基于自由随机波动率模型的VIX衍生品定价

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英文标题：
《Pricing VIX Derivatives With Free Stochastic Volatility Model》
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作者：
Wei Lin, Shenghong Li and Shane Chern
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we relax the power parameter of instantaneous variance and develop a new stochastic volatility plus jumps model that generalize the Heston model and 3/2 model as special cases. This model has two distinctive features. First, we do not restrict the new parameter, letting the data speak as to its direction. The Generalized Methods of Moments suggests that the newly added parameter is to create varying volatility fluctuation in different period discovered in financial market. Moreover, upward and downward jumps are separately modeled to accommodate the market data. Our model is novel and highly tractable, which means that the quasi-closed-form solutions for future and option prices can be effectively derived. We have employed data on VIX future and corresponding option contracts to test this model to evaluate its ability of performing pricing and capturing features of the implied volatility. To sum up, the free stochastic volatility model with asymmetric jumps is able to adequately capture implied volatility dynamics and thus it can be seen as a superior model relative to the fixed volatility model in pricing VIX derivatives.
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中文摘要：
本文放松了瞬时方差的幂参数，发展了一种新的随机波动率加跳跃模型，将赫斯顿模型和3/2模型推广为特例。这种模式有两个显著特点。首先，我们不限制新参数，让数据说出它的方向。广义矩量法表明，新增加的参数是在金融市场发现的不同时期产生不同的波动率波动。此外，上行和下行跳跃分别建模，以适应市场数据。我们的模型新颖且易于处理，这意味着可以有效地导出期货和期权价格的准闭式解。我们利用VIX期货和相应期权合约的数据对该模型进行了测试，以评估其定价能力和捕捉隐含波动率特征的能力。综上所述，具有非对称跳跃的自由随机波动率模型能够充分捕捉隐含波动率动态，因此可以将其视为相对于波动率衍生品定价的固定波动率模型的优越模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Pricing_VIX_Derivatives_With_Free_Stochastic_Volatility_Model.pdf (819.13 KB)

2022-5-31 06:29:56 上传

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关键词：衍生品定价 波动率模型 衍生品 波动率 VIX

用自由随机波动率模型定价波动率指数衍生工具魏琳、李盛红和谢恩·切纳布斯特。在本文中，我们放松了瞬时方差的功率参数，并发展了一个自由随机波动率加跳跃模型，将赫斯顿模型和3/2模型推广为特例。这种模式有两个显著特点。首先，我们不限制new参数，让dataspeak知道它的方向。广义矩量法表明，新增参数可在金融市场发现的不同时期产生不同的波动率波动。其次，向上和向下跳跃分别建模，以适应市场数据。我们的模型新颖且易于处理，这意味着可以推导出期货和期权价格的准闭式解。我们利用VIX期货和相应期权合约的数据来测试该模型，以评估其定价能力和捕捉隐含波动率特征的能力。综上所述，具有非对称跳跃的自由-仓促波动率模型能够充分捕捉隐含波动率动态，因此它可以被视为相对于波动率衍生品定价的固定波动率模型的优越模型。1、简介自芝加哥期权交易所（CBOE）于2004年3月推出芝加哥期权交易所波动率指数（VIX）期货，之后于2006年2月推出VIX期权以来，在过去几年中，市场上进行了大量的波动性金融创新，过去十年，波动率指数衍生工具的交易量大幅增长，并受到投资者的欢迎。

