基于自由随机波动率模型的VIX衍生品定价

我们对四个不同的时期进行了评估：2016年1月2日至2016年12月2日的整个时期，我们测试了2016年1月2日至2016年4月2日、2016年5月2日至2016年8月2日和2016年9月2日至12月2日，这些参数是否对每个模型施加了不合理的过度识别限制，2016年，如图所示，以测试我们的自由随机波动率参数α是否在2016年的不同时期发生显著变化。有关详细的计算过程，请参考附录A，我们重写了相应的Disc-te时间计量经济学规范：St+1- StSt=rt+γεt+1（2.4）EQ[εt+1]=0（2.5）EQεt+1=Γα+κθσΓ2κθσσαe-2κt（α+κθσ）+V（etκ-1） σ×κ1- e-tκ2κθσκ-1+内皮素κ-2α-2κθσFα+θκσ,2κθσ，2Vκ(-1+etκ）σt（2.6）自由随机波动率模型5的VIX衍生品定价，φ（κ，θ，σ，α）twhereFis是Kummer对流超几何函数。我们的计量经济学方法是估计该过程的参数，并使用Hansen[13]的GMM将（2.4）-（2.6）作为力矩方程组的一组超识别约束进行测试。Chan等人[15]提出的方法的优点使其成为估计连续时间波动过程的直观和合理的选择。首先，它没有对标准普尔500指数变化的分布性质作出假设。GMM程序的渐近调整只要求分布变化是平稳的和遍历的，并且存在相关的期望。

即使干扰是条件异方差的，GMM估计及其标准误差也是一致的。用元素κ、θ、σ、γ和α定义mt（ω）φ为参数向量，并让向量mt（ω）为mt（ω）=εt+1εt+1εt+1εt+1εt+1- φ（κ，θ，σ，α）t型εt+1- φ（κ，θ，σ，α）t型St公司（2.7）在方程（2.4）-（2.6）中隐含的限制为真的无效假设下，正交条件，EQ[mt（ω）]=0。GMM技术包括使用T观测值（其中mt（ω）=TPTt=1mt（ω））将等式[mt（ω）]替换为其样本对应物mt（ω），然后选择使二次形式jt（ω）=M′T（ω）WT（ω）mt（ω）最小化的参数，（2.8），其中WT（ω）是一个正定义的对称加权矩阵。ω的过度识别参数子向量的GMM估计值取决于WT（ω）的选择。Hansen[13]提供了设置WT（ω）=S-1（ω），其中S（ω）=EQ[mt（ω）m′t（ω）]，用最小的交感协方差矩阵传递ω的GMM估计量。（2.8）中二次型的最小值在零假设下分布χ，即模型为真，自由度等于待估计参数s的正交条件数net。该χ测度为模型提供了一个拟合优度检验。然后使用假设检验来检验模型是否对非限制模型施加了不合理的过度识别限制，即对于每个嵌套模型，我们在以下情况下创建了对厌恶者的夸大测试：该模型没有施加过度识别限制，因此没有错检a：该模型确实施加了过度识别限制，因此是错误的测试统计，R=t[JT（℃）- JT（^ω）]，是渐近分布χ，自由度等于一般模型上的约束数，以获得嵌套模型。

通过使用来自非限制模型的同一权重矩阵，该检验统计量是有效GMM估计量的限制JT（^ω）和非限制JT（^ω）目标函数的归一化差异。该统计数据的高值意味着该模型是错误的。如果p值小于所需的显著性水平，那么我们可以得出该模型是错误的结论。为了全面和完整的描述，GMM结果如表1所示。所有估计的参数都有很小的标准差，因此是稳定的。首先，关于报告的整个期间估计的χ值，Heston和三分之二的模型被预测为1%的显著水平，这对于解释每个模型对S&P500数据的内部工作非常有用。因此，存在对无限制模型的错误规定和不合理限制。然而，另一方面，由于自由现金流模型包含一个新参数α，对标准普尔500指数有贡献，因此该模型在1%水平上的接受率显著，p-V值为0.767。因此，该模型没有错。第三，我们还估计了2016年不同时期的自由随机模型的参数。鉴于fr EERandomic mode l在A期中的α=0.864，在B期中的α=0.901，在C期中的α=0.943，我们想得出这样的结论，即指数的α意味着不同时期的不同波动性波动，应该在我们的模型中加以考虑。启发式地，自由波动率参数αfit S&P500的自由随机模型被广泛视为频繁波动指数，而赫斯顿模型和3/2模型均被拒绝。6林伟、李世华和S。

