基于自由随机波动率模型的VIX衍生品定价

经过一些计算过程，可以用sVIXt计算（4.1）中的期望值=τEQZt+τtV-1tdt+ 2（λ（￠u- u）+λ（￠u- u））×100，t≥ 0=τZτG（κ，θ，σ，1；u，x）du+G（u，u，Дu，Дu，λ，λ）×100。因此，3/2随机波动率中带跳跃的欧洲看涨期权的价格可通过直接计算预期收益得出：C（VIXt，K，t，t）=e-r（T-t） EQh（VIXT- K） +| Fti=e-r（T-t） Z∞sτZτGdu+G- K+×fQVT | Vt（y）dy，（4.16），而波动率期货等于：F（VIXt，K，t，t）=e-r（T-t） 等式[VIXT | Ft]自由随机波动率模型下VIX衍生品的定价11=e-r（T-t） Z∞sτZτGdu+G!fQVT | Vt（y）dy（4.17）4.3。自由随机波动和价格跳跃（FSV类型）。为了捕捉波动率的自由行为，我们将放宽瞬时方差的幂参数，而不是将α定义为beor-像往常一样。我们不限制α的符号，让数据说明它的方向。定理4.2。设S、V和VixB由等式（3.1）、（3.2）和（4.1）定义。ThenVIXt=100×H+ZτHdu（4.18）其中h（λ，u，λ，u）=2[λ（|u- u）+λ（￠u- u）]，（4.19）H（κ，θ，σ，α；u，x）=σ4ατκ2αΓ2κθσ+2αΓ2κθσ新罕布什尔州ku公司-2κθσexpκσκθu+x- x科思κu×1+co thκu-2α-2κθσF2κθσ+2α，2κθσ，2κxσ（eκu- （1）. （4.20）证明。根据方程式（3.3）和（4.1），我们得到Vixt=-τEQ(-λИu- λИu）τ-Zt+τtV2αsds+N（t+τ）Xi=N（t）+1JQ1i+N（t+τ）Xi=N（t）+1JQ2i英尺=2（λОu+λОu）+τZt+τtEQV2αs | Ftds公司-τEQN（t+τ）Xi=N（t）+1JQ1i+N（t+τ）Xi=N（t）+1JQ2i英尺=2[λ（￠u- u）+λ（￠u- u）]+τZτEQV2αs | Ftds=2[λ（￠u- u）+λ（￠u- u）]+Zτσ4ατκ2αΓ2κθσ+2αΓ2κθσ新罕布什尔州ku公司-2κθσ×expκσκθu+x- x科思κu×1+co thκu-2α-2κθσF2κθσ+2α，2κθσ，2κxσ（eκu- （1）ds=H（λ，u，λ，u）+ZτH（κ，θ，σ，α；u，x）du（4.21），当我们使用注释4.1时，将η设置为2α，并且vt是马尔可夫过程。

值得注意的是，等式（4.21）很有用，因为它表明Vix的分布可以通过Vt的分布获得，对于t≥ 也就是说，VIX衍生品定价的表m解决了寻找方差过程的转移密度函数的问题。通过使用方程（3.3），然后通过直接计算预期收益得出自由随机波动率模型中欧洲看涨期权的价格：C（VIXt，K，t，t）=e-r（T-t） EQh（VIXT- K） +| Fti=e-r（T-t） Z∞sH+ZτHdu- K！+·fQVT | Vt（y）dy，（4.22），而波动率指数期货等于：F（VIXt，K，t，t）=e-r（T-t） EQ【VIXT | Ft】12 W.LIN、S.H.LI和S.CHERNTable 2。模型规格概要模型描述约束HSV固定波动率，无跳跃α=、λ=0和λ=03/2-SVJ固定波动率，上行rd和下行d跳跃α=-FSV-AJ自由波动率，上行和下行跳跃不适用FSV-DJ自由波动率，下行跳跃仅λ=0=e-r（T-t） Z∞sH+ZτHdu·fQVT | Vt（y）dy.（4.23）四个考虑的波动率模型可以嵌套在等式3.1和等式3.2中。其中，我们根据α、λ或λ是否存在限制，选择了四种不同的规格。表2.5总结了本文考虑的模型规格。数据描述我们的应用程序关注VIX期货和期权以及其他波动性衍生品的估值。正如图中所示，这些衍生品的市场近年来在交易活动中呈爆炸性增长。2、图的左面板显示，波动率指数期货合约交易数量大幅增加，从2006年的约40万份增加到2015年的约5100万份，大部分增长发生在2009年之后，可能是由金融危机引发的。图2（a）还表明，波动率指数期货反映了对可交易工具的需求，可用于对冲或实施波动率观点。

