基于自由随机波动率模型的VIX衍生品定价

FSV-AJ和FSV-DJ之间的每一个误差度量都越来越接近，这表明了自由随机波动率的临界建模特征。FSV型模型的样本ARPE为6.81-7.21，而3/2-SVJ模型和HSV模型的样本ARPE分别为10.65和15.07。此外，FSV类型mo de l的样本ARBAE为3.81-4.06，而3/2-SVJ和HSV模型的VIX衍生品定价采用自由随机波动率模型17表5。不同车型的定价表现：样本中。此表显示了不同模型的样本内性能指标。ARPE误差度量指标报告了以%为单位的平均定价误差。指标ARBAE衡量的是超出买卖价差的模型价格的平均误差。公制MAE代表市场价格和模型价格之间的样本平均绝对差异。ARPE和ARBE性能度量以百分比形式报告。货币性定义为波动率=VIX/K，K为期权合同的执行。

短期合同是指到期时间不超过一个月的合同，中期合同是指到期时间不超过一个月但也不超过三个月的合同，长期合同是指到期时间不超过三个月的合同。ARPE ARBAE MAEShort中长总短中长总短中长总短中长总面板A：全未来HSV 0.91 2.07 4.45 3.55不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用0.16 0.41 0.94 0.743/2-SVJ 2.32 0.85 0.55 0.80不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用0.41 0.16 0.11 0.16FSV-AJ 0.63 0.52 0.73 0.66不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用0.11 0.10 0.15 0.13FSV-DJ 0.66 0.46 0.73 0.67不适用不适用不适用不适用0.12 0.09 0.16 0.14面板B：所有选项HSV 13.91 14.5 17.02 15.079.29 11.95 13.94 11.41 0.68 0.84 0.84 0.773/2-SVJ 7.97 8.07 16.02 10.65 3.95 5.84 12.97 7.35 0.37 0.35 0.37 0.57 0.43FSV-AJ 6.43 8.35 6.30 6.81 2.91 5.90 3.64 3.81 0.37 0.39 0.29 0.35FSV-DJ 7.56 8.61 5.78 7.21 3.59 6.16 3.28 4.06 0.44 0.26 0.37面板C：OTM选项（d<-0.1）HSV 40.24 14.89 14.01 15.38 33.76 12.34 10.56 11.97 0.98 0.40 0.45 0.463/2-SVJ 26.6 16.01 20.07 19.53 20.60 13.41 16.54 16.08 0.65 0.41 0.56 0.54FSV-AJ 13.90 13.68 6.05 7.98 7.49 11.07 3.09 4.93 0.33 0.36 0.18 0.22FSV-DJ 13.77 14.00 5.53 7.76 11.44 2.78 4.77 0.33 0.37 0.16 0.21面板D：ATM选项(-0.1≤ d≤ 0.1）HSV 23.01 8.40 17.40 17.46 17.12 5.42 14.64 13.30 0.71 0.35 0.87 0.673/2-SVJ 8.42 4.00 5.09 6.23 3.83 1.76 2.69 2.94 0.26 0.17 0.26 0.24FSV-AJ 6.02 6.41 4.20 5.55 2.17 3.60 1.93 2.47 0.18 0.24 0.20 0.20FSV-DJ 6.18 6.20 3.81 5.45 2.43 1.64 2.44 0.19 0.23 0.18 0.20面板E：ITM选项（0.1<d）HSV 10.91 16.85 29.45 14.09 6.70 14.40 27.63 10.46 0.66 1.27 2.50 0.983/2-SVJ 7.17 5.44 10.357.11 3.35 3.42 8.67 3.90 0.37 0.39 0.91 0.43FSV-AJ 6.24 6.27 9.57 6.58 2.89 4.05 7.76 3.62 0.41 0.47 0.83 0.47FSV-DJ 7.63 6.08 8.96 7.55 3.70 4.43 7.15 4.20 0.49 0.50 0.77 0.52an，样本ARBAE分别比FSV型s大7.35和11.41。

