分数随机环境下的最优投资组合

通过将It^o公式应用于Vtin（2.18），我们推导了DVT=十、-γtdXt-γX-γ-1td hXiteNtMqt+X1-γt1- γeNtMqtdNt+X1-γt1- γeNtqMq-1tdMt+X1-γt1- γeNtq（q- 1） Mq公司-2td hM it+dX1-γ1- γeN，Mqt型=十、-γtXtαtu-γX-γ-1textαtσeNtMqtdt+X1-γt1- γeNtMqt-1.- γ2γλdt+X1-γt1- γeNtqMq-1tMtξtatdt+X1-γt1- γeNtq（q- 1） Mq公司-2tMtξtdt+X-γteNtqMq-1tρXtαtσMtξtdt+X1-γt1- γeNtMqt（1）- γ） αtσdWt+qξtdWYt.对于任何可容许策略π，最后一项都是真鞅∈ 在这源于entmqt的有界性，由λ（·）的有界性和X1的平方可积性保证-γtαtσ和X1-γtξt。更精确地说，我们有：E“ZT（Xπt）2-2γαtσ（Yt）dt#=E“ZT（Xπt）-2γπtσ（Yt）dt#<∞,E“ZT（Xπt）2-2γξtdt#≤“EZT（Xπt）2p（1-γ） dt#p“EZTξ2p/（p-1） tdt#p-1p<∞.根据π的可容许性（2.6）和假设2.1（ii），这意味着ξt的有限时刻。通过重写dVt=X1-γteNtMqtDt（αt）dt+d鞅，漂移因子dt（αt）取形式：dt（αt）：=αtu-γαtσ-λ2γ+q1- ξt+q时的γ（q- 1） 2（1- γ） ξt+ρqαtσξt。将Dt（αt）与α进行区分，并检查二阶条件，得到ma ximizerα*t=μγσ+ρqξtγσ=λγσ+ρqξtγσ。（2.19）评估漂移因子Dtatα*t生产SDT（α*t） =qξtat1- γ+λργ+qξtρqγ+q- 11- γ. （2.20）然后，漂移因子Dt（α*t） 在q的选项（2.8）和at的选项（2.11）下消失。注意，otherchoiceξ=0只会导致退化情况λ（·）常数在备注2.3（ii）中考虑。另一方面，由于ξt与at无关，（2.8）和（2.11）是将Dt（α）归零的唯一选择*t） 。

还请注意，对于q的选择（2.8），项ξ被取消，这对应于非线性项的取消(第2.1节中审查的PDE参数中的yΦ）。此外，使用πt=αtXtand方程（2.19）表示α*t、 π之后的财富过程*t解决SDEdXπ*t=Xπ*t型λ（Yt）+ρqλ（Yt）ξtγdt+λ（Yt）+ρqξtγdWt,因此，它保持非负，这意味着π*t=α*tXtsatis（2.5）。为了检查条件（2.6），我们首先注意到E“ZTXπ*t型-2γ（π*t） σ（Yt）dt#=E“ZTXπ*t型2.-2γλ（Yt）γ+ρqξtγdt#。然后，利用H¨older不等式、λ的有界性和ξt的可积性条件，验证了∈[0，T]呃Xπ*t型2p（1-γ） i<+∞, 对于某些p>1。为此，我们计算Xπ*t型2p（1-γ）= EeRt2p（1-γ） γ（λ+ρqλξs）-p（1-γ） γ（λ+ρqξs）ds+Rt2p（1-γ） γ（λ+ρqξs）dWs≤ E“eRt4p（1-γ） γ（λ+ρqλξs）ds+Rt8p（1-γ） γ-2p（1-γ） γ（λ+ρqξs）ds#×Ee-Rt8p（1-γ） γ（λ+ρqξs）ds+Rt4p（1-γ） γ（λ+ρqξs）dWs.根据假设2.1（ii）下ξin（2.14）的指数矩和λ的有界性，在t∈ [0，T]，而第二个期望是Novikov条件下的期望。从而得到了预期的结果。备注2.4。关于（ξt）t的假设∈[0，T]比其他论文更强（见Tehranchi[2004]，Nadtochiy和Zariphopoulou[2013]），但它允许我们充分证明π*（2.16）中给出的是可接受的。在第3节中，我们将看到分数随机环境模型满足了这一假设。尽管为了简单起见，下一节中的结果仅在单一资产情况下给出，但westate他重新推导了多资产情况下的公式。推导是一项乏味的工作。备注2.5（多资产案例的概括）。设St：=[St，St，…，Snt]为n个风险资产，由DSIT=ui（Yit）Sitdt+nXj=1σij（Yit）SitdWjt，i=1，2。