这些产品的交易量不断增加，主要是因为VIX期权使投资者有可能直接和有效地投资于波动性，而无需考虑基础工具的价格变化、股息、利率或到期时间。此外，波动率指数衍生品可以作为一种有效的金融工具，抵御金融动荡。事实上，该指数被视为恐惧的衡量标准，因为当价格大幅波动和市场动荡发生时，VIX指数会上升，而当市场在长期牛市中趋于平缓时，VIX指数会保持低位和稳定。图1：。VIX指数与标准普尔500指数和VVIX指数的对比图（2015年2月1日至2016年1月29日）（a）VVIX v.S.VIX（b）S＆P500 v.S.VIX（c）VIX回报v.S.S＆P500回报的散点图我们使用“自由随机波动率”一词来指VIX的波动率不是简单随机的，而是随着标准普尔500指数的变化而不对称变化的事实。例如，通过观察CBOE的VIX和VVIX的动态，可以看出这种不对称。它们不仅随机且频繁地发生变化，而且还不对称地向上和向下变化。另一方面，经验规律性的一个有趣点是，波动率指数隐含的随机波动率事实r主要来自两个组成部分——一个可以跨越标准普尔500指数，另一个不能跨越。2010年数学学科分类。关键词和短语。自由随机波动率；跳跃；VIX衍生品；2 W.LIN、S.H.LI和S.CHERNIn为了衡量标准普尔500指数对波动率指数的影响程度，我们将标准普尔500指数的收益率回归到波动率指数的收益率上，并发现标准普尔500指数的变化可以解释基于回归调整后的波动率指数变化的69%。

因此，对自由随机波动率的考虑有望更好地捕捉标准普尔500指数回报的动态，从而更好地将理论模型与波动率指数（VIX）相协调，从而提高期权估值。图1描绘了相对波动率指数（VIXindex）的历史动态及其波动率VVIX指数、标准普尔500指数和波动率指数（VIX r eturns）与标准普尔500指数的散点图。如图1所示，如果希望对标准普尔500指数和波动率指数动态模型进行联合建模，则需要添加一些重要特征。首先，VVIX和VIX的变化之间存在正相关关系。其次，波动率波动率随时间的变化显示出高波动率和低波动率的时期，且波动率波动率趋于稳定，因此，它推动了对自由波动率模型的需求，该模型能够灵活地再现观察到的波动率。第三个特征是杠杆效应，即标准普尔500指数和波动率指数呈负相关。第四，标普500指数和波动率指数有同步和反向跳跃的迹象。与刚刚讨论的实证事实相反，现有的波动率指数期权文件通常假设标准普尔500指数的波动率遵循平方根或三分之二的差异。基于Heston模型【14】，Grunbichlerand Longsta fff【12】对瞬时波动率的期权进行了定价，使波动率过程遵循一个平方贝塞尔过程（通常称为CIR或平方根过程，因为它在扩散项中显示出1/2的幂）。后来，张和朱[23]提出了波动率指数期货定价。Lian和Zhu[17]将这一点扩展到了允许基础指数及其波动率跳跃的VIX期权的情况。另一方面，CIR过程的反转仍然是均值回复，其扩散项包含3/2次方的过程。

Drimus的相关研究人员【8】研究了3/2非净模型中基于实现方差的期权定价和套期保值。后来，Baldeaux和Ba dran[2]在一个3/2随机波动率模型中推导出了波动期权的半封闭公式，基础指数有跳跃。值得注意的一点是，Dua n和Yeh【9】引入了一个联合价格波动模型，由于其自由根波动过程，该模型比Bate【1】和Pan【19】的模型更通用。事实证明，所有这些模型都假设股票中的波动率差异项要么是平方根，要么是3/2，即CIR过程的固定幂，这使得它们不足以准确地适应数据的重要特征和波动率偏差。因此，我们将随机波动率参数α设置为瞬时方差的幂，而不是限制它，让数据表明其方向。我们将其命名为自由随机波动率模型（FSV）。最后，本文旨在填补这一真空，以展示使用FSV模型对VIX衍生品进行定价的能力。本文的目的有三个方面。首先，我们建立了无跳跃的FSV模型，并解决了避免定义良好的FSV爆炸所需的几个技术条件。在这个框架中，赫斯顿模型和3/2模型只是参数化的例子，因此有更大的建模自由度来控制资产收益时间序列的分布形状。由于四参数随机过程（Heston和3/2）经经验证明能够很好地控制股权回报，因此新过程的额外参数α有望根据价格中隐含的经济行为识别和分类股权分布。