可以得出这样的结论：FSV类型显示出低于买卖价差的模型价格的最低平均误差。最后，关于C组中报告的ARPE值，我们发现3/2-SVJ不适合为OTM期权定价。既然样本内的数据比HSV、3/2-SVJ、FSV-DJ和FSV-AJ的数据增长得更好，那么有人可能会认为，由于参数数量更多，且数据更适合，结果可能会有偏差。此外，在拟合期权价格方面表现良好的模型可能具有较差的预测质量。考虑到这一共同标准，我们通过使用表4中估计的参数作为输入来设计样本外测试，以计算2016年3月21日至2016年3月31日基于模型的期权价格，并在表6中报告相应的定价错误。让我们仔细看看未来。定价错误和成对ise模型比较如表6的面板A所示。FSV-AJ模型的样本外ARPE为2.76，而3/2SVJ和HSV模型的样本外ARPE分别为3.02和5.59。对于res pec t to选项，定价错误和成对模型比较如表6的面板B-H所示。总体而言，FSV型号的样本外ARPE为8.86-9.97，而3/2-SVJ和HSV型号的样本外ARPE分别为14.05和16.17。3月2日-SVJ也在为OTM期权定价方面表现不佳，另一方面，SVJ擅长为ITM期权定价。根据这些结果，FSV型模型仍然显示出最佳的样本外性能，能够在期货和期权中产生较少的定价错误，其中有18个W.LIN、S.H.LI和S.CHERNTable 6。不同车型的定价表现：样本外。此表显示了不同模型中的绩效指标示例。ARPE errormeasure指标以%为单位报告平均定价错误。

ARBAE指标衡量的是低于投标价差的模型价格的平均误差。指标MAE代表市场价格和模型价格之间的样本平均绝对差异。ARPE和ARBAE绩效指标以百分比报告。货币性定义为d=波动率/K，K是期权合同的执行。

短期合同是指到期时间不超过一个月的合同，中期合同是指到期时间不超过一个月但也不超过三个月的合同，长期合同是指到期时间超过三个月的合同。ARPE ARBAE MAEShort中长总短中长总短中长总短中长总面板A：所有未来HSV 4.79 3.33 6.52 5.59不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用0.78 0.61 1.31 1.093/2-SVJ 8.50 2.95 2.09 3.02不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用不适用1.39 0.54 0.42 0.56FSV-AJ 5.51 3.33 2.09 2.76不适用不适用不适用不适用不适用不适用0.94 0.63 0.41 FSV-DJ 2.68 2.49 4.96 4.14不适用不适用不适用不适用不适用0.45 0.46 1.00 0.81面板B：所有选项HSV 6.71 16.33 17.23 16.173.16 13.93 12.58 12.42 0.41 0.93 1.03 0.953/2-SVJ 1.24 12.64 16.52 14.05 0 10.60 12.46 10.92 0.08 0.46 0.55 0.48FSV-AJ 7.14 10.82 7.82 8.86 2.86 8.44 4.19 5.65 0.45 0.48 0.42 0.45 FSV-DJ 12.92 13.86 7.10 9.97 8.20 11.42 4.01 7.00 0.82 0.57 0.33 0.45面板C:OTM选项（d≤ -0.1）HSV不适用21.86 10.37 12.92不适用18.71 5.49 8.43不适用0.56 0.39 0.433/2-SVJ不适用33.34 24.83 26.72不适用30.06 19.39 21.77不适用0.89 0.75 0.78FSV-AJ不适用22.13 6.20 9.74不适用18.85 2.22 5.92不适用0.60 0.20 0.29FSV-DJ不适用28.96 7.69 12.42不适用25.68 4.21 8.98不适用0.80 0.24 0.36面板D：ATM选项(-0.1<d<0.1）HSV N/A 7.83 24.49 18.05 N/A 5.46 19.62 14.15 N/A 0.41 1.52 1.093/2-SVJ N/A 8.81 3.86 5.77 N/A 6.76 1.88 3.77 N/A 0.42 0.22 0.30FSV-AJ N/A 7.04 8.30 7.82 N/A 4.63 5.03 4.88 N/A 0.33 0.53 0.45FSV-DJ N/A 12.31 4.83 7.72 9.75 2.29 5.17 2.44不适用0.59 0.30 0.41面板E：ITM选项（0.1≤ d） HSV 6.71 17.24 33.00 19.21 3.16 15.25 29.61 16.54 0.41 1.38 2.77 1.543/2-SVJ 1.24 3.20 3.19 2.80 0 1.84 1.35 1.33 0.08 0.24 0.26 0.21FSV-AJ 7.14 6.44 13.38 8.39 2.86 4.56 10.58 5.79 0.45 0.49 1.13 0.65FSV-DJ 12.92 6.40 8.24 8.20 8 8.20 4 4.48 5.59 0.82 0.45 0.70 0.59 ITM期权定价的3/2-SVJ竞争模型。

