分数随机环境下的最优投资组合

这使得近似策略π（0）t+δHπ（1）更容易实现。此外，在σ（·）的附加光滑性假设下，通常σ（·）是c且（1/σ（·））′是有界的，那么校正项π（1）t可以在Zδ处完全冻结，而不改变精度顺序，即π（1）t=ρ（1- γ） γσ（Zδ，H）（T- t） H+1/2Γ（H+）λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Xt+O（δH）。（iii）用Xπ（0）t表示遵循零阶策略的财富过程π（0）t=λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）XtdXπ（0）t=u（Zδ，Ht）π（0）tdt+σ（Zδ，Ht）π（0）tdWt，（3.19）和Vπ（0），δ·相应的值过程Vπ（0），δt：=EhUXπ（0）TFti。在第4.3节命题4.5中，我们导出了一般效用函数对Vπ（0），δt的展开式。当应用于功率因数（2.4）的情况时，可以推断Vπ（0），δ- Qδt为δ2hw级，Qδt位于（3.13）中。因此，根据定理3.2，Vπ（0），δt- Vδ为δ2H阶，我们得出结论，π（0）t=λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）x生成（3.12）给出的近似值过程，并且在δH阶的所有容许策略内是渐近最优的。定理3.4的证明。有必要推导（2.13）确定的ξt展开式。在上一节中，我们得到了ψδt的严格展开式：=eEhe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dsGti；见（3.16）和（3.17）。使用ψδtasMt=eItψδt重写（2.12）中定义的，其中它=1-γ2qγRtλ（Zδ，Hs）ds。

将It^o公式应用于Mtyields，dMt=eItψδtdIt+eItdψδt=1- γ2qγλ（Zδ，Ht）Mtdt+eIt-1.- γ2qγλ（Zδ，H）ψδtdt+e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） 1个- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）dΦδt+ O（δ2H）=δHeIte1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） 1个- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）θt，TdfWZt+O（δ2H）。在推导过程中，我们先后使用了关系式（3.16）和（3.17），dψδt=dφδt+（Zδ，Ht-Zδ，H）dt，其中ψδt由ψδt=E“ZTZδ，Hs给出- Zδ，HdsFt#（3.20）和dψδt=δHθt，TdWZt+δH+1eθt，TdWZt与θt，Tandeθt，t在引理A.1中规定。注意，从m（3.16）可以推导出ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） +O（δH），则dMtbecomesdMt=δHeItψδt1- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）θt，TdfWZt+O（δ2H）=“δH1- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）（T- t） H+Γ（H+）#MtdfWZt+O（δ2H），ξt的近似值为ξt=δH1- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）（T- t） H+Γ（H+）+O（δ2H）。将上述表达式插入（2.16）y字段，即可得到所需的d结果（3.18）。3.5数值说明接下来，我们用数值说明了注3.5（iii）中所述π（0）的渐近最优性。也就是说，我们使用蒙特卡罗模拟计算Vδtand Vπ（0），δtat时间t=0，并比较它们的差异。使用方程式（2.15）并将测量值从EP改为P，给定vδ=X1-γ1- γhEe（1-γ2γ）RTλ（Zδ，Hs）ds+ρ（1-γγ）RTλ（Zδ，Hs）dWZsG智商。求解Xπ（0）的SDE（3.19），并将溶液插入Vπ（0），δtyieldVπ（0），δ=X1的定义中-γ1-γEe-2γ+3γ-12γRTλ（Zδ，Hs）ds+（1-γγ）RTλ（Zδ，Hs）dWsF.模型参数选择为：T=1，H=0.1，a=1，γ=0.4，ρ=-0.5，u（y）=0.1×λ（y）0.1+λ（y），λ（y）=Zy/σou-∞p（z/2）dz，其中p（z）是N（0，1）-密度。注意，上述λ（y）的选择满足模型假设2.1。由于自然的非马尔科夫结构，我们首先在-Mand 0，然后通过平均500000条路径来评估每个条件期望。