n、 在这里，每个SITI由其自身的随机因子Yit驱动，但所有因子都适用于相同的单布朗运动WYtwith相关结构：dWi，Wjt=0，dWi，WYt=ρdt，i、 j=1，2，n、 nρ<1。用π表示=π、 π，···，πn+∈ Ft交易向量，使得πIt表示在时间t时归属于SITA的m元数量（+表示m atr ix转置）。在这种多重资产设置中，在自我融资假设和r=0的情况下，财富过程满足dxt=πt·u（Yt）dt+πt·σ（Yt）dWt，向量符号Yt：=[Yt，Yt，…，Ynt]+，u（Yt）：=[u（Yt），u（Yt），···，un（Ynt）]+，σ（Yt）：=σi，j（Yit）作为大小为n的方阵，Wt：=[Wt，Wt，··，Wnt]+。假设∑（Yt）=σ（Yt）σ（Yt）+是可逆的正定义，函数∧（Yt）=σ（Yt）-1u（Yt）以有界导数为界，并用at=-ρ1.-γγ+nσ（Yt）-1u（Yt）。定义P鞅=eEe1级-γ2qγRTu（Ys）+∑（Ys）-1u（Ys）ds燃气轮机,并假设ξt由鞅表示定理满足（2.14），那么投资组合值vt可以表示为vt=X1-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtu（Ys）+∑（Ys）-1u（Ys）ds燃气轮机iq，其中Ee在EP下计算，q为常数，选择为：q=γγ+（1- γ） ρn.最优控制π*由π给出*t型=∑（Yt）-1u（Yt）γ+ρqξtσ-1（Yt）+nγXt，1nbeing为1的n向量。3分数随机环境的应用在本节中，我们首先简要回顾分数布朗运动（fBm）和分数OrnsteinUhlenbeck（fOU）过程，然后介绍缓慢变化的fOU过程。在这种模型下，我们将根据命题2.2中的结果得出投资组合价值VT的近似值。

更重要的是，请注意最佳交易策略π*由于存在ξtgivenby的鞅表示定理，由（2.16）给出的是不明确的，我们将获得该最优策略的显式近似。3.1分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程分数布朗运动是一个连续的高斯过程（W（H）t），具有ze-ro平均值和协方差结构：EhW（H）tW（H）si=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H, （3.1）式中σHis为正常数，H∈ （0，1）称为赫斯特指数。根据Mandelbrot和Van Ness[1968]，W（H）thas是以下移动平均随机积分表示：W（H）t=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWs，（3.2），其中（Wt）t∈R+是通常的布朗运动，而（Wt）t∈R-:= （B）-t） t型∈R-是另一个与（Wt）t无关的布朗运动∈R+。对于（3.2），σHis计算为σH=（Γ（2H+1）sin（πH））-现在我们考虑分数布朗运动的Langevin方程dzht=-aZHtdt+dW（H）t，（3.3），初始条件为ZH=η。在C he ridito等人【2003】中，证明了zh，ηt：=e-在η+ZteaudW（H）u是唯一一个解方程（3.3）的几乎肯定是连续的过程，其中Rteaudw（H）u存在于路径Riemann-Stieltjes积分（通过部分积分）中，并且几乎肯定在t中是连续的。特别是对于t∈ R+，ZHt：=Zt-∞e-a（t-s） dW（H）s=W（H）t- aZt公司-∞e-a（t-s） W（H）sds，（3.4）是一个初始条件η=ZH的静态解，其他所有的静态解都具有与ZHt相同的分布。在接下来的文章中，我们将只考虑这个平稳解，并将其称为平稳分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程。它具有零均值和（co）方差结构：σou=a-2HΓ（2H+1）σH，EZHtZHt+s= σouCZ（s），（3.5），其中CZ（s）由CZ（s）=2 sin（πH）πZ给出∞cos（asx）x1-2H1+xdx。