表1。我们估计方程（2.1）中嵌套的不同模型过程的参数及其标准误差或括号中的参数，以测试各个参数的重要性。按照Newey和West【22】中概述的方法计算χ检验统计量，括号中为p值和相关自由度（DF）。GMM方法根据四个不同时期的历史数据估计参数值：整个时期、A期、B期和C期。周期A–C仅用于自由随机模型。模型κθσγαχdft整个周期：2016年1月2日至12月2日，2016年无限制1.513 0.475 0.509 1.011 1.274不适用不适用<[0.001]<[0.001]<[0.012]<[0.08]赫斯顿2.829 0.020 0.831 1 0.5 16.583 2<[0.001]<[0.001]<[0.001]<[0.001]3/2模式l 10.29 56.49-2.598 1-0.5 15.457 2<[0.001]<[0.06]<[0.03自由随机2.036 0.502 0.650 1 1.288 0.087 1<[0.001]<[0.001]<[0.001]<[0.001]<[0.01]0。767 A期：2016年1月2日至2016年4月2日自由随机1.699 0.617 0.484 1 0.864 3.866 1<[0.001]<[0.001]<[0.001]<[0.02]0。0492时段B：2016年5月2日至2016年8月2日自由随机2.326 0.695 0.687 1 0.901 1.654 1<[0.001]<[0.001]<[0.001]<[0.07]0。1983年C期：2016年9月2日至2016年12月2日自由随机1.911 0.387 0.469 1 0.943 1.119 1<[0.001]<[0.001]<[0.001]<[0.05]0。自由随机波动率加不对称跳跃模型，如Sepp【21】所述。作者断言，“没有跳跃的随机波动率模型与波动率指数期权中观察到的隐含波动率不一致……”而那。。。只有选择了适当跳跃的随机波动率才能满足隐含的波动率偏差。然而，赫斯顿（Heston）[14]、巴尔多（Baldeaux）和巴德兰（Badran）[2]，甚至连连（Lian）和朱（Zhu）[17]所模拟的跳跃大小在下垫动力学中分布为正态。

由于其中心均值和方差，正常跳跃使向上和向下跳跃对称。此外，一个密切相关的概念是，观察到股票市场的下行波动往往比上行波动更大。因此，在本节中，分别假设了下垫动力学的向上和向下跳跃。两者都是由独立的复合泊松过程驱动的。我们将自由随机波动率扩展到具有非对称跳跃的资产价格过程。这是波动率指数动力学的一系列新的自由波动率和跳跃扩散模型。我们导出了期货和期权价格的半封闭形式解。此外，我们还描述了我们的估计方法，并从3/2模型加跳跃和赫斯顿模型中引入了一个比较模型。赫斯顿模型是其他模型的一个局限性案例，被视为我们实证研究的基准。然后，我们证明当基础资产价格过程包括FSV参数α和不对称跳跃时，VIX公式仍然有效。考虑以下给出的基础指数的动态：dStSt=（r- λИu- λИu）dt+VαtdWQt+（eJQ- 1） dNQ1t+（eJQ- 1） dNQ2t（3.1）使用自由随机波动率模型7对VIX衍生品进行定价，其中随机因子V演变为dvt=κ（θ- Vt）dt+σpVtdZQt。（3.2）对于非对称跳跃，我们再次强调，这种跳跃与Park的跳跃有明显不同【20】。我们不是直接对波动率指数建模，而是在不提供基础指数的情况下增加波动率指数的跳跃，而是建立基础指数的上升和下降。具体而言，我们认为它们是由独立的复合Possion过程驱动的，每个过程都有自己的跳跃强度和跳跃大小分布。Nq1和NQ2tdenote风险中性Possion过程分别驱动跳跃强度为λ和λ的向上和向下跳跃。

假设向上跳跃震级JQ遵循独立的指数分布，正平均值u>0，概率密度函数取uexp{-x/u}如果x>0，则为0，否则，其中参数u、u满足以下关系：￠u=1- u- 1、基于该假设，eJQ- 1>0满足向上跳跃条件。术语λИudt用于连接泊松创新，以便（eJQ- 1） dNQ1t- λИudt的平均值等于0。类似地，假设向下跳跃幅度JQ遵循负平均值u<0的独立指数分布，概率密度函数取|u| exp{-x/u}如果x<0，否则为0，其中参数u，￠u满足以下关系：￠u=1- u- 1、基于上述假设，-1<eJQ- 1<0达到向下跳跃条件。术语λИudt用于输入Possion创新，以便（eJQ- 1） dNQ2t- λИudt的平均值等于0。综合（3.1）产量SST=~StN1tYs=1eJQ1sN2tYs=1eJQ2s（3.3），其中▄St=SexpZt公司r- λИu- λИu-V2αsds+ZtVαsdWQs和jq1和jq2s分别记录sth跳跃的相对正跳跃和负跳跃大小的对数。由于方程3.1和3.2中的模型不完整，方程3.3为我们的分析提供了一个重要的起点。特别是，现在可以确定贴现股票价格是一个连续鞅，而不仅仅是我们假设的模式l下的局部鞅。命题3.1。设S和V分别由方程3.1和3.2给出。那么贴现股票价格'St=Stertis是一个真鞅，而不仅仅是Q下的严格局部鞅，当且仅当：2κθσ≥ 1屋顶。

