将统计模型误差纳入

另一方面，模型歧义扩大了买卖价差：考虑的模型越多，即歧义集的半径越大，买卖价差越大。为了便于说明，让我们看一下演示这些影响的最简单的例子。示例1。考虑一个三级三元树，其中路径是均匀分布的，并且由矩阵的列给出100 100 100 100 100 100 100 100 110 110 100 100 100 90 90 112 110 108 102 100 98 92 90 88.由于在该树上可以构造出许多等价鞅测度，因此逐点复制模型（pointwise replicationmodel）有相当大的买卖价差，它对应于AV@Rα=0的α-可接受性定价模型。然而，通过增加合同双方的α，买卖价差单调地变小。对于α=1，没有买卖价差，因为所有鞅测度在其预期中都是一致的，买卖双方在估价时都只考虑预期。图1a显示了在95%买入期权价格下的这种行为：买入价格随α增加而增加，而卖出价格则下降。对于α=1，它们重合。计算上，AV@R–场景树的可接受性定价归结为求解线性规划（LP）。因此，实现起来很简单，问题随着LPs的复杂性而扩展。示例2。相反，我们可以考虑一个三阶段二叉树模型，该模型具有由矩阵列给出的均匀分布场景100 100 100 105 105 95 95108 102 98 92.这棵树只能携带一个鞅测度。在这样的模型中，可接受性水平的变化不会改变价格，因为可接受性不足的价格也是由鞅度量确定的，即唯一的度量（如果α足够小以至于可行）。

然而，在模糊情况下，可能会出现买卖价差，因为模糊集中通常包含许多鞅测度。我们考虑围绕基线树的嵌套距离球，为了简单起见，我们保持场景的统一分布，但允许过程的值发生变化。这是一个非凸问题。图1b中的结果基于商业软件包的标准非线性解算器（MATLAB 8.5（R2015a），MathWorks Inc.，Natick，MA，2015），它为我们的小问题实例找到（局部）最优解。（a） 可接受性：为了提高可接受性，买卖价差变紧。（b） 模糊性：买卖价差会增加模糊性。图1：分布式稳健可接受性定价：买卖价差是可接受性水平α和模糊半径ε的函数。图1b中显示了以95%行使的看涨期权的结果。虽然嵌套距离球的小半径ε有一个独特的价格，但ε值越大，买卖价差越大。5算法解两个给定场景树之间的嵌套距离可以通过解算LP得到。然而，分布鲁棒性AV@R–可接受性定价问题w.r.t.作为模糊集的嵌套距离球导致高度非线性，通常为非凸问题。因此，我们假设树结构由基线模型开始。特别是，假设歧义集中的不同概率模型仅在传递概率方面有所不同；状态值和信息结构保持不变。尽管如此，分布式鲁棒可接受性定价是一个半无限非凸问题。对于类似问题，文献中唯一可用的算法方法是基于连续编程的思想（参见[31，第二章。

7.3.3]）：通过仅从基线模型开始，交替添加最坏情况模型并找到最佳解决方案来计算近似解。然而，对于树模型的典型实例，这在计算上很困难，因为它在每个迭代步骤中都会解决非凸问题。因此，我们处理定理2中的对偶公式。嵌套距离的结构支持迭代方法。算法1通过求解一系列线性规划找到近似解。基于对偶考虑和算法利用嵌套距离固有的特定阶梯式运输结构，该算法通过LPs序列近似半无限非凸问题的解。另一方面，当前最先进的方法要求在每个迭代步骤中求解一个非凸规划。显然，顺序线性规划方法可以显著提高性能。此外，我们的算法在许多情况下都能找到可行的解决方案，而我们对连续编程方法的实现却无法做到这一点。让我们将嵌套距离的概念扩展到子树，迭代地从叶子到根（“自顶向下”）。对于两个场景树（此处具有相同的过滤结构），将dIT（i，j）定义为通向叶节点i，j的路径距离∈ NT。此外，定义（k，l）：=Xi∈k+Xj∈l+π（i，j | k，l）dIt+1（i，j），对于所有节点k，l∈ Nt，其中0≤ t<t。然后，两棵树之间的嵌套距离由dI（1，1）给出。这种分段向后的方法（参见[31，Alg.2.1]）是算法1的基本思想。由于我们假设树结构是固定的，算法1以相同的自上而下方式遍历树，并在每个阶段搜索最优解，同时确保满足给定的距离约束。

