将统计模型误差纳入

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英文标题：
《Incorporating statistical model error into the calculation of
  acceptability prices of contingent claims》
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作者：
Martin Glanzer and Georg Ch. Pflug and Alois Pichler
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The determination of acceptability prices of contingent claims requires the choice of a stochastic model for the underlying asset price dynamics. Given this model, optimal bid and ask prices can be found by stochastic optimization. However, the model for the underlying asset price process is typically based on data and found by a statistical estimation procedure. We define a confidence set of possible estimated models by a nonparametric neighborhood of a baseline model. This neighborhood serves as ambiguity set for a multi-stage stochastic optimization problem under model uncertainty. We obtain distributionally robust solutions of the acceptability pricing problem and derive the dual problem formulation. Moreover, we prove a general large deviations result for the nested distance, which allows to relate the bid and ask prices under model ambiguity to the quality of the observed data.
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中文摘要：
确定未定权益的可接受价格需要为基础资产价格动态选择一个随机模型。在此模型下，通过随机优化可以找到最优的买卖价格。然而，基础资产价格过程的模型通常基于数据，并通过统计估计程序找到。我们通过基线模型的非参数邻域定义了可能估计模型的置信集。该邻域可作为模型不确定性下多阶段随机优化问题的模糊集。我们得到了可接受性定价问题的分布鲁棒解，并导出了对偶问题的表达式。此外，我们证明了嵌套距离的一般大偏差结果，这允许将模型模糊下的出价和要价与观测数据的质量联系起来。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Incorporating_statistical_model_error_into_the_calculation_of_acceptability_pric.pdf (630.46 KB)

2022-5-31 06:25:38 上传

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关键词：统计模型 计模型 Optimization neighborhood distribution

将统计模型误差纳入或有债权可接受价格的计算中Glanzer Georg Ch.P flug Alois Pichlerabstract确定或有债权可接受价格需要为基础资产价格动态选择随机模型。在此模型下，通过随机优化可以找到最优的买卖价格。然而，基础资产价格过程的模型通常基于数据，并通过统计估计程序找到。我们通过基线模型的非参数邻域确定一组可能的估计模型。该邻域可作为模型不确定性下多级随机优化问题的模糊集。我们得到了可接受性定价问题的分布鲁棒解，并导出了对偶问题的表达式。此外，我们证明了嵌套距离的一般大偏差结果，这使得模型模糊下的买卖价格与观测数据的质量相关。1简介无套利范式是数学金融的基石。Harrison、Kreps和Pliska【12–14，21】以及Delbaen和Schachermayer【6】的基础工作，提到了一些最重要的贡献，为未定权益定价的合理理论铺平了道路。在一般市场模型中，排除套利机会会导致公平价格的区间。通常，由此产生的无套利价格界限太宽，无法提供有实际意义的信息。实际上，做市商希望在设定利差时有一个控制可接受风险的框架。

卡尔（Carr）、杰曼（Geman）和马丹（Madan）[3]以及福尔默兰（F¨ollmerand Leucert）[8，9]率先将风险纳入或有债权定价程序，随后Nakano（24）]或鲁德罗夫（Rudlo off）[42]进行了推广。本文的定价框架正是本着这种精神：例如，指数L'evymodels中普通看涨期权的超级复制价格由标的资产的现货价格给出（见Cont和Tankov[4，Prop.10.2]），这是看涨期权价格的一个微不足道的上界。通过指定可接受性函数，代理可以以相当直观的方式控制其短缺风险。特别是，使用平均风险值(AV@Rα） 通过改变参数α，将允许在概率1（传统方法）上升的极端情况和对冲w.r.t.预期之间的整个价格范围。如今，人们对为给定问题建立随机模型所固有的认知不确定性有了很大的认识。对于单阶段和两阶段假设，关于解释模型模糊性的不同方法，有大量可用文献（见[31，pp.232-233]或[45，p.2]中的列表）。最近，balls w.r.t.估计模型周围的Kantorovich-Wasserstein距离得到了广泛的应用（例如，[7、10、11、23、25、46]），最初由P flug和Wozabal于2007年提出。然而，关于多阶段问题的非参数模糊集的文献仍然是极端解析的。Anaui和P flug[1]是第一个研究balls w.r.t.的人。Kantorovich-Wasserstein距离的多阶段推广，称为嵌套距离，用于将模型不确定性纳入多阶段决策。本文旨在进一步探索这一未知领域。