图中右侧面板显示，波动率指数期权的美元交易量也大幅增加，从2006年的约500万美元增加到2015年的近1.5亿美元。请注意，VIX看涨期权的交易比VIX图2更为活跃。波动率指数期货和期权的交易量。左面板显示了未来合约交易d随时间推移的数量，右面板显示了期权合约随时间推移的美元交易量（a）期货交易量（b）期权交易量Put option，这可能与以下事实有关：前者可作为对冲股市崩盘的手段，而非后者。我们在本研究中使用的数据集包括VIX指数、CBOE上相应的VIX期货和期权交易，考虑到该指数上的期权是交易最活跃的合约之一。我们试图包括波动率指数期货和期权的可用日期。在这个框架中，期货样本包含193个期货，总交易日为2-3个交易日，有效期限为1-26-8天，而期权样本包含872个看涨期权，总定价VIX衍生品，自由随机波动率模型为1310个交易日，可用期限为1-169天。此外，我们的样本数据采用了从2016年3月1日开始到2016年3月20日结束的延迟市场报价，每个交易日有9到10个成熟度，以校准风险中性参数。此外，我们使用2016年3月31日至2016年3月21日的Ma rch21数据进行样本外测试。所有细节见表3。

另一方面，在该表中，我们还根据到期时间τ及其货币性将数据分类。到期时间τ包含带τ的短期合同≤ 一个月，一个月<τ的中期合同≤ 三个月和τ>三个月的长期合同。他们的货币性分为三类：货币外（OTM）和d<-0.1，使用-0.1≤ d≤ 0.1和0.1<d的货币（ITM），其中货币性定义为d=VIX/K。对于每个类别，我们描述了相应的样本量、平均价格和平均隐含波动率。最后，我们计算了ITM、ATM和OTM中期权的Black-Scholes隐含波动率。期权价格取自买卖中间点。为了确保充足的流动性并缓解估值过程中价格离散性的影响，采用过滤方案，通过丢弃所有数据集中中间价低于2.0美元的期权来消除这些不准确的期权。请注意，期权和波动率指数的收盘时间相同，因此这里不存在非同步问题。最后，选择2016年3月1日至2016年3月31日期间的平均一个月美国国债利率0.05%作为无风险利率。参数估计和方法6.1。估算方法。估计过程从最小化每个模型和每个给定日期的“损失函数”开始，以导出风险中性参数。

由于VIX指数和VIX期权都包含关于VIX指数未来动态的信息，以下损失函数分别包含VIX指数和VIX期权。VIXLoss=NNXn=1VIXn公司-dVIXnVIXnandOptionLoss=NNXn=1Cn-bCn公司其中，Ni，i=1，2是样本数据的数量，VIXn，dVIXn，cnandbcn分别表示市场VIXindex、模型VIX指数、市场期权价格和模型期权价格。在这一部分中，我们采用了基于gra die nt的最小化算法和局部优化方案来最小化这些损失函数。请注意，损失函数不是n-线性优化问题，这可能会导致不同启动参数的不同优化参数。因此，方案的成功取决于初始参数的有效选择。为了解决这个问题，我们首先通过使用从以前的文献或gm估计中选择的合理参数运行校准40次来最小化VIXLoss函数。然后，我们记录一组VIX最佳参数作为准备。下一步，我们使用thoseVIX最优参数作为初始参数，然后通过最小化Opti-on-Lossfunction来搜索新闻估计。在所有校准中，伐木工人条件2κθσ>1和非爆炸条件2κθσ>1- α是强制的。此外，我们还利用拟牛顿法中的BFGS公式，对每次更新Hessian矩阵近似进行了额外计算。因此，每个参数的标准偏差可以通过每次迭代中的Hessian矩阵求逆来计算。最后，我们将检验FSV和跳跃是否有助于平均与观察到的隐含波动率的期限结构相匹配，这将为我们提供一个关于下一节讨论的定价绩效结果的信息。6.2。参数估计和初步分析。