变量是Q下的条件转移概率，即qi：=Q[i | i-], 以及运输子计划π（i，j | i-, j-), 如附录所述。我们使用符号n-对于某些节点n的前一个节点，由于实际上不需要明确的度量值P，因为它是由来自^P的运输计划给出的，所以算法1中的条件（4.3）可以确保它仍然是隐式定义的（请注意，总是一些节点k∈ Nt公司-1需要固定）。条件（1）确保Qis是鞅测度，Q通过条件（2）表示条件概率，条件（3）对应于测度变化的约束（dQ/dP≤1/α）由原始AV@Rα–可接受性条件，和（4.1）–（4.3）表示嵌套距离球中必须包含一个P的约束，以便条件（3）成立。该算法自顶向下分阶段优化变量。阶段t+1的最优解取决于截至阶段t的所有阶段的变量值，这是前一迭代步骤的结果。因此，只要在某个阶段有进一步的改进，算法就会迭代，给定树早期阶段的更新变量值。否则，将终止并找到近似问题的最优解。算法1模型模糊下的可接受性定价。从围绕^P的嵌套距离球中的一些可行模型P开始。通过在P和^P之间分配最优运输计划来初始化πold，并初始化“oldprice”。1： 迭代2：[新价格，π新]← GetPrice（πold）3:if（oldprice==newprice）then4:return oldprice 5:els对于我们的实现，测试问题的加速因子平均约为100。

然而，这在很大程度上取决于实施和问题。6： 旧价格← 新价格，π旧← πnew7:Iterate8:end if9:EndIteration10:function GetPrice（~π）11:for t from t to 1 do solvemax{qi，π（i，j | k，l）：i，j∈Nt}EQ“TXτ=tCτ英尺-1#s.t.（1）Xi∈k+气·xi=xkk∈ Nt公司-1（2）Xi∈k+qi=1k∈ Nt公司-1（3）-xi∈k+π（i，j | k，l）+α·qj≤ 0j∈ Nt（4.1）Xi∈NtXj公司∈Ntπ（i，j | i-, j-) · π（i-, j-) · dIt（i，j）≤ ε（4.2）Xj∈l+π（i，j | k，l）=P[i | k]l∈ Nt公司-1.我∈ Nt（4.3）Xi∈k+π（i，j | k，l）=Xi∈k+π（i，j |  k，l）k∈ Nt公司-1.j∈ Nt（5）qi，π（i，j | i-, j-) ∈ [0，1]i、 j∈ Nt12：结束13：价格← 等式【PTt=1Ct】，从子计划π（·，·，·，·，·，·）14：返回【价格，π】15：结束功能示例3构建运输计划π（·，·）。考虑在Black-Scholes模型中，参数S=100，r=0.01，σ=0.2，T=1，普通看涨期权的价格为95。应用最优量化技术（例如，请参见[31，第4章]了解概述）对对数正态分布进行离散化，我们构建了一个包含500个节点的场景树。虽然Black-Scholes模型中存在唯一的鞅测度（从而存在唯一的期权价格），但离散近似允许使用几个鞅测度（从而存在正的买卖价差）。图2将买卖价差可视化为AV@R–可接受水平α和嵌套距离球的半径ε用作模型模糊集。对于α→ 1且ε=0时，价差闭合，所得价格接近真实的布莱克斯科尔斯价格，高达4位数。为了便于说明，从两个角度显示了买入价和卖出价之间的价差。6结论在本文中，我们将未定权益定价的常用方法扩展到两个方向。首先，我们将复制约束替换为更现实的可接受性约束。

通过这样做，索赔价格确实明确取决于图2：买卖价差作为可接受性和模糊性的函数。基础价格动态的随机模型（不仅仅是它的空集）。如果该模型基于观测数据，那么可以将租金计算视为统计估计。因此，作为第二个扩展，我们在可接受性定价框架中引入了模型模糊性，并推导了扩展环境中的对偶问题公式。此外，我们使用随机过程的嵌套距离来定义基础价格模型的密度集。通过这种方式，我们将aclaim的可接受价格与观测数据的质量联系起来。特别是，密度区域的大小随着样本量的增加而减小，即观察到的底层随机过程的独立路径的数量。如第5节所示，对于给定的观察样本，模糊半径表示应修正多少基线询价/投标价格，以保护索赔的卖方/买方免受内在统计模型风险的影响。参考文献【1】Bita Analui和Georg Ch.P FLUG。关于分布鲁棒多周期随机优化。计算管理科学，11（3）：197–2202014。[2] 弗兰·科伊斯·博利、阿诺·吉尔林和塞德里克·维拉尼。非紧空间上经验测度的数量集中不等式。概率论及相关领域，137（3-4）：541–5932007。[3] Peter Carr、H’elyette Geman和Dilip B.Madan。不完全市场中的定价和混合。《金融经济学杂志》，62（1）：131–1672001年10月。[4] Rama Cont和Peter Tankov。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/CRC，2004年。[5] 克里斯蒂娜·罗恩利恩·达尔。在部分信息和卖空约束下，有价证券定价的凸对偶方法。

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