未定权益定价的经典财务问题是一个非常适合这样做的例子。事实上，虽然在传统的逐点hedgingset中，只有基础资产价格过程动态随机模型的空集影响或有权益的最终价格，但当引入可接受性时，模型的完整规格会影响索赔价格。因此，在后一种情况下，模型依赖性更强，这也是本文的主题。随机优化为处理数学金融问题提供了一个自然的框架。Rockafellarand-Wets【35–41】在共轭对偶和随机规划方面的基础工作的应用导致了一系列关于这些主题的文献。金（King）[17]最初将未定权益定价问题表述为一个随机规划。King、Pennanen和他们的合著者【17-20、26-28】、Kallio和Ziemba【16】或Dahl【5】对这一方法进行了扩展。随机规划方法自然允许结合现实世界市场的特征和约束，并允许通过应用强大的凸优化问题可用算法工具包有效地获得数值结果。本文的主要贡献是统计模型误差与未定权益定价之间的联系，其中定价方法允许控制对冲差额。这种设置的灵感来自于任意性和认知不确定性下决策的实际非常相关的方面。考虑到未来演化的随机模型，代理愿意在其决策中接受一定程度的风险。然而，忽视一个事实可能会产生危险的误导，即不可能检测出没有错误的真实模型。

因此，需要一个分布稳健的框架，该框架考虑到非参数统计估计的局限性。在统计术语中，balls w.r.t.嵌套距离可能是嵌套距离的定义，见附录。被视为置信区域：通过考虑所有与估计基线模型的嵌套距离不超过某个阈值的模型，可以确保真实模型具有一定的概率，因此决策是反对统计模型估计误差。特别是，我们证明了嵌套距离的一个大偏差定理，在此基础上，我们证明了可以用数据构建场景树，从而使其（根据嵌套距离）以指数速率收敛到真实模型的概率。因此，分布稳健索赔价格w.r.t.作为模糊集的嵌套距离球包括真实模型下的对冲，具有任意高概率，这取决于可用数据。换言之，我们提供了一个框架，允许为或有权益设定出价和要价，该或有权益是通过确定具有真实计算风险的对冲策略而产生的，因为模型不确定性的重要因素并没有被忽视。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了我们的可接受性定价框架，即，我们用可接受对冲的较弱约束取代了传统的几乎确定的超级/子复制需求。可接受条件由一个给定的概率模型表示。这降低了要价，提高了投标价格，从而使买卖价差可能收紧甚至关闭。第3节包含了本文的主要结果。我们削弱了单一概率模型的假设，假设一组模型是合理的。

特别是，我们定义了分布式实时可接受性定价问题，并在模糊集的一般假设下推导出了对偶问题公式。在经典定价方法中引入可接受性和模糊性的影响通过双重公式很好地反映出来。此外，通过证明嵌套距离的大偏差定理，我们给出了使用嵌套距离球作为模糊集的强统计运动。第4节包含说明性示例，以可视化可接受性和模型模糊性对意外目标价格的影响。在第5节中，我们讨论了AV@Racceptability定价问题w.r.t.将距离球嵌套为模糊集。特别是，我们利用第3节的对偶结果和嵌套距离的特殊阶段结构，通过序列线性规划算法，得到了原始半无限非对流问题的近似解。通过这种方式，我们克服了目前针对非参数模型模糊下的多级随机优化问题的最新计算方法。最后，我们在第6.2节“可接受性原则”2.1“可接受性功能”中总结了我们的结果。本节中介绍的术语遵循了P flug和R¨omisch的书籍【33】。其中详细讨论了可接受泛函及其性质。直观地说，可接受性函数A映射了一个精确的位置Y∈ 有限合伙人(Ohm), 1<p<∞, 定义在概率空间上(Ohm, F、 P），将实数扩展为-∞ 以这样的方式，位置的较高值对应于功能的较高值，即“较高接受度”。特别是，可接受函数的定义属性是翻译等价性、凹性、单调性和正同质性。