（3.6）使用W（H）t的移动平均表示法（3.2），固定解（3.4）可以表示为：ZHt=Zt-∞K（t- s） dWZs，（3.7）其中WZt公司t型∈Ris是（3.2）中描述的R上的一个标准BM，超脚本Z表示它驱动了ZHt过程。核K由K（t）=Γ（H+）定义tH公司-- aZt（t- s） H类-e-asds. （3.8）我们参考[Garnier和Solna，2017年，第2.2节]了解当t<< 1和T>> 1，当H∈ （0，），对于长程c或R特性，当H∈ （，1）。在下文中，我们将主要讨论H<如引言中所述的情况，但我们的渐近结果也适用于H>。如【Garnier和Solna，2017年，附录B】所述，可以考虑更一般的高斯波动率因素。但是，对于简单性和长度，我们仅限于fOU过程的情况。3.2慢变fOU过程如引言所述，我们考虑由Zδ，Ht表示的慢变分数因子。在小δ，Zδ的体系中，Ht被定义为一个重定标的稳态fOU过程，Zδ，Ht=δHZt-∞e-δa（t-s） dW（H）s=Zt-∞Kδ（t- s） dWZs，Kδ（t）=√δK（δt），（3.9），其中W（H）是由布朗运动WZtvia（3.2）驱动的fBm，K（t）在（3.8）中给出。根据第3.1节，Zδ，Ht是SDEdZδ的稳态解，Ht=-δaZδ，Htdt+δHdW（H）t。

（3.10）这是一个零均值平稳高斯过程，方差σou，协方差EhZδ，HtZδ，Ht+si=σouCZ（δs）。协方差函数仅取决于δs，这表明1/δ是Zδ的自然尺度，Htas期望d。引理a.1中说明了关于Zδ的更多性质和估计。当δ为零时，根据支配收敛定理a和CZ（0）=1，协方差变为δ→0EhZδ，HtZδ，Ht+si=σouCZ（0）=σou，（3.11），过程Zδ，HtZ在分布上收敛到Zδ，Ht型∈RD=（σouZ）t∈R、 其中Z是标准正态随机变量。3.3数值过程的一阶近似在本节中，我们研究第2节中讨论的问题，其中Yt=Zδ，Ht和WYt=WZt。准确地说，标的资产STI是由缓慢变化的分数