慢因子（Zδ，Ht）t∈[0，T]是使用具有网格大小的Euler格式生成的t=10-3，M=（T/t） 0.5t（由于短距离相关）。表1中给出的数值结果仅用于说明，因为我们仅计算了由#1、#2、、#3、#4和#5表示的少数“omegas”的值。表1：值处理Vδ与Vπ（0）的关系，对于电力公用工程情况，为δ#1#2#3#4#5Vδ1.4645 1.4 067 1.4 253 1.4212 1.4082δ=1 Vδ- Vπ（0），δ0.0021 0.0 021 0.0 020 0.0020 0 0.0020Vδ1.4739 1.3 995 1.4 237 1.4188 1.4019δ=0.5 Vδ- Vπ（0），δ0.0022 0.0022 0.0022 0.0022 0.0023Vδ1.4814 1.3 972 1.4 248 1.4195 1.4002δ=0.1 Vδ- Vπ（0），δ0.0020 0.022 0.0022 0.0022 0.0022Vδ1.4811 1.3 990 1.4 260 1.4208 1.4020δ=0.05 Vδ- Vπ（0），δ0.0019 0.0 020 0.0 021 0.0020 0.0021Vδ1.4783 1.4 050 1.4 291 1.4245 1.4076δ=0.01 Vδ- Vπ（0），δ0.0016 0.0 018 0.0 018 0.0017 0.0018正如预期的那样，策略π（0）t在δ较小时表现良好，因为相对差异（Vδ- Vπ（0），δ）/Vδ为0.1%。更令人惊讶的是，即使δ值不太小，它也表现良好。4一般效用和分数阶随机环境在本节中，我们通过一般效用U（x）的渐近性研究非线性投资组合优化，并且当基础资产的漂移u和波动率σ由缓慢变化的分数阶随机因子Zδ驱动时，htdefined in（3.9）。

这是由最近的两项工作推动的：在Fouke和Hu[2017b]中，我们在缓慢变化的马尔可夫环境中，得到了给定策略下的值函数的渐近结果，并证明了这种策略的最优性达到o（δH）；另一方面，当波动率由Zδ，Ht驱动n时，Garnie r和Solna【2017】给出了线性定价问题的渐近性和隐含波动率。使用符号M（t，x；λ）表示具有常数Sharpe-r atioλ的经典默顿值，我们用v（0）表示冻结Sharpe Ratioλ（z），v（0）（t，x，z）=M（t，x，λ（z））。（4.1）然后我们通过π（0）（t，x，z）=-λ（z）σ（z）v（0）x（t，x，z）v（0）xx（t，x，z），（4.2）和相关值过程vπ（0），δisVπ（0），δ：=EhUXπ（0）TFti，（4.3）其中Xπ（0）是遵循策略π（0）的财富过程：dXπ（0）t=u（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）dt+σ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）dWt。（4.4）我们首先导出Vπ（0），δ的展开式，然后我们证明π（0）在δhamong阶上是最优的。δt[eπ，eπ，α]形式的策略：=π=eπ+Δαeπ：π∈ Aδt，α>0，0<δ≤ 1., （4.5）其中Aδ是缓慢变化的分数随机环境zδ，Ht下的容许控制（2.5）类。受电力效用情况下π（0）的反馈形式（3.18）和一般效用下π（0）的定义（4.2）的启发，我们在此将eπ和eπ限制为反馈控制。也就是说，eπ，eπ是（t，Xt，Zδ，Ht）的函数。作为一个副产品，通过将Vπ（0），δ的展开结果应用于电力效用，定理3.4中得到的π（0）在整个策略类aδt中达到δ2H阶是最优的。在下一小节中，我们首先回顾了当u和σ是（2.1）中的常数时的经典默顿问题，它在导出Vπ（0），δ的展开（4.21）中起着至关重要的作用。