表4显示，所有模型的参数都有较小的标准偏差，因此是稳定的。进一步了解这些估计，有FSV的模型与没有FSV的模型产生的波动率动力学非常不同。鉴于这一估计结果，我们希望得出结论。首先，在表4的最后两行，它显示了VIXLoss和Optionoss o ffour mode ls。这可以看作是一个比较指标。我们观察到，VIXLoss和Optionoss inFSV型模型比其他模型更低，这意味着FSV模型可以更灵活地适应市场波动性变化。具体而言，基于梯度的最小化算法用于通过多次迭代使目标函数VIXLoss和Optionoss最小化，直到目标函数几乎不下降。VIXLoss和OptionLoss越低，意味着更好的市场定位能力14 W.LIN、S.H.LI和S.CHERNTable 3。总体样本的汇总统计信息。货币性定义为d=VIX/K，其中Kis为期权行使。短期合同是指到期时间不超过一个月的合同，中期合同是指到期时间不超过一个月但也不超过三个月的合同，长期合同是指到期时间超过三个月的合同。VIX期权数据的详细描述表明，报告的数字分别是样本内和样本外的平均期权价格和观察值的数量，如括号所示。2016年3月1日至2016年3月31日期间，总样本和各类别的观察次数。BSIV代表Black-Scholes隐含波动率。

OTM、ATM、ITM分别表示货币外、货币内、货币内期权。到期时间短期中长期全部期货数量21 43 129 193平均价格17.47 19.23 20.95 20.18全部期权数量314 222 336 872平均价格5.85 5.41 4.41 5.18OTM期权数量9 61 219 289（d<-0.1）平均价格2.50 2.81 3.16 3.07平均BSIV 0.79 0.72 0.65 0.67ATM选项数量51 48 64 163(-0.1≤ d≤ 0.1）平均价格3.45 4.53 5.41 4.54平均BSIV 0.73 0.57 0.53 0.61ITM期权数量254 113 53 420（0.1<d）平均价格6.45 7.19 8.34 6.89平均BSIV 0.87 0.57 0.46 0.73 VIX期权总金额d=VIX/KOTM ATM ITM的详细说明≤ -0.1(-0.1，0.1）≥ 0.1Mar。2016年3月1日至3月20日5.17美元2.98美元4.11美元6.77（669）（199）（119）（351）2016年3月21日至3月31日5.24美元3.27美元5.71美元7.53（203）（90）（44）（69）VIX指数和期权。这两个信息标准对模型的决定性排名都有影响：FSV-AJ>FSV-DJ>3/2-SVJ>HSV。可以得出结论，自由随机参数α在VIX衍生品定价中具有相当大的优势。第二，FSV型车型（0.86 62≤ σFSV≤ 0.911 5）的波动率低于HSVand 3/2-SVJ（σHSV=1.0880，σ3/2-SVJ=11.0750），因此更稳定。第三，FSV类型中的跳跃相关参数（λ，u，λ，u）非常重要，这表明基础资产不能拒绝跳跃成分。另一方面，让我们看看具有各自设置的跳跃。表4包含FSV-AJ和FSV-DJ模型中向上和向下跳跃的频率和大小。向下跳桩每天约0.065次，平均大小约为0.12 3，取决于是否包括向上跳桩。可以看出，在FSV-AJ模型中，向下跳跃的发生率和大小均高于向上跳跃；即λ>λ和|u|>u。