我们计算\'ST |英尺= EQt“~STQN1Ts=1eJQ1sQN2Ts=1eJQ2serT#=EQtStQN1Ts=1eJQ1sQN2Ts=1eJQ2sert·expnRTtr- λИu- λИu-V2αsds+RTtVαsdWQsoer（T-t）=“St·EQt”试验（ZTt-λИu- λИu-V2αsds+ZTtVαsdWQs）N1TYs=Nt+1eJQ1sN2TYs=Nt+1eJQ2s#=(R)St·EQt“exp（ZTt-λИu- λИu-V2αsds+ZTtVαsdWQs）#eλ（T-t） u+λ（t-t） u8 W.LIN、S.H.LI和S.CHERN=“St·EQt”-ZTtV2αsds+ZTtVαsdWQs#=\'St·EQt\'-ρZTtV2αsds+ρZTtVαsdZQs#=\'St·EQt[ξt，t]（3.4），其中我们定义了过程ξ={ξt，t≥ 0}通过ξt：=exp-ρZtV2αsds+ρZtVαsdZQs.显然，它是指数局部鞅。为了确定过程是否为鞅，必须在历史和风险中性概率测度s下满足VT的加料方非爆炸试验。首先，在风险中性概率测度Q下，过程VT不能爆炸到∞ 如果伐木条件满足，即2κθ，则不会达到0≥ σ另一方面，继Lewis【16】之后，它涉及波动过程的布朗运动变化：d^Wt=dWt- ρVαtdt，其中d^wt是历史al测度下的维纳过程。在此测量下，辅助挥发过程Vtsolvesd^Vt=κθ- κVt+σρVα+tdt+σpVtd^Wt。我们采用费勒爆炸试验，第。刘易斯的第3页【16】。标度密度S（V）=V-2κθσe2κσV-2ρσα+Vα+，因此标度度量由s（c，d）=Zdcs（V）dV=ZdcV给出-2κθσe2κσV-2ρσα+Vα+dV，0<c<d。假设ρ<0，则S（c+∞) = ∞ 当且仅当α+>0时。自α起∈ [-,] 在我们的模型中被问到，分歧结果如下。对于速度密度，我们有m（V）=σV s（V）=σV2κθσ-1e级-2κσV+2ρσα+Vα+。显然，N(∞) = limd公司↑∞RdcS（c，x）m（x）dx随d发散→ ∞.

根据边界分类标准，S（c+∞) = ∞ 和N(∞) = ∞ 分类V的能力=∞ 作为负相关系数下的自然边界，这意味着在这种情况下不会发生爆炸，因为在有限时间内无法到达边界。综合我们的结果，这个过程仍然是一个鞅。4、VIX期权和期货的定价在这一部分中，我们推导了当指数遵循FSV过程时，VIX上欧洲看涨期权和期货的一般定价公式。首先，然后可以将对数合约与连续罢工中的看涨期权和看跌期权组合进行合成（Breeden Litze-nberger）[4]，从而得出VIX公式（CBOE，2003）[5]。因此，VIX平方可以用对数合同的风险中性预期表示。指数价格的不同动态将导致波动率平方的不同表达式。因此，平方VIX指数近似于对数合约的价值：VIXt≈ -τEQ日志St+τSterτ英尺×100，（4.1），其中τ=和Sterτ为t时观察到的标普500远期价格，t+τ为到期日。VIXformula包含两个近似错误：（1）如果价格动态包括跳跃，则为错误；（2）如果期权仅适用于有限数量的罢工。用自由随机波动率模型9定价波动性指数衍生品在以下几节中，我们逐一考察了赫斯顿模型和3/2模型，并给出了FSV模型中的波动性指数衍生品定价公式。以下理论m 4.2对VIX期权定价公式的推导，是Baldeaux和Badran[2]中命题3.4的扩展，也扩展了Zhang和Zhu[23]中的赞成位置1。4.1。赫斯顿随机波动率（HSV）。将方程（3.1）中的波动率参数设为和λ=λ=0，我们得到了赫斯顿模型。