从这个角度来看，Hansen[13]的广义矩量法（GMM）估计技术用于经验估计和比较这些模型。该方法由Chan等人【15】首次建立，用于比较短期利率模型。后来，Goard和Mazur【10】将此方法用于几个不同的模型，这些模型直接建模VIX，而不提供与基础指数的联系。我们强调，我们的估计在概念上不同于他们的估计。一个不同的部分是数据。我们的模型提供了与基础指数动态的联系，这是用于GMM估计的数据。第二个不同的部分是，我们对图中所示的四个不同时期进行了估算，以测试FSV参数α是否随时间显著变化。最后，得出的结论是，指数的α意味着不同时期的不同波动率波动，我们的模型应予以考虑。其次，我们分别建立了向上和向下设置的FSV。假设它们都遵循独立的复合泊松过程，每个过程都有自己的跳跃强度和显著的跳跃大小分布。Park[20]在他的模型中提出了这种不对称跳跃。然而，我们的模型不是直接对波动率指数进行建模，而是在不提供基础指数的情况下增加波动率指数的跳跃，而是建立基础指数的上升和下降。此外，在经济合理的随机波动率模型中，实际波动率应该是一个无爆炸的循环过程。辅助波动过程的爆发导致一些贴现的金融债权价格不符合鞅；相反，使用自由随机波动率模型3对VIX衍生品进行定价，它们只是局部鞅。

对于这些主张，我们提出并证明了在我们的FSV模型下，折扣股票价格是一个纯鞅，而不仅仅是一个局部鞅。第三，我们介绍了有无自由波动和跳跃特征的标准普尔500指数价格动态模型。每个模型都可以导出期货和期权价格的准解析解。Firstone是基于Heston模型的随机波动率（HSV）模型，波动率参数化如Coxet等人[6]。第二个是由Baldeaux和Badran提出的3/2随机波动率加跳跃（3/2-SVJ）模型，资产收益率包含价格跳跃。以下两种模型（FSV型）放宽了瞬时方差的功率参数。Third d模型是具有不对称跳跃的FSV模式l（FSV-AJ），这意味着向上和向下跳跃都假设遵循独立的复合泊松过程，每个过程都有自己的跳跃强度和显著的跳跃大小分布。为了比较FSV-AJ并研究向上跳跃是否会对VIX衍生品的定价产生增量影响，第四个模型是仅具有向下跳跃的FSV模型（FSV-DJ）。这些一致性模型包含关于波动率指数、波动率期货和波动率期权的信息。然后，根据上述数据对2016年3月1日至2016年3月31日期间的模型进行测试。本文研究了FSV参数α对VIX衍生品定价的影响。将FSV类型与3/2-SVJ和HSV进行比较，我们发现无论是样本内还是样本外测试，前者都明显优于后者。通过比较FSV-DJ和FSV-AJ模型，FSV-AJ的样本内和样本外性能略优于FSV-DJ，尤其是在OTM选项中。我们在四种模型下绘制了VIX未来值作为到期时间的函数，如图4所示。

此外，我们还将VIX期权值绘制为罢工函数，如图5所示。也就是说，考虑到模型中的FSV参数α，可以大大改善波动率指数期货和期权的定价。接下来，我们将分别研究设置向上跳跃和向下跳跃的效果。好的和坏的惊喜可能会以不同的利率和规模出现，投资者可能会对此做出不同的反应。因此，我们的模型假设上升和下降跳跃以不同的频率和量级独立发生。结果表明，包括向上跳跃在内，对OTM期权的定价有贡献。最后，我们发现，FSV参数α和非对称跳跃的联合考虑有望更好地捕捉股票回报的动态，从而更好地将理论模型与观察到的波动率模型/傻笑进行协调，从而提高VIX期货和期权的估值。本文的主要内容如下。在第二节中，我们提出了风险中性测度及其非爆炸条件下的se FSV模型。概述了用于实证检验的GMM估计技术。第三节，我们给出了一般的FSV-AJ模型，并证明了折扣股价是鞅。第四节，给出了波动率指数期货和期权的定价公式。第5节介绍了波动率指数期权和期货数据。第6节显示了参数估计和一些初步分析，而第7节则提供了不同模式规范下定价绩效的主要实证结果。第8.2节提供了结束语。适用于标准普尔500指数的自由随机波动率模型在本节中，我们引入了自由随机波动率模型l，并提供了数值结果，以说明这种模型能够在VIX期权中产生隐含波动率偏差。