我们假设所有可接受性泛函都是版本独立的，即A（Y）仅取决于随机变量Y的分布。以下命题是众所周知的。它直接源于芬切莫罗-罗卡费拉定理（见[35，第5条]和[33，第2.31条]）。提案1。满足上述条件的可接受函数A是形式（Y）=inf{E[Y Z]：Z的双重表示∈ Z} ，其中Z是Lq的闭凸集(Ohm), 1/p+1/q=1。我们称Z为A的超微分。单调性和平移等变性意味着∈ Z是非负密度。假设A1。存在一些常数K∈ 因此，对于所有∈ Z保持kZkq≤ K、 这个假设意味着A是Lp上的Lipschitz：| A（Y）- A（Y）|≤ KkY公司- Ykp。（1） 这种可接受性函数的一个很好的例子是平均风险值，AV@Rα、 其超微分由Z={Z∈ L(Ohm): 0≤ Z≤ 1/α和E（Z）=1}。极端情况由基本情况表示(AV@R（Y）：=limα↓0AV@Rα（Y）=essinf（Y））和期望值（α=1）。它的超微分分别由所有概率密度的集合和相同的函数1给出。其他常用名称AV@R是条件风险价值、尾风险价值或预期短缺。例如，Sarykalin等人[43]论述了这些术语之间的微妙之处。我们在第4节和第5节中的所有计算研究都将基于AV@Rα、 而我们的理论结果是一般的。A（Y+c）=任何c的A（Y）+c∈ 接收≤ Y a.s==> A（X）≤ A（Y）对于版本无关的可接受性泛函，上半连续性源自凹度（见Jouini、Schachermayer和Touzi【15】）。严格来说，假设A1不受AV@R.然而，我们所有的结果AV@R–可接受性定价也适用于AV@R.

事实上，这是文献中处理得很好的特殊情况。2.2可接受的复制现在让我们在未定权益定价程序中引入可接受性的概念。在数学金融中，我们通常将市场模型视为过滤概率空间(Ohm, F、 P），其中过滤由西格玛代数F=（F，F，…，FT）与F={, Ohm}. 流动交易的基本资产价格由离散时间Rm+-值随机过程S=（S，…，ST）给出，其中ST=（S（1）t，S（2）t，S（m）t）。我们假设过滤是由资产价格过程产生的。一种资产，用S（1）表示，作为num'eraire（例如，一种无风险债券）。Weassume w.l.o.g.S（1）t=1 a.S.如果不是，我们可以替换（S（1）t，S（2）t，S（m）t）x（1，S（2）t/S（1）t，S（m）t/S（1）t）。未定权益C由一系列适应F的现金流C=（C，…，CT）组成，这些现金流以货币单位计量。支付效果取决于截至时间t的各个市场状态，这一事实反映在C适应过滤F的条件下，我们将C写为 F、 A交易策略x=（x，…，xT-1） 是具有X的F适应Rm值过程 F、 更精确地说，letLmp：=Rm×Lmp(Ohm, F） ×···×Lmp(Ohm, 英尺），Lm∞:= Rm×Lm∞(Ohm, F） ×···×Lm∞(Ohm, 英尺-1） ，andLq：=Lq(Ohm, F） ×···×Lq(Ohm, 英尺）。我们假设S∈ Lmp，x∈ Lm公司∞和C∈ 有限合伙人。Lmpi中的范数由Ky kp=mXi=1kY（i）kp给出，对于Lm也是如此∞. 注意，xand是确定性向量。假设A2。我们假设所有债权都是基础资产价格过程的Lipschitz连续函数。定义1。考虑未定权益C和fix可接受性函数，对于所有t=1，T我们假设所有泛函A都有命题1给出的表示。