这一结果还意味着，应该拒绝向上和向下的跳跃，使其成为正态分布。总体而言，考虑到自由随机波动率模型的自由随机定价VIX衍生品15表4。估计风险中性参数。通过将2016年3月1日至2016年3月20日期间的损失函数最小化，然后将其标准误差加在括号中，即可获得参数估计值。。最后两行标记为VIXLoss和OptionLoss，显示VIX的平均绝对百分比误差（VIXLoss）和所有选项的平均绝对百分比误差（OptionLoss）。参数FSV-AJ FSV-DJ 3/2-SVJ HSVκ3.8943 3.7029 2.4614 3.1490（0.010）（0.010）（0.009）（0.003）θ0.2121 0.2036 47.313 0.0372（0.041）（0.039）（0.721）（0.014）σ0.9115 0.8662-11.0750 1.0880（0.016）（0.012）（0.118）（0.031）α1.2156 1.1575（0.143）（0.116λ0.0574 0.0722（0.037）（0.002）u0.1125 0.1518（0.024）（0.032）λ0.0648 0.0668 0.1203（0.022）（0.030）（0.026）u-0.1232-0.1233-0.1896（0.021）（0.001）（0.141）VIXLoss 10.20 10.11 10.81 10.32 Optionoss 6.81 7.21 10.65 15.07注：这些VIXLoss和Optionoss以百分比报告。参数α和跳跃与各自的设置在波动率指数的波动性动力学估计中存在很大差异，这反过来又会对波动率指数衍生品的定价产生很大影响。为了了解每个模型捕捉隐含波动性递减模式特征的能力，我们通过将模型确定的价格作为输入，从Black-Scholes公式中提取出模型的隐含波动率序列，并分别绘制ATM看涨期权的价格，图3中反映了不同到期日。图中的三个面板。

3表明，所有四个mo de ls HSV（紫色虚线）、3/2-SVJ（橙色虚线）、FSV-DJ（蓝色长线虚线）、a和FSV-AJ（蓝色短线虚线）-都能很好地捕捉观察到隐含波动率的下降模式（红点）。FSV类型的简化波动模式很好地适应了不同到期日的市场偏差，而HSV和3/2-SVJare则不太接近。7、定价绩效或绩效分析主要基于三个比较。首先，我们将FSV型模型与其他模型进行比较，以检验允许自由随机波动的重要性。第二，我们将HSV模型与其他模型进行比较，以研究增加跳跃是否可以带来渐进式的改善。第三个比较是在FSV-AJ模型和FSV-DJ模型之间进行的，目的是检验在包括自由随机波动和向下跳跃后，包括向上跳跃的影响。为了验证我们的分析，我们通过报告以下三个绩效指标来比较模型：（1）ARPE；（2） 平均相对买卖误差（ARBAE）；和16 W.LIN、S.H.LI和S.CHERNFigure 3。VIX的ATM期权图暗示了不同到期日的波动率。2016年3月1日、2016年3月7日和2016年3月1日的隐含效用使用市场价格和模型确定的价格作为逆Black-Scholes公式的输入进行计算，以获得MarketIV和相应的ModelIV。chosento只剩下三天了。（a） 2016年1月3日（b）2016年7月3日（c）2016年11月3日（3）平均绝对误差（MAE）：ARPE=NNXi=1QMidi公司- Q模型QMidi（7.1）MAE=NNXi=1Q模型- QMidi公司（7.2）ARBAE=NNXi=1max{（QModeli- QAski）+，（QBidi- QModeli）+}QMidi。（7.3）ARPE误差度量报告了平均价格误差，而ARBAE度量的是低于买卖价差的模型价格的平均误差。

MAE代表样本平均值市场价格和模型价格之间的绝对差异。我们只计算期权的ARBAE指标，因为我们没有关于期货买卖价格的可用数据。请注意，QIT用于对看涨期权和期货进行报价。表5显示了不同模型的样本定价性能。从左到右，groupsof列分别显示了ARPE、ARBAE和MAE测量的定价误差。每组包含三种到期日。所有期货和期权的主要结果显示在顶部的两个面板中，期权在下面的面板中被细分为看涨期权和货币水平。总的来说，FSV型显示出最佳的样本性能，能够适应市场价格并产生波动率偏差，而3/2-SVJ型由于其较少的参数要求和良好的合格性能，特别是在ITM选项中，具有竞争力。要了解这一点，期货定价错误和成对模型比较如表5的面板A所示，FSV类型模型的样本APRE为0.66-0.67，而3/2-SVJ模型和HSV模型分别为0.8和3.55。由于FSV型和3/2-SVJ都有接近较低的ARP E，我们改为检查MAEmetrics，这表明FSV型模型的期货定价性能略优于样本测试中的其他模型。鉴于3/2-SVJ的参数少于FSV类型，我们希望得出结论，在未来的样本定价中，3/2-SVJ的表现优于FSV类型。关于期权，表5的面板B-E显示了定价错误和成对模型比较。从每个面板的总统计数据来看，FSV类型的样本性能优于其他模型。