最后，从ARBAE可以了解到，FSV AJA显示出低于买卖价差的模型价格的最低平均误差。图4：。VIX未来价格随到期时间（天）变化的曲线图。VIX期货由四个模型计算，涉及9种不同的到期日，使用表4中估计的参数。（a） FSV-AJ（b）FSV-DJ（c）3/2-SVJ（d）HSV利用自由随机波动率模型为VIX衍生品定价19为了进一步衡量和分析包含FSV参数α对期货和期权定价的影响，我们现在重点研究和比较FSV型模型与3/2-SVJ和HSV模型。就期货而言，FSV-AJ模型样本内ARPE为0.66，样本外ARP为2.76，而3/2-SVJ和HSV都不能很好地预测市场未来价格。样本中的MAE指标ofFSV型模型不超过0.14，低于其他模型的MAE。仔细观察短期期限，我们发现FSV类型的模型总是表现更好，这表明灵活的FSV参数α可以经常影响短期期限的波动性。为了了解ea ch模式l捕捉未来价格的能力，我们在FSV-AJ、FSV-DJ、3/2-SVJ和HSV模型下，将VIX未来价值绘制为到期时间的函数，如图4所示。波动率指数期货使用表4中给出的参数值a s计算。图4所示的成熟时间未按年度计算。所有这些都表明，FSV型模型的期货定价性能优于3/2-SVJ和HSV模型，表明包含自由随机波动率的重要性。关于期权，我们将期权定价错误分解为金额和若干金额，定义为d=VIX/K，其中K是期权合同的执行。

FSV型模型的样本ARPEO为6.81-7.21，MAE为0.35-0.37，而3/2-SVJ模型的样本ARPE为10.65，MAE为0.43。每个表单的HSV模型在定价选项方面不太好，示例ARPE为15.07，MAE为0.77。进一步进行分析。基于上述样本内和样本外的面板C，我们得出结论，FSV型模型极大地改善了OTM期权的定价，尤其是与3/2-SVJ模型相比。然而，为了查看表6面板E中所示的ITM期权，除3/2-SVJ之外的所有模型在样本外测试的ITM期权中产生了更大的百分比误差s，这表明3/2-SVJ在ITM期权定价中具有参数少和简单的优势，非常适合。为了了解每个模型捕捉期权价格的能力，我们绘制了VIX期权价值的曲线图，作为38次罢工的函数，从10次到70次，到期时间为28天，如图5所示。FSV类型在OTM选项中优于其他模型，而3/2-SVJ在ITM选项中确实做得很好。在比较每个模型中的allin样本ARP E和样本外ARP E后，FSV型模型在定价未来和选项方面比其他模型表现得更稳定。综上所述，在我们的模型中包含自由波动率参数α在确定期货和期权价格方面起着至关重要的作用。图5：。VIX期权价格与罢工的函数关系图。VIX期权由四个模型计算，涉及38次打击，使用表4中估计的参数。这里的击数除以100。（a） FSV-AJ（b）FSV-DJ（c）3/2-SVJ（d）hs首先，我们评估向上和向下跳跃对期货和期权定价的增量影响。现在，我们仔细查看FSV-AJ和FSV-DJ的定价错误。表5和表6的面板A至E显示了样本内和样本外ARPE和MAE。

总的来说，FSV-AJ显示了样本内和样本外期货和OTM期权的表现。试探性地说，FSV-AJ中的向上跳跃似乎有助于VIX向下，使OTM期权返回ITM期权，henceFSV AJ在OTM期权定价方面做得很好。从图5中还可以看出，FSV-AJ在20之前的较低执行价下更接近市场价格。虽然FSV-AJ模型在样本外测试中极大地提高了TM看涨期权的定价，但FSV-AJ和FSV DJ在样本内期货和期权以及样本外ITM期权的定价方面没有显著的定价差异。可以得出结论，在一定程度上，包括向上跳跃不能被拒绝，因为自由随机波动率和向下跳跃都是可以解释的。20 W.LIN、S.H.LI和S.CHERN8。结论在本文中，我们引入了一个有效且灵活的模型FSV模型，该模型是著名的赫斯顿模型和3/2加跳跃模型在统一框架下的扩展，通过保持其分析的可伸缩性，我们首先推导并建立了期货和看涨期权价格的准闭式解。这些车型有三个创新特征，与之前在《自然》中出现的车型完全不同。首先，我们放松了CIR过程瞬时方差的幂参数α，而不是像往常一样将α定义为某个固定值。因此，我们设置了自由FSV参数α，让数据峰值指向其方向。此外，我们还提供了非爆炸条件2κθσ>1- α，并证明了贴现价格股票是真鞅。其次，我们的PAP首次证明，通过使用GMM技术作为测试，FSV型模型可以更接近标准普尔500指数。