然后我们定义了一些符号，以供以后使用。4.1具有常数系数的默顿问题该问题已被广泛研究，例如，在Karatzas和Shreve【1998年】。这里我们总结了关于经典默顿值函数M（t，x；λ）的结果。假设效用函数U（x）是C（0，∞), 严格递增、严格凹、满足纳达和渐近弹性条件：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1，则默顿值函数M（t，x；λ）严格递增，在财富变量x中严格凹，在时间变量t中递减，即C1,2（[0，t]×R+）并解HJB方程mt+supπσπMxx+uπMx= Mt公司-λMxMxx=0，M（T，x；λ）=U（x），（4.6），其中λ=u/σ是恒定夏普比。对λ的响应为cw，最优策略为π*（t，x；λ）=-λσMx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（4.7）给定默顿值函数M（t，x；λ），可以通过（t，x；λ）=-Mx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（4.8）很明显，由于M（t，x；λ）的正则性、凹性和单调性，R（t，x；λ）是连续且严格正的。它是作为λ函数的lso平滑，参见下面的备注4.2。关于进一步的财产，werefer向K¨allblad和Zariphopoulou【2014、2017】以及Fouke和Hu【2017b】咨询。我们使用Fouque等人[2015]的符号：Dk=R（t，x；λ）kkx，k=1，2，··，（4.9）Lt，x（λ）=t+λD+λD.（4.10）注意，Lt，x（λ）的系数取决于R（t，x；λ），因此取决于M（t，x；λ）。默顿PDE（4.6）可重写为lt，x（λ）M（t，x；λ）=0。（4.11）接下来，我们总结本节研究中需要的所有假设。

这将包括效用函数U（x）、状态过程（xπ（0）t，St，Zδ，Ht）以及v（0）（t，x，Z）的性质。4.2假设基本上，我们在Fouque和Hu【2017b】中相同的假设集下工作，为了读者的方便，我们在此处重述这些假设。关于一般效用函数的详细讨论见第2.3节。假设4.1。在本文中，我们对效用U（x）进行了以下假设：（i）U（x）是C（0），∞), 严格递增、严格凹且满足以下条件（Inadaand渐近弹性）：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1。（4.12）（ii）U（0+）是有限的。在不丧失一般性的情况下，我们假设U（0+）=0。（iii）用R（x）表示风险承受能力，R（x）：=-U′（x）U′（x）。（4.13）假设R（0）=0，R（x）严格增加，R′（x）<∞ 在[0，∞), 存在K∈ R+，因此对于x≥ 0和2≤ 我≤ 4.（i） xRi（x）≤ K、 （4.14）（iv）将边际效用U′（x）的反函数定义为I:R+→ R+，I（y）=U′(-1） （y），并假设对于某些正α，κ，I（y）满足多项式增长条件：I（y）≤ α+κy-α、 （4.15）以及对于正常数cn，cn，n=1，2，3，c>1，cI（x）≤ |xI′（x）|≤ CI（x），c | I′（x）|≤ xI′（x）≤ C | I′（x）|和| xI′（x）|≤ CI′（x），（4.16）备注4.2。第（ii）项不包括功率因数U（x）=x1的情况-γ1-γ>1时为γ。然而，本节中的所有结果仍然适用于γ>1的情况，在证明中略有修改。K¨allblad和Zariphopoulou【2017】中引入的条件（4.16）是其命题4中的关键假设，将在我们的推导中使用。他们还给出了一个满足这一条件的边际效用倒数的混合例子。在条件（4.15）下，风险容限函数R（t，x；λ）在变量λ中是光滑的。

该性质将用于推导命题4.5。为了证明这一点，我们从[Fouke和H u，2017b，命题3.3（iii）]中看到，风险容忍函数R（t，x；λ）可以用（t，x；λ）=Hx（H）表示(-1） （x，t，λ），t，λ），其中H（x，t；λ）：R×[0，t]×R→ R+是热方程的唯一解HT+λHxx=0，H（x，T，λ）=I（e-x） ，和H(-1） 是变量x的反函数。然后，H（x，t；λ）在参数λ中是光滑的。下面是状态过程（Xπ（0）t，St，Zt）和v（0）（t，X，z）所需的附加假设。假设4.3。（i） 函数λ（z）=u（z）/σ（z）是C（R）。此外，λ（z）、λ′（z）和λ′（z）最多是多项式增长。（ii）值函数v（0）（t，x，z）=M（t，x；λ（z））满足以下关系：xv（0）xx（t，x，z）≤ d（z）v（0）（t，x，z），（4.17），其中d（z）为多项式增长。请注意，这会自动被电源利用率（2.4）所满足。（iii）过程v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）在L（[0，t]×中）Ohm) δ均匀，即e“ZTv（0）（s，Xπ（0）s，Zδ，H）ds公司#≤ C（4.18），其中Cis独立于δ和Zδ，His在（3.9）中给出，t=0。备注4.4。请注意，条件（4.17）实际上是对一般公用事业的一个隐藏假设，它自动被电力公用事业满足。为了保证（4.18），在【Fouque和Hu，2017b，第2.4节】中讨论了一系列假设。4.3具有给定策略π（0）的Epsilon鞅分解，如Fouke等人【2000】在线性定价问题的背景下介绍的，并进一步发展了inGarnier和Solna【2017】，Epsilon鞅分解的思想是找到一个以鞅加上具有正确终端条件的小东西的形式的过程。