[2009]），weobtainMtξt=eE[eDtMT | Gt]，其中eDtMT表示关于布朗运动的马利亚阶导数fwzt=WZt- ρ1.- γγZtλ（Zδ，Hs）ds。术语t计算为：eDtMT=e1-γ2qγRTλ（Zδ，Hs）dsZT1- γqγλ（Zδ，Hs）λ′（Zδ，Hs）eDtZδ，Hsds。由于Mt、λ和λ′是有界的，因此需要显示rteDtZδ，Hsds一致有界。为此，回顾（3.9）中定义的Zδ，Hs：Zδ，Hs=Zs-∞Kδ（s- u） dWZu=Zs-∞Kδ（s- u） dfWZu+ZsKδ（s- u） ρ1- γγλ（Zδ，Hu）du。它适用于Gt，Thusetzδ，Hs=0。FOR r t公司≥ s、 对于t<s，我们推导出tzδ，Hs=Kδ（s- t） +ZstKδ（s- u） ρ1- γγλ′（Zδ，Hu）eDtZδ，Hudu。因此，通过定义正增长函数Aδ（t）=RtKδ（s）ds，一个hasZTeDtZδ，Hsds公司≤ZTtKδ（s- t） ds公司+ρ1- γγZTtZstKδ（s- u）λ′（Zδ，Hu）eDtZδ，Hudu ds≤ZT公司-tKδ（s）ds+ρ1- γγkλ′k∞ZTtZTuKδ（s- u）eDtZδ，Huds du≤ Aδ（T）+ρ1- γγkλ′k∞Aδ（T）ZTteDtZδ，Hudu，对于任何t∈ [0，T]，ZTeDtZδ，Hsds公司≤Aδ（T）1-ρ1-γγkλ′k∞Aδ（T）提供1-ρ1-γγkλ′k∞Aδ（T）是正的。这适用于有效的小δ，因为δ（T）的阶数为δH（见引理A.1（iv）），从而完成了证明。定理3.2。根据假设2.1，对于固定t∈ [0，T），Xt=x和观测值Zδ，H，VδT表示VδT=QδT（Xt，Zδ，H）+O（δ2H），（3.12），其中QδT（x，Z）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（z）（T-t） “1+1- γγλ（z）λ′（z）φδt+δHρλ（z）1.- γγ（T- t） H+Γ（H+）#。（3.13）此处φδ定义为φδt=E“ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Ft#=E“ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#、（3.14）和δ阶φδtis在引理A.1中已证明其方差为δ2H阶。请注意，O（δ2H）表示Ft适应的随机变量，在L.证明中为δ2H阶。

命题2.2的一个简单应用，其中Yt=Zδ，ht和WYt=wzt给出了价值过程VδtVδt=X1的以下表示-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）ds燃气轮机智商。我们首先展开ψδt：=eEhe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）ds然后将泰勒公式应用于函数xq。测度绝对连续变化下的条件期望公式，以及（2.11）给出的At值和z a t点的泰勒展开式zδ，Hyields，ψδt=Ehe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dse-RTtasdWZs-RTtasdsGti=Ehe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dseRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，Hs）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，Hs）dsGti=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） EheRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）ds+A[t，t]+B[t，t]Gti，其中A[t，t]和B[t，t]由A[t，t]=1给出- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds+ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HDWZ公司- ρ1.- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds，B[t，t]=1- γqγZTtλλ′′+λ′2（χs）Zδ，Hs- Zδ，Hds+ρ1.- γγZTtλ′′（ηs）Zδ，Hs- Zδ，HDWZ公司- ρ1.- γγZTt公司λλ′′+λ′2（χs）Zδ，Hs- Zδ，Hds，其中χsandηs是拉格朗日余数：χs，ηs∈ [Zδ，H∨ Zδ，Hs，Zδ，H∧ Zδ，Hs]。由于λ（·）是有界的，因此可以展开eA[t，t]+B[t，t]，并推导出ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） EheRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）ds1+A[t，t]+R[t，t]Gti=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） EheRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）ds1+A【t，t】Gti+O（δ2H），其中R[t，t]由R[t，t]=eA[t，t]+B[t，t]给出- 1.-A【t，t】。（3.15）引理A.2证明了R[t，t]~ O（δ2H）。如前所述，我们用O（δ2H）表示δ2Hin Lsense阶随机变量。我们引入了一个新的概率测度bp，使得underbP，cWZt=WZt- ρ1.-γγλ（Zδ，H）t是标准布朗运动。