结果表明，指数中的α可以在不同时期实现不同的波动率波动，换言之，FSV类型的其他子类是首选的，新添加的α有助于识别股权分布。第三，我们区分了股票上涨和下跌的作用，而不仅仅是让它们处于一个正常的分布中，以便更好地考虑投资者对好的和坏的冲击的反应不同的现实。根据样本内测度和样本外预测，在模型中加入FSV参数α和jumpsfeatures可以极大地提高其性能，尤其是在OTM期权定价方面。带跳跃的模式l在定价性能方面表现优异，我们发现向上跳跃在OTM期权定价中发挥着更重要的作用。另一方面，尽管所有考虑的模型都很好地捕捉到隐含波动率的下降模式，但只有FSV-AJ和FSV-DJ模型成功地匹配了隐含偏度的波动模式，这与FSV参数α和跳跃对VIX衍生品定价都很重要的结果相一致。最后，还有几项工作没有在本文中讨论，我们希望在将来对其进行描述。例如，为了在离散时间内对冲欧式期权，希望提供傅立叶余弦展开和标的资产收益过程的特征函数。此外，FSV型模型是否能够准确地为S&P500期权定价并实现方差衍生仍然未知。在瞬时方差过程中加入跳跃应该值得探索。

这些主题也值得进一步研究，并将成为未来工作的主题。附录A.为了推导公式[εt+1]和公式[εt+1]，我们将布朗运动W分解为Z及其正交部分Z⊥并获得εt+1=VαtW(t） =VαthρZ(t） +p1- ρZ⊥(t） i.将期望值带到两侧s，得出等式[εt+1]=ρEQ[VαtZ(t） ]+p1- ρEQVαtZ⊥(t）= ρEQ[VαtZ(t） ]+p1- ρEQ[Vαt]* 均衡器Z⊥(t）= 0由于布朗运动的独立增量和独立增量，最后一个方程中的第一项等于0。另一方面，明确知道εt+1的二阶矩为asEQ[εt+1]=EQV2αtW(t）= 公式[V2αtρZ(t） +（1- ρ） （Z）⊥(t） （）+ 2ρp1- ρV2αtZ(t） Z⊥(t） ]=等式【V2αt】t+2ρp1- ρEQ[V2αtZ(t） ]* 等式[Z⊥(t） ]=等式【V2αt】t=tΓα+κθσΓ2κθσσαe-2κt（α+κθσ）+V（etκ-1） σ×κ1- e-tκ2κθσκ-1+内皮素κ-2α-2κθσFα+θκσ,2κθσ，2Vκ(-1+etκ）σ使用自由随机波动率模型21定价VIX衍生品，其中我们使用备注4.1，将η设置为2α，并将vt设置为马尔可夫过程。参考文献[1]Bates，D。S、 （2000年）。1987年后标准普尔500指数期货期权市场的崩溃恐惧，《计量经济学杂志》，94（1-2）：181-238。[2] Baldeaux，J.和Badran，A.（2014年）。使用3/2+跳跃模型对波动率指数和股票衍生品进行一致建模。《应用数学金融》，21（4）：299–312。[3] Bluman，G.和Kumei，S.（1989年）。对称性和微分方程。应用数学科学，81。Springerlag，纽约，xiv+412页[4]Breeden，D.T.和Litzenberger，R.H.（1978）。期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》，51（4）：621-651。[5] CBOE（2003年）。VIX:CBOE波动率指数。网址：www.cboe。com/micro/vix/vixwhite。pdf。[6] Cox，J.C.、Ingersoll，J.E和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–407。[7] Craddock，M.和Lennox，K.A.（2009）。