具体而言，我们的目标是找到Qπ（0），δ，使其终端条件与感兴趣的量Vπ（0），δt，na mely，Qπ（0），δt=Vπ（0），δt=U（Xπ（0）t）一致，并且可以分解为Qπ（0），δt=Mδt+Rδt，（4.19），其中Mδ是鞅，Rδ是δ2H阶。注意，δh阶项将被Mδt分解吸收。假设我们得到这样一个分解（4.19），然后在方程Qπ（0）两侧取关于f的条件期望，δt=Mδt+RδTgivesVπ（0），δt=EhQπ（0），δt | Fti=Mδt+ERδT | Ft= Qπ（0），δt+ERδT | Ft- Rδt.（4.20）由于Rδt的阶数为δ2H，Qπ（0），δt是Vπ（0）的近似值，δtup是δH。因此，上述论证得出了所需的近似结果。现在仍然需要找到Qπ（0），δtso，分解保持不变，我们有以下命题。提案4.5。根据第4.1条和第4.3条的规定∈ [0，T），Xπ（0）T=X，观测值Zδ，H，（4.3）中定义的Ft可测值过程Vπ（0），δtde的形式为Vπ（0），δT=Qπ（0），δT（Xπ（0）T，Zδ，H）+O（δ2H），（4.21），其中Qπ（0），δT（X，Z）由以下公式得出：Qπ（0），δT（X，Z）=V（0）（T，X，Z）+λ（Z）λ′（Z）Dv（0）（T，X，Z X，Z）φδT+δHρλ（Z）λ′（Z）V（1）（T，X，Z），（4.22）V（0）和（4.1）和（4.9）中分别定义的数据，φδtt型∈[0，T]是（3.14）中δHgiven阶的Ft可测量过程，v（1）（T，x，z）定义为v（1）（T，x，z）=Dv（0）（T，x，z）Dt，T，Dt，T=（T- t） H+3/2Γ（H+）。（4.23）命题4.5的证明将在推论4.6和命题4.7之后给出。正如在Remark 3.5中所解释的，我们有以下推论。推论4.6。在公用电U（x）=x1的情况下-γ1-γ、 当γ>0，γ6=1，并且在假设2.1和4.3下，（3.18）给出的π（0）在全类容许策略Aδtup to orderδH证明中是渐近最优的。