赫斯顿模型最早由赫斯顿提出，由于其易处理性，已被广泛使用和研究。在此HSV规范中，Lian和Zhu【17】表明，可以明确计算（4.1）中的期望值：VIXt=100×（aVt+b），其中=1-eκτκτ和b=θ1.-1.-eκτκτ. 利用IR过程的转移概率密度函数（TPDF）fQVT | Vt（y），VIXt=100×（aVt+b）的反演给出了VIX指数fQVIXT | VIXt（z）=2za100·fQVT | Vt的TPDFz-文学学士{z≥100√b} 。因此，欧式看涨期权的价格可以通过直接计算预期收益得出：C（VIXt，K，t，t）=e-r（T-t） Z∞Kmax（y- K、 0）fQVIXT | VIXt（y）dy，（4.2），而VIX期货等于：F（VIXt，t，t）=EQ[VIXt | Ft]=Z∞y·fQVIXT | VIXt（y）dy.（4.3）在为FSV和3/2模型中的VIX衍生品定价之前，我们需要首先建立以下引理4.1。引理4.1。设Xx={Xxt，t≥ 0}表示（3.2）（CIR）SDE的解，X=X>0，其中κ、θ、σ>0和2κθ≥ σ（伐木条件）。考虑，ν，η，γ∈ R此类t>-κ2σ，（4.4）ν≥ -κθ-σ2σ，（4.5）η<κθ+σ+qκθ-σ+ 2σνσ，（4.6）γ≥ -√κ+2σ+κσ。（4.7）以下CIR流程转换适用于所有t≥ 0，由φ（t，x；η，γ，，ν）=E给出（Xxt）-ηexp-γXxt- ZtXxtds- νZtdsXxt=β（t，x）m+1x-κθσ（γ+K（t））-（+百万-η+κθσ）×eσκθt-√阿克斯科思√在+κxΓ+m级- η+κθσΓ（m+1）×F+m级- η+κθσ，m+1，β（t，x）4（γ+K（t））, （4.8）m=σsκθ-σ+ 2σν，（4.9）A=κ+2σ，（4.10）β（t，x）=√Axσsinh√在, （4.11）10 W.LIN、S.H.LI和S.CHERNK（t）=σ√科思√在！+κ！。（4.12）如果γ<-√κ+2σ+κσ，（4.13）那么对于所有t<t*, witht公司*=√Alog1-√Aκ+σγ+√A.（4.14）备注4.1。

特例：当=ν=γ=0时，我们有η<2κθσ：E过程的（非积分）矩十、-ηt=κση新罕布什尔州κt-2κθσexpκσκθt+x- x科思κt×1+co thκtη-2κθσΓ2κθσ- ηΓ2κθσF2κθσ- η、 2κθσ，2κxσ（eκt- （1）=引理4.1的G（κ，θ，σ，η；t，x）证明。这个结果紧接着格拉塞利（Grasselli）[11]中的m定理1，其证明主要基于布卢曼（Bluman）、库梅（Kumei）[3]和奥尔弗（Olver）[18]中李的经典对称方法。我们首先注意到，旁观者论证了预期与以下对称偏微分方程的解有关：ut=σxuxx+f（x）ux-νx+xu、 >0，ν>0，（4.15），其中f（x）=κθ- κx.发现PDE承认的李群的关键结果表明，应该找到作用于（x；t；u）-空间上的群的第二个延拓的不变曲面，其中PDE的解位于该空间。一旦这些方程求解完毕，就可以找到相应的由偏微分方程所承认的李群，从而通过拉普拉斯变换求出偏微分方程的基本解。最后，Craddock和Lennox【7】证明了基本解也是潜在随机过程的转移概率密度的条件。有关更多详细信息，请参见格拉塞利（Grasselli）[11]。4.2。3/2价格跳跃的随机波动率（3/2-SVJ）。赫斯顿模型艰难地将微笑纳入短期指数期权的隐含波动性中。Baldeaux和Badran表明，与3/2模型不同，隐含波动率向下倾斜，这与市场数据不一致。最后，他们发现，3/2加号跳跃模型能够更好地反映短期指数隐含波动率，同时产生更现实的波动率指数期权隐含波动率，而不损失可跟踪性。将volatilityparameterα设置为-在方程（3.1）中，我们得到了方程（3.1）中的3/2加跳跃模型。