然后ψδt可以重写为ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE公司1+A【t，t】燃气轮机+ O（δ2H）=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE“1+（1- γ） qγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#+e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HDWZ公司燃气轮机#- e1级-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE“ρ1.- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#+O（δ2H），第二项与第三项相消，因为“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HDWZ公司Gt#=bE“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HdcWZsGt#+bE“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hρ1.- γγλ（Zδ，H）dsGt#=bE“ρ1.- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#。因此，术语ψδ表示ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t）1+（1- γ） qγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Φδt+ O（δ2H），（3.16），其中Φδt=bE“ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#=bE“ZTtZδ，Hsds燃气轮机#- Zδ，H（T- t） 。为了进一步简化Φδt，我们使用Zδ，hs的移动平均表示（3.9），并推导出Φδt=bE“ZTtZδ，Hsds燃气轮机#- Zδ，H（T- t） =bE“ZTtZs-∞Kδ（s- u） dWZuds燃气轮机#- Zδ，H（T- t） =bE“Zt-∞ZTtKδ（s- u） ds dWZuGt#+bE“ZTtZTuKδ（s- u） ds dWZu燃气轮机#- Zδ，H（T- t） =Zt-∞ZTtKδ（s- u） ds dWZu- Zδ，H（T- t） +bE“ZTtZTuKδ（s- u） ds dWZuGt#=φδt+bE“ZTtZTuKδ（s- u） ds dcWZuGt#+ρ1.- γγλ（Zδ，H）ZTtZTuKδ（s- u） ds du=φδt+ρ1.- γγλ（Zδ，H）δH（T- t） H+3/2Γ（H+）+O（δH+1）。（3.17）在推导过程中，我们更改了ds和DWZU的顺序，并使用关系CWZT=WZt-1.-γγλ（Zδ，H）ρt。顺序的变化由随机Fubini定理调整，其有效条件为zttZs公司-∞Kδ（s- u） 杜邦1/2秒<∞, Kδ（t）=√δK（δt）。下面是K∈ L（0，∞).

现在结合（3.16）和（3.17），我们得到vδt=X1-γt1- γψδtq=X1-γt1- γe1-γ2γλ（Zδ，H）（T-t）1+1- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Φδt+ O（δ2H）=X1-γt1- γe1-γ2γλ（Zδ，H）（T-t） （1+1- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）φδt+δHρλ（Zδ，H）1.- γγ（T- t） H+Γ（H+）！+O（δ2H）。观察前导项有两种修正：随机分量φδt和确定性函数（t，Xt，Zδ，H），两者都是δH阶。备注3.3（对λ（·）假设的讨论）。为了扩展ψδt，我们需要Ehe1的统一界（Inδ）-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dsi。不要认为如果γ>1，这是自动满足的，因为指数函数以1为界。对于0<γ<1，在假设2.1（i）中规定的以λ（·）为界的假设下也可以满足。此外，可以放宽假设，使函数λ（·）的指数矩有统一的界。3.4最优策略我们现在转向（2.16）π中给出的最优投资组合的扩展*t=“λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）+ρqξtγσ（Zδ，Ht）#Xt，其中由表示定理m（2.13）给出的过程ξt通常不明确。在本节中，我们使用定理3.2中导出的结果来近似ξt，并获得π的以下渐近结果*t、 定理3.4。在假设2.1下，最优策略π*用π近似*t=“λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）+δHρ（1- γ） γσ（Zδ，Ht）（T- t） H+1/2Γ（H+）λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）#Xt+O（δ2H）（3.18）：=π（0）t+δHπ（1）t+O（δ2H）。在证明这个理论之前，我们先做一些重要的评论。备注3.5。（i） 对于H=、Zδ的情况，Ht成为马尔可夫OU过程，（3.18）与[Fouque等人，2015年，第3.2.2节和第6.3.2节]中得出的反馈形式近似值一致。（ii）在π的近似值（3.18）下*t、 超前顺序策略π（0）t跟随过程Zδ，Ht，反向修正π（1）在Zδ，H部分冻结，并且在vt中随机修正φδt在此处消失。