然后，可接受价格由以下随机优化程序的最优值给出：i）C的可接受询价定义为（P）πa（a，…，AT）=minxx>Ss。t、 在（x>t-第一个- x> tSt公司- Ct）≥ 0AT（x>T-第一- （CT）≥ 0、（2a）（2b）ii）C的可接受投标价格定义为（P）πb（A，…，AT）=maxxx>Ss。t、 在（x>tSt- x> t型-第一次+连续油管）≥ 0AT(-x> T型-第一次+连续油管）≥ 0，（3a）（3b），其中优化贯穿所有交易策略x∈ Lm公司∞对于流动交易资产。（2a）和（3a）中的约束条件是针对所有t=1，T- 1、为了解释定义1，可接受的要价由卖方支付的可接受的超额现金流Ct所需的最低初始资本给出。另一方面，可接受的出价相当于最初可以从市场借入的最大金额来购买债权，因此，通过接受付款，可以始终以可接受的方式重新平衡投资组合，最终在到期时获得可接受的头寸。在下文中，我们将主要考虑询价问题（P）及其变体。投标价格问题（P）是它的镜像，问题（P）的所有断言和证明都可以按问题（P）的字面意思重写。设β=（β，…，βT）的（Pβ）为问题（P），其中条件（2a）和（2b）替换为At（·）≥ βt.假设A3。获得了最优解，且问题（Pβ）的所有解x，对于0邻域中的β，一致有界，即：。，K∈ R s.t。x： kxk公司∞≤ K、 我们给出了问题（Pβ）的以下辅助结果。引理1。设vβ为（Pβ）和v的最佳值*是（P）的最佳值。然后，在0附近，| vβ- v*| ≤ 2β·kSk（4），其中β=Ptβt。证据如果vβ是（Pβ）的最佳值，则通过包含可行设置v-|β|≤ v*≤ v |β|，v-|β|≤ vβ≤ v |β|。我们必须约束v |β|- v-|β|。

让x*tbe（P）的溶液-|β|）。x个*（P |β|）不一定可行。我们修改x*tin以获得（P |β|）的可行性。设at，t=1，T- 1，是具有相同分量2PTs=t+1 |βs |且设xt=x的向量*t+at。ThenE[（xt-1.- xt）>StZt]- E[（x*t型-1.- x个*t） >StZt]=E[（at-1.- at）>StZt]=2 |βt | mXi=1EhS（i）tZti≥ 2 |βt |·infmXi=1S（i）t· E【Zt】≥ 2 |βt | sincePiS（i）t≥ S（1）t=1，E[Zt]=1。通过E[（x*t型-1.- x个*t） >StZt]≥ -|βt |，一个得到E[（xt-1.- xt）>StZt]≥ |βt |，即x对（P |β|）是可行的。请注意，A的所有组件都等于toPt |βt |=(R)β。现在0≤ v |β|- v-|β|≤ x> S- x个*>S=a>S=2′βXiS（i）=2′β·kSk，从而得出结论。请注意，如果约束写在扩展形式中，则原始程序（P）是半有限的[（xt）-1.- xt）>St- CtZt]≥ 所有Zt为0∈ Zt，其中Z=（Z，…，Zt）∈ Lq。下面的引理2证明了一个近似值的有效性，该近似值仅具有非常多的超梯度。由于Lpspaces是可分离的，因此存在序列（Zt，1，Zt，2，…）对于每个t，Zt中的密度都很高。LetAt，n（Y）=min{E[Y·Zt，i]：1≤ 我≤ n} 。自Z 7起→ 对于Lp中的每个Y，E[Y Z]在Lp中是连续的(Ohm, Ft）保持在，n（Y）↓ At（Y），如n→ ∞.引理2。让v*是基本问题（P）的最优值，让v*nbe相似优化问题（Pn）的最优值，其中Atare替换为At，n。Thenv*n↑ v*.证据假设相反，即supnv*n≤ v*- 3η<v*对于某些η>0。介绍符号YT（x）=（xt）-1.- xt）>St- Ctfor 1≤ t<Tx>t-第一- t=t时的Ct。假设A1和自x起∈ Lm公司∞, 它认为x 7→ 在（Yt（x））和x 7→ x> 萨雷·利普希茨。选择0<δ=η[2kSkK（K+K+1）]-1带K≥ KSTKP适用于所有t。让x*tbe（P）的溶液。