合“dia”被解释为“D=Dt”和“D=D×····×Dt”-对于满足（15）的概率测度P和满足d的任何其他测度PPt（·| x），~Pt（·| x）≤ εtat阶段t我们有thattiP、 P≤TXt=1εtγtTYs=t+1（1+γs），见[31，第4.2节]或[22]。我们将上述结果应用于▄P：=^Pn* kh。

然后，请注意dI公司P、 ^Pn* kh公司> ε≤ PnTXt=1dPt（·| xt），~Pt（·| xt）γtTYs=t+1（1+γs）>ε=TXt=1PndPt（·| xt），~Pt（·| xt）>εTγtQTs=T+1（1+γs）！。我们用（21）来推导dI公司P、 ^Pn* kh公司> ε≤TXt=1e-κnε2`+4，εt：=ε[tγtQTs=t+1（1+γs）]-1、对于n，所需的大偏差结果如下：对于anyK<mint，所需的大偏差结果非常大∈{1，…，T}κTγtQTs=T+1（1+γs）2`+4-1、平滑模型^Pn* KH还不是一棵树，但根据附录的定理6，我们可以确定树过程“Pn”，它任意接近它。因此，最终通过另一个常数因子增加（16）中的概率界限，它也适用于“Pn”。备注3。从统计学角度来看，本节中包含的结果表明，有强烈的动机使用嵌套距离球作为由观测数据构建的场景树上的一般随机优化问题的模糊集。特别是，分配稳健的可接受的ask价格允许索赔卖方投资于交易策略，该策略给出了在真实模型下支付的可接受的超优势，并具有任意的高概率，前提是有足够的可用数据。4示例可以用以下方式总结前几节的结果：如果鞅测度不是唯一的（“不完全市场”），那么通常请参见【31，第4章】，了解从数据高效构建多级模型/情景树的方法。在（逐点）复制模型中存在正的买卖价差。这种扩散也存在于可接受性模型中。但是，如果可接受性功能是AV@Rα、 然后通过改变α，我们可以得到复制模型之间的完整范围（α→ 0）和期望模型（α=1）。至少在后一种情况下，但即使对于某些α<1的情况，也可能没有投标报价，因此是唯一的价格。