直接计算得出，在功率实用程序下，v（0）、Dv（0）和v（1）asv（0）（t，x，z）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（z）（T-t） ，Dv（0）（t，x，z）=x1-γγe1-γ2γλ（z）（T-t） ，v（1）（t，x，z）=（1- γ） γx1-γe1-γ2γλ（z）（T-t） （t- t） H+Γ（H+）。然后，可以推导出Qδt=Qπ（0），δt，其中Qδtis由（3.13）a和Qπ（0）给出，δtis由（4.22）给出。结合定理3.2，Vδ和Vπ（0），δ允许相同的一阶近似。因此，我们得到了所需的渐近最优性。对于一般实用程序，我们将在第4节中较小的类EAδt[eπ，eπ，α]中得出类似的结果。4、提案4.7。对于马尔可夫情形H=，近似值Qπ（0），δtgiven in（4.21）与[Fouque and Hu，2017b，定理3.1]中得出的结果一致，Vπ（0），δ（t，x，z）=V（0）（t，x，z）+√δ（T- t） ρλ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z）+O（δ）。（4.24）证明。首先观察H=，Dt，T=（T- t） ，以及Qπ（0）中的第三项，δt ecomes√δ（T- t） ρλ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z）。使用Zδ的移动平均表示（3.9），H=1/2时，φδt显式计算为φδt=1- e-aδ（T-t） aδZδ，Ht- （T- t） Zδ，H=（t- t）Zδ，Ht- Zδ，H+ O（δ）。然后使用“织女星伽马”关系v（0）z（t，x，z）=（t- t） λ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z）和事实Zδ，Ht- Zδ，Hp~ O（δpH），可以推导出vπ（0），δt=v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）+v（0）Z（t，Xπ（0）t，Zδ，H）Zδ，Ht- Zδ，H+√δ（T- t） ρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）=v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）+√δ（T- t） ρλ（Zδ，Ht）λ′（Zδ，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）+O（δ），这与[Fouque and Hu，2017b，定理3.1]中得出的结果一致。现在我们来看命题4.5的证明。命题4.5的证明。根据epsilo的n-鞅分解策略，我们的目标是证明Qπ（0），δtca可以写成Mδt+Rδt，其中Mδ是鞅，Rδ是δ2H阶。为了清晰和简单，我们应主要关注Qπ（0）、δ的推导，并推迟附录A中的精度证明。

该技术与Garnier和Solna【2017】在分数随机波动率期权定价问题中提出的方法非常相似。主要区别在于，它们的大小写涉及线性Black-Scholes算子，就像我们的例子一样，它涉及非线性Merton算子lt，x（λ）。令人惊讶的是，风险承受函数R（t，x；λ）的性质将使我们能够进行如下证明。为了避免区分fOU过程Zδ，Ht，我们将其冻结在Zδ，H，相应的误差将在以下计算中补偿。在【Fouque等人，2011年，第8.4节】中，当推导具有冻结波动率的对冲策略时，在定价的上下文中也使用了该技术。通过应用于（4.1）中定义的v（0）的It^o公式和zδ，H点处z的泰勒r展开，我们得出v（0）（t，Xπ（0）t，zδ，H）=Lt，X（λ（zδ，Ht））v（0）（t，Xπ（0）t，zδ，H）dt+σ（zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，zδ，Ht）v（0）X（t，Xπ（0）t，zδ，H）dWt=Lt，X（λ（zδ，H））v（0）（t，Xπ（0）t，zδ，H）dt+H（zδ，Ht- Zδ，H）（λR）Zz=zδ，H+g（1）tiv（0）x（t，xπ（0）t，zδ，H）dt+H（zδ，Ht- Zδ，H）（λR）Zz=zδ，H+g（2）tiv（0）xx（t，Xπ（0）t，zδ，H）dt+dM（1）t=（zδ，Ht- Zδ，H）λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dt+dM（1）t+g（1）tv（0）X（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dt+g（2）tv（0）xx（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dt，（4.25），其中在推导中，我们使用了nLt，X（λ（Z））v（0）（t，X，Z）=0，Dv（0）=-Dv（0）和π（0）（t，x，z）=λ（z）σ（z）R（t，x；λ（z）），（4.26）M（1）是由dm（1）t=σ（zδ，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，zδ，Ht）v（0）x（t，xπ（0）t，zδ，H）dWt定义的鞅，（4.27）和（4.25）中的最后两项的阶数为δ2H（见附录A），g（1）和g（2）t作为拉格朗日维护者：g（1）t=Zδ，Ht- Zδ，HλRzz公司z=χ（1）t，g（2）t=Zδ，Ht- Zδ，HλRzz公司z=χ（2）t，（4.28）和χ（i）t∈hZδ，H∧ Zδ，Ht，Zδ，H∨ Zδ，Hti，i=1，2。现在仍然需要找到termR（Zδ，Hs）的ε鞅分解- Zδ，H）Dv（0）（s，Xπ（0）s，Zδ，H）ds in（4.25）。