考虑风险中性概率空间(Ohm, F，Q）和信息过滤{Ft}，其中价格过程仍然适应过滤{Ft}t≥股票价格和波动过程的一般动力学包括自由随机波动参数α和Cox-Inger-soll-Ross（CIR）过程：dSt=Strdt+γVαtdWQt（2.1）其中随机因子V演变为dvt=κ（θ- Vt）dt+σpVtdZQt，（2.2）分别从S>0和V>0开始。通常，r，κ，θ都是严格正的。θ控制Vt的长期平均值，κ是Vt的平均逆转速度。此外，σ∈ R捕获了风险中性Q测度下Vt.WQT和ZQT的标准布朗运动的波动性。α∈ [-,]代表自由随机波动率部分，因此我们希望它能够捕捉标准普尔500指数中包含的更复杂的波动率。为了捕捉标准普尔500指数和波动率指数的市场行为，我们希望出现负相关，表示为-1.≤ ρ<0，在DZQT和dWQt之间。我们的联合价格波动模型比赫斯顿模型和三分之二随机模型更为一般，因为它们的规格对应于待确定的α的特殊情况。现在，我们讨论了建立一个良好的无定义随机波动性模型所需的几个技术条件。为了避免Vαt沸腾，应满足一些带参数的技术条件。首先，将It^o公式应用于Dt=Vαt，我们得到ddt=αD1-αtκθ+（α- 1） σ- ακDtdt+ασD1-2αtdZt。其标度密度iss（D）=D-§θασe2κσDα，使用▄θ=κθ+（α- 1） σ。因此，标度度量S（c，d）变为（c，d）=Zdcs（x）dx=Zdcx-θασe2κσxαdx。特别是，我们看到了（c+∞) =(∞ 对于（i）α>0或（ii）α<0和|θ>0<∞ 对于α<0和￠θασ>1）。（2.3）因此，如果θ>0，S（c+∞) 可以完全发散，无论α是什么。

D=∞ 根据边界分类标准，被划分为自然入口边界。幸运的是，两种边界均为=∞ 在有限时间内无法从内部到达，这意味着D=Vαt在有限时间内爆炸。另一方面，CIR过程是一个时空变化的BESQ过程。利用Feller边界条件，从正初始点开始的Vtprocess严格保持正，并且在有限区间内不会爆炸，当且仅当2κθ≥ σ。因此，它也将拒绝S（c+∞) < ∞ 由于2κθ的等效性≥ σ和￠θασ≤ 1、根据我们的结果，我们建立了|θ>0，即2κθσ>1- α为参数的技术条件。为了向读者提供可以验证的参数。遵循Goard和Mazur【10】等，我们使用相同的估计技术来估计连续时间模型中的参数，并创建催眠测试，以查看这些参数是否施加了不合理的过度识别限制。我们强调，我们的估计在概念上与Goard和Mazur的估计不同【10】。一个不同的部分是数据。我们在2.1和2.2中的波动率模型是直接从基础指数的动态推导出来的，而不是直接对波动率进行建模，而不提供与基础指数的连接。因此，我们使用S&P500数据进行估计，而不是VIX数据。另一方面，我们使用了最近一年期的标准普尔500指数数据：2016年1月2日至2016年12月2日。